Quantenmechanik

Quantenmechanik einfach erklärt

Während die klassische Physik sich mit der makroskopischen Welt beschäftigt, widmet sich die Quantenmechanik den Grundbausteinen unserer Welt – den sogenannten Quanten.

Quanten verhalten sich ganz anders, als wir es von der klassischen Physik gewohnt sind. Beispielsweise können sie nur ganz bestimmte Zustände einnehmen oder sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften haben. Um dieses Verhalten zu beschreiben, brauchen wir also ganz neue Theorien und Gesetze.

Manche quantenmechanische Theorien sind sogar so abstrus, dass selbst die schlausten Köpfe der Wissenschaft sie ihrerzeit kaum glauben konnten. Deswegen erfanden sie Gedankenexperimente, um die Gültigkeit dieser Theorien zu überprüfen oder aufzuzeigen, wie seltsam die Quantenmechanik doch ist.

Ob Schrödingers Katze oder der Laplace'scher Dämon (Determinismus), quantenmechanische Gedankenexperimente sind mittlerweile weit über die Grenzen der Wissenschaft bekannt. Es gibt wohl kaum ein physikalisches Gebiet, dass so viele interessante Fragen beantworten kann, wie die Quantenmechanik. Und sicher keines, was mindestens genauso viele Fragen seinerseits aufwirft.

Was wäre, wenn es einen allwissenden Dämon gäbe, der sowohl die Vergangenheit als auch die Zukunft beschreiben kann? Und was ist denn nun mit Schrödingers Katze – ist sie noch am Leben, bereits tot oder doch irgendetwas dazwischen? Gibt es eine spukhafte Fernwirkung, die Zeitreisen ermöglicht und die Existenz von Wurmlöchern belegt?

Abb. 2 - Quantenmechanische Gedankenexperimente

Fragen, mit der sich nicht nur die Physik, sondern auch die Philosophie seit nun fast einem Jahrhundert beschäftigt und die der Quantenmechanik ihren mystischen Ruf verleihen. Doch warum gilt sie als so schwer zu begreifen, dass sogar der große Albert Einstein daran verzweifelt ist? Die Antwort darauf findest Du in den Theorien der Quantenmechanik, die jeglicher klassischer Intuition widersprechen.

Quantenmechanische Phänomene

Quantenmechanische Phänomene beschränken sich keineswegs nur auf die Quantenwelt. Du könntest sie auch in der makroskopischen Welt wiederfinden. Allerdings sind sie in dieser so klein, dass sie weder beobachtet werden können, noch sich in irgendeiner anderen Weise bemerkbar machen. Schau Dir das zum Beispiel am Verhalten von Licht an.

Quantenobjekt Photon

Die Frage über die Zusammensetzung von Licht hat die Menschheit schon seit der Antike verfolgt. Neben großen Mathematikern wie Pythagoras und Euklid beschäftigte sich auch Isaak Newton mit dieser Fragestellung. Seiner Korpuskeltheorie zufolge besteht Licht aus kleinsten Teilchen, sogenannten Korpuskeln, und breitet sich durch ihre Bewegung im Raum aus.

Mit Licht als Teilchen kannst Du bereits viele Phänomene erklären. Allerdings gibt es auch Phänomene, wie Beugung oder Interferenz, die nur von Wellen bekannt sind. Teilchen könnten diese nicht verursachen und doch treten sie bei Licht auf. Deswegen wurde die Wellentheorie des Lichts, unter anderem von Christiaan Huygens, entwickelt. Nach dieser wird Licht nicht als ein Teilchen, sondern als elektromagnetische Welle betrachtet.

Aber was ist denn nun Licht? Heute wird allgemein akzeptiert, dass Licht aus Photonen besteht. Photonen sind Elementarteilchen.

Abb. 3 - Elementarteilchen

Also sind Photonen Teilchen? Ja und nein: Es kommt ganz darauf an, was Du beobachten möchtest! Im Photoeffekt verhalten sich Photonen beispielsweise wie Teilchen. Im Doppelspaltexperiment hingegen wie eine Welle. Da sie also sowohl Wellen- als auch Teilchencharakter haben, könne sie der Situation entsprechend als Teilchen oder als Welle beschrieben werden. Dies wird als Welle Teilchen Dualismus bezeichnet.

Welle Teilchen Dualismus

Die klassische Physik unterscheidet zwischen Wellen und Teilchen. Wellen entstehen beispielsweise, wenn ein Tropfen Wasser die Oberfläche eines Sees trifft. Teilchen hingegen sind winzige Krümel von Materie, aus denen Atome, Moleküle und somit die makroskopische Welt aufgebaut ist.

Abb. 4 - Wellen und Teilchen im klassischen Sinn

Weil hier Wellen und Teilchen als zwei unterschiedliche Sachen betrachtet werden, werden ihnen auch unterschiedliche Eigenschaften zugesprochen:

Diese Unterscheidung ergibt auch Sinn, solange makroskopische Teilchen betrachtet werden. Schießt Du beispielsweise mit einem Maschinengewehr auf einen Doppelspalt, so kommen die Projektile durch einen der beiden Spalte und die Einschusslöcher häufen sich an der Wand genau hinter den Spalten. Machst Du dasselbe mit einer Elektronenkanone, dann erscheint auf dem Schirm hinter dem Doppelspalt ein Interferenzmuster.

Im klassischen Sinne sind nur Wellen zur Interferenz fähig. Dass Du dieses Verhalten allerdings auch bei Elementarteilchen beobachten kannst, gilt als wichtiger Nachweis dafür, dass Objekte sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften besitzen können.

Der Welle Teilchen Dualismus bringt noch viele weitere interessante Folgerungen hervor, die in der klassischen Physik kein Analogon finden. Eine der bekanntesten davon ist die Heisenbergsche Unschärferelation.

Heisenbergsche Unschärferelation

Im Alltagsleben kannst Du jedem Objekt einen bestimmten Ort zuweisen. Dabei spricht auch nichts dagegen, Aussagen über die entsprechende Geschwindigkeit und somit den Impuls zu machen.

Dies ist allerdings nicht der Fall in der Quantenmechanik, denn hier gilt die Heisenbergsche Unschärferelation. Diese besagt, dass bestimmte physikalische Größen nicht gleichzeitig genau bestimmt werden können. Dazu gehören beispielsweise auch Impuls und Ort eines Teilchens.

Diese Unschärfen werden allerdings nicht durch ungenaue Messapparaturen oder Ablesefehler verursacht, sondern sind die unmittelbare Folge des Welle Teilchen Dualismus. Neben der Orts-Impulsunschärfe gibt es auch noch weitere Unschärfen. Mehr dazu findest Du im Artikel zur Heisenbergschen Unschärferelation.

Quantenverschränkung

Eines der wohl seltsamsten quantenmechanischen Phänomene ist die Quantenverschränkung. Diese besteht, wenn die Zustände zweier Teilchen einander bedingen.

Die Zustände zweier verschränkter Objekte hängen also voneinander ab. Diese Abhängigkeit bleibt auch dann erhalten, wenn sie räumlich voneinander getrennt werden. Dies scheint allerdings eines der der Grundprinzipien der klassischen Mechanik zu verletzen, denn nach dem Prinzip der Lokalität können sich nur Objekte in unmittelbarer Nähe zueinander beeinflussen.

Diese Unstimmigkeit sorgte seinerzeit für große Aufregung in der Welt der Wissenschaft. Allerdings ist es nicht das einzige Quantenphänomen, das sich allen klassischer Prinzipien widersetzt.

Tunneleffekt

Der Tunneleffekt ist ein weiteres seltsames Phänomen der Quantenwelt, das Dir in der klassischen Welt niemals begegnen wird.

Stell Dir dazu folgendes Szenario vor: Du stehst vor einem Berg und möchtest auf die andere Seite kommen. In der realen Welt müsstest Du dazu zunächst auf den Berg steigen und auf der anderen Seite wieder hinunterklettern:

Abb. 5 - Tunneleffekt

Den Berg kannst Du Dir auch wie eine Energiebarriere vorstellen, die Du beim Klettern überwindest. Je höher der Berg ist, desto mehr Energie brauchst Du auch, um ihn zu besteigen. Reicht Deine Energie nicht ganz aus, dann schaffst Du es auch nicht ganz hoch.

In der Quantenwelt sieht es jedoch ganz anders aus: Solange der Energieberg nicht unendlich hoch ist, kann ihn ein Teilchen überwinden, auch wenn es eigentlich nicht ausreichend Energie besitzt. Dies wird als Tunneleffekt bezeichnet.

Der Tunneleffekt spielt eine besondere Rolle in chemischen Reaktionen und bei Kernumwandlungen. Aber worin gründet er, gemeinsam mit den anderen quantenmechanischen Theorien?

Postulate der Quantenmechanik

Die Grundlage der Quantenmechanik bilden die Postulate der Quantenmechanik. Dies sind eine Art Gesetze, auf denen das entsprechende mathematische Gerüst baut.

Um ein quantenmechanisches System beschreiben zu können, brauchst Du zunächst eine entsprechende mathematische Formulierung. Dieser entspricht das erste Postulat. Das zweite Postulat beschäftigt sich damit, wie Du eine Messung mathematisch beschreiben kannst.

Mit den ersten beiden Postulaten kannst Du also sowohl den Zustand eines Systems, als auch einen Messprozess mathematisch beschreiben. Wie sieht es allerdings mit Vorhersagen zu Messergebnissen aus?

Quantenmechanik Erwartungswert

Da der Zustand erst durch Messung bestimmt ist und jedes mögliche Messergebnis mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auftreten kann, ist es vor der Messung nicht möglich, exakte Aussagen über das Messergebnis zu machen.

In der Quantenmechanik rechnest Du also mit Wahrscheinlichkeiten. Diese sind durch die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation bestimmt.

Jetzt hast Du alle Werkzeuge, um den Zustand eines Systems durch seine Wellenfunktion anzugeben und sogar die Möglichkeit, Messungen mathematisch zu beschreiben. Nun wird es Zeit, Dir anzuschauen, wie sich dieser Zustand mit Zeit verändern kann.

Schrödinger-Gleichung

Das letzte Postulat der Quantenmechanik ist die Schrödinger Gleichung. Sie bildet die Grundlage zur Erklärung sämtlicher atomarer und elektronischer Vorgänge.

Die Frage nach dem Aufbau der Quantenmechanik, ist also mit ihren Postulaten beantwortet. Nun bleibt es nur noch zu klären, was Du damit anstellen kannst!

Quantenmechanische Systeme im Überblick

Mit den Postulaten der Quantenmechanik kannst Du nun sämtliche quantenmechanische Systeme beschreiben. Einige dieser Systeme, wie der harmonische oder anharmonische Oszillator, könnten Dir dabei aus der klassischen Mechanik bekannt vorkommen: Sie beschreiben harmonische oder anharmonische Schwingungen – nur auf Quantenebene. Aber bevor wir zu diesen kommen, fangen wir mit einem der einfachsten quantenmechanischen Systeme an: dem linearen Potentialtopf.

Linearer Potentialtopf

Stell Dir nun ein Teilchen in einer offenen Box mit unendlich hohen Wänden vor. Somit kann sich das Teilchen innerhalb des Kastens frei bewegen, diesen allerdings nicht verlassen. Mathematisch wird dieser Kasten durch einen linearen Potentialtopf beschreiben. Den Potentialtopf kannst Du Dir dabei wie einen Energietopf vorstellen, der durch einen Energieabfall entsteht. Dabei sind unterschiedliche Formen möglich:

Abb. 6 - Unterschiedliche Potentialtöpfe

Die Potentialwand (Funktion E(x)) entspricht der Energiebarriere und diese wird durch den Energieabfall bestimmt. Je stärker dieser ist, desto höher ist die Barriere. Bei schwachem Energieabfall (Bild links) ist die Energiebarriere E(x) beispielsweise kleiner als beim mittleren Bild. Bei sehr großem Energieabfall (Bild ganz rechts) ist die Energiebarriere unendlich groß. Der Potentialtopf hat also praktisch unendlich hohe Wände.

Dieses Modell wird oft in der Chemie oder Festkörperphysik verwendet, um Elektronensysteme zu beschreiben: In einem Molekül oder einem Leiter können sich die Elektronen nämlich nur im begrenzten Raum frei bewegen, diesen aber nicht verlassen. Wie sich beispielsweise das Elektron im Wasserstoff-Atom verhält, erfährst Du im Artikel Schrödinger-Gleichung für Wasserstoff.

Quantenmechanik Harmonischer Oszillator

In der klassischen Mechanik kannst Du mit einem Pendel harmonische Schwingungen erzeugen. Schwingungen gibt es allerdings nicht nur in der makroskopischen Welt. Aber wie beschreibst Du Schwingungen auf kleinster Ebene, wie atomare oder elektronische Schwingungen? In der Quantenmechanik wird dazu der harmonische Oszillator verwendet.

Auch hier wird eine Energiebarriere betrachtet. Diese entsteht, wenn ein Pendel sich von seiner Ruhelage (Energieminimum) bei der Schwingung entfernt. Dabei steigt die potentielle Energie E(x) gleichmäßig für beide Schwingungsrichtungen:

Abb. 7 - Harmonischer Oszillator

Chemische Bindungen kannst Du Dir wie kleine Sprungfedern vorstellen. Wird die Feder zusammengedrückt, so steigt die Energie genauso stark an, wie wenn die Feder auseinander gezogen wird. Der harmonische Oszillator ist allerdings ein idealisiertes Modell und kann in der Quantenmechanik nur bedingt auf atomare Schwingungen angewendet werden. Interessanter wird deshalb der Fall des anharmonischen Oszillators.

Anharmonischer Oszillator Quantenmechanik

Im Gegensatz zum harmonischen Oszillator ist die Rückstellkraft nicht immer proportional zur Auslenkung. Dies gilt insbesondere bei Atombindungen. Hier werden Atome durch Elektronenpaarbindungen miteinander verknüpft und es bilden sich Moleküle. Dabei werden die Bindungselektronen von den, an der Bindung beteiligten, Atomen geteilt.

Wird dieser Abstand verändert, so steigt auch die Energie der Teilchen. Wie sich der Abstand ändern kann, wird dabei in

folgender Abbildung gezeigt.

Abb. 8 - Schematische Darstellung einer Bindung zwischen zwei Atomen bei unterschiedlichen Abständen

Schau Dir nun an, was gleichzeitig mit der Energie passiert:

Abb. 9 - Anharmonischer Oszillator

Werden die Atome weiter zusammengedrückt (Bereich 1), dann steigt die Energie, da nun die Abstoßung der Teilchen überwiegt. Bei weiterem Auseinanderziehen (Bereich 2) steigt die Energie ebenfalls, da hier gegen die Anziehungskräfte gearbeitet wird.

Während beim harmonischen Oszillator die Energie ins unendliche steigen würde, wenn Du die Teilchen noch weiter auseinander ziehst, bleibt sie beim anharmonischen Oszillator ab einem gewissen Punkt konstant (Bereich 3). Dies liegt daran, dass die Atome nun so weit auseinander gebracht wurden, dass die Bindung nicht mehr bestehen kann und wenn Teilchen nicht mehr gebunden sind, kann die Energie auch nicht weiter ansteigen.

Um Schwingungen und andere quantenmechanische Zustände auch quantitativ beschreiben zu können, brauchst Du jedoch zunächst einen Satz weiterer quantenmechanischer Werkzeuge: Die sogenannten Quantenzahlen!

Quantenzahlen

Ein quantenmechanischer Zustand wird durch entsprechende Quantenzahlen charakterisiert. Dabei entsprechen unterschiedliche Quantenzahlen unterschiedlichen Eigenschaften des Systems.

Beispielsweise werden durch Haupt- und Nebenquantenzahlen zum einen das Energieniveau und zum anderen der Drehimpuls von Teilchen beschrieben. Darüber hinaus gibt es neben der Spinquantenzahl je nach System auch sämtliche weitere Quantenzahlen.

Knotensatz Quantenmechanik

Vielleicht fragst Du Dich an dieser Stelle, wie das mit der Energie genauer funktioniert. Die Antwort darauf kommt von Max Planck, der die Quantisierung von Energie eingeführt hat.

Daraus folgt, dass die Energie eines quantenmechanischen Systems eigentlich gar nicht kontinuierlich ist. Stattdessen existieren diskrete Energiezustände, zwischen denen das Teilchen wechseln kann. Diese gibt es in jedem System und Du kannst sie Dir wie "Stufen" einer Treppe vorstellen. Das jeweilige Energieniveau wird dabei durch die Hauptquantenzahl n angegeben:

Abb. 10 - Energieniveaus in Quantenmechanischen Systemen

Wie Du erkennen kannst, rücken die Energieniveaus im linearen Potentialtopf weiter auseinander, je höher die Energie ist. Beim harmonischen Oszillator hingegen bleiben die Abstände konstant und beim anharmonischen Oszillator rücken sie mit zunehmender Energie weiter zusammen.

Das Teilchen nimmt also unterschiedliche Energiezustände ein. Nach dem ersten Postulat der Quantenmechanik wird jeder dieser Zustände durch eine Wellenfunktion beschrieben. Einige dieser Wellenfunktionen sind in folgender Abbildung für die jeweiligen Energieniveaus dargestellt:

Abb. 11 - Wellenfunktion und Knotenregel

Dabei kannst Du hauptsächlich zwei Sachen erkennen: Einerseits entspricht die Anzahl der Knoten der Hauptquantenzahl n. Dies wird als Knotenregel bezeichnet.

Andererseits nimmt die Anzahl der Knoten mit steigender Energie zu. Je höher die Energie des Teilchens also ist, desto mehr Knoten weist die Wellenfunktion auf. Damit kannst Du aus der Anzahl der Knoten auf das entsprechende Energieniveau schließen.

Jetzt hast Du eine Vorstellung davon, was die Hauptquantenzahl aussagt. Wie sieht es allerdings mit den anderen Quantenzahlen aus?

Drehimpuls Quantenmechanik

Neben der Energie ist auch der Drehimpuls eine wichtige Größe der Quantenmechanik. Im Gegensatz zum klassischen Drehimpuls kann der quantenmechanische Drehimpuls noch weiter unterteilt werden in Spin und Bahndrehimpuls.

Für \(\textit{l} = 2\) ergeben sich somit \(\displaystyle 2 \cdot 2 + 1 = 5\) mögliche Orientierungen:

Abb. 12 - Richtungsquantisierung vom Bahndrehimpuls für l=2

Der Bahnimpulsvektor (dargestellt als Pfeil) kann in jede beliebige Raumrichtung zeigen. Betrachtest Du, wie in Abbildung 12, die z-Komponente, so kannst Du die Quantisierung entlang dieser Richtung wie dargestellt angeben. Da Du die z-Komponente des Bahndrehimpulses L betrachtest, wird diese Achse zur L_z-Achse.

Die einzelnen Komponenten des Drehimpulsvektors können nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden. Wenn Du Dir also schon die z-Richtung ausgesucht hast, kannst Du nicht genau sagen, wie der Vektor in y- oder x-Richtung orientiert ist. Diese Unschärfe wird dadurch dargestellt, dass der Vektor um die betrachtete Achse herum kreist. Durch seine Bewegung entstehen die dargestellten Kegel. Jeder dieser Kegel stellt also eine Orientierung im Raum dar.

Ähnlich ergeht es auch dem Spin. Im Gegensatz zum Bahndrehimpuls gibt es in der klassischen Mechanik jedoch nichts, womit er verglichen werden könnte. Vielmehr kannst Du ihn als Eigenschaft von Elementarteilchen, genau wie Ladung oder Masse, verstehen.

So wie die Ladung im elektrischen Feld macht sich der Spin erst im Magnetfeld bemerkbar: Je nach seiner Ausrichtung kann er entweder positiv oder negativ sein und manchmal wird er auch mit Vektorpfeilen angegeben. Weil Du ihn Dir allerdings nicht bildlich vorstellen kannst, hat dies mit seiner tatsächlichen Erscheinung wenig zu tun und soll lediglich sein Verhalten beschreiben.

Der Spin, insbesondere der Elektronenspin, spielt eine besondere Rolle im Atomaufbau und in der Chemie. Außerdem findet der Spin von Atomkernen auch in der Medizin eine wichtige Anwendung: Bei der Kernspintomografie, auch bekannt als MRT, wird die Orientierung des Kernspins dazu genutzt, um Gewebe und Organe präzise darzustellen.