Senkrechter Wurf

Senkrechter Wurf – Physik

Tennisspielerinnen und die Tennisspieler holen aus, schwingen den Arm mitsamt dem Tennisball nach oben und lassen den Ball vertikal mit einer gewissen Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ in einer Höhe $y_0$ oder $h_0$ los. Zunächst gewinnt der Tennisball noch weiter an Höhe. Doch ab einem gewissen Punkt fliegt dieser nicht mehr weiter nach oben, sondern sinkt wieder, bis er schließlich auf dem Boden landet. Dies beschreibt die Wurfbewegung eines senkrechten Wurfs nach oben mit Anfangshöhe. Es gibt aber auch noch weitere Arten des senkrechten Wurfs.

Senkrechter Wurf – Einteilung Bewegung

Der Tennisball kann beim Aufschlag vertikal nach oben geworfen, damit wird ein senkrechter Wurf ausgeführt. Einige Spielerinnen und Spieler bereiten sich auf den Aufschlag vor, indem sie den Ball vor sich her dribbeln. Auch das wäre ein senkrechter Wurf, jedoch nach unten. Folgende Einteilung kann bei einem senkrechten Wurf vorgenommen werden:

Abbildung 2 zeigt links, wie sich die senkrechten Würfe nach oben lediglich darin unterscheiden, dass der Wurf entweder in einer gewissen Höhe $y_0$ oder bei einer Höhe $y_0=0m$ beginnt. In beiden Fällen fliegt der Ball mit einer nach oben gerichteten Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ (grüne Markierung im Bild) bis zu einer gewissen Höhe $y_{max}$. Von dort an ändert er seine Richtung und fällt zu Boden.

Wird ein Ball oder ein anderes Objekt vertikal mit der nach unten gerichteten Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ nach unten geworfen, handelt es sich um einen senkrechten Wurf nach unten. Die grün eingezeichnete Anfangsgeschwindigkeit im rechten Teil der Abbildung 2 zeigt dies an. Die Anfangshöhe $y_0$ entspricht hier der maximalen Höhe $y_{max}$.

Diese und weitere Erkenntnisse lassen sich zu den Eigenschaften eines senkrechten Wurfs zusammenfassen.

Senkrechter Wurf – Eigenschaften

Je nachdem, ob es sich um einen senkrechten Wurf nach oben oder nach unten handelt, können folgende Merkmale definiert werden:

Die Wurfbewegung des senkrechten Wurfs wird als Überlagerung von zwei Teilbewegungen gesehen. Warum das so ist und wie sich die Wurfbewegung beschreiben und berechnen lässt, erfährst Du im Folgenden.

Senkrechter Wurf – Grundlagenwissen

Der zeitliche Verlauf einer Bewegung und die damit auftretenden Geschwindigkeiten $v$ und Beschleunigungen $a$ sind entscheidend dafür, in welche Kategorie eine Bewegung eingeteilt werden kann. Bewegt sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit $v_0$ fort (er wird also weder schneller noch langsamer), dann führt dieser eine gleichförmige Bewegung aus. Dies zeigt auch der linke Teil von Abbildung 3.

Ist die Geschwindigkeit $v$ eines Körpers im Verlauf einer Bewegung nicht konstant (er wird also schneller oder langsamer), dann fällt die Bewegung in die Kategorie der ungleichförmigen Bewegung. Dabei kann noch zwischen Bewegungen mit konstanter Beschleunigung $a$ (gleichmäßig beschleunigte Bewegung) und ungleichmäßig beschleunigten Bewegungen unterschieden werden, bei denen die Beschleunigung $a$ nicht konstant ist.

Die Wurfbewegung des senkrechten Wurfs ist eine Überlagerung von zwei Teilbewegungen:

• einer gleichförmigen Bewegung in positiver y-Richtung (nach oben oder nach unten)
• und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (freier Fall) in negativer y-Richtung (nach unten)

In der Tabelle findest du eine kurze Wiederholung der wichtigsten Größen und Eigenschaften dieser beiden Bewegungsarten.

Je nach Orientierung des Koordinatensystems müssen beim freien Fall die Formeln angepasst werden. Dies ist auch beim senkrechten Wurf relevant, wie im Folgenden noch aufgezeigt wird.

Senkrechter Wurf – Einfluss der Gewichtskraft

Wird ein Ball oder ein anderer Körper senkrecht nach oben abgeworfen, dann nimmt die Höhe bis zu einem gewissen Punkt zu. Danach kehrt die Flugrichtung des Balls um und er verliert an Höhe, bis er auf dem Boden aufprallt. Grund dafür ist die Erdanziehungskraft bzw. die Gewichtskraft ${\overrightarrow{F}}_G$, die für eine Anziehung zwischen massereichen Objekten und der Erde sorgt. Aufgrund des Newtonschen Grundgesetzes $\left(F_G=m·g\right)$wird demnach jeder Körper mit der sogenannten Fallbeschleunigung $g$ zum Erdmittelpunkt hin beschleunigt.

Diese Erdbeschleunigung $g$ entspricht ungefähr dem Wert einer Beschleunigung von $g=9,81\frac{m}{s^2}$. Da sich dieser Anziehungseffekt nie ausschalten lässt, kann auch ein vertikal nach oben geworfener Ball (wie in Abbildung 4) nie endlos weiter nach oben fliegen und sinkt daher früher oder später wieder zu Boden. Deshalb muss in y-Richtung eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung des freien Falls berücksichtigt werden.

Senkrechter Wurf nach oben – Berechnung und Formeln

In der Einteilung hast du bereits gesehen, dass sich die Startsituation beim senkrechten Wurf nach oben und dem senkrechten Wurf nach unten unterscheidet. Zunächst zum senkrechten Wurf nach oben.

Senkrechter Wurf nach oben – Geschwindigkeiten und Beschleunigung

Um die Geschwindigkeiten beim senkrechten Wurf nach oben besser nachvollziehen zu können, wird das Beispiel eines Tennisaufschlags zur Hand genommen. Da sich bei den zwei senkrechten Würfen nach oben lediglich die Anfangshöhe unterscheidet, wird der Fall mit Anfangshöhe $y_0$ betrachtet und später lediglich die Formel angepasst.

Vor dem Start der Bewegung wird der Ball in der Hand des Spielenden beschleunigt und verlässt die Hand dann mit einer gewissen Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ in y-Richtung nach oben. Die Startgeschwindigkeit der gleichförmigen Bewegung in positiver y-Richtung wird daher als $v_{GB}\left(0\right)$ zum Zeitpunkt $t=0s$ deklariert.

$v_{GB}\left(0\right)=v_0$

Würde lediglich die gleichförmige Bewegung betrachtet werden, so ändert sich diese Geschwindigkeit $v_{GB}\left(t\right)$nicht.

$v_{GB}\left(t\right)=v_0$

Zum Startzeitpunkt $t=0s$ gibt es noch keine weitere Geschwindigkeit. Schon kurz nach dem Start verringert der Ball seine anfängliche Geschwindigkeit. Der Grund dafür ist die Erdbeschleunigung $g$. Diese Geschwindigkeit lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit $t$ und der Fallbeschleunigung $g$ berechnen.

$v_{FF}\left(t\right)=-g·t$

Der senkrechte Wurf kann wie oben bereits beschrieben als Überlagerung der zwei Teilbewegungen gesehen werden. Um also die Geschwindigkeit des Balls oder Körpers zu bestimmen, müssen beide Einzelgeschwindigkeiten zusammengefasst werden. Die nachfolgende Tabelle zeigt die Geschwindigkeiten zu verschiedenen Zeitpunkten und Zeiträumen.

Die Gesamtgeschwindigkeit $v\left(t\right)$ kann also zu jedem Zeitpunkt berechnet werden, indem beide Teilformeln zu einer gesamten Formel zusammengesetzt werden.

Die Geschwindigkeit des Balls bzw. des Körpers lässt sich damit bestimmen. In diesem Zuge ist auch die Beschleunigung $a\left(t\right)$ zu nennen. Da eine Beschleunigung lediglich beim freien Fall existiert, kann die Gesamtbeschleunigung wie folgt zusammengefasst werden:

Zu unterschiedlichen Zeitpunkten und damit Positionen des Balls herrschen unterschiedliche Geschwindigkeiten.

Senkrechter Wurf nach oben – Position

Die Position des Balls lässt sich nur mithilfe eines Bezugssystems bestimmen. Dieses ist das Koordinatensystem, in dem die Lage des Balls ermittelt werden kann. Das folgende Bild zeigt dabei die verschiedenen Positionen beim senkrechten Wurf nach oben mit Anfangshöhe.

Zum Startzeitpunkt $t=0s$ verlässt der Ball gerade die Hand der spielenden Person. Das Koordinatensystem wird meist so ausgerichtet, dass der Ursprung der Achsen genau mit dem Boden übereinstimmt. Zu Beginn der Bewegung ist die Position $y\left(t\right)$ des Balls:

$y\left(0\right)=y_0$

Die Position zum Startzeitpunkt ist demnach schon vorgegeben. Wichtig ist es zu wissen, wo sich der Ball auf der y-Achse zu einem beliebigen Zeitpunkt $t$ befindet. Dazu kann die Gesamtbewegung zunächst einzeln betrachtet werden. Bei einer gleichförmigen Bewegung lässt sich die Position $y\left(t\right)$ durch die Anfangshöhe $y_0$ und die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ ermitteln.

$y_{GB}\left(t\right)=y_0+v_0·t$

Hinzu kommt aber noch die zweite Teilbewegung des freien Falls. Einzeln betrachtet lässt sich die Position $y_{FF}\left(t\right)$ wie folgt berechnen:

$y_{FF}\left(t\right)=-\frac{1}{2}·g·t^2$

Damit die Position $y\left(t\right)$ berechnet werden kann, sind die beiden Teilbewegungen wieder zusammenzusetzen, woraus sich Folgendes ergibt:

Egal, ob sich der Ball aufwärts bewegt oder sich schon in der Abwärtsbewegung befindet, anhand dieser Formel lässt sich zu jedem Zeitpunkt die Position des Körpers bestimmen.

Es kann auch sein, dass ein senkrechter Wurf ohne Anfangshöhe $y_0$ abgeworfen wird, dann gilt $y_0=0m$. Dies wird in der Formel berücksichtigt, indem der Anfangszustand eingesetzt wird. Es gilt:

Die Position des Balls kannst Du mit dieser Formel für jeden Zeitpunkt bestimmen.

Senkrechter Wurf nach oben – Wurfhöhe, Steigzeit, Wurfzeit

Anhand der bisherigen Formeln und Informationen können die maximale Wurfhöhe $y_{max}$, die Steigzeit $t_S$ und die Wurfzeit $t_W$ bestimmt werden.

Die Steigzeit $t_S$ ist die Zeit, die der Ball bis zum Erreichen der maximalen Höhe $y_{max}$ benötigt. Der Ball wechselt genau in diesem Moment seine Richtung. Zu diesem Zeitpunkt sind die Teilgeschwindigkeiten $v_{GB}\left(t\right)$ der gleichförmigen Bewegung und $v_{FF}\left(t\right)$ des freien Falls gleich groß. Demnach ist die Gesamtgeschwindigkeit $v\left(t\right)$ in diesem Punkt gleich null. Wird die Formel für die Berechnung der Gesamtgeschwindigkeit gleich null gesetzt, so ergibt sich die Steigzeit $t_S$:

$$\begin{gathered} v\left(t\right)=v_0-g·t \\ 0=v_0-g·t\overline{)-v_0} \\ -v_0=-g·t\overline{):(-g)} \\ \frac{v_0}{g}=t=t_S \end{gathered}$$

Um die maximale Wurfhöhe $y_{max}$ zu bestimmen, muss lediglich die Steigzeit $t_S$ in die Formel zur Berechnung der y-Position gesetzt werden.

$$\begin{gathered} y\left(t\right)=y_0+v_0·t-\frac{1}{2}·g·t^2 \\ y\left(t_S\right)=y_0+v_0·\left(\frac{v_0}{g}\right)-\frac{1}{2}·g·{\left(\frac{v_0}{g}\right)}^2 \\ y\left(t_S\right)=y_0+\frac{{\left(v_0\right)}^2}{g}-\frac{1}{2}·\frac{{\left(v_0\right)}^2}{g} \\ y\left(t_S\right)=y_{max}=y_0+\frac{{\left(v_0\right)}^2}{2·g} \end{gathered}$$

Wird der Ball aus einer Anfangshöhe $y_0=0m$ abgeworfen, so verkürzt sich dementsprechend die Formel für die Wurfhöhe zu:

Wie lang dauert es nun, bis der Ball wieder auf den Boden aufprallt? Beim senkrechten Wurf ohne Anfangshöhe kann dies berechnet werden, indem die Steigzeit $t_S$ verdoppelt wird. Der Ball braucht nämlich so lange zum Steigen, wie er zum Fallen benötigt.

Beim senkrechten Wurf mit Anfangshöhe lautet die Formel anders. Beim Aufprall auf den Boden erreicht der Ball im Koordinatensystem die Höhe $y\left(t_W\right)=0m$. Wird also die Formel zur Berechnung der Position $y\left(t\right)$ gleich null gesetzt, kann die Wurfzeit $t_W$ des gesamten senkrechten Wurfs nach oben ermittelt werden.

Über die Formeln und Gesetze im Abschnitt zum senkrechten Wurf nach oben lässt sich jede Größe dieser Wurfbewegung beschreiben und berechnen. Die Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze sowie die Beschleunigungs-Zeit-Gesetze und die Ort-Zeit-Gesetze können auch anhand von Bewegungsdiagrammen visualisiert werden.

Senkrechter Wurf nach oben – Bewegungsdiagramme

In den folgenden Bewegungsdiagrammen ist dargestellt, wie sich die Größen beim senkrechten Wurf in Abhängigkeit von der Zeit $t$verhalten. Die Diagramme beim senkrechten Wurf nach oben mit oder ohne Anfangshöhe unterscheiden sich lediglich beim Ort-Zeit-Diagramm. Das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm und das Beschleunigung-Zeit-Diagramm sind schematisch nahezu identisch.

Senkrechter Wurf nach oben mit Anfangshöhe

Abbildung 12: Bewegungsdiagramme senkrechter Wurf nach oben mit Anfangshöhe

Senkrechter Wurf nach oben ohne Anfangshöhe

Abbildung 13: Bewegungsdiagramme senkrechter Wurf nach oben ohne Anfangshöhe

Zu Beginn wurde bereits erwähnt, dass Tennisspielerinnen und Tennisspieler manchmal vor dem Aufschlag dribbeln. Die Bewegung dabei ist eine komplett andere, jedoch handelt es sich auch dabei um einen senkrechten Wurf. Wie können die Größen in diesem Fall bestimmt werden?

Senkrechter Wurf nach unten – Berechnung und Formeln

Für einen senkrechten Wurf nach unten gelten dieselben Überlagerungen wie auch beim senkrechten Wurf nach oben. Hier gibt es allerdings keine Aufwärts- und Abwärtsbewegung, sondern lediglich eine Abwärtsbewegung. Wie verhalten sich die Teilgeschwindigkeiten und Beschleunigungen in diesem Fall?

Senkrechter Wurf nach unten – Geschwindigkeiten und Beschleunigung

Zum besseren Verständnis wird die Wurfbewegung von Tennisspielenden aufgezeigt und alle relevanten Größen in die Skizze mit eingezeichnet. Zu beachten ist hierbei die Wahl des Koordinatensystems. Es gibt die Möglichkeit, den Ursprung des Koordinatensystems an den Boden zu legen und eine y-Achse nach oben zu wählen. Die zweite Möglichkeit wäre die Platzierung des Koordinatenursprungs zum Start der Bewegung in einer gewissen Höhe. Dementsprechend müsste man die y-Achse nach unten legen.

Wie auch beim senkrechten Wurf nach oben wird der Ball zunächst in der Hand der Tennisspielenden beschleunigt und verlässt die Hand dann mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$, die in y-Richtung nach unten gerichtet ist. Dies entspricht wieder der Geschwindigkeit $v_{GB}\left(t\right)$ der gleichförmigen Bewegung, nur mit einem negativen Vorzeichen. Aber auch hier wirkt die Erdbeschleunigung $g$ auf den Körper, weshalb es eine zweite Teilgeschwindigkeit $v_{FF}\left(t\right)$ in dieselbe Richtung gibt. Für die Achsorientierung nach oben gilt also:

$$\begin{gathered} v_{GB}\left(t\right)=-v_0 \\ {v}_{FF}\left(t\right)=-g·t \end{gathered}$$

Die Einzelgeschwindigkeiten müssen zur vollständigen Beschreibung des senkrechten Wurfs nach unten wieder zusammengefasst werden. In der Tabelle sind die Geschwindigkeiten zu verschiedenen Zeitpunkten und Zeiträumen zu sehen.

Die beiden Teilgeschwindigkeiten $v_{GB}\left(t\right)$ und $v_{FF}\left(t\right)$ werden beim senkrechten Wurf nach unten genauso überlagert wie auch beim senkrechten Wurf nach oben. Je nach Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ können verschiedene Fälle auftreten, wie in der Tabelle rechts für $t>0s$ angegeben ist.

Wurde das Koordinatensystem anders gewählt und die Achsorientierung zeigt nach unten, kannst Du folgende Formel für die Geschwindigkeit $v\left(t\right)$ anwenden:

In diesem Zuge kann auch wieder die Beschleunigung $a\left(t\right)$ ermittelt werden. Auch hier gilt die Fallbeschleunigung $g$. In der Formel muss daher lediglich die Achsorientierung beachtet werden.

Senkrechter Wurf nach unten – Positionen

Auch bei der Berechnung des senkrechten Wurfs nach unten ist die Wahl des Koordinatensystems zu beachten. Für die Herleitung und Erklärung wird wieder die Achsorientierung nach oben gewählt.

Zum Startzeitpunkt $t=0s$ befindet sich der Ball auf der Höhe $y_0$, die die maximale Höhe $y_{max}$ darstellt. Sie kann, muss aber nicht immer gegeben sein. Das Ende der Bewegung stellt der Aufprall auf den Boden dar. Um die Position $y\left(t\right)$ ermitteln zu können, muss sowohl die Position $y_{GB}\left(t\right)$ der gleichförmigen Bewegung als auch die Position $y_{FF}\left(t\right)$ des freien Falls berücksichtigt werden:

$$\begin{gathered} y_{GB}\left(t\right)=y_0-v_0·t \\ {y}_{FF}\left(t\right)=-\frac{1}{2}·g·t^2 \end{gathered}$$

Aus der Überlagerung beider Teilpositionen ergibt sich:

Wird die y-Achse wieder nach unten orientiert, so müssen die Formeln erneut angepasst werden und es ergibt sich Folgendes:

Mit den Formeln kannst Du die Position des Balls für jeden Zeitpunkt bestimmen.

Senkrechter Wurf nach unten – Wurfzeit

Die Zeit vom Abwurf des Balls bis hin zum Aufprall auf den Boden wird als Wurfzeit $t_W$ definiert. In diesem Fall ist es nicht möglich, die Steigzeit zu verdoppeln, da es hier keine Zeit gibt, in der der Ball steigt. Die obige Abbildung zeigt, dass beim Aufprall die Höhe $y\left(t_W\right)=0m$ ist. Zur Berechnung der Wurfzeit $t_W$ wird die Gleichung für die Position $y\left(t\right)$ gleich null gesetzt.

Senkrechter Wurf nach unten – Bewegungsdiagramme

Auch beim senkrechten Wurf nach unten können analog zum senkrechten Wurf nach oben die Bewegungsdiagramme erstellt werden. Sie zeigen Visualisierungen der zeitabhängigen Gesetze Ort-Zeit-Gesetz, Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz und Beschleunigung-Zeit-Gesetz.

Senkrechter Wurf nach unten (Achsorientierung nach oben)

Abbildung 20: Bewegungsdiagramme senkrechter Wurf nach unten (KOS nach oben)

Senkrechter Wurf nach unten (Achsorientierung nach unten)

Abbildung 21: Bewegungsdiagramme senkrechter Wurf nach unten (KOS nach unten)

Senkrechter Wurf – Aufgabe

Im Folgenden findest Du nun eine Übungsaufgabe, anhand derer Du Dein Wissen üben kannst.

Nachfolgend sind die wichtigsten Formeln noch einmal in einer Tabelle zusammengefasst.