Brechungsgesetz

Lichtbrechung – Erklärung

Licht kannst Du Dir als ein Strahlenbündel vorstellen, das geradlinig durch ein Medium verläuft. Wenn sich Licht beispielsweise durch das Vakuum (luftleeren Raum) bewegt, gibt es keine Moleküle, die es ausbremsen könnten. Deswegen kann sich Licht im Vakuum also ungehindert ausbreiten und erreicht dort seine maximale Geschwindigkeit, die Vakuumlichtgeschwindigkeit c.

Sind allerdings Moleküle im Medium vorhanden, dann kann Licht mit diesen Molekülen auf unterschiedliche Weise wechselwirken. Beispielsweise kann es gestreut oder absorbiert werden. Damit ändert sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit und die Ausbreitungsrichtung von Licht in Materie.

Unterschiedliche Materialien haben unterschiedliche Auswirkungen auf die Lichtgeschwindigkeit. Beispielsweise ist die Lichtgeschwindigkeit in der Luft höher als die Geschwindigkeit von Licht im Wasser oder Glas. Die "Durchlässigkeit" eines Materials für Licht wird durch den Brechungsindex angegeben.

Brechungsindex

Materialien, die mehr Licht durchlassen, heißen optisch dünne Materialien. Optisch dichte Materialien hingegen lassen weniger Licht durch. Die optische Dichte eines Materials wird durch seinen Brechungsindex, beziehungsweise die Brechzahl, bestimmt.

Da in unterschiedlichen Materialien unterschiedliche Wechselwirkungen zwischen Licht und den Molekülen stattfinden können, ist die Lichtgeschwindigkeit in unterschiedlichen Materialien verschieden. Damit unterscheidet sich auch der Brechungsindex, je nach Material.

Die Brechungsindices einiger Stoffe findest Du in der folgenden Tabelle:

Da die Temperatur eines Stoffes Auswirkungen auf die Wechselwirkungen zwischen Molekülen und Licht hat, ist der Brechungsindex temperaturabhängig. Solange sich der Strahl aber durch ein Medium mit konstanter Dichte und Temperatur bewegt, bleibt seine Geschwindigkeit und damit auch der Brechungsindex konstant. Trifft der Strahl allerdings auf ein anderes Medium, dann kommt es zur Brechung.

Snelliussches Brechungsgesetz: Definition & Herleitung der Formel

Am folgenden Beispiel siehst Du, was mit Licht beim Übergang von einem Medium ins andere passiert.

Abb. 1 - Reflexion und Brechung an der Wasseroberfläche

Wenn der Lichtstrahl im Einfallswinkel α auf die Wasseroberfläche trifft, wird ein Teil des Lichts unter dem Winkel α' wieder reflektiert. Die entsprechenden Winkel sind in der Abbildung in Rot dargestellt. Der andere Teil tritt in das Wasser ein und wird dort unter dem Winkel β (blau eingezeichnet) gebrochen. Bei der Reflexion gilt das Reflexionsgesetz.

Sowohl der Einfallswinkel als auch der Reflexions- oder Brechungswinkel werden dabei zwischen den entsprechenden Strahlen und dem Lot senkrecht zur Wasseroberfläche gemessen.

Was passiert aber mit dem Teil des Lichts, das nicht reflektiert wird?

Herleitung des Snelliusschen Brechungsgesetzes

Der andere Teil des Lichts tritt in das Wasser ein. Dabei ändert sich seine Geschwindigkeit und Ausbreitungsrichtung. Es tritt also Brechung auf. Diese wird durch das Snelliussche Brechungsgesetz beschrieben.

Um das Brechungsgesetz herleiten zu können, schaust Du Dir am besten zwei parallel einfallende Strahlen an, die auf die Grenzfläche zwischen zwei Medien mit den Brechungsindices $n_1$ und $n_2$ treffen:

Abb. 2 - Abbildung zur Herleitung vom Brechungsgesetz

Im ersten Medium bewegen sich die Strahlen mit der Geschwindigkeit $c_1=\frac{c}{n_1}$. Dies folgt unmittelbar aus der Definition vom Brechungsindex, mit c als Vakuumlichtgeschwindigkeit. Während der erste Strahl im Punkt A schon auf die Grenzfläche trifft, hängt der zweite Strahl noch um die Strecke $L_2$ zurück. Erst nach einer gewissen Zeit trifft auch der zweite Strahl auf die Grenzfläche im Punkt B.

Die dabei vergangene Zeit t ergibt sich aus der zurückgelegten Strecke $L_2$ und der Geschwindigkeit des Strahls $c_1$:

$$\begin{array}{rl}{L}_2& =c_1\cdot t\\ t& =\frac{L_2}{c_1}\\ t& =\frac{L_2}{\frac{c}{x_1}}\\ t& =\frac{L_2}{c}\cdot n_1\end{array}$$

In derselben Zeit ist der erste Strahl bereits in das zweite Medium eingedrungen und hat dort die Strecke $L_1$ zurückgelegt. Da der Strahl sich hier mit der Geschwindigkeit $c_2$ bewegt, folgt genauso für diese Strecke:

$$\begin{array}{rl}{L}_1& =c_2\cdot t\\ t& =\frac{L_1}{c_2}\\ t& =\frac{L_1}{\frac{c}{n_2}}\\ t& =\frac{L_1}{c}\cdot n_2\end{array}$$

In beiden Fällen ist dieselbe Zeit vergangen, deswegen kannst Du die beiden Gleichungen kombinieren:

$$\begin{array}{rl}\frac{L_2}{c}\cdot n_1& =\frac{L_1}{c}\cdot n_2\\ L_2\cdot n_1& =L_1\cdot n_2\end{array}$$

Der Sinus eines Winkels ist definiert als seine Gegenkathete geteilt durch die Hypothenuse. In Abbildung 2 kannst Du erkennen, dass die Gegenkathete des Einfallswinkels α der Strecke $L_2$ entspricht, während der Strahlenabstand d die Ankathete darstellt. Damit ergibt sich für den Einfallswinkel:

$$\begin{array}{rl}\sin (\alpha )& =\frac{L_2}{d}\\ L_2& =\sin (\alpha )\cdot d\end{array}$$

Die Gegenkathete vom Brechungswinkel β ist die Strecke $L_1$, während d ebenfalls die Ankathete ist. Daraus folgt für den Brechungswinkel:

$$\begin{array}{rl}\sin (\beta )& =\frac{L_1}{d}\\ L_1& =\sin (\beta )\cdot d\end{array}$$

Wenn Du jetzt diese Ausdrücke für $L_1$ und $L_2$ in die obere Gleichung einsetzt, erhältst Du das Brechungsgesetz:

$$\begin{array}{rl}{L}_2\cdot n_1& =L_1\cdot n_2\\ \sin (\alpha )\cdot d\cdot n_1& =\sin (\beta )\cdot d\cdot n_2\\ \sin (\alpha )\cdot n_1& =\sin (\beta )\cdot n_2\end{array}$$

Das Brechungsgesetz gibt also den Zusammenhang zwischen den Brechungsindices der am Übergang beteiligten Medien, dem Einfalls- und dem Brechungswinkel an.

Snelliussches Brechungsgesetz – Definition und Bedeutung

Mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz kannst Du das Brechverhalten von unterschiedlichen Materialien bestimmen oder zumindest vorhersagen.

Je nachdem, welches Medium am Übergang beteiligt ist, wird der Lichtstrahl entweder gar nicht, vom Lot weg oder zum Lot hin gebrochen. Dies ergibt sich unmittelbar aus dem Brechungsgesetz.

Der genaue Brechungswinkel wird dabei durch die Brechungsindices und den Einfallswinkel bestimmt.

Bei Übergängen vom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium, wie aus dem Wasser in die Luft, kann außerdem ein besonderes Phänomen, die sogenannte Totalreflexion, auftreten.

Totalreflexion

Da beim Übergang vom optisch dichteren Medium ins optisch dünnere Medium der Strahl vom Lot weg gebrochen wird, kann der Brechungswinkel bei einem bestimmten Einfallswinkel 90° betragen. In diesem Fall tritt der gebrochene Strahl nicht in das optisch dünnere Medium ein. Der entsprechende Einfallswinkel heißt Grenzwinkel. Wird dieser vergrößert, kommt es zur Totalreflexion.

Die Totalreflexion findet Anwendung unter anderem in der Kommunikationstechnik.

Physik Aufgaben zum Brechungsgesetz

Das Brechungsgesetz ist im Alltag oft verwendbar. Insbesondere kann es beim Fischen sehr praktisch sein.

In Glasfasern wird die Totalreflexion dazu ausgenutzt, um Lichtstrahlen durch die Faser zu leiten. Dabei muss der Strahl jeweils in einem bestimmten Winkel auf die Innenseite der Glasfaser treffen, damit es nicht an der Grenzfläche zur Luft gebrochen, sondern total reflektiert wird.

Das Prinzip der Brechung wird nicht nur in der Kommunikationstechnik, sondern auch in optischen Geräten ausgenutzt. Dabei werden Bauteile wie Linsen oder Prismen verwendet, um Objekte zu vergrößern oder Licht in seine Bestandteile zu zerlegen.

Anwendung vom Brechungsgesetz für Linsen und Prisma

Bei Linsen oder Prismen wird mit dem Brechungsgesetz gearbeitet. In beiden Fällen handelt es sich um transparente, optische Bauteile, die meistens aus Glas bestehen.

Brechung an Linsen

An Linsen wird Licht zweimal gebrochen: Einmal beim Übergang von Luft zu Glas und einmal beim Austritt aus der Linse in die Luft.

Abb. 5 - Lichtbrechung an einer Sammellinse

Bei der ersten Lichtbrechung geht das Licht aus der Luft (Brechungsindex $n_1=n_{Luft}$) ins Glas (Brechungsindex $n_2=n_{Glass}$) über. Weil $n_1<n_2$ ist, wird der Strahl zum Lot hin gebrochen.

Der zweite Übergang findet aus dem Glas (also $n_1=n_{Glas}$) in die Luft (also $n_2=n_{Luft}$) statt. Hier ist also $n_1>n_2$, sodass der Strahl vom Lot weg gebrochen wird.

Wenn die Dicke der Linse bei sogenannten dünnen Linsen im Vergleich zum Radius klein ist, dann kann die Brechung zur Vereinfachung auf eine einzige Ebene durch die Linsenmitte reduziert werden. Diese Ebene heißt Linsenebene.

Brechung am Prisma

Auch am Prisma wird das Licht zweifach gebrochen, einmal beim Eintritt ins Prisma und einmal beim Austritt in die Luft:

Abb. 6 - Lichtbrechung an einem Prisma

Hier findet ebenfalls der erste Übergang aus einem optisch dünneren Medium (Luft, $n_1=n_{Luft}$) in ein optisch dichteres Medium (Glas, $n_2=n_{Glas}$) statt. Es ist also $n_1<n_2$ und der Strahl wird zum Lot hin gebrochen.

Beim zweiten Mal geht das Licht aus einem optisch dichteren Medium (Glas, also $n_1=n_{Glas}$) in ein optisch dünneres Medium (Luft, also $n_2=n_{Luft}$) über. Da in diesem Fall $n_1>n_2$ ist, wird der Strahl vom Lot weg gebrochen.