Schiefe Ebene

Wichtige Größen an der schiefen Ebene

Ob du einen Ball einen Hügel herunterrollst oder den Versuch zur schiefen Ebene im Physikunterricht durchführst. Gewisse Grundgrößen werden dir dabei immer begegnen. Fangen wir mit den Kräften an.

Schiefe Ebene – Kräfte

Stell dir vor: Ein Ball rollt einen Hang herunter.

Dabei bemerkst du, dass der Ball beim Rollen beschleunigt wird. Diese Beschleunigung ist aber auch deutlich geringer, als wenn sich der Ball im freien Fall befinden würde. Das heißt, dass die Gewichtskraft $F_G$, welche den Ball in beiden Fällen beschleunigt, an der schiefen Ebene je nach Winkel $\alpha$ nur teilweise zur Beschleunigung beiträgt. Den anderen Teil der Gewichtskraft nennen wir $F_{G,s}$. Das s steht dabei für den senkrechten Winkel zur schiefen Ebene.

Um den Teil der Gewichtskraft, der den Ball beschleunigt, handelt es sich im Folgenden.

Der beschleunigende Anteil der Gewichtskraft heißt Hangabtriebskraft. Bevor wir diese ermitteln, schauen wir uns zunächst die grafische Darstellung der Kräfte an.

Wichtig ist dabei, wie die Kräfte wirken. Die Gewichtskraft ${\overrightarrow{F}}_G$ wirkt vom Körper senkrecht nach unten zum Erdmittelpunkt. Der senkrechte Anteil ${\overrightarrow{F}}_{G,s}$ wirkt auch senkrecht, aber Vorsicht: senkrecht zur schiefen Ebene. Die Hangabtriebskraft ${\overrightarrow{F}}_H$ ist der Anteil der Gewichtskraft, welcher parallel zu schiefen Ebene wirkt.

Verschiebst du diese drei Kräfte ein wenig, bilden diese ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel zwischen ${\overrightarrow{F}}_H$ und ${\overrightarrow{F}}_{G,s}$. Der Winkel $\alpha$ zwischen Hangabtriebs- und Gewichtskraft ist dabei gleich dem Winkel $\alpha$ der schiefen Ebene zur Erdoberfläche.

Diese Anordnung der Kräfte wird auch Kräfteparallelogramm genannt. In diesem Fall ist es sogar ein Rechteck. Damit kannst du die Hangabtriebskraft ermitteln.

Schiefe Ebene – Hangabtriebskraft ermitteln

Die Hangabtriebskraft kannst du über grafische Addition (in diesem Falle Subtraktion) der Kraftvektoren ${\overrightarrow{F}}_G$ und ${\overrightarrow{F}}_{G,s}$ ermitteln. Das würde hier aber den Rahmen sprengen. Außerdem sind die Größen oftmals nicht als Vektoren, sondern als Beträge gegeben. Somit kannst du die Kräfte und Winkel im rechtwinkligen Dreieck berechnen.

Der Einfachheit halber werden ab hier die Vektorpfeile und Betragszeichen weggelassen und wir gehen immer vom Betrag der Kräfte aus, solange das nicht anders erwähnt wird.

Die Hangabtriebskraft kannst du also mithilfe der Gewichtskraft und des Winkels der schiefen Ebene wie folgt definieren:

Die Hangabtriebskraft ist also die beschleunigende Kraft. Wie groß ist die Beschleunigung?

Die Beschleunigung an der schiefen Ebene

Denke an die Newtonschen Grundgesetze der Mechanik und die folgende Formel zurück:

$F=m·a$

Also Kraft $F$ ist Masse $m$ mal Beschleunigung $a$.

An der schiefen Ebene kennst du die beschleunigende Kraft (Hangabtriebskraft) und die Masse des Körpers schon. Die Größen kannst du also in die Formel einsetzen:

$F_H=m·g·\sin \left(\alpha \right)=m·a$

Die Masse wird auf beiden Seiten gekürzt:

$g·\sin \left(\alpha \right)=a$

Wechselst du die Seiten dieser Formel, kannst du die Beschleunigung $a$ an der schiefen Ebene wie folgt definieren:

Jetzt kennst du die Hangabtriebskraft und die durch den Winkel der schiefen Ebene bestimmte Beschleunigung eines Körpers an der schiefen Ebene. Daraus kannst du auch die Bewegung mathematisch schließen.

Schiefe Ebene – Bewegungsgleichung

Denkst du an den Ball zurück, der den Hang herunterrollt, ist die folgende Frage von Relevanz:

Was ist mit der Reibung? Diese wird an der schiefen Ebene meist nicht berücksichtigt. Mit dieser Annahme kannst du die Bewegung eines Körpers an der schiefen Ebene als eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung verstehen.

Das bedeutet, du kannst die Bewegungsgesetze an der schiefen Ebene mithilfe der Beschleunigung wie folgt definieren:

Für das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz an der schiefen Ebene nimmst du auch die von der gleichmäßig beschleunigten Bewegung bekannte Formel und setzt die Beschleunigung an der schiefen Ebene ein:

Jetzt kennst du die wichtigsten Größen an der schiefen Ebene. Damit kannst du den Versuch durchführen, die Erdbeschleunigung (Ortsfaktor) im Experiment zu ermitteln!

Versuch: Bestimmen des Ortsfaktors an der schiefen Ebene

Wie im Physikunterricht werden wir hier gemeinsam ein Versuchsprotokoll erstellen. Das Protokoll unterteilen wir in Aufgabenstellung, Aufbau und verwendete Formeln, Durchführung und Messungen, Beobachtung und Auswertung inklusive möglicher Fehlerquellen.

Aufgabenstellung

Bestimme mithilfe einer schiefen Ebene den Ortsfaktor (Erdbeschleunigung) an der Erdoberfläche.

Gehe dabei wie folgt vor: Baue drei verschiedene schiefe Ebenen bekannter Höhe und Länge. Lass eine Murmel die schiefen Ebenen herunterrollen.

Miss dabei mindestens dreimal pro schiefe Ebene, wie lang die Murmel benötigt, bis diese unten ankommt. Bilde für jede schiefe Ebene die Durchschnittszeit. Berechne daraus deinen experimentell bestimmten Wert für den Ortsfaktor (Erdbeschleunigung).

Aufbau und Formeln

Du nimmst den Deckel einer großen Pappverpackung mit einer Länge von $s=1,5m$ und lehnst diesen an verschiedene Gegenstände im Haushalt der Höhen $h_1=0,5m,h_2=0,75m,h_3=1m$ an. Die Pappe ist dabei die schiefe Ebene und bildet mit dem Boden einen Winkel $\alpha$.

Dadurch hast du drei verschiedene Situationen mit schiefen Ebenen, an denen du deinen Versuch durchführen kannst.

Das Ziel des Versuchs ist es, den Ortsfaktor $g$ zu bestimmen. Die bekannten Größen sind jeweils die Höhe $h$und die Länge $s$ der schiefen Ebene. Aus diesen beiden Werten kannst du den Winkel bestimmen. (Trigonometrie: Am rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels gleich Gegenkathete durch Hypotenuse.)

$\sin \left(\alpha \right)=\frac{h}{s}$

Du legst jetzt eine Murmel an das obere Ende der schiefen Ebene (wichtig: nur auflegen, nicht anschieben). Diese lässt du los, woraufhin die Murmel die Ebene herunterrollt. Dabei startest du beim Loslassen eine Stoppuhr. Du misst die Zeit $t$, bis die Murmel am unteren Ende der schiefen Ebene ankommt.

Du hast jetzt also $\sin \left(\alpha \right)=\frac{h}{s}$, die jeweilige Zeit $t$, und den zurückgelegten Weg $s$ der Murmel. Schaust du dir das Weg-Zeit-Gesetz an der schiefen Ebene an, hast du dort also alle Werte außer $g$ gegeben bzw. gemessen:

$s=\frac{1}{2}·g·\sin \left(\alpha \right)·t^2$

Diese Formel stellst du jetzt auf $g$ um:

$$\begin{gathered} s=\frac{1}{2}·g·\sin \left(\alpha \right)·t^2|·2 \\ 2·s=g·\sin \left(\alpha \right)·t^2|÷\sin \left(\alpha \right) \\ 2·\frac{s}{\sin \left(\alpha \right)}=g·t^2|÷t^2 \\ 2·\frac{s}{\sin \left(\alpha \right)·t^2}=g|\iff Seitentauschen \\ g=2·\frac{s}{\sin \left(\alpha \right)·t^2} \end{gathered}$$

Hier kannst du nun $\sin \left(\alpha \right)=\frac{h}{s}$ einsetzen und bekommst:

$g=2·\frac{s}{\frac{h}{s}·t^2}=2·\frac{s^2}{h·t^2}$

Jetzt hast du alle Vorbereitungen getroffen und kannst den Versuch nun durchführen.

Durchführung und Messung

Den im vorangegangenen Abschnitt beschriebenen Versuchsablauf kannst du für alle drei Situationen jeweils dreimal durchführen. Trage deine Messwerte dann in eine Tabelle ein. Bestimme dabei auch die durchschnittliche Zeit $t$ für jede Situation. (Achtung: s ist hier die Einheit Sekunde, nicht die Strecke s.)

Jetzt nimmst du dir die Formel für $g$, welche du oben hergeleitet hast:

$g=2·\frac{s^2}{h·t^2}$

Setzt du nun die Werte für $s$ und $h$ sowie die durchschnittlichen Messwerte $t$ ein, kannst du für die verschiedenen Situationen den Ortsfaktor $g$ ermitteln.

Aus diesen drei Ortsfaktoren kannst du jetzt den Durchschnitt bilden und damit erhältst du deinen experimentell bestimmten Wert für die Erdbeschleunigung $g_{exp}$:

$$\begin{gathered} g_{exp}=\frac{g_1+g_2+g_3}{3} \\ {g}_{exp}=\frac{9,37\frac{m}{s^2}+9,38\frac{m}{s^2}+8,93\frac{m}{s^2}}{3} \\ {g}_{exp}=9,23\frac{m}{s^2} \end{gathered}$$

Beim Aufnehmen der Messwerte und Beobachten der Murmel solltest du einige Dinge beachten.

Versuchsbeobachtung

Bei der Durchführung wirst du beobachten, dass die Zeit, die die Murmel benötigt, bis sie unten ankommt, mit der Höhe und somit dem Winkel der schiefen Ebene sinkt. Außerdem kannst du beobachten, dass die jeweiligen Messwerte teilweise deutlich auseinanderliegen. Das Rollen der Murmel ist auch nicht zu 100 % gleichmäßig. Die Murmel springt manchmal eine sehr kleine Strecke, anstatt zu rollen. Das kannst du bei der Auswertung mit einbeziehen.

Versuchsauswertung und Fehlerquellen

Zunächst vergleichst du deinen experimentell bestimmten Wert $g_{exp}=9,23\frac{m}{s^2}$ mit dem reellen Wert des Ortsfaktors $g=9,81\frac{m}{s^2}$.

$$\begin{gathered} \frac{g_{exp}}{g}=\frac{9,23\frac{m}{s^2}}{9,81\frac{m}{s^2}} \\ \frac{g_{exp}}{g}=0,94=94\% \end{gathered}$$

Dein experimentell bestimmter Wert ist 94% des reellen Wertes. Er ist also um 6% kleiner. Dieser Wert ist, verglichen mit der Qualität des Versuchs, sehr gut.

Mögliche Abweichungen könnten durch ungenaue Messungen entstanden sein. Du hast sehr kurze Zeiten erfasst, wodurch Ungenauigkeiten durch deine Reaktionszeit einen großen Einfluss auf die Messungen haben. Dadurch hast du tendenziell längere Zeiten gemessen.

Hinzu kommt, dass die Murmel durch Reibung und kleine Unebenheiten in der Oberfläche der Pappe gebremst wird. Dadurch ist die gemessene Zeit etwas größer, als wenn perfekte Bedingungen herrschten.

Außerdem sind die Höhen der Gegenstände, an welche du die schiefe Ebene legst, mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht exakt die benutzten Höhen.

Da die schiefe Ebene aus Pappe ist, hängt diese vermutlich auch ein wenig durch, wodurch die Beschleunigung der Murmel nicht an allen Stellen gleich ist.

Die schiefe Ebene hat aber nicht nur den Nutzen, die Erdbeschleunigung zu bestimmen.

Schiefe Ebene – Anwendung

Das Beispiel mit der Treppe in der Einleitung ist zwar keine physikalisch exakte schiefe Ebene (Treppenstufen anstatt Ebene), jedoch ist die Wirkungsweise die gleiche. Die zurückgelegte Strecke wird bei gleicher überwundener Höhe erhöht, wodurch der Kraftaufwand geringer wird.

Dieser Zusammenhang von Kraft und Weg ist die goldene Regel der Mechanik und wurde 1594 von Galileo Galilei geprägt:

Macht ein Mechanismus Gebrauch von dieser Regel, wird dieser meist Kraftwandler genannt.

Die schiefe Ebene ist also ein Kraftwandler, was bedeutet das?

Die schiefe Ebene als Kraftwandler

Denke an den Transport von Autos.

Veränderst du den Winkel $\alpha$ der schiefen Ebene und möchtest trotzdem auf die gleiche Höhe $h$ kommen, veränderst du dadurch die Gesamtstrecke $s$, welche du zurücklegen musst. Ein geringerer Winkel $\alpha$bedeutet, dass du eine geringere Hangabtriebskraft $F_H$ überwinden musst, um auf der Ebene nach oben zu kommen.

Welche Auswirkungen das genau hat, kannst du auch berechnen!

Schiefe Ebene berechnen

Wenn du wissen möchtest, wie groß die Änderung der benötigten Kraft durch eine Rampe beim Beladen des Transporters ist, schaue dir die folgende Aufgabe an!