Waagrechter Wurf

Waagrechter Wurf – Physik der Bewegung

Der Baseballspieler (Pitcher) holt aus, schwingt den Arm mitsamt dem Baseball nach vorne und lässt den Ball horizontal mit einer gewissen Anfangsgeschwindigkeit $v_0$in einer Höhe $h_0$ los. Kurz darauf nimmt die Höhe des Balls schon ab. Je länger der Ball fliegt, desto mehr sinkt er in Richtung Boden, bis er schließlich in einer gewissen Entfernung zum Liegen kommt.

Zur Erklärung ist eine kleine Skizze hilfreich, welche die Wurfbewegung des Baseballspielers aufzeigt und alle wichtigen Größen beinhaltet.

Abb. 2 - Größen eines waagrechten Wurfs

Alle hier eingezeichneten Größen werden im Artikel Schritt für Schritt durchgesprochen. Doch zunächst: Der waagrechte Wurf wurde bereits als Wurfbewegung bezeichnet. Physikalische Bewegungen können im Allgemeinen wie folgt definiert werden:

Und genau dies tut der Baseball auch, nachdem der Baseballspieler ihn abgeworfen hat. Es lässt sich beobachten, dass der Ball mit der Zeit seine Position ändert; zunächst noch in der Hand des Spielers und kurze Zeit später liegt er schon auf dem Boden.

Der waagrechte Wurf ist demnach eine Wurfbewegung. Aber welche Eigenschaften weist diese auf?

Waagrechter Wurf – Eigenschaften der Wurfbewegung

Eine Wurfbewegung wird als waagrechter Wurf bezeichnet, wenn folgende charakteristische Merkmale auf die Wurfbewegung zutreffen:

Wie Du in der letzten Tabellenzeile sehen kannst, wird die Wurfbewegung des waagrechten Wurfs als Überlagerung von zwei Teilbewegungen angesehen. Warum ist das so? Dazu mehr in den folgenden Kapiteln.

Waagrechter Wurf – Einteilung in Bewegungsarten

Der zeitliche Verlauf einer Bewegung und die damit auftretenden Geschwindigkeiten v und Beschleunigungen a sind entscheidend dafür, in welche Kategorie die Bewegung eingeteilt werden kann. Bewegt sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit $v_0$ fort (er wird also weder schneller noch langsamer), dann führt dieser eine gleichförmige Bewegung aus. Dies siehst du links auf der Abbildung 3.

Abb. 3 - Bewegungsarten im Überblick

Ist die Geschwindigkeit v eines Körpers im Verlauf einer Bewegung nicht konstant (er wird also schneller oder langsamer), dann fällt die Bewegung in die Kategorie der ungleichförmigen Bewegung. Dabei kann noch unterschieden werden zwischen Bewegungen mit konstanter Beschleunigung a (gleichmäßig beschleunigte Bewegung) und ungleichmäßig beschleunigten Bewegungen, bei denen die Beschleunigung a nicht konstant ist.

Na, welcher Bewegungsart entspricht der waagrechte Wurf? Das ist auf den ersten Blick gar nicht so leicht zu beantworten. Die Wurfbewegung des waagrechten Wurfs ist eine Überlagerung von zwei Teilbewegungen, und zwar von:

• einer gleichförmigen Bewegung in x-Richtung
• und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (freier Fall) in y-Richtung

Hier findest Du noch einmal eine kurze Wiederholung der wichtigsten Größen und Eigenschaften dieser Bewegungsarten.

Je nach Orientierung des Koordinatensystems beim freien Fall müssen die Formeln angepasst werden. Dies ist auch hier beim waagrechten Wurf relevant, wie Du später noch sehen wirst.

Damit ist jetzt aber noch die Frage offen, warum ein waagrechter Wurf eine Überlagerung eben dieser beiden Teilbewegungen ist.

Waagrechter Wurf – Einfluss der Gewichtskraft

Wird ein Ball bzw. ein anderer Körper waagrecht abgeworfen, dann verliert er schon kurz nach dem Abwurf an Höhe. Ausschlaggebend dafür ist die Erdanziehungskraft bzw. Gewichtskraft ${\overrightarrow{F}}_G$, die für eine Anziehung zwischen massereichen Objekten und der Erde sorgt. Aufgrund des Newtonschen Grundgesetzes $(F_G=m·g)$ wird demnach jeder Körper zum Erdmittelpunkt hin beschleunigt, und zwar mit der sogenannten Fallbeschleunigung g.

Abb. 4 - Einfluss der Gewichtskraft auf einen Baseball

Diese Erdbeschleunigung g entspricht ungefähr einer Beschleunigung von $g=9,81\frac{m}{s^2}$. Da sich dieser Anziehungseffekt nie ausschalten lässt, kann auch ein horizontal geworfener Ball (wie in Abbildung 4) nie auf dieser Anfangshöhe weiterfliegen und sinkt früher oder später zu Boden. Deshalb muss in y-Richtung die gleichmäßig beschleunigte Bewegung des freien Falls berücksichtigt werden.

Ohne den freien Fall würde sich der Körper mit seiner Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ horizontal immer weiterbewegen. Diese Art von Bewegung repräsentiert eine gleichförmige Bewegung. Beide Bewegungsarten müssen demnach bei einem waagrechten Wurf beachtet werden.

Aber mit welchen Größen lässt sich eine waagrechte Wurfbewegung beschreiben und berechnen?

Waagrechter Wurf – Formel und berechnen

Wie auch bei anderen Bewegungen, sind die Größen der Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und Position für die Beschreibung notwendig. Dazu hast du bereits ein paar Informationen gelesen. In den nachfolgenden Kapiteln kannst Du Dir direkt die Berechnung und zugehörige Formeln ansehen.

Waagrechter Wurf – Geschwindigkeit berechnen

Um die Geschwindigkeiten besser nachvollziehen zu können, wird das Beispiel des Baseballs zur Hand genommen und alle relevanten Geschwindigkeitsgrößen mit in die Skizze eingezeichnet.

Abb. 5 - Geschwindigkeiten beim waagrechten Wurf

Vor dem Start der Bewegung wird der Ball in der Hand des Baseballspielers beschleunigt und verlässt die Hand dann mit einer gewissen Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ in x-Richtung. Die Startgeschwindigkeit der gleichförmigen Bewegung in x-Richtung wird daher als $v_x\left(0\right)$zum Zeitpunkt $t=0s$ deklariert.

$v_x\left(0\right)=v_0$

Während der gesamten Wurfbewegung ändert sich die Geschwindigkeit $v_x\left(t\right)$ nicht. Somit gilt für die gesamte Wurfbewegung des waagrechten Wurfs in x-Richtung:

Etwas anders verhält es sich im Gegensatz dazu bei der Geschwindigkeit $v_y\left(t\right)$ des Körpers in y-Richtung. Zum Startzeitpunkt $t=0s$ herrscht vertikal noch keine Geschwindigkeit.

$v_y\left(0\right)=0\frac{m}{s}$

Jedoch erlangt der Ball bzw. der Körper schon kurz nach dem Start eine immer weiter zunehmende Geschwindigkeit $v_y\left(t\right)$ in y-Richtung. Der Grund dafür ist die Erdbeschleunigung g, wie Du oben bereits festgestellt hast. Der Betrag dieser Geschwindigkeit lässt sich über die Formel für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung herleiten. Die Beschleunigung a wird lediglich durch die Erdbeschleunigung g ersetzt. Demnach gilt:

Diese Formeln für die Geschwindigkeiten in x- und y-Richtung können auch zu einer Gesamtgeschwindigkeit $v\left(t\right)$zusammengefasst werden.

Abb. 6 - Gesamtgeschwindigkeit

Über den Satz des Pythagoras oder die Addition der Vektoren lässt sich die Bahngeschwindigkeit $v\left(t\right)$ aus den Teilgeschwindigkeiten $v_x\left(t\right)$ und $v_y\left(t\right)$ berechnen.

Die Formeln für die Geschwindigkeiten eines Körpers beim Ausführen eines waagrechten Wurfs können über das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz noch einmal kurz zusammengefasst werden.

Eine weitere wichtige Größe bei der Betrachtung eines waagrechten Wurfs ist die Beschleunigung.

Waagrechter Wurf – Beschleunigungen berechnen

Auch für die Analyse der Beschleunigungen des horizontalen Wurfs ist zunächst eine kleine Skizze des Baseball-Beispiels hilfreich.

Abb. 7 - Beschleunigungen beim waagrechten Wurf

Da es sich bei der Teilbewegung in x-Richtung um eine gleichförmige Bewegung handelt, bei der die Geschwindigkeit $v_x\left(t\right)$ während der gesamten Bewegung gleich bleibt, gibt es in horizontaler Richtung keine Beschleunigung des Balls. Dies gilt sowohl für den Start als auch den Rest der Wurfbewegung.

Anders verhält es sich bei der Teilbewegung in y-Richtung. Diese entspricht dem freien Fall, also einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Sowohl beim Start (Zeitpunkt $t=0s$) als auch bei der restlichen Bewegung ändert sich diese Beschleunigung nicht. In diesem Fall weißt Du sogar den Wert dieser Beschleunigung, sie entspricht der Fallbeschleunigung g. Lediglich das Vorzeichen ändert sich aufgrund des gewählten Koordinatensystems. Damit gilt:

Auch hier gibt es, wie bei den Geschwindigkeiten, eine Gesamtbeschleunigung $a\left(t\right)$. Da in x-Richtung keine Beschleunigung herrscht, gilt auch für die Gesamtbeschleunigung $a\left(t\right)$:

Zusammengefasst können die Beschleunigungen eines waagrechten Wurfs durch das Beschleunigung-Zeit-Gesetz also wie folgt werden:

Die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen beim Start der Bewegung und zu jedem Zeitpunkt kannst Du damit schon bestimmen. Eine weitere Größe ist ebenfalls noch interessant, nämlich die Position des Balls bzw. des Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt t in dem angedachten Koordinatensystem.

Waagrechter Wurf – Positionen berechnen

Die Position des Balls lässt sich natürlich nur mithilfe eines Bezugssystems bestimmen. Dieses ist das Koordinatensystem, indem die Lage des Körpers in x-Richtung und y-Richtung ermittelt werden kann. Begonnen wird am besten mit dem Startzeitpunkt $t=0s$.

Abb. 8 - Position beim waagrechten Wurf

Zum Startzeitpunkt verlässt der Ball gerade die Hand des Baseballspielers. Das Koordinatensystem kann beispielsweise so ausgerichtet werden, dass der Ursprung der x-Achse genau über dem Abwurf liegt. Demnach gilt für die Strecke $x\left(t\right)$ zum Start in x-Richtung:

$x\left(0\right)=0m$

Die Position in x-Richtung zum Startzeitpunkt ist Dir demnach schon vorgegeben, wenn das Koordinatensystem optimal platziert wird. Es ist noch interessant zu wissen, wo sich der Ball auf der x-Achse zu einem beliebigen Zeitpunkt t befindet. Dazu ist die Berechnung der Strecke bei einer gleichförmigen Bewegung zu betrachten. Aus der obigen Tabelle kann demnach entnommen werden:

Die Bestimmung der Position in vertikaler Richtung lässt sich ebenfalls über die Formel zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung ausführen. Doch zunächst zur Startposition. Liegt das Koordinatensystem entsprechend, so wird der Ball beim waagrechten Wurf in einer Anfangshöhe $h_0$ abgeworfen. Die Lage in y-Richtung zum Zeitpunkt $t=0s$ entspricht demnach der Höhe $h_0$.

$y\left(0\right)=h_0$

Schon kurz nach dem Abwurf verliert der Ball bzw. Körper aber schon an Höhe aufgrund der Beschleunigung zum Erdmittelpunkt hin. Daher muss von der Formel für die Berechnung der y-Position die Höhe $h_0$ abgezogen werden und Du erhältst mit der Tabelle:

Die nachfolgende Tabelle zeigt Dir noch einmal eine kurze Zusammenfassung der Formeln zur Position des Körpers beim waagrechten Wurf.

Der Ball sinkt beim waagrechten Wurf so lange weiter ab, bis er schließlich auf dem Boden zum Liegen kommt. In diesem Zuge stellt sich natürlich die Frage, wie weit der Ball denn überhaupt geworfen werden kann.

Waagrechter Wurf – Wurfweite, Wurfzeit und Wurfhöhe berechnen

Die Wurfweite $x_{max}$ ist dabei die maximale Entfernung des Balls in x-Richtung (also die Position, bei der der Ball zum Liegen kommt). Weiter als bis zu dieser Position kann der Ball nicht fliegen.

Abb. 9 - Wurfweite und Wurfhöhe

Für die Berechnung dieser Wurfweite $x_{max}$ wird wieder die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ und die Zeit, nach der der Ball zum Liegen kommt, benötigt. Diese Zeitspanne vom Abwurf bis hin zum liegenden Ball kann als Wurfzeit $t_W$ bezeichnet werden.

$x_{max}=v_0·t$

Zur Berechnung der Wurfweite $x_{max}$ benötigst Du also die Wurfdauer der Wurfbewegung.

Waagrechter Wurf – Wurfzeit berechnen

Die Zeit der gesamten waagrechten Wurfbewegung vom Abwurf bis zum Aufprall kann anhand der Formel für die Position $y\left(t\right)$ in y-Richtung bestimmt werden. In der Abbildung 9 zeigt sich, dass sich der Ball bei der maximalen Wurfweite nicht mehr in der Luft befindet, sondern auf dem Boden aufschlägt. Demnach muss zu diesem Zeitpunkt die Höhe $y\left(t\right)$gleich $0m$sein.

$0=h_0-\frac{1}{2}·g·t^2$

Wird diese Formel nach der Zeit t aufgelöst, so ergibt sich die gesuchte Wurfzeit $t_W$.

$$\begin{gathered} 0=h_0-\frac{1}{2}·g·t^2\overline{)-h_0} \\ -h_0=-\frac{1}{2}·g·t^2\overline{):(-1)} \\ {h}_0=\frac{1}{2}·g·t^2\overline{):\frac{1}{2}:g} \\ \frac{2·h_0}{g}=t^2\overline{)\sqrt{}} \\ \sqrt{\frac{2·h_0}{g}}=t=t_W \end{gathered}$$

Genau diese Wurfzeit $t_W$ wird benötigt, um die maximale Wurfweite $x_{max}$ ermitteln zu können.

Zusammen mit der Formel zur Wurfzeit lässt sich die Wurfweite berechnen.

Waagrechter Wurf – Wurfweite und Wurfhöhe berechnen

Die Formel für die Wurfzeit $t_W$ kann in die Formel zur Berechnung der Wurfweite $x_{max}$ eingesetzt werden. So erhältst Du:

So wie es auch eine maximale Wurfweite gibt, existiert auch eine maximale Wurfhöhe $y_{max}$. Beim waagrechten Wurf entspricht die maximale Wurfhöhe $y_{max}$ direkt der Abwurfhöhe $h_0$, wie zu Beginn des Artikels bereits beschrieben wurde.

Über die Ort-Zeit-Gesetze sowie die Geschwindigkeit-Zeit-Gesetze können also zu jedem Zeitpunkt t die relevanten Größen der waagrechten Wurfbewegung berechnet werden. Wird nun der gesamte Positionsverlauf der Wurfbewegung betrachtet, so entsteht die charakteristische Wurfbahn des waagrechten Wurfs.

Waagrechter Wurf – Wurfparabel

Zur Ermittlung der Wurfbahn werden unendlich viele Zeitpunkte vom Startzeitpunkt $t=0s$ bis zur gesamten Wurfzeit $t_W$herangezogen und damit die zugehörigen Positionen in x- und y-Richtung bestimmt. Diese unendlich vielen Positionen können zu einem Verlauf zusammengesetzt werden. Damit ergibt sich für den waagrechten Wurf folgendes typische Bild der Wurfbahn.

Abb. 10 - Wurfparabel beim waagrechten Wurf

Dieser Verlauf entspricht der Wurfbahn des Körpers während der kompletten Wurfbewegung. Was dabei auffällt: Die Wurfbahn hat die Form einer halben Parabel. Und genau deshalb kann die Wurfbahn auch als Wurfparabel bezeichnet werden.

Wie in der Mathematik lässt sich auch hier die Bahngleichung $y\left(x\right)$ ermitteln, für die jedem x-Wert ein entsprechender y-Wert zugeordnet werden kann. Dazu muss in der Formel für die Lage $y\left(t\right)$ in y-Richtung lediglich die Größe der Zeit t eliminiert und durch einen Ausdruck ersetzt werden, der die Lage $x\left(t\right)$ in x-Richtung enthält.

$$\begin{gathered} y\left(t\right)=h_0-\frac{1}{2}·g·t^2 \\ x\left(t\right)=v_0·t \end{gathered}$$

In beiden Gleichungen ist die Zeit t enthalten. Die Formel für die Position $x\left(t\right)$ lässt sich nach der Zeit t auflösen.

$$\begin{gathered} x\left(t\right)=v_0·t\overline{):v_0} \\ \frac{x\left(t\right)}{v_0}=t \end{gathered}$$

Diese neue Gleichung kann in die Gleichung für $y\left(t\right)$ eingesetzt werden. Somit wird die Zeit t aus der Gleichung eliminiert und die Position in x-Richtung mit eingefügt.

$$\begin{gathered} y\left(t\right)=h_0-\frac{1}{2}·g·t^2 \\ y\left(x\right)=h_0-\frac{1}{2}·g·{\left(\frac{x}{v_0}\right)}^2 \end{gathered}$$

Nach einer Umformung ergibt sich die quadratische Bahngleichung $y\left(x\right)$, die der Wurfparabel des waagrechten Wurfs entspricht.

Je nach Höhe $h_0$ und Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ entstehen so unterschiedliche Wurfbahnen; manche steiler, manche flacher. In diesem Zuge lässt sich auch der sogenannte Aufprallwinkel bestimmen.

Waagrechter Wurf – Aufprallwinkel berechnen

Die Wurfparabel schließt zusammen mit der horizontalen Achse einen Winkel $\alpha$ ein. Dieser wird als Aufprallwinkel $\alpha$bezeichnet.

Abb. 11 - Aufprallwinkel beim waagrechten Wurf

Berechnet werden kann dieser über die trigonometrischen Beziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck. In diesem Fall ist dies der Tangens mit den Geschwindigkeiten $v_x\left(t_W\right)$ und $v_y\left(t_W\right)$ in x- und y-Richtung am Ende der Wurfbewegung (also nach der Wurfzeit $t_W$).

$\tan \left(\alpha \right)=\frac{\left|v_y\left(t_W\right)\right|}{\left|v_x\left(t_W\right)\right|}$

Die beiden Geschwindigkeitsbeträge können durch die entsprechenden Formeln von oben ersetzt werden.

$$\begin{gathered} v_x\left(t_W\right)=v_0 \\ {v}_y\left(t_W\right)=-g·t_W \end{gathered}$$

Damit gilt:

Um noch einen Schritt weiterzugehen, kann die Wurfzeit $t_W$ ebenfalls noch durch einen anderen physikalischen Ausdruck ersetzt werden. Die Wurfzeit $t_W$ lässt sich durch die Anfangshöhe $h_0$ und die Erdbeschleunigung g darstellen. Das Ergebnis ist eine andere Formel für den Aufprallwinkel $\alpha$.

$\tan \left(\alpha \right)=\frac{g}{v_0}·t_W=\frac{g}{v_0}·\sqrt{\frac{2·h_0}{g}}mit{t}_W=\sqrt{\frac{2·h_0}{g}}$

Mit der Formel zur Berechnung des Aufprallwinkels kann die Theorie des waagrechten Wurfs eigentlich auch schon abgeschlossen werden. Möchtest Du Dein neues Wissen direkt in einer Übungsaufgabe anwenden, dann sieh Dir die nachfolgende Aufgabe an.

Waagrechter Wurf – Aufgaben mit Lösungen

Da es zum waagrechten Wurf einige Formeln gibt, bietet es sich an, eine kleine Formelsammlung zur Lösung der Übungsaufgabe parat zu haben. Gerne kannst Du auch unten in der Zusammenfassung die wichtigsten Formeln nachschlagen.

Wenn Du das nächste Mal beim Federball, Tennis oder anderen Ballsportarten zusiehst, dann kannst Du jetzt direkt erkennen, ob es sich um eine waagrechte Wurfbewegung handelt und diese sogar berechnen.

Nachfolgend sind die wichtigsten Formeln noch einmal für Dich in einer Tabelle zusammengefasst.