Parabolspiegel

Parabolspiegel Optik

Der Begriff Spiegel wird im Alltag oft verwendet. Meist bezeichnen wir damit den Spiegel, der an der Wand hängt und in dem wir unser eigenes Spiegelbild erkennen können. Doch was macht einen Spiegel eigentlich aus?

Ein Spiegel im Allgemeinen ist ein optisches Bauelement, das die Eigenschaft besitzt, Strahlen abzulenken. Seine Funktionsweise beruht auf der Reflexion von eintreffenden Strahlen.

Grundsätzlich werden Spiegel nach der Form ihrer Spiegelfläche unterschieden: Es gibt ebene Spiegel und gekrümmte Spiegel. Ein ebener Spiegel wird auch als Planspiegel bezeichnet. Das sind die Spiegel, die Du zum Beispiel aus Deinem Bad kennst. Ein gekrümmter Spiegel hingegen wird oft in optischen Geräten eingesetzt, wie etwa in einem Teleskop. Es gibt hier zwei Unterarten: den sphärischen Spiegel und den asphärischen Spiegel (z. B. Parabolspiegel).

Der Parabolspiegel gehört zu den gekrümmten Spiegel, die eine asphärische Oberfläche besitzen. Zudem wird er meist in Form eines Hohlspiegels eingesetzt.

Hohlspiegel

Ein Hohlspiegel ist ein Spiegel mit gekrümmter Oberfläche, dessen innenliegende Seite Strahlen reflektiert. Wird die Außenseite gespiegelt, wird von einem Wölbspiegel gesprochen.

Es gibt zwei grundlegende Bauformen eines Hohlspiegels: sphärisch und asphärisch. Der Parabolspiegel gehört hier zu den asphärischen Spiegeln. Doch was ist der Unterschied zwischen den verschiedenen Bauformen?

Ein sphärischer Spiegel hat eine gleichmäßige Krümmung. Die Oberfläche ist immer Teil einer Kugelfläche. Sphärische Spiegel sind in der Herstellung recht unkompliziert aufgrund der gleichmäßigen Krümmung. Dafür zeigen sie in der Anwendung einen Nachteil: Der Spiegel kann nur achsnahe Strahlen exakt fokussieren. Für weiter außen liegende Strahlen ist die Krümmung des Spiegels nicht optimal, um die Strahlen genau in den Brennpunkt zu reflektieren.

Um die Schwachstelle der sphärischen Spiegel zu umgehen, kannst Du einen asphärischen Spiegel einsetzen. Der Parabolspiegel zum Beispiel kann die Strahlen alle exakt in den Brennpunkt fokussieren. Egal, wie weit die Strahlen von der optischen Achse entfernt eintreffen (natürlich nur solange sie den Spiegel auch noch treffen), sie werden genau in den Brennpunkt reflektiert.

Der Parabolspiegel arbeitet also auf einem breiten Bereich exakter als ein sphärischer Spiegel, aber das hat auch seinen Preis: Bei der Herstellung fallen höhere Kosten an, da die Krümmung für jeden Punkt des Spiegels individuell ist. Er ist zwar rotationssymmetrisch, aber wenn Du entlang einer Linie vom Mittelpunkt zum Rand des Spiegels laufen würdest, müsstest Du verschiedene Steigungen meistern.

Es lässt sich also festhalten: Der Parabolspiegel kann auch achsferne Strahlen in den Brennpunkt fokussieren, verursacht dabei aber in der Herstellung mehr Aufwand.

Reflexion am Parabolspiegel: Definition

Wie der Name bereits schließen lässt, hat der Parabolspiegel etwas mit Parabeln zu tun. Denn die Form eines Parabolspiegels ist ein sogenannter Rotationsparaboloid. Ein Rotationsparaboloid entsteht, wenn eine Parabel um ihre Symmetrieachse rotiert wird. Für die Krümmung der Spiegelfläche heißt das: Sie kann unterschiedliche Steigungen besitzen.

Das Funktionsprinzip eines Parabolspiegels ist folgendes: Parallel eintreffende Strahlen werden an der Spiegeloberfläche reflektiert und alle in den Brennpunkt des Spiegels geworfen. Die Strahlen konzentrieren sich also im Brennpunkt.

Andersherum kannst Du aber auch Licht im Brennpunkt emittieren, das dann nach der Spiegelung als paralleles Strahlenbündel ausgesandt wird.

Das Prinzip siehst Du in nachfolgender Abbildung veranschaulicht:

Die parallel einfallenden Strahlen (hier in rot dargestellt) treffen an einer beliebigen Stelle den Parabolspiegel. Aufgrund seiner Krümmung werden alle Strahlen, egal wo sie auf den Spiegel treffen, in den Brennpunkt F fokussiert. In der zweiten Grafik siehst Du dann das umgekehrte Verhalten: Die Lichtquelle im Brennpunkt F emittiert Strahlen (grün eingezeichnet), die den Parabolspiegel als parallele Strahlen verlassen.

Parabolspiegel Beispiele

Die Anwendungen eines Parabolspiegels sind vielfältig: zum Beispiel als Scheinwerfer, um punktuell Stoffe zu erhitzen oder als Bauteil eines Teleskops. Mit seiner Fähigkeit, Strahlen exakt zu fokussieren, wird er gerne als Fokussieroptik eingesetzt.

Parabolspiegel Beispiele: Scheinwerfer

Ein häufiges Einsatzgebiet des Parabolspiegels begegnet Dir jeden Tag: der Scheinwerfer. Dafür wird eine Lichtquelle in den Brennpunkt des Parabolspiegels gebracht und der Parabolspiegel erledigt den Rest. Die parallel ausfallenden Strahlen bilden den Scheinwerferstrahl, mit dem Du nun zum Beispiel die Straße vor Deinem Auto erleuchten kannst.

Parabolspiegel Beispiele: Teleskop

Während der Scheinwerfer Licht aussendet, fängt ein Teleskop die Lichtstrahlen für ein. Da Du mit einem Teleskop in der Regel sehr weit entfernte Dinge beobachtest, z. B. die Sterne im All, fallen die Lichtstrahlen gewissermaßen parallel ein. Ein Parabolspiegel im Teleskop hilft, diese Strahlen zu fokussieren, damit Du den Stern auch von der Erde aus sehen kannst.

Parabolspiegel werden weiterhin auch genutzt, um Sonnenenergie zu bündeln. Da der Parabolspiegel die eintreffenden Sonnenstrahlen auf einen kleinen Punkt konzentriert, kann die Sonnenenergie so effizient eingefangen werden. Du benötigst dafür keine großen Flächen, die die Energie aufnehmen können, es genügt ein Kollektor im Brennpunkt des Spiegels.

Parabolspiegel können aber nicht nur Licht fokussieren, sondern auch andere Formen von Wellen. So ist auch eine Satellitenschüssel eine Art Parabolspiegel, allerdings für Funkwellen. Die Schüssel, die auch eine parabelförmige Krümmung besitzt, bündelt so zum Beispiel Fernsehsignale. Im Brennpunkt der Satellitenschüssel befindet sich ein Empfänger für Funkwellen: eine sogenannte Antenne. Ist die Satellitenschüssel korrekt ausgerichtet, sodass sie die Signale auch einfangen kann, dann kannst Du mit Deinem TV auf die Fernsehsender zugreifen.

Ganz große Exemplare dieser Satellitenschüssel kannst Du mancherorts in sogenannten Erdfunkstellen sehen.

Parabolspiegel berechnen

Nun wird der Parabolspiegel mathematisch betrachtet. Wir wollen zusammen den Brennpunkt eines Parabolspiegels bzw. einer Parabel berechnen.

Grafisch veranschaulicht siehst Du diesen Zusammenhang in der nachfolgenden Abbildung. t(x) ist die Tangente an die Parabel f(x) im Punkt $P\left(2|2\right)$. Nimmst Du die Winkel zwischen dem von oben einfallenden Strahl und der Tangente t und zwischen dem reflektierten Strahl Richtung Brennpunkt F und der Tangente t, kannst Du feststellen, dass die beidem Winkel gleich groß sind.

Parabolspiegel: Herleitung des Brennpunktes

Für die Herleitung betrachtest Du den Parabolspiegel als mathematische Funktion. Die Parabel stellt hierbei die Spiegelform mathematisch dar.

Schritt 1: Tangente an einer Parabel

Zuerst bestimmst Du die Tangente am Punkt P, an dem der parallele Strahl den Parabolspiegel trifft. Dafür benötigst Du die Koordinaten des Punktes P und die Parabelgleichung$f\left(x\right)$.

Schritt 2: Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse

Du hast nun die Tangentengleichung und es ist bekannt, dass der Brennpunkt F die x-Koordinate 0 besitzt. Um seine y-Koordinate zu ermitteln, berechnest Du also zunächst den Schnittpunkt S der Tangente t mit der y-Achse.

Schritt 3: Satz des Pythagoras zur Streckenbestimmung

Als Nächstes betrachtest Du den Aspekt, dass der Brennpunkt F denselben Abstand zu Punkt P und zum Schnittpunkt S hat (das ist bei Parabeln immer so). Du kannst im nächsten Schritt den Satz des Pythagoras nutzen, um die Strecke $\overline{FP}$zu definieren.

Anschließend stellst Du ebenfalls die Strecke $\overline{FA}$ auf und setzt $\overline{FP}=\overline{FA}$. Du erhältst in diesem Rechenschritt die y-Koordinate des Brennpunkts.

Schritt 4 (Lösung): Koordinaten bestimmen

Die eben bestimmte y-Koordinate setzt Du in die Koordinaten des Punktes F ein:

$F=(0|y_F)$

Du hast also den Brennpunkt der Parabel und damit den Brennpunkt des Parabolspiegels bestimmt.

Parabolspiegel Funktion

Der Parabolspiegel wird meist als Fokussieroptik eingesetzt, aufgrund seiner Eigenschaft, parallel einfallende Strahlen exakt in einem Brennpunkt zu fokussieren. Um diese Eigenschaft ausnutzen zu können, musst Du wissen, wo sich der Brennpunkt befindet. In diesen Brennpunkt kannst Du dann zum Beispiel einen Kollektor setzen, der die Energie der Strahlen einfängt.

Folgende Abbildung veranschaulicht dieses Prinzip: Von der Sonne treffen die Strahlen auf den Parabolspiegel. Dort werden sie reflektiert und in den Brennpunkt (Fokus) umgelenkt. Im Brennpunkt kannst Du nun eine Art Empfänger anbringen, zum Beispiel eine Solarzelle, die die Strahlungsenergie direkt umwandelt.

Eine andere gängige Form, um die Solarenergie einzufangen, ist eine Rohrleitung, die durch den Brennpunkt verläuft. In diesem Rohr befindet sich eine Flüssigkeit, die durch die reflektierten Strahlen aufgeheizt wird. So kann die dabei entstehende Wärme später weiter verarbeitet werden.

Parabolspiegel Brennpunkt berechnen

Im vorigen Abschnitt hast Du gesehen, wie der Brennpunkt einer Parabel bestimmt werden kann. Es gibt allerdings auch eine einfachere Lösung: Wenn Du den Brennpunkt ohne aufwendige Rechenarbeit angeben möchtest, kannst Du dies über den Öffnungsfaktor a der Parabel machen.

Ist der Öffnungsfaktor positiv, ist die Parabel beispielsweise nach oben geöffnet. Ein negativer Faktor hingegen bedeutet, dass sie nach unten geöffnet ist. Auch der Betrag des Faktors übt sich auf die Öffnung aus. Bei einem Betrag unter 1 ist die Parabel beispielsweise sehr weit geöffnet, bei Beträgen über 1 wird die Öffnung der Parabel immer schmäler.

Ist Dir der Öffnungsfaktor der Parabel, die den Parabolspiegel abbildet, bekannt, kannst Du mit der nachfolgenden Formel ihren Brennpunkt bestimmen.

Du kannst Dir mit dieser Formel eine Menge Aufwand ersparen, sofern Dein Lehrer keinen Rechenweg sehen möchte.