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Resonanz Schwingung
Um Resonanz zu verstehen, ist es zunächst nötig, sich mit Schwingungen im Allgemeinen zu beschäftigen. Was eine Schwingung ist, kannst Du Dir dabei anhand eines Fadenpendels verdeutlichen:
Das Fadenpendel besteht aus einer Masse, die an einem Faden befestigt ist. Das andere Ende des Fadens wird an einer geeigneten Oberfläche so befestigt, dass die Masse nach unten hängt:
Abb. 1 - Fadenpendel
Nun kannst Du die Masse so zur Seite auslenken, dass sie von der einen Seite zur anderen schwingt. Wie weit sie sich dabei von ihrer Ruhelage entfernt, wird durch die Auslenkung angegeben.
Eine ausführliche Erklärung zum Fadenpendel findest Du in der entsprechenden Erklärung. Weiterhin gibt es noch das Feder-Masse Pendel und auch dazu gibt es eine eigene Erklärung.
Allerdings sind nicht nur Pendel zu Schwingungen fähig. Auch Wellen, die Atomhülle oder Moleküle führen Schwingungen aus. Deswegen kannst Du dafür eine verallgemeinerte Definition aufstellen:
Als Schwingung bezeichnest Du die periodische Änderung einer – oder mehrerer – physikalischer Größen.
Bei der Schwingung des Pendels ändert sich seine Auslenkung periodisch mit der Zeit.
Eigenfrequenz
Wie oft das Pendel hin und her schwingt, wird durch seine Frequenz bestimmt.
Die Frequenz \(f\) gibt an, wie schnell eine Schwingung ist. Sie wird durch die Anzahl an Schwingungen innerhalb einer bestimmten Zeit definiert und entsprechend in der Einheit „pro Sekunde“ angegeben:
$$[f]=1\,\mathrm{\frac{1}{s}}=1\, \mathrm{Hz}$$
Weil dies eine der wichtigsten physikalischen Einheiten ist, wird sie in einer eigenen SI-Einheit – dem Hertz (\(\mathrm{Hz}\)) zusammengefasst.
Wenn Du das Pendel also auslenkst und die Anzahl der Schwingungen innerhalb einer Zeitspanne misst, erhältst Du die entsprechende Schwingungsfrequenz. Lenkst Du das Pendel nun einmalig zum Schwingen aus und lässt es danach in Ruhe, so führt es eine freie Schwingung – die sogenannte Eigenschwingung – aus.
Dies gilt allerdings nicht nur für Pendel, sondern für jedes schwingungsfähige System.
Ein schwingungsfähiges System, das nach einmaliger Anregung sich selbst überlassen wurde, führt Eigenschwingungen aus. Die Schwingungsfrequenz der Eigenschwingung bezeichnest Du als Eigenfrequenz \(f_0\).
Da in diesem Fall keine äußeren Kräfte wirken, ist die Eigenfrequenz \(f_0\) nur durch die Eigenschaften des schwingenden Systems bestimmt.
Im Fall des Fadenpendels ergibt sich die Eigenfrequenz \(f_0\) etwa aus der Erdbeschleunigung \(g=9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\) und der Fadenlänge \(l\): $$f_0=\frac{1}{2\cdot\pi}\cdot\sqrt{\frac{g}{l}}$$ Je länger der Faden also ist, desto langsamer schwingt das Pendel. Beim kürzeren Faden hingegen schwingt das Pendel schneller.
Die Eigenfrequenz kannst Du praktisch als die „Eigenschaft“ eines schwingungsfähigen Systems sehen: Ein System muss nicht unbedingt schwingen, um eine Eigenfrequenz zu besitzen.
Dass ein schwingungsfähiges System sich selbst überlassen wird, ist allerdings nicht immer der Fall. Insbesondere in der Natur werden freie Schwingungen durch äußere Einflüsse gestört. Dies kann in Form von Dämpfung sein oder durch zusätzliche Anregung.
Erregerfrequenz
Stell Dir nun vor, das bereits schwingende Fadenpendel wird von Außen zusätzlich zur Schwingung angeregt. Dadurch ändert sich seine Schwingungsfrequenz.
Schwingungen, die durch äußere Energiezufuhr angeregt werden, heißen erzwungene Schwingungen. Das anregende System bezeichnest Du wiederum als Erreger. Der Erreger selbst schwingt mit der Erregerfrequenz \(f_E\). Mit dieser Frequenz wird auch die erzwungene Schwingung angeregt.
Im Fall des Fadenpendels kannst Du eine erzwungene Schwingung mit dem gekoppelten Fadenpendel erzeugen.
Das gekoppelte Fadenpendel besteht aus nebeneinander hängenden Fadenpendeln, die miteinander verbunden sind. Die Verbindung kann etwa eine Sprungfeder sein:
Abb. 2 - Gekoppeltes Fadenpendel
Nimm an, das erste Pendel hätte die Eigenfrequenz \(f_0\) und befände sich in Ruhe. Wenn Du nun das zweite Pendel auslenkst, so wirkt sich seine Schwingung auf die Schwingung des ersten Pendels aus: Über die Verbindung wird das erste Pendel durch die Schwingung des zweiten Pendels mit der Erregerfrequenz \(f_E\) angeregt und beginnt zu schwingen.
Je nach Größe der Erregerfrequenz kann es dabei zur Resonanz kommen.
Resonanz Physik
Befindet sich das erste Pendel in Ruhe und Du lenkst das zweite Pendel (Erreger) aus, so fängt auch das erste Pendel an, leicht mitzuschwingen. Die Erregerfrequenz kannst Du verändern, indem Du das zweite Pendel „anschubst“. Nähert sich die Erregerfrequenz der Eigenfrequenz des ersten Pendels, so wird die Auslenkung immer größer. Die Schwingung des ersten Pendels wird also verstärkt.
Resonanzfrequenz und Resonanz Definition
Stimmen Eigenfrequenz und Erregerfrequenz überein, so erreicht die Auslenkung ihr Maximum und es kommt zur Resonanz.
Wenn bei einer erzwungenen Schwingung die Erregerfrequenz \(f_E\) gleich der Eigenfrequenz \(f_0\) eines schwingungsfähigen Systems ist, kommt es zur Resonanz. Dies bezeichnest Du als Resonanzbedingung:
$$f_E=f_0$$
Bei Resonanz erreicht die Schwingung ihre maximale Amplitude. Die Frequenz, bei der Resonanz auftritt, heißt Resonanzfrequenz.
Im Allgemeinen bezeichnest Du den Abstand des schwingenden Systems zu seiner Ruhelage als Auslenkung. Betrachtest Du dabei den maximalen Abstand, so sprichst Du von der Amplitude.
Sofern keine Dämpfung vorliegt, entspricht die Resonanzfrequenz der Eigenfrequenz. Nimmst Du also an, dass die Schwingung Deines gekoppelten Pendels nicht gedämpft wird – d. h. Du vernachlässigst Luftreibung und weitere Reibungskräfte – so entspricht die Resonanzfrequenz der Eigenfrequenz \(f_0=\frac{1}{2\cdot\pi}\cdot\sqrt{\frac{g}{l}}\) des ersten Pendels. Mit dieser Frequenz (Erregerfrequenz) müsste das zweite Pendel also schwingen, damit Resonanz auftritt.
Was Dämpfung ist und wie sie sich auf eine Schwingung auswirkt, erfährst Du bei „Gedämpfte Schwingung“.
Resonanz tritt allerdings nicht nur bei Pendeln auf, sondern kann Dir auch im Alltag begegnen.
Abb. 3 - Millennium Bridge in London
Mit der Resonanz Du nun erklären, was die Millennium Bridge zum Schwingen gebracht hat:Die Eigenfrequenz der Millennium Bridge wird durch ihre Konstruktion bestimmt und liegt – wie es sich herausstellte – nahe der Frequenz der Fußgänger. Bei wenigen Fußgängern sollte dies kein Problem sein, da sie sich einerseits willkürlich auf der Brücke verteilen und andererseits asynchron gehen.Sind allerdings mehrere zehntausend Menschen auf der Brücke, so bewegen sich zwangsläufig sehr viele Leute synchron, sodass ihre Bewegung ausreicht, um die Brücke zur Schwingung anzuregen. Wenn die Brücke dann schwingt, so passen noch mehr Fußgänger ihren Schritt an die Schwingung der Brücke an, um diese auszugleichen. Auf diese Weise wird die Schwingung zusätzlich verstärkt.
Ist die Frequenz der Fußgänger gleich der Eigenfrequenz der Brücke, so ist die Resonanzbedingung erfüllt und es kommt zur Resonanz. Dabei kann es sehr schnell zu sehr großen Auslenkungen kommen, was im Falle einer Brücke fatale Folgen hätte. Diesen Fall bezeichnest Du als Resonanzkatastrophe.
Resonanzkatastrophe
Im Fall einer Schwingung wird die Auslenkung in den meisten Fällen gedämpft. Dies passiert durch Luftreibung oder Reibung anderer Komponenten – etwa des Fadens an der Befestigung beim Fadenpendel. Die Dämpfung kann auch von außen durch einen Motor oder eine spezielle Bauweise beeinflusst werden.
Wie stark das System dabei gedämpft wird, wird durch einen Dämpfungskoeffizienten \(\gamma\) beschrieben. Je höher der Wert ist, desto stärker ist die Dämpfung.
Schau doch in Gedämpfte Schwingungen vorbei, wenn Dich dieses Thema interessiert!
Du kannst Dir das so vorstellen, dass die Dämpfung die Schwingung erschwert, wodurch die Amplitude im Verlauf der Schwingung immer kleiner wird. Je stärker die Dämpfung dabei ist, desto schneller wird die Amplitude kleiner. Bei schwacher Dämpfung kann die Amplitude wiederum sehr groß werden.
Wie sich die Amplitude bei unterschiedlichen Dämpfungskoeffizienten (\(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4\)) verhält, kannst Du folgender Abbildung entnehmen:
Abb. 4 - Resonanzkurven bei unterschiedlichen Dämpfungskoeffizienten
Je kleiner der Dämpfungskoeffizient dabei ist, desto größere Amplituden werden bei Resonanz (\(f=f_0\)) erreicht. Dabei steigt die maximale Amplitude immer stärker an, wenn die Dämpfung geringer wird. Bei sehr schwacher Dämpfung (\(\gamma_1\)) kannst Du beobachten, dass die Amplitude im Vergleich zu anderen Kurven einen viel höheren Wert erreicht.
Bei schwacher Dämpfung kann im Fall der Resonanz die maximale Amplitude schlagartig ansteigen. Dies bezeichnest Du als Resonanzkatastrophe.
Die Resonanzkatastrophe kann insbesondere für Bauwerke – wie Brücken oder Gebäude – wortwörtlich katastrophale Folgen haben: Werden sie nämlich stark ausgelenkt, so kann es zu Brüchen und Zerfall kommen.
Deswegen wurde die Millennium Bridge auch gesperrt.
Beim Pendel sieht es wiederum weniger bedrohlich aus: Im Fall einer Resonanzkatastrophe würde sich ein Fadenpendel etwa „überschlagen“ und statt einmal hin und her zu schwingen, eine volle Umdrehung machen.
Resonanz Beispiele
Auch wenn das Fadenpendel wie ein trockenes System aus dem Physikunterricht erscheint, begegnest Du ihm auch oft in Deinem Alltag. Schaue Dir etwa eine Schaukel an:
Abb. 5 - Schaukel als Pendel
Wenn Du auf einer Schaukel sitzt, dann bist Du die Masse, die am Faden – genauer gesagt an den Befestigungsketten – hängt und schwingt. Somit bildest Du selbst mit der Schaukel das Pendel und alles, was für das Pendel gilt, kann auch auf die Schaukel übertragen werden:
Die Eigenfrequenz wird durch die Kettenlänge bestimmt.
Wirst Du von Außen angeschubst, so handelt es sich um eine erzwungene Schwingung.
Ist die Frequenz, mit der Du angeschubst wirst (Erregerfrequenz) gleich der Eigenfrequenz der Schaukel, so kommt es zur Resonanz. Dabei erreichst Du die höchste Auslenkung.
Kommt es zur Resonanzkatastrophe, so überschlägst Du Dich.
Nun ist das Pendel ein ziemlich offensichtliches Beispiel für ein schwingendes System. Es gibt aber auch Schwingungen, und somit Resonanzen, die auf eine weniger anschauliche Weise entstehen.
Schumann Resonanz
Elektromagentische Schwingungen breiten sich als elektromagnetische Wellen aus. Diese begegnen Dir unter anderem in Form von Licht. Licht kann wiederum durch elektrische Entladungen „entstehen“, wobei elektrische Energie in Form einer elektromagnetischen Welle frei wird. Dies passiert nicht nur in Deiner Tischlampe, sondern auch in der Natur.
Im Falle eines Gewitters bildet die Erde gemeinsam mit der Ionosphäre einen Kugelkondensator: Die Gewitterwolke lädt sich zunehmend auf und es bildet sich ein elektrisches Feld zwischen Wolke und Erdoberfläche aus. Bei ausreichend hoher Feldstärke kommt es zur Entladung in Form eines Blitzes.
Übrigens siehst Du den Blitz, bevor Du den Donner hörst. Warum das so ist, erfährst Du in der Erklärung zum Schall.
Ein Blitz äußert sich als ein kurzes, helles Leuchten. Damit entsteht eine elektromagnetische Welle, die sich im Raum ausbreitet, bis sie auf die Ionosphäre \(60\,\mathrm{km}\) oberhalb der Erdoberfläche trifft.
An der Ionosphäre wird die Welle zur Erdoberfläche zurückgeworfen. Anschließend wird sie auch von der Erdoberfläche reflektiert und wieder auf die Ionosphäre gelenkt. Auf diese Weise breitet sich die Welle kreisförmig zwischen der Erdoberfläche und Ionosphäre aus. Dabei entsteht eine Stehende Welle.
Was eine stehende Welle genau ist, erfährst Du in der gleichnamigen Erklärung!
Nun ist es so, dass auf der Welt insgesamt um die 50 Blitze pro Sekunde entstehen. Damit werden jede Sekunde etwa 50 elektromagnetische Wellen ausgesendet, die sich alle kreisförmig um die Erde herum ausbreiten. Je nach Frequenz der elektromagnetischen Schwingung können sie sich zu einer einzigen Gesamtwelle überlagern. Auch diese kann unterschiedliche Frequenzen aufweisen:
Abb. 6 - Schumann Resonanz
Die Kugel in der Mitte stellt die Weltkugel dar.
Dieses Phänomen bezeichnest Du als Schumann-Resonanz.
Als Schumann-Resonanz bezeichnest Du die Überlagerung zwischen Erdoberfläche und Ionosphäre stehender elektromagnetischer Wellen zu einer stehenden Gesamtwelle.
Die Grundfrequenz der Schumann-Resonanz liegt bei etwa \(f_0=7{,}8\,\mathrm{Hz}\).
Die Schumann-Resonanz wurde erstmals 1952 von Winfried Otto Schumann vorhergesagt und in den 60-er Jahren gemessen. Seitdem wird sie unter anderem zur Analyse des Wetters und der Atmosphärenbestandteile eingesetzt.
Während Du die elektromagnetische Strahlung eines Blitzes als Licht sehen kannst, ist die Schumann-Resonanz mit bloßem Auge nicht sichtbar. Dies ist jedoch nicht das einzige Beispiel für unsichtbare Schwingung.
Resonanz Bedeutung für die Diagnostik und Analytik
In der Medizin dient die Magnetresonanztomographie – kurz: MRT – als ein wichtiges Diagnostikverfahren zur hochauflösenden Darstellung vom Gewebe. Dabei wird der Patient in einem röhrenförmigen Gerät einem starken Magnetfeld ausgesetzt. Dieses dient dazu, die Kernspins der Wasserstoffatome (im Gewebe) im Magnetfeld auszurichten.
Die Kernspins kannst Du Dir wie kleine Magnetnadeln vorstellen, die sich im äußeren Magnetfeld parallel zu diesem ausrichten. Eine ausführliche Erklärung zum Spin findest Du bei Spinquantenzahlen.
Die betrachteten Spins richten sich entweder parallel oder antiparallel zum angelegten Magnetfeld aus. Wird ihnen Energie – etwa in Form von elektromagnetischer Strahlung hinzugefügt, so können sie auch von der einen in die andere Orientierung wechseln. Dies bezeichnest Du als Kernspinresonanz.
Um den Wasserstoffanteil zu bestimmen, wird das Gewebe mit elektromagnetischer Strahlung bestrahlt. Diese wird (teilweise) absorbiert, um die Kernspins zu „wenden“. Anschließend wird sie wieder abgegeben und das abgegebene Signal kann dann gemessen werden.
Auf demselben Prinzip beruht auch die Kernspinresonanzspektroskopie (abgekürzt durch NMR). Allerdings wird in diesem Fall kein Gewebe, sondern chemische Verbindungen untersucht. Daraus werden Schlüsse über die Struktur und chemische Reaktionsmechanismen geschlossen.
Des Weiteren triffst Du in den elektrischen Schwingkreisen ebenfalls auf Resonanzen. Mehr dazu findest Du in den Erklärungen „Gedämpfter Schwingkreis“ und „Ungedämpfter Schwingkreis“.
Elektromagnetische Wellen sind allerdings nicht die einzige Art Wellen, die zur Resonanz fähig sind. Im Alltag triffst Du darauf viel häufiger beim Schall.
Resonanz in der Akustik
Trifft eine Schallwelle auf eine Wand, so wird sie zum Teil reflektiert. In einem geschlossenen Raum kann es dabei zu mehrfacher Reflexion an den Wänden kommen. Je nach Frequenz können die reflektierten Wellen sich dann so verstärken, dass Resonanz auftritt. Dies hörst Du als Widerhall.
Wie die Ausbreitung und Reflexion von Schallwellen im Raum aussieht, kannst Du in der Erklärung zum Schall nachlesen.
Insbesondere in der Musik hat Resonanz eine wichtige Bedeutung. Hier wird sie etwa in Musikinstrumenten ausgenutzt, um Töne zu verstärken. Musikinstrumente bestehen nämlich aus einem Resonanzkörper, dessen Aufbau die Eigenfrequenz der Töne bestimmt.
Bei Saiten- oder Blasinstrumenten ist der Resonanzkörper deutlich erkennbar. Manche Instrumente, wie die Stimmgabel, bilden wiederum selbst den Resonanzkörper.
Wird ein Ton erzeugt (z. B. durch Saitenschwingung oder Luftstrom in einem Blasinstrument), so wird die Luft im Resonanzkörper zu Schwingungen angeregt. Durch Resonanz des Tons mit diesen Schwingungen wird die Lautstärke verstärkt. Deswegen klingt der Ton einer Akustikgitarre (großer Resonanzkörper) auch lauter als der Ton einer Elektrogitarre ohne Verstärker (kein Resonanzkörper).
Resonanz – Das Wichtigste
- Die periodische Änderung einer physikalischen Größe bezeichnest Du als Schwingung.
- Wie oft ein System innerhalb einer Zeit schwingt, wird durch die Frequenz \(f\) in der Einheit Hertz (\(\mathrm{Hz}\)) angegeben: $$[f]=1\,\mathrm{\frac{1}{s}}=1\, \mathrm{Hz}$$
- Wird ein System einmalig zur Schwingung angeregt, so führt es Eigenschwingungen aus. Die entsprechende Frequenz heißt Eigenfrequenz. Die Eigenfrequenz hängt von den Eigenschaften des Systems ab.
- Wird eine Schwingung von außen angeregt, so sprichst Du von erzwungener Schwingung. Das anregende System heißt Erreger – dieser schwingt mit der Erregerfrequenz.
- Die erzwungene Schwingung wird mit der Erregerfrequenz angeregt. Ist die Erregerfrequenz gleich der Eigenfrequenz, so kommt es zur Resonanz.
- Bei Resonanz erreicht die Schwingung ihre maximale Amplitude.
- Die Frequenz, bei der Resonanz auftritt, heißt Resonanzfrequenz.
Ist die Schwingung schwach gedämpft, dann kann die maximale Amplitude schlagartig ansteigen (Resonanzkatastrophe).
Resonanz kann bei jedem schwingungsfähigen System – etwa einem Pendel oder der Schaukel auf dem Spielplatz – auftreten. Außerdem kann sie durch Überlagerung von elektromagnetischen Wellen zwischen Erdoberfläche und Ionosphäre entstehen (Schumann-Resonanz).
In der Medizin wird Resonanz von Atomen zur Diagnostik verwendet, während sich die Analytik demselben Prinzip zur Untersuchung von chemischen Verbindungen bedient. Musikinstrumente verstärken die Lautstärke von Tönen ebenfalls durch Resonanz.
Nachweise
- ingenieurkurse.de: Schwingungsgleichung: Fadenpendel. (07.11.2022)
- sciencedaily.com: Explaining Why The Millennium Bridge Wobbled. (08.11.2022)
- chemgapedia.de: Erzwungene Schwingungen. (08.11.2022)
- weltderphysik.de: Wie entstehen Gewitterblitze? (09.11.2022)
- nasa.gov: Schumann Resonance. (09.11.2022)
- stiftung-gesundheitswissen.de: Was ist eine Magnetresonanztomographie (MRT)? (09.11.2022)
- musiklexikon.inf: Resonanz. (10.11.2022)
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Resonanz
Wie hoch ist die Schumann Frequenz heute?
Die Grundfrequenz der Schumann-Resonanz liegt bei etwa \(7{,8}\,\mathrm{Hz}.
Was ist die Bedeutung von Resonanz?
Resonanz wird in der Magnetresonanztherapie (MRT) als medizinisches Diagnostikverfahren und in der Kernspinresonanzspektroskopie (NMR) zur Untersuchung von chemischen Verbindungen genutzt. Auch in der Akustik wird Resonanz ausgenutzt, um die Lautstärke von Musikinstrumenten durch Resonanzkörper zu verstärken. Außerdem umgibt uns die Resonanz elektromagnetischer Wellen (Schumann-Resonanz) zwischen Erdoberfläche und Ionosphäre.
Wie wirkt sich Resonanz aus?
Durch Resonanz wird die Amplitude einer Schwingung maximal. Handelt es sich dabei um eine ungedämpfte Schwingung, so kann die Amplitude sehr schnell sehr groß werden und es kommt zur Resonanzkatastrophe.
Was passiert bei Resonanz?
Resonanz findet statt, wenn bei einer erzwungenen Schwingung die Erregerfrequenz der Eigenfrequenz entspricht. Dabei wird die Schwingungsamplitude maximal.
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