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Abb. 1 - Quartett-Karten PKW, LKW und Motorrad
Die drei Fahrzeugarten unterscheiden sich sowohl in ihrem Gewicht als auch in der Beschleunigungszeit.
Ein Objekt ist grundsätzlich träge und bedarf deshalb zusätzlicher Kraft, um einen Körper zu bewegen bzw. zu beschleunigen. So definierte Isaac Newton das Trägheitsgesetz. Also: Welche Antriebskraft müssen unsere drei Fahrzeuge aus dem Quartett aufwenden, um die angegebenen Beschleunigungen zu erreichen? Die Antwort findest Du im Newtonschen Grundgesetz.
Grundlagenwissen zur Mechanik
Weißt Du noch, in welche Teilgebiete sich die Mechanik einteilen lässt und womit sie sich beschäftigen? In der klassischen Mechanik werden ruhende und bewegte Körper behandelt sowie die einwirkenden und auftretenden Kräfte. Unterschieden werden dabei zwei große Themenbereiche, wie Du an der folgenden Abbildung erkennen kannst.
Abb. 2 - Einteilung klassische Mechanik
Kinematik umfasst kinematische Vorgänge wie die gleichförmige Bewegung eines Körpers. Dabei wird der reine Bewegungsvorgang betrachtet, ohne näher auf die wirkenden Kräfte einzugehen. Was unterscheidet das Teilgebiet der Dynamik dann vom Themenbereich der Kinematik?
Du kannst es Dir vielleicht bereits denken: die Kräfte.
In der Erklärung "Kräfte" kannst Du noch einmal alles zum Thema nachlesen.
Die Newtonschen Gesetze bzw. Axiome beschäftigen sich ebenfalls mit der Wirkung von Kräften. Sie stellen damit einen wichtigen Grundstein für die Mechanik und das Teilgebiet der Dynamik dar.
Wunderst Du Dich, warum manchmal der Begriff Gesetz und manchmal der Begriff Axiom verwendet wird? Der Unterschied liegt darin, dass sich Gesetze im Gegensatz zu Axiomen jederzeit mathematisch und physikalisch herleiten und belegen lassen.
Die beiden Begriffe sind streng genommen also nicht dasselbe. Sie werden jedoch häufig synonym verwendet.
Ihren Namen verdanken die Newtonschen Axiome dem Physiker, Mathematiker und Astronom Isaac Newton (1643-1727).
Newtonsche Gesetze
Die drei Newtonschen Gesetze bewegen sich also im Teilgebiet der Dynamik. Diese kannst Du in Abbildung 3 überblicken.
Abb. 3 - Newtonsche Gesetze im Überblick
Die drei Gesetze sind in der Physik häufig unter dem Begriff Grundgesetze der Bewegung zu finden, da sie die elementaren und grundlegenden Zusammenhänge zwischen ruhenden und bewegten Körpern und die darauf einwirkenden Kräfte thematisieren.
Du kannst jetzt die Newtonschen Gesetze thematisch einordnen und benennen. Was genau ist nun das Newtonsche Grundgesetz?
Newtonsches Grundgesetz der Mechanik – Formel
Es ist das zweite der drei Newtonschen Axiome von Isaac Newton, wie Du bereits oben in der Abbildung 3 sehen konntest. In der Literatur wird es daher auch als 2. Newtonsches Gesetz oder als Aktionsprinzip betitelt.
Die Bezeichnung wurde aus dem ursprünglich lateinischen "lex secunda" übersetzt.
Dabei besteht ein Zusammenhang zwischen den Größen Kraft, Masse und Beschleunigung, was über die folgende Definition beschrieben wird.
Das 2. Newtonsche Gesetz lautet:
\(F=m\cdot a\) bzw. \(\vec F=m\cdot \vec a\)
F: Kraft in Newton [N], m. Masse in Kilogramm [kg], a: Beschleunigung [\(\frac{m}{s^2}\)]
Sowohl die Kraft als auch die Beschleunigung sind gerichtete Größen, weshalb auch die Schreibweise mit Kraftpfeilen angewendet wird. Den Unterschied wirst Du weiter unten in einem Beispiel erkennen.
Du fragst Dich sicher, was genau dieser Zusammenhang der genannten Größen bedeutet und warum es überhaupt als Aktionsprinzip bezeichnet wird.
Sieh Dir dazu zunächst noch einmal das 1. Newtonsche Gesetz (Trägheitsgesetz) an:
Ein Körper im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung verharrt so lange in seinem Bewegungszustand, bis er durch äußere Kräfte dazu gezwungen wird, diesen zu ändern. (Trägheitsgesetz)
Das folgende Beispiel kann nun auf das Trägheitsgesetz angewandt werden.
In der Abbildung 4 siehst Du eine Minigolfanlage. Ziel ist es hier, den Minigolfball mit so wenig Schlägen wie möglich in das dafür vorgesehene Loch zu befördern. Als einziges Hilfsmittel steht Dir ein Schläger zur Verfügung.
Abb. 4 - Minigolfanlage mit Minigolfball
| Szenario | Beschreibung der Situation | Physikalische Bedeutung |
| Der Minigolfball liegt zunächst an seiner Startposition, er ruht also und hat keine Geschwindigkeit \(v_{Golfball}\). Da er auch nicht mit dem Schläger berührt wird, verbleibt er über einen beliebig langen Zeitraum bis zum Schlagzeitpunkt in seinem Zustand der Ruhe (Trägheitsgesetz). | \(0\leq t <t_s:v=0\frac{m}{s}\)
|
| Nimmst Du jetzt aber den Schläger zu Hilfe und schlägst damit auf den Minigolfball, dann übst Du zum Zeitpunkt durch den Schläger eine Kraft \(\vec F_{Schläger}\) auf den Ball aus.Der Golfball wird so lange (Zeitspanne \(t_S\) bis \(t_B\)) durch diese Kraft beschleunigt, bis der Ball den Schläger mit einer bestimmten Geschwindigkeit verlässt. | \(t_S\text{ bis }t_B:\quad v\neq \text{konst.}\quad t>t_B:\quad v=\text{konst.}\)
|
Die Kraft des Schlägers wirkt also in eine bestimmte Richtung. Daher kommt auch die Formulierung des Newtonschen Gesetzes mittels Kraftpfeilen. Bei eindimensionalen Bewegungen und Berechnungen werden diese meist weggelassen.
Dieses Beispiel kannst Du direkt mit dem Newtonschen Grundgesetz berechnen, wenn einige Angaben vorliegen.
Aufgabe 1
Welche Kraft wird durch den Schläger auf den Minigolfball ausgeübt, wenn der zunächst ruhende Golfball kurz nach dem Abschlag eine Geschwindigkeit von \( v= 2{,}5\frac{m}{s}\) erreicht?
Masse des Balls: \(m=35\, g\)
Kontaktzeit Schläger – Golfball: \(t=0{,}1\,s\)
Hinweis: Der Schläger trifft bei \(t=0{,}1\) auf den Minigolfball.
Lösung
Die gesuchte Größe dieser Aufgabe ist die Kraft. Mithilfe des Newtonschen Grundgesetzes kannst Du eine Kraft berechnen.\[F=m\cdot a\]
Masse \(m\) ist zwar bereits gegeben, doch noch keine Beschleunigung \(a\). Aus den gegebenen Größen lässt sich diese berechnen, denn die Beschleunigung kann hier über die Geschwindigkeitsdifferenz \(\Delta v\) in einer gewissen Zeitspanne \(\Delta t\) ermittelt werden:
\[F=m\cdot a\]
Somit ist Dir die letzte fehlende Größe für die Berechnung der Kraft ebenfalls bekannt und es ergibt sich:
\begin{align}a&=\frac{\Delta v}{\Delta t}\\&=\frac{2{,}5\frac{m}{s}-0\frac{m}{s}}{0{,}1\,s-0\, s}=25{,}0\frac{m}{s^2}\end{align}
Das Beispiel zeigt vereinfacht auf, dass eine äußere einwirkende Kraft eine Geschwindigkeitsänderung hervorbringen kann. Die Veränderung der Geschwindigkeitswerte deutet damit auf eine beschleunigte Bewegung des Körpers hin.
Je nachdem, wie stark Du mit dem Schläger auf den Ball schlägst, wird dieser stärker oder schwächer beschleunigt. Das ist auch abhängig von der Masse des Balls.
Aus dem Trägheitsgesetz ergibt sich demnach im Umkehrschluss folgender Zusammenhang:
Um den Bewegungszustand (Ruhe oder geradlinige gleichförmige Bewegung) eines Körpers zu verändern, muss eine resultierende Kraft größer 0 Newton einwirken. Die Krafteinwirkung kann dabei sowohl eine Geschwindigkeits- als auch eine Richtungsänderung hervorrufen.
Du hast damit bereits das Newtonsche Grundgesetz auf ein Beispiel angewandt. Kannst Du jetzt die Frage beantworten, warum es häufig auch Aktionsprinzip genannt wird?
Genau, da der Bewegungszustand eines Körpers aufgrund des Trägheitsgesetzes erhalten bleibt, bedarf es einer Aktion (Kraft), um diesen zu ändern.
Aber wie kannst Du diesen Zusammenhang der Größen selbst nachweisen? Zeit für ein Experiment.
Newtonsches Grundgesetz – Experimente
Um das Newtonsche Gesetz nachzuweisen, werden im Unterricht oft Experimente mit einer Rollenfahrbahn oder einer Luftkissenbahn durchgeführt.
Schulexperiment
Der folgende Versuchsaufbau bereitet Dich darauf, wenn Du das entsprechende Experiment in der Schule durchführst.
Zielsetzung
Mit dem Versuch soll der Zusammenhang zwischen den Größen Kraft \(F\), Masse \(m\) und Beschleunigung \(a\) ermittelt werden. Dazu werden verschiedene Messungen mit der Rollenfahrbahn durchgeführt und ausgewertet.
Aufbau und Beschreibung
Mithilfe einer Rollenfahrbahn lassen sich nahezu reibungsfreie Bewegungen nachstellen, wie gleichförmige oder gleichmäßig beschleunigte Bewegungen. In der Realität sind gleichförmige Bewegungen ohne zusätzliche Krafteinwirkung und aufgrund von Reibungen nicht möglich.
In Abbildung 9 ist vereinfacht der Aufbau einer solchen Anlage dargestellt. Die untere Tabelle zeigt die wesentlichen Komponenten einer Rollenfahrbahn.
Abb. 9 - Vereinfachter Aufbau einer Rollenfahrbahn
Sie besteht aus einer Fahrbahnschiene, auf der sich ein Fahrbahnwagen bewegen kann, sowie einer oder mehrerer Lichtschranken in einem bestimmten Abstand und einem Zeitmessgerät. Außerdem besitzt die Anlage eine Startvorrichtung, die den Wagen festhält, sowie ein mit dem Wagen verbundenes Gewicht, das den Wagen auf der Rollenfahrbahn beschleunigt.
| Position | Beschreibung |
| 1 | Fahrbahnschiene |
| 2 | Fahrbahnwagen (\(m=0{,}4\, kg\)) |
| 3 | Lichtschranken |
| 4 | Zeitmessgerät |
| 5 | Zusatzgewichte |
| 6 | Startvorrichtung |
| 7 | Umlenkrolle |
| 8 | Gewicht zur Einstellung der Zugkraft \(F\) |
Jetzt kannst Du den Versuch beginnen.
Durchführung
Mittels Messung der Zeiten, die der Fahrbahnwagen zum Durchfahren der Lichtschranken benötigt, können die Beschleunigungen gefunden werden. Durch Einstellen der Zugkraft (hängendes Gewicht) und der Gesamtmasse des Wagens ändern sich diese und der direkte Zusammenhang zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung kann nachgewiesen werden.
Nun besitzt aber natürlich nicht jeder eine Rollenfahrbahn und kann das Experiment direkt ausprobieren. Wie kannst Du im Alltag diese Beziehungen zwischen den Größen nachweisen?
Alltagsexperiment
Tatsächlich ist das Zuhause kaum möglich, da die notwendigen Geräte meist nicht zur Verfügung stehen. Stattdessen hast Du die Möglichkeit, genau zu beobachten und damit indirekt eine Beziehung herstellen zu können.
Dein Auftrag: Sieh Dir Alltagssituationen einmal genauer an. Kannst Du die Anwendung des Newtonsche Grundgesetzes erkennen?
Als Beispiel dient Dir hier die Freizeitaktivität Bowling.
Die Bowlingkugel wird in die Hand genommen und gezielt auf die Bahn befördert, um alle zehn Pins (die stehenden Kegel am Ende der Bahn) mit der Kugel zu treffen und umzuwerfen.
Beobachtung
Du beobachtest eine Familie beim Bowling spielen. Zwei Familienmitglieder benutzen dieselbe Bowlingkugel. Ebenfalls ungefähr gleich ist die Zeit des Wurfs bzw. des Ausholens mit der Kugel. Trotzdem ist sie bei einem Familienmitglied augenscheinlich viel schneller am Ende der Bahn als bei der anderen Person. Wieso?
Erklärung
Betrachte die obige Situation physikalisch. Wenn dieselbe Bowlingkugel von beiden Mitspielern genutzt wird, kannst Du die Kugel als konstant ansehen. Spielende Person 1 und spielende Person 2 müssen die gleiche Masse \(m_{BK}\) bewegen:
\[m_{BK}=m_{BK,1}=m_{BK,2}\]
Auch gleich ist die Kontaktzeit bzw. die kurze Zeit \(t_W\) vor dem Abwerfen der Kugel:
\[t_W=t_{W,1} = t_{W,2}\]
Aus der Beobachtung kannst Du aber entnehmen, dass die Geschwindigkeit \(v_{BK}\) nach dem Abwerfen auf die Bahn bei einer Person größer ist, da er die Bahn schneller entlang rollt:
\[v_{BK,1}>v_{BK,2}\]
Wie lässt sich dieser Umstand erklären? Du weißt bereits, dass eine Kraft notwendig ist, um einen Körper aus dem Bewegungszustand der Ruhe zu bringen. Diese Muskelkraft üben die beiden Familienmitglieder auf die Bowlingkugel aus, um die Kugel zu beschleunigen.
Anhand der Geschwindigkeitsdifferenz und der Zeitspanne während der Kontaktzeit Hand / Bowlingkugel kurz vor dem Abwurf lässt sich diese Beschleunigung theoretisch berechnen.
Hier wird vernachlässigt, dass keine exakte geradlinige Bewegung beim Abwerfen ausgeführt wird. Das Beispiel nimmt das hier jedoch an. Es ist auch sehr stark von der Wurfweise der Spielenden abhängig.
\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]
Bei beiden Würfen wird die Kugel aus der Ruhe gleich lang beschleunigt, hat jedoch nach der Beschleunigung unterschiedliche Abwurfgeschwindigkeiten. Dies führt zu:
\begin{align}\frac{\Delta v_{BK,1}}{\Delta t}&>\frac{\Delta v_{BK,2}}{\Delta t} \\\Rightarrow a_{BK,1}&>a_{BK,2}\end{align}
Die Bowlingkugel erfährt durch ein Familienmitglied also eine höhere Beschleunigung als durch die andere Person. Warum? Die Erklärung dazu liefert uns das Newtonsche Grundgesetz. Dieselbe Bowlingkugel mit derselben Masse \(m_{BK}\) wird anhand der Muskelkraft auf unterschiedliche Geschwindigkeiten beschleunigt.
Folglich muss bei einem Familienmitglied eine höhere Kraft \(F_{BK}\) auf die Bowlingkugel ausgeübt worden sein, als es bei der anderen Person der Fall war, denn es gilt:
\[m_{BK}\cdot a_{BK,1} > m_{BK}\cdot a_{BK,2}\]\[F_{BK,1}>F_{BK,2}\]
Du konntest mit einer Alltagsbeobachtung indirekt den Zusammenhang zwischen den Größen Kraft, Masse und Beschleunigung beobachten und die Gültigkeit des Aktionsprinzips veranschaulichen.
Das Newtonsche Grundgesetz kann auch allgemein durch den Impuls beschrieben werden.
Herleitung Newtonsches Grundgesetz über den Impuls
Der Bewegungszustand eines Körpers kann durch seinen Impulsdefiniert werden:
Eine Änderung des Zustands beschreibt die zeitliche Änderung des Impulses, also die Ableitung. Durch eine Kraft kann die Bewegungsänderung erfolgen, daher gilt:
Daraus folgt:
Mehr zum Thema Impuls findest Du im entsprechenden Artikel "Impuls".
Im bisherigen Verlauf der Erklärung hast Du die Grundlagen zum Newtonschen Gesetz kennengelernt. Sieh Dir jetzt noch einen wichtigen Sonderfall mit einem praxisnahen Beispiel an.
Newtonsches Grundgesetz Sonderfall – die Gewichtskraft
Kennst Du die Legende von Newtons Apfel? Isaac Newton saß im Garten unter einem Apfelbaum, als ihm plötzlich einer seiner Früchte auf den Kopf fiel. Er wunderte sich, wieso das Obst derart vom Baum stürzte. Es erweckte seine Neugier und er begann damit, die Schwerkraft zu untersuchen.
Über die Wahrhaftigkeit der überlieferten Geschichte kann heute nur noch spekuliert werden. Hier dient sie jedenfalls als gutes Beispiel.
Abb. 11 - Isaac Newton unter einem Apfelbaum
| Szenario | Beschreibung der Situation | Physikalische Bedeutung |
| Der Apfel hängt zunächst an einem Ast am Apfelbaum. Werden hier alle wirkenden Kräfte eingezeichnet, so sind das die Gewichtskraft \(\vec F_G\) und die gleich große entgegengesetzt wirkende Kraft \(\vec F_{Ast}\) des Astes. Es herrscht dabei ein Kräftegleichgewicht, wodurch die resultierende Kraft gleich 0 Newton ist. | \(F_{res} = F_G+F_{Ast}= 0 N\) |
| Schneidest Du den Ast mit einer Gartenschere durch, fällt die Kraft des Astes weg und es wirkt nur noch die Gewichtskraft \(\vec F_G\) des Apfels.Aus dem Newtonschen Grundgesetz weißt Du bereits, dass \(F=m\cdot a\) gilt. Der Apfel wird also zum Boden hin beschleunigt. Normalerweise kennst Du den Wert der Beschleunigung nicht. In diesem Fall jedoch schon: Sie ist die Erdbeschleunigung g. | \(F_{res}=F_G\neq 0 N\) \(F_G=m\cdot g\) |
In den Erklärungen "Gewichtskraft" und "Wechselwirkungsgesetz" findest Du mehr Informationen zu diesem Thema.
Ein weiteres Anwendungsbeispiel für das Grundgesetz der Dynamik ist das Rollen eines Wagens auf einer schiefen Ebene, wie Du es in Abbildung 14 sehen kannst.
Dabei wird die Gewichtskraft in die normale Kraft \(\vec F_N\) und die tangentiale Kraft \(\vec F_H\) (Hangabtriebskraft) aufgeteilt. Beide lassen sich mithilfe der Gewichtskraft \(\vec F_G\) und des Winkels
berechnen.
Abb. 14 - Wagen auf schiefer Ebene
\[F_H=F_G\cdot \sin(\alpha)=F_G\cdot \cos(\alpha)\]
Letztlich ist die tangentiale Kraft \(F_H\) und (damit die Gewichtskraft \(F_G\)) dafür verantwortlich, dass der Wagen die schiefe Ebene hinabrollt.
Mehr Informationen und Anwendungsbeispiele dazu findest Du im Artikel "Schiefe Ebene".
Mithilfe all der Beispiele kannst Du jetzt die Eingangsfrage zum Quartett beantworten.
Aufgabe 2
Berechne die Antriebskräfte, die ein PKW, ein LKW und ein Motorrad benötigen, damit sie in der angegebenen Zeit von 0 auf 100 Kilometer pro Stunde beschleunigen.
PKW: \(m_p = 1500\, kg; t_p=10\,s\)
LKW: \(m_L = 40000\, kg; t_L=50\,s\)Motorrad: \(m_M = 150\, kg; t_M=4\,s\)
Hinweis: Berechne zunächst die Beschleunigungen der Fahrzeuge.
Lösung
Gesucht ist die Kraft \(F=m\cdot a\). Die Masse m ist gegeben also musst Du die Beschleunigung berechnen.
Die Beschleunigung wird aus der Geschwindigkeit pro Zeit berechnet:
\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\text{ mit } v=100\frac{km}{h}=27{,}78\frac{m}{s}\]
Einsetzen der Werte in die Formel für die Beschleunigung ergibt:
\begin{align} a_P&=\frac{27{,}78\frac{m}{s}}{10s}=2{,}778\frac{m}{s^2}\\a_L&=\frac{27{,}78\frac{m}{s}}{50s}=0{,}556\frac{m}{s^2}\\a_L&=\frac{27{,}78\frac{m}{s}}{4s}=6{,}945\frac{m}{s^2}\end{align}
Durch Einsetzen in das Newtonsche Grundgesetz ergibt sich:
\begin{align}F_P&=1500kg\cdot 2{,}778 \frac{m}{s^2}=4167\, N\\F_L&=40000kg\cdot 0{,}556 \frac{m}{s^2}=22240\, N\\F_P&=150kg\cdot 6{,}945 \frac{m}{s^2}=1041{,}75\, N\end{align}
Du kannst jetzt nicht nur die Informationen auf den Quartett-Karten vergleichen, sondern auch das Newtonsche Grundgesetz damit in Verbindung bringen und die Kräfte berechnen.
Newtonsches Grundgesetz - Das Wichtigste
- Das Newtonsche Grundgesetz wird auch Aktionsprinzip genannt und ist das zweite der drei Newtonschen Axiome.
- Dabei besteht ein Zusammenhang zwischen den Größen Kraft, Masse und Beschleunigung.
- Es gilt:
\(F=m\cdot a\) bzw. \(\vec F=m\cdot \vec a\)
- In Worten ausgedrückt bedeutet es, dass der Bewegungszustand eines Körpers durch eine resultierende Kraft größer 0 Newton verändert werden kann.
- Die Kraft kann sowohl eine Geschwindigkeitsänderung als auch eine Richtungsänderung bewirken.
- Der Körper erfährt durch die Kraft eine Beschleunigung.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Newtonsches Grundgesetz
Wie lauten die Newtonschen Gesetze?
- Trägheitsgesetz (1. Newtonsches Gesetz)
- Newtonsches Grundgesetz (2. Newtonsches Gesetz)
- Wechselwirkungsgesetz (3. Newtonsches Gesetz)
Was besagt das 2. Newtonsche Gesetz?
Das 2. Newtonsche Gesetz stellt einen Zusammenhang zwischen den Größen Kraft, Masse und Beschleunigung her. Es gilt:
F = m • a
Durch eine einwirkende Kraft kann der Bewegungszustand eines Körpers verändert werden. Der Körper erfährt dadurch eine Geschwindigkeitsänderung (und manchmal auch Richtungsänderung).
Wie lautet das 1. Newtonsche Gesetz?
Ein Körper im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung verharrt so lange in seinem Bewegungszustand, bis er durch äußere Kräfte dazu gezwungen wird, diesen zu ändern. (Trägheitsgesetz)
Was ist die Grundgleichung der Mechanik?
Die Grundgleichung der Mechanik beschreibt den mathematischen Zusammenhang zwischen den Größen Kraft, Masse und Beschleunigung und lautet:
F = m • a
Sie entspricht dem 2. Newtonschen Gesetz.
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