De Broglie Wellenlänge

De Broglie Wellenlänge – Erklärung

Im 19. und 20. Jahrhundert wurden durch das Doppelspaltexperiment von Thomas Young und die Erklärung des Photoelektrischen Effekts durch Albert Einstein klar, dass es sich bei Photonen weder um reine Teilchen noch um reine Wellen handelt. Viel mehr besitzt Licht sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften. Sie haben eine Wellenlänge, aber ihnen lässt sich auch Teilcheneigenschaften wie zum Beispiel ein Impuls zuordnen.

In seiner Doktorarbeit formulierte de Broglie 1924 eine gewagte Hypothese. Photonen besitzen nicht nur Teilcheneigenschaften, sondern umgekehrt besitzen auch Elektronen Welleneigenschaften.

Photonen, Elektronen und weitere Bausteine der Materie besitzen also eine Doppelnatur. Sie verhalten sich je nach Experiment und Messung wie eine Welle oder ein Teilchen. In der Physik spricht man hierbei vom Welle-Teilchen-Dualismus. Dadurch lässt sich keine klare Unterscheidung mehr zwischen Teilchen und Wellen treffen.

Die Hypothese von de Broglie wurde inzwischen in verschiedenen Experimenten bestätigt und gilt auch für alle Materieteilchen. Allerdings ist dieser sogenannte Wellen-Teilchen-Dualismus so klein, dass er sich nur im Bereich der Quantenobjekte bemerkbar macht. 1929 erhielt de Broglie für seine Theorie den Physik-Nobelpreis.

Als Nächstes wollen wir uns anschauen, wie de Broglie auf seine Hypothese kam und wie man die de Broglie Wellenlänge berechnet.

De Broglie Gleichung – Formel und Herleitung

Hinter der Formel von de Broglie steckt eine einfache Überlegung, dazu müssen wir uns aber zunächst kurz mit der speziellen Relativitätstheorie und der wohl berühmtesten physikalischen Gleichung beschäftigen.

Photonen sind die Träger der elektromagnetischen Kraft. Sie sind masselos, bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit und besitzen eine Energie, die als ihre Wellenlänge ausgedrückt wird. Wir stellen sie uns klassisch als Wellen vor, allerdings können ihnen auch Teilcheneigenschaften wie ein Impuls zugeordnet werden.

De Broglie folgerte aus dem Zusammenhang von Energie und Masse, dass auch ein Teilchen mit einer Masse eine Wellenlänge haben kann. Den Beweis dafür leitete er anhand der Formel für den Impuls eines Photons her.

Vielleicht fragst Du Dich nun, wie Photonen einen Impuls haben können, wenn sie doch masselos sind. Ihre Masse ist schließlich gleich Null und alles mit Null multipliziert ergibt ebenfalls Null. Deshalb müssen wir bei Photonen den Impuls über ihre Energie berechnen, anstatt über ihre Masse.

Das bedeutet, ein Photon hat aufgrund seiner Energie und seiner Wellenlänge einen Impuls. Wenn Energie und Masse (in der klassischen Physik eine Teilcheneigenschaft) äquivalent sind und Teilchen ebenfalls einen Impuls besitzen, können sie dann auch eine Wellenlänge haben? Genau diese Theorie stellte de Broglie für das Elektron auf.

Das bedeutet, dass Du die Wellenlänge eines Elektrons auch aus seiner Geschwindigkeit berechnen kannst. Außerdem können wir aus dieser Formel ableiten, wie sich die Wellenlänge bei verschiedenen Teilchen verhält. Teilchen mit einer großen Masse und hohen Geschwindigkeit (also einem großen Impuls) haben eine sehr kleine Wellenlänge. Kleine und leichte Teilchen (mit kleinem Impuls) haben hingegen eine größere Wellenlänge.

Diese Berechnung wollen wir jetzt anhand eines Beispiels üben.

Diese Theorie lässt sich anhand bekannter Formeln herleiten, doch können wir diese Welleneigenschaften auch nachweisen? Könnte es sich bei der de Broglie Wellenlänge nur um ein mathematisches Konstrukt handeln?

De Broglie Wellenlänge – Herleitung

Seit der Formulierung der Wellenlänge durch de Broglie, haben Physiker*innen auf verschiedene Arten das Phänomen bewiesen, zum Beispiel durch das Doppelspaltexperiment oder die Elektronenbeugungsröhre.

Die Elektronenbeugungsröhre

Die Welleneigenschaften von Teilchen lässt sich auch anhand der Elektronenbeugungsröhre experimentell nachweisen. Doch wie gelingt es uns, die Welleneigenschaften eines Objekts nachzuweisen, das wir bisher nur als Teilchen kennengelernt haben? Dafür schauen wir uns zunächst den Aufbau des Experiment an.

Aufbau Elektronenbeugungsröhre

Zunächst ist es sinnvoll, sich den Aufbau der Elektronenbeugungsröhre anzuschauen, um die Ergebnisse des Experiments zu verstehen. Der Versuch wird in der Oberstufe oft in Physik durchgeführt und muss manchmal in Klausuren schematisch aufgezeichnet werden. Auf der folgenden Abbildung siehst du den Aufbau einer Elektronenbeugungsröhre.

Die Hauptkomponente der Elektronenbeugungsröhre ist eine Vakuumröhre, deren Form ein bisschen einer Glühbirne gleicht. Das Vakuum ist nötig, damit die Elektronen nicht mit Molekülen aus der Luft kollidieren und somit abgebremst werden. Durch eine Glühkathode, an der eine Heizspannung angeschlossen ist, treten Elektronen aus. Mithilfe einer angelegten Beschleunigungsspannung werden die Elektronen in Richtung Anode beschleunigt.

Der Wehneltzylinder zwischen Kathode und Anode dient dem Fokussieren der Elektronen zu einem gebündelten Strahl. Er besitzt die Form eines Tunnels und ist negativ geladen. Die Elektronen werden also von allen Seiten des Zylinders gleichmäßig abgestoßen. Somit nehmen sie die Bahn, die am weitesten von allen Punkten der Zylinderwand entfernt ist – also genau in der Mitte.

Hinter der Anode treffen die Elektronen auf eine Graphitfolie. Diese besteht aus vielen Mikrokristallen, die so dicht beieinander liegen, dass die Elektronen zwangsläufig auf sie treffen und damit in ihrer Bahn abgelenkt werden. Du sprichst von Beugung. Diesen Vorgang siehst du auf der folgenden Abbildung:

Die gebeugten Elektronen treffen nun auf den Leuchtschirm – eine Fluoreszenzschicht, die an der hinteren Wand der Vakuumröhre angebracht wurde. Dort regen die Elektronen die Atome in dem Leuchtschirm an, sodass diese Photonen emittieren. Dabei entsteht folgendes Beugungsmuster:

Doch wie entstehen diese konzentrischen Kreise auf dem Fluoreszenzschirm und was hat das mit der Wellennatur der Elektronen zu tun?

Interpretation des Experiments

Die Elektronen treffen alle mit der gleichen Geschwindigkeit auf den Leuchtschirm. Das bedeutet, dass sie alle dieselbe Energie und dieselbe Wellenlänge besitzen. Dadurch können sie miteinander interferieren.

Auf dem Leuchtschirm bilden sich nun fluoreszierende Kreise, und zwar genau dort, wo die Elektronen miteinander konstruktiv interferieren und sich gegenseitig verstärken. Da Interferenz eine Eigenschaft von Wellen ist, kann dieses Phänomen nur mit der Wellennatur von Elektronen erklärt werden.

Wenn wir die Elektronen stärker beschleunigen, werden die Abstände zwischen den fluoreszierenden Kreisen kleiner. Das liegt daran, dass die Elektronen mehr Energie und damit eine kleinere Wellenlänge besitzen. Die interferierenden Maxima der Wellen liegen näher beieinander und damit auch die Interferenzmuster. Aus dem Experiment geht hervor, dass die Wellenlänge des Elektrons mit seiner Beschleunigung zusammenhängt. Das können wir sogar berechnen.

Berechnung der Wellenlänge mithilfe der Beschleunigung

Bewegt sich ein Objekt mit einer gewissen Geschwindigkeit, besitzt es kinetische Energie. Da die Geschwindigkeit in der Elektronenbeugungsröhre durch Beschleunigung entsteht, können wir mittels der Gleichungen für kinetische Energie und der Beschleunigungsspannung die Wellenlänge des Elektrons berechnen.

So kannst du die Wellenlänge des Elektrons anhand seiner Beschleunigung berechnen.

Die Herleitung und Anwendung der Formel wird gerne in Klausuren abgefragt, deshalb schauen wir uns am besten eine typische Aufgabe dazu an.

Die Wellenlänge eines Elektrons hängt also mit seiner Geschwindigkeit zusammen. Inzwischen können wir sie mithilfe einiger Gleichung berechnen. Allerdings gelten diese nur für sehr niedrige Geschwindigkeiten. Wenn Elektronen sehr schnell werden, treten Effekte aus Einsteins Relativitätstheorie auf. Wir müssen also relativistisch rechnen.

Berechnung der Energie im relativistischen Fall

In der Physik hast du sicherlich schon mal den Begriff relativistisch Rechnen gehört. Er fällt im Zusammenhang mit hohen Geschwindigkeiten und Einsteins Relativitätstheorie. Doch was bedeutet relativistisch rechnen eigentlich?

Am besten schauen wir uns jetzt an, wie wir die de Broglie Wellenlänge eines Objekts unter Beachtung von relativistischen Effekten berechnen können. Genau wie vorhin, brauchen wir zur Berechnung die Energie des Objekts. Dieses Mal wenden wir allerdings die Formeln aus der speziellen Relativitätstheorie an.

Das sieht komplizierter aus, als es eigentlich ist. Wichtig ist vor allem, dass du den Lorentzfaktor beachtest, wenn die Geschwindigkeit in den relativistischen Bereich kommt. Mithilfe der Energie können wir nun den Impuls der Elektronen berechnen.

Aus der Energie und dem Impuls lässt sich in der speziellen Relativitätstheorie eine Beziehung herleiten. Diese bezeichnest du auch als Energie-Impuls-Relation.

Jetzt kennen wir sowohl Impuls, als auch Energie der Quanten und können diese in die de Broglie Gleichung einsetzen. Möchtest du wissen, wie du auf dieses Ergebnis kommst? Schau dir unseren Deep Dive dazu an!

Für die Energie-Impuls-Relation teilen wir den relativistischen Impuls durch die relativistische Energie:

\begin{align} \frac{p}{E} &= \frac{\gamma m_0 v}{\gamma m_0 c^2} \\ \frac{p}{E} &= \frac{v}{c^2} \end{align}

Diese Gleichung können wir nun nach v auflösen, indem wir beide Seiten mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit multiplizieren:

\begin{align} v &= \frac{p c^2}{E} \end{align}

Die Geschwindigkeit setzen wir nun in die Formel für die relativistische Gesamtenergie ein und erhalten somit die Formel für die Energie-Impuls-Relation:

Zunächst quadrieren wir allerdings beide Seiten der Gleichung, um die Wurzel loszuwerden.

\begin{align} E &= \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\\ E &= \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{\left(\frac{pc^2}{E}\right)^2}{c^2}}} \quad \\ E^2 &= \frac{(m_0)^2c^4}{1 - \frac{\frac{p^2c^4}{E^2}}{c^2}}\end{align}

Anschließend können wir im Nenner das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit kürzen.

\begin{align} E^2 = \frac{(m_0)^2 c^4}{1 - \frac{p^2 c^2}{E^2}} \end{align}

Nun multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner des Bruchs auf der rechten Seite. Somit können wir die Gleichung ohne den Bruch schreiben.

\begin{align} E^2 &= \frac{(m_0)^2c^4}{1 - \frac{p^2c^2}{E^2}} \quad \\ E^2\left(1 - \frac{p^2c^2}{E^2}\right) &= (m_0)^2c^4\end{align}

Jetzt multiplizieren wir auf der rechten Seite die Energie in die Klammer. Dadurch können wir das Quadrat der Energie einmal aus dem Bruch kürzen und haben auf beiden Seiten keinen Bruch mehr stehen.\begin{align} E^2 - p^2c^2 &= (m_0)^2c^4 \end{align}

Zuletzt lösen wir noch nach der Energie auf und ziehen die Wurzel.

\begin{align} E^2 &= (m_0)^2c^4 + p^2c^2\\ E &= \sqrt{(m_0)^2c^4 + p^2c^2}\\ E &= \sqrt{((m_0)c^2)^2 + (pc)^2}\end{align}

Achtung! Hier darfst du nicht einfach die Wurzel aus den einzelnen Summanden ziehen!

Aber vielleicht ist dir ja bereits aufgefallen, dass der erste Summand dem Quadrat der Ruheenergie entspricht, also können wir diese Einsetzen und erhalten die vollständige Energie-Impuls-Relation:

\begin{align} E = \sqrt{E_0^2 + (pc)^2}\end{align}

Der Impuls beträgt nach dieser Relation also:

\begin{align} p = \frac{\sqrt{E^2 - E_0^2}}{c} \end{align}

und damit:

\begin{align} p = \frac{\sqrt{ (E_{kin} + E_0)^2 - E_0^2 }}{c} \end{align}

Als Nächstes können wir unsere Gleichung in die de Broglie Gleichung einsetzen.

Das waren ganz schön viele Formeln, hier kommt noch eine Allerletzte, dann hast du es geschafft. Denn auch in der Elektronenbeugungsröhre werden die Elektronen schon auf 10% der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt. Damit du optimal auf jegliche Aufgaben vorbereitet bist, schauen wir uns jetzt konkret den Fall für relativistische Geschwindigkeiten in der Elektronenbeugungsröhre an.

Am besten schauen wir uns das ganze nun anhand eines konkreten Beispiels an. So eine Aufgabenstellung findest du ähnlich auch im Abitur.

Hier ist noch eine Aufgabe mit der du dein Wissen testen kannst. Dieses Mal aus dem Zentrum der Teilchenforschung. Dieses befindet sich am CERN, einer internationalen Forschungseinrichtung nahe der Grenze zwischen der Schweiz und Frankreich. Unter der Oberfläche befindet sich ein 27 km großer Teilchenbeschleuniger, der LHC (Large Hadron Collider). Physiker*innen nutzen den LHC um Protonen auf nahezu Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen.

Nun kannst du sowohl im klassischen Fall, als auch im relativistischen Fall die Wellenlänge berechnen und sie auch in Abhängigkeit zur Beschleunigungsspannung in einer Elektronenbeugungsröhre setzen. Für den Nachweis der de Broglie Wellenlänge mit der Elektronenbeugungsröhre erhielten die Physiker George Thomson und Clinton Davidson übrigens 1937 den Nobelpreis für Physik.

Zuletzt bleibt nur noch die Frage, wie wir uns dieses Quantenphänomen vorstellen können. Wie sieht etwas aus, das gleichzeitig Welle und Teilchen ist?

Interpretation der de Broglie Wellenlänge

Du weißt nun, dass die Grenze zwischen Teilchen und Welle in der Quantenphysik nicht so einfach zu definieren ist. Tatsächlich verschwimmt sie sogar so sehr, dass Quanten eine Doppelnatur besitzen. Je nach Messoperation weisen sie Wellen- oder Teilcheneigenschaften auf. Das widerspricht unserer intuitiven Vorstellung, die aus unserem alltäglichen Leben entsteht. Wie also können wir uns die de Broglie Wellenlänge von Quanten wie dem Elektron vorstellen?

Die Antwort ist nicht ganz einfach und führt sehr tief in die Quantenmechanik. Viele Physiker*innen sind sich darüber hinaus auch nicht einig, ob wir es überhaupt versuchen sollten. Das könnte nämlich zu Fehlinterpretationen der Quanteneigenschaften führen.

Warum beobachten wir den Wellen-Teilchen-Dualismus nicht im Alltag?

Für die Wellennatur von größeren Objekten, wie Protonen oder sogar Atomen und Molekülen, dass ihre de Broglie Wellenlänge sehr, sehr klein ist (wie du durch die Berechnung der Wellenlänge eines Sauerstoffmoleküls bereits herausgefunden hast). Deshalb gehen wir in den meisten Fällen von Teilchen aus und vernachlässigen die Wellenlänge.

Für makroskopische Objekte, die aus mehreren Milliarden Molekülen bestehen, ist demnach ebenfalls die Wellenlänge viel zu klein, um einen Effekt zu haben. Das bedeutet allerdings nicht, dass wir uns diese Eigenschaft nicht zu nutzen machen können. Eine Möglichkeit ist das Elektronenmikroskop.

De Broglie Wellenlänge – Elektronenmikroskop

Möchte man einen Stoff unter dem Mikroskop analysieren, muss man ihn mit einer Strahlung untersuchen, deren Wellenlänge kleiner als die Struktur des Stoffes ist. Mit den klassischen Lichtmikroskopen können wir Strukturen, die kleiner als 200 Nanometer (nm) sind, nicht mehr richtig untersuchen.

Das reicht immer noch, um zum Beispiel menschliche Zellen zu untersuchen, allerdings gibt es zum Beispiel in der Biologie einige Stoffe, die noch wesentlich kleiner sind: Proteine (2nm) oder Viren (ca. 100nm). Dafür können wir die Elektronenmikroskopie nutzen. Anstatt von Photonen nutzt diese Elektronen, deren de Broglie Wellenlänge sehr viel kleiner als die Wellenlänge von Licht ist.

Es gibt unterschiedliche Arten von Elektronenmikroskopen. Im Folgenden wollen wir uns die grobe Funktionsweise eines TEM (Transmissions-Elektronen-Mikroskop) anschauen:

In einer Vakuumröhre werden die Elektronen durch eine Spannung beschleunigt und mit einer Linse auf eine Probe des zu untersuchenden Stoffes gebündelt. Ein Teil der Elektronen wird von den Atomen in der Probe abgelenkt, der andere Teil trifft auf einen Leuchtschirm hinter der Probe (das Prinzip ähnelt also der Elektronenbeugungsröhre).

Auf dem Leuchtschirm bildet sich also ein Muster aus hellen und dunklen Bereichen, je nachdem an welchen Stellen die Elektronen mit der Probe interagiert haben. Dadurch lässt sich auf die Struktur der Probe schließen. Auf der folgenden Abbildung siehst du das Bild von verschiedenen DNA-Plasmiden unter dem Elektronenmikroskop.