Schwebung

Interferenz

Wenn zwei Wellen aufeinandertreffen, können sie sich nach dem Superpositionsprinzip zu einer Gesamtwelle überlagern. Dabei addieren sich ihre Amplituden und je nach Lage zueinander kann es zur konstruktiven oder destruktiven Interferenz kommen.

Konstruktive Interferenz tritt dabei auf, wenn Wellenberg (bzw. Wellental) der ersten Welle auf Wellenberg (bzw. Wellental) der zweiten Welle treffen. Dies geschieht immer dann, wenn die Wellen um ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge zueinander verschoben sind. In diesem Fall ist die Amplitude der Gesamtwelle maximal:

Abb. 1 - Konstruktive und destruktive Interferenz

Destruktive Interferenz tritt wiederum auf, wenn Wellenberg auf Wellental trifft. Dies ist der Fall, wenn die beiden Wellen um die halbe Wellenlänge zueinander verschoben sind. Bei gleich großen Amplituden der Teilwellen löschen sich diese vollständig aus.

Sind die Amplituden unterschiedlich groß, so kommt es ebenfalls zu destruktiver oder konstruktiver Interferenz. Allerdings löschen sie sich im Fall der destruktiven Interferenz dann nicht vollständig aus, die Amplitude der Gesamtwelle wird lediglich kleiner.

Überlagerst Du wiederum Wellen unterschiedlicher Wellenlänge (bzw. Frequenz), so kann es zur Schwebung kommen.

Schwebung Physik

Schau Dir die Überlagerung zweier Wellen an, deren Amplituden gleich sind, die Wellenlängen sich jedoch geringfügig voneinander unterscheiden:

Abb. 2 - Interferenz zweier Wellen unterschiedlicher Wellenlängen

Dabei ist die Wellenlänge der ersten Welle etwas kürzer als die der zweiten Welle. Wenn diese Wellen miteinander interferieren, so kommt es abwechselnd zur konstruktiven und destruktiven Interferenz:

1. Wellenberg trifft auf Wellenberg: Es kommt zur konstruktiven Interferenz, wobei sich die Amplituden der Teilwellen zur maximalen Amplitude der Gesamtwelle addieren.

2. Wellental trifft auf Wellenberg: Es kommt zur destruktiven Interferenz und die Teilwellen löschen sich an dieser Stelle aus. Die Amplitude der Gesamtwelle ist somit Null.

3. Wellenberg trifft erneut auf Wellenberg und es kommt wieder zur konstruktiven Interferenz. Die Amplitude der Gesamtwelle erreicht dabei ihr Maximum.

Zwischen dem 1. und dem 2. Punkt nimmt die Amplitude der Gesamtwelle stetig ab. Bevor es allerdings erneut zum Maximum bei Punkt 3 kommt, nimmt die Amplitude wieder zu. Das Zu- und Abnehmen der Amplitude erfolgt dabei periodisch.

Schwebung Definition

Durch Interferenz zweier Wellen mit unterschiedlichen Wellenlängen, die allerdings nahe beieinander liegen, kommt es abwechselnd zur konstruktiven und destruktiven Interferenz. Dadurch ändert sich die Amplitude der resultierenden Welle periodisch. Dies bezeichnest Du als Schwebung.

Bei der Schwebung ändert sich die Amplitude der Welle mit der Zeit – sie schwingt also.

Schwebung Schwingung

Die Schwingung der Amplitude kannst Du Dir am besten im Vergleich mit einer Welle vorstellen, deren Amplitude konstant ist:

Abb. 3 - Vergleich zwischen Welle konstanter Amplitude und schwingender Amplitude

Im Gegensatz zur Welle mit einer konstanten Amplitude wird die Amplitude der Welle bei einer Schwebung mit der Zeit immer kleiner und dann größer.

Schwebung Welle

Die Schwingung der Amplituden breitet sich im Raum als Welle aus:

Abb. 4 - Schwebung

Die Frequenz $f$, mit der die Amplitude schwingt, ist über die Geschwindigkeit $v$ der Welle mit ihrer Wellenlänge $\lambda$ verbunden:

$$\lambda =\frac{v}{f}$$

Daraus berechnest Du die Frequenz der Schwebung. Sowohl diese als auch die Schwebung selbst kannst Du durch Formeln ausdrücken.

Schwebung – mathematische Beschreibung

Die Schwebung entsteht als Überlagerung zweier Wellen. Da diese periodisch sind, kannst Du sie durch eine Sinus- oder Cosinusfunktion beschreiben. Mit der jeweiligen Frequenz $f_1$ bzw. $f_2$ lässt sich der zeitliche Verlauf der ersten oder der zweiten Welle durch $x_1(t)$ bzw. $x_2(t)$ beschreiben. Dabei gehst Du davon aus, dass beide Wellen dieselbe Amplitude $x_0$ haben:

$$\begin{array}{rl}{x}_1(t)& =x_0\cdot \cos (2\cdot \pi \cdot f_1\cdot t)\\ \\ x_2(t)& =x_0\cdot \cos (2\cdot \pi \cdot f_2\cdot t)\end{array}$$

Mithilfe dieser Gleichungen kannst Du nun auch Schwebung beschreiben.

Schwebung Formel

Da die beiden Wellen sich nach dem Superpositionsprinzip addieren, kannst Du die Formel der Schwebung $x(t)$ durch Addition von $x_1$ und $x_2$ aufstellen:

$$\begin{array}{rl}x(t)& =x_1(t)+x_2(t)\\ \\ & =x_0\cdot \cos (2\cdot \pi \cdot f_1\cdot t)+x_0\cdot \cos (2\cdot \pi \cdot f_2\cdot t)\\ \\ & =x_0\cdot (\cos (2\cdot \pi \cdot f_1\cdot t)+\cos (2\cdot \pi \cdot f_2\cdot t))\end{array}$$

An dieser Stelle kannst Du die Formel durch folgende Umformung vom Cosinus weiter umformen:

$$\cos (a)+\cos (b)=2\cdot \cos (\frac{a-b}{2})\cdot \cos (\frac{a+b}{2})$$

Mit $a=2\cdot \pi \cdot f_1\cdot t$ und $b=2\cdot \pi \cdot f_2\cdot t$ erhältst Du daraus die Formel für die Schwebung:

$$\begin{array}{rl}x(t)& =2\cdot x_0\cdot \cos (\frac{2\cdot \pi \cdot f_1\cdot t-2\cdot \pi \cdot f_2\cdot t}{2})\cdot \cos (\frac{2\cdot \pi \cdot f_1\cdot t+2\cdot \pi \cdot f_2\cdot t}{2})\\ \\ & =2\cdot x_0\cdot \underset{\text{Schwebung (Einhüllende)}}{\underbrace{\cos (2\cdot \pi \cdot \frac{f_1-f_2}{2}\cdot t)}}\cdot \underset{\text{Welle}}{\underbrace{\cos (2\cdot \pi \cdot \frac{f_1+f_2}{2}\cdot t)}}\end{array}$$

Dabei beschreibt der erste Cosinus-Term die Schwebung und der zweite Term beschreibt die resultierende Welle an sich. Vergleichst Du diese Terme mit den Formeln für $x_1(t)$ bzw. $x_2(t)$, so kannst Du die Ausdrücke

$$\frac{f_1-f_2}{2}\text{und}\frac{f_1+f_2}{2}$$

mit den jeweiligen Frequenzen assoziieren.

Schwebung Frequenz

Hier unterscheidest Du zwischen der Frequenz, mit der die – aus der Überlagerung resultierende – Welle schwingt und der Schwebungsfrequenz, die sich aus der einhüllenden Welle ergibt.

Abb. 5 - Bestimmung der Schwebungsfrequenz

Dabei kannst Du die Schwingungsfrequenz der Welle $f$ als Mittelwert der beiden Teilfrequenzen $f_1$ und $f_2$ an der Formel für die Schwebung ablesen:

$$f=\frac{f_1+f_2}{2}$$

Die Schwebungsfrequenz $f_S$ folgt wiederum aus der Frequenz $f^{\prime }$ der einhüllenden Welle, die Du an der Formel der Schwebung als

$$f^{\prime }=\frac{f_1-f_2}{2}$$

ablesen kannst. Die Schwebung an sich hat die doppelte Frequenz, da sie bei halber Frequenz bereits zwei Maxima durchläuft. Deswegen entspricht die Schwebungsfrequenz $f_S$ der doppelten Frequenz $f^{\prime }$, sodass der Faktor $\frac{1}{2}$ aus der Formel entfällt. Da es nicht wichtig ist, ob die erste oder die zweite Welle eine höhere Frequenz hat, wird dabei stets der Betrag ihrer Differenz genommen.

Je kleiner die Differenz der beiden Teilfrequenzen ist, desto kleiner ist auch die Schwebungsfrequenz.

Nach so viel Theorie bleibt nur noch eine Sache zu klären: Wie wird die Schwebung erzeugt und wo kannst Du ihr im Alltag begegnen?

Schwebung Anwendung

Schwebung kann bei jeder Art von Wellen auftreten. Allerdings findet sie bei Schallwellen in der Akustik die häufigste Anwendung. Dort werden etwa Instrumente mit ihrer Hilfe gestimmt.

Schwebung in der Akustik

Töne, Klänge und Geräusche werden durch Schallwellen verursacht. Schall im Frequenzbereich zwischen $20\mathrm{Hz}$ und $20000\mathrm{Hz}$ kannst Du dabei hören. Die genaue Frequenz einer Schallwelle gibt sogar die Tonhöhe an: Hohe Frequenzen ergeben einen hohen Ton. Niedrige Frequenzen führen wiederum zu einem tiefen Ton.

Aus der Amplitude der Schallwelle kannst Du wiederum auf die Lautstärke schließen. Hat die Schallwelle etwa eine konstante Amplitude, so hört sie sich zu jedem Zeitpunkt gleich laut an. Die Schwebung hingegen macht sich als ein Ton bemerkbar, dessen Lautstärke periodisch lauter und leiser wird.

Je kleiner nun die Schwebungsfrequenz ist, desto schneller schwingt die Lautstärke der Schwebung. Unterhalb der Hörgrenze bei $f_S=20\mathrm{Hz}$ kannst Du gar nicht mehr hören, dass die Lautstärke periodisch zwischen laut und leise schwingt. In diesem Fall hört sich der Ton an, als hätte er eine konstante Lautstärke. Dies wird etwa beim Stimmen von Instrumenten ausgenutzt.

Außerhalb der Akustik kann sich Schwebung auch in der Kommunikationstechnik als äußerst nützlich erweisen.

Schwebungssummer

Hast Du schon mal etwas vom Morsen gehört?

Bevor es das Internet oder gar das Telefon gab, wurde Morsen als ein wichtiges Mittel zur Kommunikation verwendet. Dabei wurde die Nachricht im Morsecode – einer Abfolge von Strichen, Punkten und Pausen – als kurzwelliger Schall an einen Empfänger übertragen und von diesem ausgelesen. Mit modernen Kommunikationsmethoden rückte das Morsen immer weiter in den Hintergrund und wird heutzutage nur noch von Enthusiasten betrieben.

Allerdings liegen Morse-Signale nicht im hörbaren Frequenzbereich. Um sie dennoch hörbar zu machen, benötigst Du einen sogenannten Schwebungssummer. Am Schwebungssummer kannst Du nämlich eine Schallwelle erzeugen, die sich mit dem Morse-Signal überlagert. Dabei wählst Du die Frequenz möglichst so, dass sie nahe der Frequenz des Morse-Signals liegt.

Dabei kommt es zwar zwangsläufig zur Schwebung, doch das ist nur ein Nebeneffekt. Die praktischere Konsequenz ist nämlich die Frequenzverschiebung.

Der Schwebungssummer hilft Dir also, nicht hörbare Frequenzen in den hörbaren Bereich zu verschieben. In modernen Geräten wird das modulierte Signal anschließend gefiltert und verstärkt, bevor Du die Nachricht entziffern kannst!