Was bedeutet plastische Verformung?

Bei der plastischen Verformung wird ein Körper dauerhaft verformt.

Was versteht man unter Elastizität und Plastizität?

Elastizität: Ein Körper wird verformt und kehrt danach von allein in dessen Ausgangsform zurück. Wie stark man diesen Körper verformen kann nennt man Elastizität. Plastizität: Ein Körper wird verformt und bleibt dadurch dauerhaft in dieser Form. Wie viel Kraft du für die Verformung anwenden musst beschreibt die Plastizität.

Welche Verformungen gibt es?

Es gibt zwei Arten der Verformung: elastische und plastische Verformung

Wie wirken Feder- und Spannkraft an einer elastischen Feder miteinander?

betragsgleich und entgegengerichtet

Wie hängt die Federkraft einer elastischen Feder von der Dehnung / Stauchung ab?

je größer die Dehnung / Stauchung, desto größer die Federkraft

Verformungsarbeit: Beispiele, Formel & Berechnung

Jeder Gegenstand wurde in einer gewissen Art und Weise verformt. Dabei wurde eine Arbeit verrichtet. Was diese Verformungsarbeit ist und wie du diese in vielen unterschiedlichen Situationen berechnest, erklärt dir dieser Artikel anhand von Definitionen, Beispielen, Herleitungen, und Bildern.

Die Verformungsarbeit – eine Form der mechanischen Arbeit

Die Verformungsarbeit gehört in der Physik neben anderen Formen zur mechanischen Arbeit. Von der mechanischen Arbeit hast du sicherlich schon im Unterricht gehört. Doch, was war das noch gleich?

Die mechanische Arbeit

Vielleicht erinnerst du dich an den Merksatz Arbeit ist Kraft mal Weg. Dieser gilt für die allgemeine mechanische Arbeit. Als Auffrischung kannst du dir den Artikel zur mechanischen Arbeit auf StudySmarter noch einmal anschauen.

Hier ist dennoch eine kurze Definition der mechanischen Arbeit, um dein Vorwissen zu aktivieren:

Wirkt auf einen Körper eine anhaltende Kraft $F$ , wodurch sich dieser Körper über eine Strecke $s$ bewegt, so wird an dem Körper eine mechanische Arbeit $W$ verrichtet. Diese berechnest du wie folgt:

$W = F \cdot s$

Die mechanische Arbeit besitzt folgende Einheit:

$[W] = 1 J = 1 N m = 1 \frac{k g \cdot m^{2}}{s^{2}}$

$J : J o u l e N m : N e w t o n m e t e r$

Nach diesem kurzen Auffrischen deines Wissens soll es im Weiteren ausschließlich um die Verformungsarbeit gehen.

Die Verformungsarbeit bei elastischer Verformung

Die Verformungsarbeit ist eine Art der mechanischen Arbeit. Diese wird verrichtet, wenn ein Körper verformt wird. Das geschieht zum Beispiel bei einem Autounfall oder beim Kneten von Teig. In diesen Beispielen geht der Körper nicht von selbst in seinen Ausgangszustand zurück. Diese Verformung heißt in- oder unelastische Verformung, allgemeiner auch plastische Verformung. Doch damit beschäftigen wir uns später.

Oft wird ein Körper, wie der Flummi in der Einleitung, als eine perfekte elastische Feder angesehen. Das bedeutet, dass der Körper nach einer Verformung von selbst in seine Ausgangslage bzw. Grundauslenkung zurückkehrt. Die Verformung ist somit also gleich der elastischen Dehnung / Stauchung einer Feder. Daher kommen auch die speziellen Bezeichnungen der Verformungsarbeit: Federarbeit, Federspannarbeit oder Spannarbeit.

Die mechanische Arbeit ist allgemein als Arbeit ist Kraft mal Weg definiert. Für die Verformungsarbeit benötigst du nun die dazugehörige Kraft und den Weg, über welchen diese Kraft wirkt.

Wichtige Größen beim Spannen einer Feder

Du hast sicherlich schon einmal selbst eine Feder gespannt, z. B. wenn du bei einem alten Kugelschreiber den Klick-Mechanismus auseinandergebaut hast. Dort findest du eine Feder, welche du etwas anspannen kannst.

Sei dabei aber vorsichtig, diese nicht zu überspannen! Das resultiert in einer permanenten Veränderung der Feder. Dadurch veränderst du die federnden Eigenschaften oder zerstörst diese eventuell sogar! Der Bereich, in welchem du die Feder dehnen / stauchen kannst, ohne diese dauerhaft physikalisch zu verändern, wird elastischer Bereich genannt.

Die Spannkraft $\vec{F_{S}}$ ist die Kraft, welche du aufbringen musst um die elastische Feder um eine Dehnung / Stauchung $\vec{s}$ zu spannen. Die Federkraft $\vec{F_{F}}$ ist die Kraft, welche entsprechend einer Feder dem Spannen entgegenwirkt. Laut dem dritten newtonschen Gesetz sind diese beiden Kräfte gleich groß, da sie direkt gegeneinander wirken.

Die Härte der Feder wird dabei mit der Federkonstante $D$ angegeben. Diese ist keine Natur- oder Materialkonstante, sondern ist bei jeder Feder unterschiedlich.

Drittes newtonsches Gesetz: eine wirkende Kraft hat immer einer gleich große entgegenwirkende Kraft zur Folge.

Mehr dazu findest du im Artikel zu den newtonschen Gesetzen auf StudySmarter!

Verformungsarbeit Kräfte bei der Dehnung einer Feder StudySmarter Abb. 1 - Kräfte bei der Dehnung einer Feder

Wenn du selbst eine Feder spannst, ist dir vielleicht schon aufgefallen, dass deine benötigte Kraft größer wird, je weiter du die Feder spannst. Dieser Zusammenhang wird auch Hookesches Gesetz genannt.

Mehr zum Hookeschen Gesetz und den Größen an einer Feder findest du im Artikel zum Hookeschen Gesetz und zur Feder und Federkonstante auf StudySmarter heraus!

Wie du die verrichtete Verformungsarbeit an einer Feder, also die (Feder-) Spannarbeit, mit allen Größen und dem Kraft-Weg-Diagramm ermitteln kannst, erfährst du jetzt.

Die Spannarbeit – Die Verformungsarbeit an einer elastischen Feder

Wenn du dich an die allgemeine mechanische Arbeit erinnerst, weißt du vielleicht noch, dass du die mechanische Arbeit mit einer Formel, aber auch grafisch im Kraft-Weg-Diagramm bestimmen kannst. Das gilt auch für die verrichtete Spannarbeit an einer Feder!

Schauen wir uns zunächst die grafische Ermittlung an.

Die Spannarbeit an einer elastischen Feder grafisch ermitteln

Bei der mechanischen Arbeit ist die verrichtete Arbeit im Kraft-Weg-Diagramm die Fläche unter dem Graphen über einer gewissen Strecke. Das gilt auch bei der Spannarbeit:

Die verrichtete Verformungsarbeit bzw. (Feder-) Spannarbeit $W_{F}$ an einer elastischen Feder ist im Kraft-Weg-Diagramm die Fläche unter der Federkraft $F (s)$ über die Dehnung $s$ .

Betrachtest du das folgende Kraft-Weg-Diagramm kannst du erkennen, dass es sich hierbei um eine rechteckige Dreiecksfläche handelt. Die kurzen Seiten sind die Kraft $F_{S}$ und die Dehnung $s$ .

Abb. 2 - Verformungsarbeit im Kraft-Weg-Diagramm

Den Flächeninhalt $A$ eines rechtwinkligen Dreiecks berechnest du wie folgt:

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Verformungsarbeit Flächeninhalt Dreieck Spannarbeit StudySmarter Abb. 3 - Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

Die Größen $a$ und $b$ sind dabei die kurzen Seiten am Dreieck. Somit kannst du die Spannarbeit an einer Feder grafisch ermitteln.

Wenn du die Größen an der Feder in die Dreiecksformel einsetzt, kannst du die Spannarbeit berechnen.

Die Spannarbeit an einer elastischen Feder rechnerisch ermitteln

Setzt du nun die Spannkraft $F_{S}$ und die Dehnung $s$ in die Formel des Flächeninhaltes eines rechtwinkligen Dreiecks ein, erhältst du eine Formel für die verrichtete mechanische Verformungsarbeit $W_{F}$ an einer Feder (Spannarbeit).

Diese kannst du wie folgt definieren:

Wird eine elastische Feder der Federkonstante $D$ durch eine Spannkraft $F_{S}$ im elastischen Bereich aus der Ruhelage um $s$ gedehnt / gestaucht, so wird eine mechanische Arbeit, die Spannarbeit $W_{F}$ an der Feder verrichtet.

Die Spannarbeit $W_{F}$ an der Feder berechnest du mithilfe der grafischen Herleitung oben mit dieser Formel:

$W_{F} = \frac{1}{2} \cdot F_{S} \cdot s W_{F} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^{2}$

$F_{S} : S p a n n k r a f t i n N s : D e h n u n g i n m D : F e d e r k o n s t a n t e i n \frac{N}{m}$

Die verrichtete Spannarbeit $W_{F}$ an der Feder wird mit der Einheit Newtonmetern angegeben:

$[W_{F}] = 1 J = 1 N m = 1 \frac{k g \cdot m^{2}}{s^{2}}$

$J : J o u l e N m : N e w t o n m e t e r$

Mit diesen Formeln kannst du für die mechanische Verformungsarbeit (Spannarbeit) an einer elastischen Feder folgende Merksätze formulieren:

Für die Spannarbeit an einer elastischen Feder gilt:

Spannarbeit ist Spannkraft mal Dehnung durch zwei.

oder:

Spannarbeit ist Federkonstante mal Dehnung im Quadrat durch zwei.

Das war ein recht langer theoretischer Abschnitt. Zur Abwechslung kannst du das Gelernte jetzt aber in einer kurzen Aufgabe testen!

Um deine Brotdose sicherer zu verschließen, möchtest du einen Gummiring darum binden.

Um den Gummiring um die nötige zusätzliche Länge von $s = 10 c m$ zu dehnen, musst du bei dieser Dehnung eine Kraft von $F_{S} = 0, 7 N$ aufwenden.

Aufgabe 1

Berechne die am Gummiring verrichtete Spannarbeit $W_{F}$ , wenn du bei der Dehnung von $s = 10 c m$ die Kraft $F_{S} = 0, 7 N$ aufwenden musst.

Hinweis: Der Gummiring kann im Ganzen als eine elastische Feder angesehen werden.

Lösung

Zuerst schaust du dir die Formel für die verrichtete Spannarbeit an einer elastischen Feder an:

$W_{F} = \frac{1}{2} \cdot F_{S} \cdot s W_{F} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^{2}$

$F_{S}$ und $s$ sind gegeben. $W_{F}$ ist gesucht. Du kannst also die obere Formel anwenden, ohne eine Federkonstante zu berücksichtigen.

$W_{F} = \frac{1}{2} \cdot F_{S} \cdot s$

Jetzt setzt du Werte von $F_{S}$ und $s$ in die Formel ein. Beachte dabei, alle Werte in SI-Einheiten (z.B. nicht km oder cm, sondern m) zu benutzen!

1 Meter sind 100 cm, das bedeutet, dass 10 cm somit 0,1 Meter sind:

$W_{F} = \frac{1}{2} \cdot 0, 7 N \cdot 0, 1 m$

Daraus berechnest du die Spannarbeit $W_{F}$ :

$W_{F} = 0, 035 N m = 35 m N m$

Die verrichtete Spannarbeit am Gummiring beträgt $W_{F} = 35 m N m$ .

In Aufgabe 1 waren alle Werte in der Form gegeben, wie diese auch in den allgemeinen Formeln vorkommen. Außerdem wurde eine Feder immer aus dem Ruhestand gedehnt. Was aber, wenn die Feder schon anfangs durch eine andere Kraft gedehnt ist, und nun weiter gedehnt wird?

Die Spannarbeit an einer Feder bei vorheriger Dehnung / Stauchung

Dass eine Feder im Alltag standardmäßig gedehnt / gestaucht ist, kannst du an einem Auto beobachten.

Das leere Auto hat ein Eigengewicht. Das bedeutet auch, dass eine Gewichtskraft auf die Federung wirkt. Dadurch ist die Federung standardmäßig schon gestaucht.

Belädst du das Auto, wirkt eine zusätzliche Gewichtskraft entsprechend der Beladung auf die Federung. Dabei kannst du eine zusätzliche Stauchung beobachten.

Wie groß ist nun die zusätzliche, durch die Beladung verrichtete Spannarbeit an der Autofederung?

Naheliegend wäre, diese zusätzliche Kraft $Δ F_{S}$ und die daraus resultierende Stauchung $Δ s$ in die bekannte Formel für die verrichtete Spannarbeit an einer Feder einzusetzen, oder?

Aber: In der Definition haben wir festgelegt, dass die Formel nur gilt, wenn die Feder aus ihrer Ruhelage gebracht wird.

Das hängt damit zusammen, dass die entgegenwirkende Federkraft abhängig von der Dehnung / Stauchung der Feder ist. Aufgrund der vorherigen Stauchung $s_{0}$ durch die Kraft $F_{S, 0}$ ist das also nicht der Fall. Du kannst die bekannte Formel somit nicht direkt anwenden.

Verformungsarbeit Stauchung einer Autofederung Spannarbeit StudySmarter Abb. 4 - Stauchung einer Autofederung in drei verschiedenen Situationen

Wie verhalten sich nun die verschiedenen verrichteten Spannarbeiten?

Es ist hilfreich, sich das Problem mithilfe eines Kraft-Weg-Diagramms (x-Achse ist Dehnung, y-Achse ist Spannkraft) zu veranschaulichen (Abbildung 5):

Zunächst zeichnest du (hier in blau) die Größen im Leerzustand ein. Das Dreieck unter der Kraft $F_{S, 0}$ über der Dehnung $s_{0}$ entspricht dabei der verrichteten Spannarbeit $W_{F, 0}$ an der Federung durch das Leergewicht.

Jetzt kommen die Größen zur zusätzlichen Beladung. Dabei musst du den schon begonnen Graphen weiterzeichnen, da die Federung ja auch weiter gestaucht wird. In orange verlängerst du den Graphen also mit der zusätzlichen Spannkraft $Δ F_{S}$ über die Strecke der Dehnung $Δ s$ . Die zusätzliche aufgespannte Fläche ist dabei die gesuchte zusätzliche Spannarbeit $Δ W_{F}$ an der Federung.

Zuletzt kannst du nun die gesamte verrichtete Spannarbeit an der Federung $W_{F, g e s}$ als die gesamte Fläche unter dem Graphen der gesamten Spannkraft $F_{S, g e s}$ über der Dehnung $s_{g e s}$ markieren.

Verformungsarbeit, Verformungsarbeiten im Kraft-Weg-Diagramm Spannarbeit StudySmarter Abb. 5 - Wichtige Größen bei verrichteter Spannarbeit an der Autofederung im Kraft-Weg-Diagramm

Die Feder der Federkonstante $D$ befindet sich durch eine Spannkraft $F_{S, 0}$ in einem gedehnten / gestauchten Zustand der Dehnung / Stauchung $s_{0}$ . An ihr wurde eine Spannarbeit $W_{F, 0}$ verrichtet.

Wird diese Feder durch eine zusätzliche Kraft $Δ F_{S}$ um eine weitere Strecke $Δ s$ gedehnt / gestaucht, so berechnest du die gesamte verrichtete Spannarbeit $W_{F, g e s}$ mithilfe der gesamten Spannkraft $F_{S, g e s}$ und der gesamten Dehnung / Stauchung $s_{g e s}$ mit dieser Formel:

$W_{F, g e s} = \frac{1}{2} \cdot F_{S, g e s} \cdot s_{g e s}$

mit:

$F_{S, g e s} = F_{S, 0} + Δ F_{S} s_{g e s} = s_{0} + Δ s$

$W_{F, g e s} = \frac{1}{2} \cdot (F_{S, 0} + Δ F_{S}) \cdot (s_{0} + Δ s)$

Die zusätzlich verrichtete Spannarbeit $Δ W_{F}$ an der Feder berechnest du allgemein mit:

$Δ W_{F} = W_{F, g e s} - W_{F, 0}$

oder grafisch mithilfe des oberen Dreiecksflächeninhaltes $A_{D}$ addiert mit dem unteren Rechteckflächeninhalt $A_{R}$ :

$Δ W_{F} = A_{D} + A_{R} Δ W_{F} = \frac{1}{2} \cdot Δ F \cdot Δ s + F_{S, 0} \cdot Δ s Δ W_{F} = Δ s \cdot (\frac{1}{2} \cdot Δ F + F_{S, 0})$

Verformungsarbeit zusätzlich verrichtete Verformungsarbeit an einer Feder im Kraft-Weg-Diagramm StudySmarter Abb. 6 - zusätzlich verrichtete Spannarbeit an einer Feder grafisch im Kraft-Weg-Diagramm

Diese Zusammenhänge sind nur im elastischen Bereich einer Feder gültig! Der elastische Bereich einer Feder beschreibt die Dehnung / Stauchung einer Feder, bei welcher die Feder von allein in ihre ursprüngliche Ausgangslage zurückkehrt.

Das Beispiel mit dem Auto von oben kannst du jetzt beschreiben und berechnen! Wie das aussehen könnte, findest du heraus, wenn du die Aufgabe 2 rechnest.

Du möchtest mit deiner Familie in den Urlaub fahren. Dafür nehmt ihr das Auto. Euer Auto wiegt im Leerzustand $m_{A} = 1200 k g$ und wirkt dadurch eine Spannkraft $F_{S, v o l l} = 14715 N$ auf die Autofederung.

Die Beladung, also deine Familie inklusive Gepäck wiegt insgesamt $m_{B} = 300 k g$ und wirkt mit diesem Gewicht eine zusätzliche Spannkraft $F_{S, B} = 2943 N$ aus.

Du bemerkst, dass sich das Auto bei dieser zusätzlichen Beladung um $s_{B} = 3 c m$ absenkt.

Aufgabe 2

Berechne die Spannarbeit $W_{F, B}$ , welche beim zusätzlichen Stauchen von $s_{B} = 3 c m$ an der Autofederung verrichtet wird.

Hinweis: Alle Federn zusammen werden als eine gesamte elastische Feder für das Auto angenommen.

Lösung

Bei einer so komplexen Aufgabe ist es sinnvoll, sich alle gegebenen Größen aufzuschreiben. Das geht zum Beispiel auch mithilfe eines Kraft-Weg-Diagramms. Ob und wie du dir eine Übersicht erstellst, ist dir überlassen!

Verformungsarbeit zur Beispielaufgabe 2 im Kraft-Weg-Diagramm StudySmarter Abb. 7 - Spannarbeit, Stauchungen und Spannkräfte zur Aufgabe 2 im Kraft-Weg-Diagramm

Gegebene Werte sind hier türkis / grün, der gesuchte Wert ist orange, weder gegeben noch gesuchte Werte sind blau.

Durch geschickte Anordnung der gegebenen Größen kannst du auf eine grafische Lösung kommen. Die Fläche $W_{F, B}$ kannst du in eine Rechteckfläche $A_{R}$ und eine rechtwinklige Dreieckfläche $A_{D}$ unterteilen. Alle benötigten Werte zum Berechnen dieser Flächen und somit der zusätzlichen verrichteten Arbeit $W_{F, B}$ sind gegeben.

Verformungsarbeit mithilfe berechenbarer Flächen grafisch im Kraft-Weg-Diagramm StudySmarter Abb. 8 - gesuchte Spannarbeiten in zu berechenbarer Flächen im Kraft-Weg-Diagramm unterteilt

Die gesuchte Größe $W_{F, B}$ kannst du als Summe der Flächen $A_{D}$ und $A_{R}$ berechnen:

$W_{F, B} = A_{D} + A_{R}$

$A_{D}$ ist eine rechtwinklige Dreiecksfläche. Diese kannst du wie folgt ausdrücken:

$A_{D} = \frac{1}{2} \cdot F_{S, B} \cdot s_{B}$

Die rechteckige Fläche $A_{R}$ ergibt sich so:

$A_{R} = F_{S, l e e r} \cdot s_{B}$

Daraus kannst du für die gesuchte zusätzliche verrichtete Arbeit $W_{F, B}$ folgende Formel aufstellen.

$W_{F, B} = A_{D} + A_{R} W_{F, B} = \frac{1}{2} \cdot F_{S, B} \cdot s_{B} + F_{S, l e e r} \cdot s_{B} | s_{B} a u s k l a m m e r n W_{F, B} = s_{B} \cdot (\frac{1}{2} \cdot F_{S, B} + F_{S, l e e r})$

In diese Formel setzt du nun die Werte ein:

$W_{F, B} = 0, 03 m \cdot (\frac{1}{2} \cdot 2943 N + 11772 N)$

Daraus kannst du die zusätzliche verrichtete Spannarbeit an der Autofederung $W_{F, B}$ berechnen:

$W_{F, B} = 397 N m$

Wenn du dir die Formel für die zusätzliche verrichtete Spannarbeit an einer Feder einprägst, musst du diese grafische Herleitung nicht jedes Mal aufstellen.

In dieser Aufgabe hast du angenommen, dass alle Federn des Autos als eine Gesamtfederung angesehen werden. Eigentlich handelt es sich dabei aber um eine Zusammenschaltung von Federn.

Die Spannarbeit bei Federschaltungen

Wenn du mehrere Federn im gleichen System benutzt, kannst du diese in fast allen Fällen als eine große Feder zusammenfassen und eine Gesamtfederkonstante (Ersatzfederkonstante) ermitteln!

Das Gute ist, benutzt du diese Gesamtfederkonstante verändert sich letztendlich die Formel der Spannarbeit an einer Feder nur geringfügig:

Wird an einer Zusammenschaltung von Federn eine Spannarbeit $W_{F}$ durch eine Spannkraft $F_{S}$ verrichtet, wobei die Schaltung der Gesamtfederkonstante $D_{g e s}$ um eine Strecke $s$ gespannt wurde, so kannst du die verrichtete Spannarbeit mithilfe dieser Größen wie folgt berechnen:

$W_{F} = \frac{1}{2} \cdot F_{S} \cdot s W_{F} = \frac{1}{2} \cdot D_{g e s} \cdot s$

Mehr zur Gesamtfederkonstante findest du im Artikel zur Feder bzw. Federkonstante auf StudySmarter!

Jetzt weißt du, wie du die Spannarbeit an einer Feder in vielen Situationen berechnen kannst. Was bedeutet das alles aber für die goldene Regel der Mechanik?

Die goldene Regel der Mechanik und die Spannarbeit

Wenn du dich an verschiedene Themen in der Mechanik erinnerst, kennst du vielleicht auch noch die goldene Regel der Mechanik im Zusammenhang mit der mechanischen Arbeit. Diese Regel besagt, was du an Kraft sparst, musst du an Weg zulegen, wobei die verrichtete mechanische Arbeit gleich bleibt.

Gilt dies aber auch für die Spannarbeit an einer elastischen Feder?

Kurze Antwort: Ja, weil du schon herausgefunden hast, dass die Spannarbeit wie auch allgemein die mechanische Arbeit proportional von Kraft und Dehnung (Weg) abhängig ist.

Warum genau? Das kannst du in der Vertiefung herausfinden.

Wenn du an einer Feder nur die halbe Kraft anwendest, wird dadurch ja nicht die Dehnung verdoppelt. Das bedeutet, dass sich die Federkonstante und somit die Feder beim Einhalten der goldenen Regel der Mechanik ändern muss.

Um das zu untersuchen, setzt du die halbe Kraft $\frac{1}{2} F_{S}$ und die doppelte Dehnung $2 s$ in die Formel der Federkonstante ein:

$D = \frac{\frac{1}{2} F_{S}}{2 s} D = \frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{F_{S}}{s} D = \frac{1}{4} \cdot \frac{F_{S}}{s}$

Anhand der Formel kannst du also erkennen, dass die Federkonstante quadratisch von der Veränderung der Spannkraft abhängt. Halbe Spannkraft bedeutet also Viertel Federkonstante.

Erinnerst du dich an die allgemeine mechanische Arbeit, weißt du vielleicht auch noch, dass eine Arbeit auch immer einer Änderung der Energie bedeutet.

Die Energie beim elastischen Verformen einer Feder

Die Energie beschreibt allgemein die Fähigkeit, eine Arbeit zu verrichten. Beim Spannen einer Feder wird dieser mechanische Energie zugeführt. Die Feder hat jetzt aufgrund der Möglichkeit, von allein in die Ausgangslage zurückzukehren, eine Federenergie gespeichert. Die Feder hat also das Potential, in die Ausgangsform zurückzukehren.

Die potentielle Energie einer elastischen Feder

Die potentielle Energie eines Körpers besitzt zwei Hauptmerkmale: eine wirkende Kraft auf den Körper und dessen Lage in Bezug zum Kraftursprung.

Die wirkende Kraft bei einer Feder ist die Federkraft $F_{F}$ welche entgegen der Spannkraft $F_{S}$ wirkt. Die Strecke zum Kraftursprung ist die Dehnung / Stauchung $s$ der Feder. Auch weißt du schon, dass eine verrichtete Arbeit $W$ immer einer Änderung der Energie $Δ E$ entspricht. Das kannst du in folgender Definition für die potentielle Energie einer gespannten / gestauchten Feder, auch Federenergie genannt zusammenfassen.

Wird eine elastische Feder der Federkonstante $D$ durch eine Spannkraft $F_{S}$ um eine Strecke $s$ gedehnt / gestaucht, so wird eine Spannarbeit $W_{F}$ an der Feder verrichtet. Diese Spannarbeit $W_{F}$ gleicht der Veränderung der potentiellen Energie $Δ E_{p o t}$ der Feder in Bezug auf dessen Fähigkeit, in die Ausgangsposition zurückzukehren.

Die Formel lautet:

$Δ E_{p o t} = W_{F} = \frac{1}{2} \cdot F_{S} \cdot s Δ E_{p o t} = W_{F} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^{2}$

$F_{S} : S p a n n k r a f t i n N s : D e h n u n g / S t a u c h u n g i n m D : F e d e r k o n s t a n t e i n \frac{N}{m}$

Die Einheit der potentiellen Energie $[E_{p o t}]$ einer Feder ist Joule:

$[E_{p o t}] = 1 J = 1 \frac{k g \cdot m^{2}}{s^{2}}$

$J : J o u l e$

Verformungsarbeit potentielle Energie und Spannarbeit einer Feder StudySmarter Abb. 9 - potentielle Energie und Spannarbeit an einer elastischen Feder

Das Dreieck vor der potentiellen Energie ist das griechische Delta. Dieses steht in der Mathematik allgemein für Änderung.

Wie groß die potentielle (Feder-) Energie des Gummirings vom Anfang in Aufgabe 1 ist, kannst du im folgenden Beispiel berechnen.

Um deine Brotdose sicherer zu verschließen möchtest du einen Gummiring darum binden. Um den Gummiring um die nötige zusätzliche Länge von $s = 10 c m$ zu dehnen, musst du bei dieser Dehnung eine Kraft von $F_{S} = 0, 7 N$ aufwenden. Dabei wird eine Spannarbeit $W_{F}$ am Gummiring verrichtet.

Aufgabe 3

Berechne die potentielle Federenergie $E_{p o t}$ des Gummirings, wenn dieser um die Brotdose gebunden ist.

Hinweis: Der Gummiring kann im Ganzen als eine elastische Feder angesehen werden.

Lösung

Aus der Definition weißt du, dass eine verrichtete Arbeit auch eine Änderung einer Energie entspricht. Die verrichtete Arbeit ist eine Spannarbeit und die gesuchte Energie ist die potentielle Federenergie des Gummirings. Die beiden Größen kannst du hier also gleichsetzen:

$E_{p o t} = W_{F} = \frac{1}{2} \cdot F_{S} \cdot s$

In diese Formel setzt du jetzt die Werte der Spannkraft $F_{S}$ und der Dehnung $s$ ein. Beachte dabei, dass die Dehnung in Zentimeter und nicht in Meter gegeben ist. Diese musst du vorher in Meter umrechnen!

$E_{p o t} = \frac{1}{2} \cdot 0, 7 N \cdot 0, 1 m$

Damit kannst du nun die potentielle Federenergie $E_{p o t}$ des Gummirings berechnen:

$E_{p o t} = 0, 035 J = 35 m J$

Beachte, dass Energien allgemein in Joule angegeben werden – nicht wie die Arbeit in Newtonmetern.

Bis jetzt bist du bei jeder Betrachtung davon ausgegangen, dass es sich bei der Verformung um eine elastische Verformung handelt. Wie du aber am Anfang des Artikels gelernt hast, ist das nicht immer der Fall!

Die Verformungsarbeit bei plastischer Verformung

Wie wir anfangs schon festgelegt haben, kehrt der verformte Körper bei der plastischen Verformung nicht selbstständig in die Ausgangsform zurück.

Das passiert zum Beispiel bei einem Autounfall:

Beim Autounfall stößt ein Auto gegen etwas. Je nach Geschwindigkeit beim Aufprall und gegen was das Auto prallt können dabei Dellen und schlimmere Schäden entstehen.

Die Verformungen verschwinden dabei nach dem Aufprall nicht von selbst, also handelt es sich um eine plastische Verformung. Doch wie kannst du jetzt die verrichtete Verformungsarbeit berechnen?

Du weißt, dass eine Arbeit auch immer einer Energieänderung entspricht. Vor dem Aufprall hat das Auto eine gewisse Geschwindigkeit und somit eine gewisse kinetische Energie. Wenn du davon ausgehen kannst, dass die gesamte kinetische Energie beim Aufprall in die Verformung gesteckt wird, kannst du daraus also auch die verrichtete Verformungsarbeit berechnen.

Mehr zur kinetischen (Bewegungs-) Energie und Energie allgemein findest du in den dazugehörigen Artikeln auf StudySmarter heraus!

Die Umwandlung von Energien ist aber nicht immer vollständig bekannt. Jedoch kannst du das Gleichsetzen von verrichteter mechanischer Arbeit und einer Änderung der Energie als Ansatz verwenden:

Beim plastischen Verformen kannst du die verrichtete Verformungsarbeit nur näherungsweise bestimmen. Als Ansatz solltest du die folgende Formel anwenden:

$W = Δ E$

$W : v e r r i c h t e t e m e c h a n i s c h e A r b e i t Δ E : Ä n d e r u n g d e r E n e r g i e$

Je nach Situation ist das also mehr oder weniger genau. Stößt das Auto gegen einen leicht beweglichen Gegenstand, dann wird nicht die gesamte Energie in die Verformung gesteckt. Der andere Gegenstand wird beschleunigt und das Auto rollt vielleicht mit geringerer Geschwindigkeit weiter. In solch einer Aufgabe ist es also sinnvoll, die Energien zu betrachten und daraus Schlüsse zur verrichteten Arbeit zu ziehen.

Verformungsarbeit - Das Wichtigste

Die Verformungsarbeit ist eine Art der mechanischen Arbeit.
Man unterscheidet je nach Situation in elastische und plastische Verformung.
Elastisch bedeutet, der Körper kehrt nach Verformung von allein in die Ausgangsform zurück. (Bsp. Gummiring)
Plastisch bedeutet, der Körper kehrt nach Verformung nicht in die Ausgangsform zurück. (Bsp. Autounfall)
Der elastische Bereich einer Feder gibt an, wie weit die Feder gestaucht / gedehnt werden kann, bevor deren physikalischen Eigenschaften dauerhaft verändert werden.
Eine elastische Feder wirkt immer eine gleich große Federkraft $F_{F}$ entgegen eine wirkende Spannkraft $F_{S}$ .
Durch die Spannkraft $F_{S}$ erfolgt eine Dehnung / Stauchung $s$ entsprechend der Härte der Feder, der Federkonstante $D$ .

$F_{F} = F_{S} = D \cdot s$

Die verrichtete Spannarbeit $W_{F}$ an einer elastischen Feder ist im Kraft-Weg-Diagramm eine Dreiecksfläche und wird mit der Einheit Newtonmeter angegeben.

Verformungsarbeit im Kraft Weg Diagramm StudySmarter Abb. 10 - Spannarbeit im Kraft-Weg-Diagramm

W_{F} = \frac{1}{2} \cdot F_{S} \cdot s W_{F} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^{2} [W_{F}] = 1 N m

Bei Anzahl nzusammengeschalteten Federn kann eine Gesamtfederkonstante Dgesermittelt werden:
- Parallelschaltung: $D_{g e s} = D_{1} + D_{2} + . . . + D_{n}$
- Reihenschaltung: $\frac{1}{D_{g e s}} = \frac{1}{D_{1}} + \frac{1}{D_{2}} + . . . + \frac{1}{D_{n}}$

Die verrichtete Spannarbeit an einer elastischen Feder gleicht auch immer einer Änderung der potentiellen (Feder-) Energie $Δ E_{p o t}$ der Einheit Joule der Feder.

$Δ E_{p o t} = W_{F} = \frac{1}{2} \cdot F_{S} \cdot s Δ E_{p o t} = W_{F} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^{2} [E_{p o t}] = 1 J$

Die verrichtete Verformungsarbeit bei plastischer Verformung muss situationsbezogen ermittelt werden.

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Die Verformungsarbeit – eine Form der mechanischen Arbeit

Die mechanische Arbeit

Die Verformungsarbeit bei elastischer Verformung

Wichtige Größen beim Spannen einer Feder

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Die Spannarbeit an einer elastischen Feder grafisch ermitteln

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Die goldene Regel der Mechanik und die Spannarbeit

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