Heisenbergsche Unschärferelation

Der Wellen-Teilchen-Dualismus

In der klassischen Physik unterscheidest Du zwischen Wellen und Teilchen. Ein Teilchen ist ein winziges Stück Materie, das sich an einem bestimmten Ort im Raum aufhält. Eine Welle ist dagegen eine Art Schwingung oder Störung (in einem Medium), wie Wasserwellen auf einem See.

In der Quantenmechanik verschwimmt diese Grenze. Quantenobjekte besitzen charakteristische Eigenschaften von Wellen und Teilchen.

Je größer und massereicher ein Objekt wird, desto kleiner wird seine Wellenlänge. Bei Alltagsdingen ist sie so unvorstellbar winzig, dass sie kaum messbar ist. Doch auf Ebene der Quantenmechanik spielen diese sogenannten Materiewellen eine entscheidende Rolle.

Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Aufgrund ihrer Doppelnatur können alle Elementarteilchen durch ihre Wellenfunktion beschrieben werden. Mithilfe dieser Wellenfunktion$\psi$kannst Du verschiedene Aussagen über den Zustand des Quants treffen, etwa über die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an einem gewissen Ort zu finden. Das wird auch als Bornsche Regel bezeichnet, nach dem Physiker Max Born.

Du kannst also vor der Messung niemals mit absoluter Sicherheit sagen, wo sich ein Quant im Raum befindet. Für jeden Ort gibt es eine bestimmte Wahrscheinlichkeit, mit der sich das Teilchen genau dort aufhält. An manchen Orten ist diese Wahrscheinlichkeit höher als an anderen, allerdings beträgt sie nirgendwo null.

Dieses Prinzip liegt vielen außergewöhnlichen Phänomenen der Quantenmechanik zugrunde, am bekanntesten ist wohl der Tunneleffekt. Dabei können Teilchen eine für sie eigentlich unüberwindbare Barriere durchqueren.

Sobald Du allerdings den Aufenthaltsort des Elektrons misst, wirst Du es an einem bestimmten Ort finden. Das bezeichnest Du als Kollaps der Wellenfunktion.

Heisenbergsche Unschärferelation einfach erklärt

Doch wie erklärt dieses spezielle Verhalten der Quanten nun die Heisenbergsche Unschärferelation? Was hält Dich davon ab, neben dem Ort des Elektrons auch noch seinen Impuls exakt zu bestimmen?

Heisenbergsche Unschärferelation – Messungenauigkeiten

Häufig wird die Heisenbergsche Unschärferelation fälschlicherweise durch die Ungenauigkeit menschlicher Messungen erklärt. Die Argumentation lautet folgendermaßen:

Dies wird als Beobachtereffekt bezeichnet. Er trägt tatsächlich dazu bei, dass Du eine der beiden Größen weniger exakt ermitteln kannst. Allerdings kommt der Beobachtereffekt zu der bereits vorhandenen Unschärfe hinzu. Selbst wenn Du das genaueste Messgerät der Welt bauen könntest, das nicht mit dem Elektron interagiert, würde eine gewisse Unschärfe bleiben.

Heisenbergsche Unschärferelation – Bestimmung Impuls

Die Unbestimmtheit ist eine grundlegende Eigenschaft der Quanten und ist eng mit dem Wellen-Teilchen-Dualismus verknüpft.

Deshalb wird der Impuls in der Quantenmechanik über die de Broglie Wellenlänge berechnet. Nach diesem Theorem kannst Du die Wellenlänge$\lambda$eines Materieteilchens bestimmen. Du berechnest sie als Quotient aus dem planckschen Wirkungsquantum h und dem Impuls p des Elektrons:

$\lambda =\hspace{0.17em}\frac{h}{p}$

Da jedes Quant Welleneigenschaften besitzt und durch eine Wellenfunktion dargestellt wird, kannst Du ihm auch eine bestimmte Wellenlänge zuordnen. Das plancksche Wirkungsquantum ist jedoch eine Konstante, weswegen Du den zugehörigen Impuls nur aus der Wellenlänge bestimmen kannst.

Du kannst den Impuls eines Quants also über seine Welleneigenschaften bestimmen. Doch damit geht Dir eine wichtige Information verloren: sein Ort.

Heisenbergsche Unschärferelation – Bestimmung Ort

Wellen sind Störungen, die sich im Raum ausbreiten. Du kannst ihre Wellenlänge, ihre Ausbreitungsrichtung und ihre Frequenz bestimmen. Doch versuchst Du, ihr einen Ort zuzuordnen, wird es schwierig: Denn eine Welle besitzt keine klar definierte Position.

Betrachtest Du dagegen ein Teilchen im klassischen Sinne, kannst Du ihm zwar eine klar definierte Position zuordnen, allerdings keine Wellenlänge und damit auch keinen Impuls.

Um beides für ein Quant zu bestimmen, musst Du seine Wellen- und Teilcheneigenschaften kombinieren. Dies bezeichnest Du als Wellenpaket. Du kannst es Dir folgendermaßen vorstellen:

Dieses Wellenpaket sieht aus wie eine winzig kleine Welle an einem ganz bestimmten Punkt. Doch wie verpackst Du nun eine sich in alle Richtungen unendlich ausbreitende Welle in ein kleines Paket? Eine große Rolle spielt hier das Phänomen der Interferenz.

Um ein Wellenpaket zu erschaffen, überlagerst Du Wellen verschiedener Wellenlängen und Amplituden. Diese interferieren so, dass sich die Wellenberge und -täler gegenseitig auslöschen, außer im Bereich des Wellenpakets. Das ist Dein Quant mit Wellen- und Teilchennatur.

Den Überlagerungsprozess zeigt Dir Abbildung 3.

Nun kannst Du genauere Aussagen über den Ort$∆x$des Quants machen: Es befindet sich im Bereich des Wellenpakets. Je mehr Wellen Du überlagerst, desto kleiner wird das Wellenpaket und desto genauer kennst Du den Aufenthaltsort. Um den Impuls p zu berechnen, brauchst Du nach de Broglie die Wellenlänge$\lambda$des Quants:

$p=\hspace{0.17em}\frac{h}{\lambda }$

Welche Wellenlänge besitzt nun ein solches Wellenpaket?

Es hat gleichzeitig die Wellenlänge jeder einzelnen Welle, die interferiert, um das Paket zu bilden. Damit besitzt es auch jeden einzelnen Impuls. Je mehr Wellen Du also überlagerst, desto mehr Einzelimpuls erhält das Wellenpaket und desto uneindeutiger wird ihr Gesamtimpuls.

Je kleiner dein Wellenpaket sein soll, desto mehr Wellen fügst Du hinzu. Dadurch wird dein Ort eindeutiger, aber dein Impuls unschärfer. Umgekehrt gilt: Je weniger Wellen Du hinzufügst, desto genauer ermittelst Du den Impuls, doch das Quant kann sich in einem weiteren Bereich aufhalten.

Die Unschärfe ist also nicht das Resultat der Messungen (das noch hinzugefügt werden muss), sondern eine Konsequenz der Doppelnatur der Quanten.

Heisenbergsche Unschärferelation – Experiment

Die Heisenbergsche Unschärferelation wird am Einzelspaltexperiment noch deutlicher. Dieses ähnelt in seinem Aufbau dem Doppelspaltexperiment. Auch hier kommt der Wellen-Teilchen-Dualismus ins Spiel.

Einzelspaltexperiment – Aufbau

Für das Einzelspaltexperiment benötigst Du eine Elektronenkanone, die Du gegenüber einem Detektorschirm positionierst. Dazwischen bringst Du eine Trennwand mit einem dünnen Spalt mit der Breite$∆\mathrm{d}$an, genau wie Du es auf der folgenden Abbildung siehst:

Mit der Elektronenkanone feuerst Du nun einzelne Elektronen genau auf den Spalt. Die Elektronen besitzen einen Impuls p in Richtung des Detektorschirms. Treffen die einzelnen Elektronen darauf, werden sie registriert und als Punkte angezeigt.

Einzelspaltexperiment – Beobachtung

Gehst Du von der Teilchennatur des Elektrons aus, könntest Du erwarten, dass sich ein Muster auf dem Detektor bildet. Die Elektronen treffen hinter dem Spalt auf den Schirm und sind als einzelne Punkte erkennbar.

Zunächst siehst Du auch, wie die einzelnen Elektronen als Punkte am Detektor registriert werden. Doch führst Du das Experiment lange genug durch, entsteht ein Interferenzmuster, wie Du es bei einer Welle erhalten würden. Das Elektron interferiert mit sich selbst am Spalt und verhält sich somit gleichzeitig eine Welle.

Die Streifen des Interferenzmusters sind in der Mitte am hellsten und werden nach außen hin schwächer. Je kleiner Du die Spaltbreite wählst, desto ausgedehnter (breiter) wird das Interferenzmuster und desto gleichmäßiger ist die Intensität der Streifen.

Heisenbergsche Unschärferelation – Beweis

Mithilfe dieses Experiments kannst Du die Heisenbergsche Unschärferelation nun experimentell beweisen.

Dafür wird das Einzelspaltexperiment in ein Koordinatensystem gelegt. Allerdings bezeichnet die horizontale Achse das y und die vertikale Achse das x (also genau andersherum, als Du es aus der Schule kennst). Der Spalt liegt dabei im Schnittpunkt der Koordinatenachsen:

Der Spalt hat die halbe Breite$∆x$. Auf ihn schickst Du nun die Elektronen mit einem Impuls p_y in Richtung der y-Achse.

Stellst Du Dir die Elektronen als Teilchen vor, berechnest Du ihren Impuls p als Produkt aus Geschwindigkeit v und Masse m:

$p=\hspace{0.17em}m·v$

Da Du ein Interferenzmuster auf dem Schirm erzeugst, müssen die Elektronen nach dem Spalt eine Impulsänderung erfahren.

Du kannst Dir diese Impulsänderung wie einen Stoß in x-Richtung vorstellen und diesen$∆p_x$(also Impuls in x-Richtung) nennen. Das ist Deine sogenannte Impulsunschärfe. Denn sobald das Elektron den Spalt durchquert hat, weißt Du nicht, wo es auf dem Dektorschirm einschlägt. Eine Aussage kannst Du dennoch treffen: Je weiter außen das es landet, desto größer muss seine Impulsabweichung_{$∆p_x$}sein.

Im Experiment beobachtest Du, dass das Interferenzmuster breiter wird, je enger Du den Spaltabstand wählst. Je kleiner der Spalt, desto genauer weißt Du, wo sich das Elektron am Spalt aufhält.

Ein breiteres Interferenzmuster bedeutet allerdings auch, dass die Elektronen eine stärkere Impulsänderung erfahren haben. Die Impulsunschärfe ist also größer.

Diese Impulsunschärfe berechnest Du mit der Ungleichung zur Heisenbergschen Unschärferelation. Diese kannst Du ebenfalls über das Experiment herleiten.

Heisenbergsche Unschärferelation – Herleitung

Betrachte noch einmal die Abbildung des Experiments:

Hier bilden die beiden Impulskomponenten p_x und p_y ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel$\alpha$am Spalt. Die Hypotenuse des Dreiecks bezeichnest Du dabei als Gesamtimpuls p des Elektrons. Damit gilt:

$\left(1\right)\sin \left(\alpha \right)=\hspace{0.17em}\frac{∆p_x}{p}$

Dieses Verhältnis wird als relative Impulsunschärfe bezeichnet.

Die Ablenkung am Spalt ist abhängig von der Spaltbreite: Je kleiner der Spalt, desto breiter wird das Interferenzmuster. Ein kleinerer Spalt führt also zu einem größeren$∆p_x$. Doch wie groß ist nun die tatsächliche Impulsunschärfe?

Du kannst Dich ihr annähern, indem Du das erste Minimum (Ort destruktiver Interferenz) auf dem Schirm betrachtest. Für die Entstehung eines Minimums am Einzelspalt gilt allgemein die Beziehung:

$\left(2\right)\sin \left(\alpha \text{'}\right)=\hspace{0.17em}\frac{k·\lambda }{2·∆x}$

Dabei ist$2·∆x$die gesamte Spaltbreite,$k·\lambda$der sogenannte Gangunterschied mit der Wellenlänge$\lambda$, und k die Nummerierung für die Minima.

Da Du das erste Minimum betrachtest, ist$k=\hspace{0.17em}1$. Folglich gilt:

$\left(2\right)\sin \left(\alpha \text{'}\right)=\hspace{0.17em}\frac{\lambda }{2·∆x}$

Mit der de Broglie Gleichung kannst Du die Wellenlänge durch den Impuls ausdrücken:

$\lambda =\hspace{0.17em}\frac{h}{p}$

Dies setzt Du nun in die Gleichung ein:

$\begin{array}{rcl}\left(2\right)\sin \left(\alpha \text{'}\right)& =& \hspace{0.17em}\frac{\lambda }{2·∆x}\\ & =& \frac{\frac{h}{p}}{2·∆x}\\ & =& \frac{h}{p·2·∆x}\end{array}$

Da die Winkel$\alpha$und$\alpha \text{'}$näherungsweise gleich sind, kannst du mit (1) und (2) nun folgende Relation aufstellen:

$$\begin{gathered} \sin \left(\alpha \right)\simeq \sin \left(\alpha \text{'}\right) \\ \frac{∆p_x}{p}\simeq \frac{h}{p·2·∆x} \end{gathered}$$

Hier teilst Du nun auf beiden Seiten durch den Impuls p:

$\begin{array}{rcl}\frac{∆p_x}{p}& \simeq & \frac{h}{p·2·∆x}|÷p\\ ∆p_x& \simeq & \frac{h}{2·∆x}\end{array}$

Zuletzt bringst Du noch den Ort auf die andere Seite der Gleichung:

$\begin{array}{rcl}∆p_x& \simeq & \frac{h}{2·∆x}|·∆x\\ ∆p_x·∆x& \simeq & \frac{h}{2}\end{array}$

Die Formel entspricht näherungsweise der Heisenbergschen Unschärferelation.

Die Differenz kommt aufgrund der Winkelnäherung und verschiedener experimenteller Bedingungen zustande. Allerdings stellt sie eine Näherung dar:

$\begin{array}{rcl}\frac{h}{2}& =& \hspace{0.17em}3,323034785·{10}^{-34}Js\\ \frac{h}{4·\pi }& =& \hspace{0.17em}5,272858627·{10}^{-35}Js\\ & & \end{array}$

In manchen Quellen wirst Du deshalb auch die Ungleichung zur Heisenbergschen Unschärferelation mit dem halben planckschen Wirkungsquantum finden, wie Du es in der Herleitung berechnet hast.

Anhand dieser Ungleichung siehst Du auch, dass Impuls und Ort nicht beliebig klein werden können. Ihr Produkt muss immer größer als oder gleich wie der konstante Wert$\frac{h}{4·\pi }$sein.

Heisenbergsche Unschärferelation – Aufgaben

Wenn es immer eine Impulsunschärfe gibt, warum bemerkst Du dann nichts von der Heisenbergschen Unschärferelation im Alltag? Warum kannst Du scheinbar immer genau Ort und Impuls eines Gegenstands bestimmen?

Anhand der folgenden Aufgabe kannst Du Dir die Antwort herleiten:

Im Alltag ist die Heisenbergsche Unschärferelation also vernachlässigbar gering. Erst auf atomarem und elementaren Level spielt sie eine wichtige Rolle. Deshalb kannst Du im Alltag mit den Annäherungen aus der Newtonschen Mechanik arbeiten.

Heisenbergsche Unschärferelation – Energie

Die Heisenbergsche Unschärferelation gilt allgemein für zwei komplementäre Größen, wobei die Beziehung zwischen Ort und Impuls am bekanntesten ist. Dieselbe Unschärfe tritt ebenso zwischen den Größen Energie und Zeit auf.

Auch in dieser Unschärfe handelt es sich nicht um einen Fehler in unseren Messungen, sondern eine Konsequenz des Wellen-Teilchen-Dualismus.

Die Frequenz f ist eine Welleneigenschaft und wird in der Quantenmechanik als Quotient aus Energie$∆E$und dem planckschen Wirkungsquantum h berechnet:

$f=\hspace{0.17em}\frac{∆E}{h}$

Man spricht auch von der de Broglie Frequenz. Entsprechend drückst Du die Energie der Welle durch das Produkt von f und h aus:

$∆E=\hspace{0.17em}f·h$

Die Frequenz ist ein Maß für die Zeit t, die ein periodischer Vorgang, etwa eine Schwingung, benötigt. Um die Frequenz einer Welle genau zu bestimmen, musst Du sie für eine lange Zeit beobachten. Je genauer Du also die Schwingung, und damit die Energie, eines Quants bestimmen möchtest, desto ungenauer wird der Zeitpunkt. Umgekehrt gilt dasselbe.

Diese Interpretation der Relation ist allerdings noch etwas umstritten in der Physik, da Zeit, anders als der Ort, keine beobachtbare Größe darstellt. Hinzu kommt, dass es für sie keine einheitliche Definition in diesem Kontext gibt: Handelt es sich um den Zeitpunkt oder die Zeitdauer?

Dennoch ist die Relation von Bedeutung, um die Energie von äußerst kurzlebigen Teilchen anzunähern. Manche Teilchen existieren nur für einen winzigen Sekundenbruchteil, wodurch die Energieunschärfe in Messungen enorm hoch werden kann.