Plancksches Wirkungsquantum

Plancksches Wirkungsquantum Schwarzer Körper

Ähnlich wie die Sterne am Nachthimmel geben auch andere Objekte Strahlung in unterschiedlichen Farben an. Wenn Du so lange am Lagerfeuer sitzt, bis nur noch die Kohlen übrig sind, bemerkst Du vielleicht ihr tiefrotes Glühen.

Vulkanische Lava, die bis zu 1000 °C heiß wird, strahlt in orange-gelblichen Tönen. Bei noch größerer Hitze kannst Du bläuliches Glühen beobachten.

Die elektromagnetische Strahlung, die ein Körper bei einer gewissen Temperatur aussendet, nennst Du auch Wärmestrahlung.

Die Farbe des Lichts, die ein Körper aussendet, steht also in einem Zusammenhang mit der Temperatur.

Das siehst Du besonders gut, wenn Du die Temperatur eines Körpers in einem Graphen darstellst. Dabei trägst Du die Wellenlänge $\lambda$ des emittierten Lichts entlang der x-Achse dar. Die Intensität I des Lichts plottest Du auf der y-Achse.

Abb. 1 - Spektrum eines Schwarzen Körpers

Der Bereich des Graphen mit einer Wellenlänge von $4-7,5\mu m$ (Mikrometer) kennzeichnet den Bereich des sichtbaren Spektrums des Lichts. Darunter beginnt der UV-Bereich und darüber das Infrarot-Spektrum.

Anhand der Abbildung erkennst Du, dass die Graphen unterschiedlicher Temperaturen jeweils an einer Stelle ein Maximum ${\lambda }_{max}$haben.

Die Höhe eines beliebigen Punktes auf einer der Graphen gibt Dir also an, wie viel Licht dieser Wellenlänge bei der jeweiligen Temperatur ausgesandt wird. Je größer die Temperatur, desto mehr verschiebt sich das Maximum in Richtung einer kleineren Wellenlänge. Dieser Zusammenhang wird durch das Wienschen Verschiebungsgesetz beschrieben.

Die Verteilung, die Du auf der Abbildung siehst, ist das Spektrum eines Schwarzen Körpers. Um dieses hinreichend beschreiben zu können, wurde das plancksche Wirkungsquantum eingeführt.

In der Realität gibt es keinen perfekten Schwarzen Körper, alle Objekte reflektieren zumindest einen kleinen Teil der auftreffenden Strahlung. Deshalb sähe die Verteilung auf Abbildung 1 für jeden realen Körper ein wenig anders aus.

Allerdings ist der Schwarze Körper eine sehr gute Näherung für das Emissionsverhalten realer Körper, unter anderem von Sternen. Mehr dazu findest Du in der Vertiefung.

Bereits im 19. Jahrhundert war der Kurvenverlauf eines schwarzen Körpers bekannt, allerdings entzog er sich zunächst der vollständigen Beschreibung durch physikalische Gesetzte.

Der Physiker Wilhelm Wien beschrieb den steilen Abfall der Temperaturkurven bei kleinen Wellenlängen (Abbildung 1, ganz links). Gleichzeitig konnte das Rayleigh-Jeans-Gesetz den Kurvenverlauf bei großen Wellenlängen (Abbildung 1, ganz rechts) erklären.

Kein Gesetz konnte allerdings das gesamte Spektrum erklären. Viel mehr sagte das Rayleigh-Jeans-Gesetz sogar voraus, dass ein schwarzer Körper im Ultraviolettbereich unendliche Mengen an Energie abgibt. Dies wurde als Ultraviolettkatastrophe bezeichnet.

Plancksches Strahlungsgesetz

Die Lösung für die Ultraviolettkatastrophe fand erst Max Planck im Jahr 1900 mit der Formulierung seines Strahlungsgesetzes.

Im Gegensatz zu seinen Kollegen ging Max Planck das Problem rein mathematisch an und formulierte sein Strahlungsgesetz in Form einer Gleichung. Die genaue Form der Gleichung lernst Du erst im Studium kennen. Falls Dich die Gleichung dennoch interessiert, wirf einen Blick in die Vertiefung.

Damit die Gleichung das Spektrum des Schwarzen Körpers exakt beschreiben konnte, bediente sich Max Planck eines mathematischen Tricks. Er führte ein Hilfsvariable h ein: das plancksche Wirkungsquantum.

Plancksches Wirkungsquantum einfach erklärt

Zwei Monate nach der Veröffentlichung seines Strahlungsgesetzes stellte Max Planck eine weiterführende These auf: Energie ist gequantelt.

Quantelung bedeutet, dass etwas in kleinere Einheiten unterteilt werden kann. Diese Einheiten können allerdings nicht beliebig klein werden. Energie, die ein Körper aussendet, kann also nicht einfach jeden möglichen Wert haben, sondern nur bestimmte (diskrete) Werte annehmen.

Jede Energie, die ein Körper oder System besitzt, ist ein Vielfaches v des Planckschen Wirkungsquantums:

$E\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}h·v$

Das Prinzip dieser kleinsten Einheit kannst Du Dir anhand eines Alltagsbeispiels vorstellen.

Genauso ist es bei der Energie. Die kleinste Einheit ist das plancksche Wirkungsquantum, die einen festgelegten Wert hat. Jegliche weitere Energiemengen sind ein Vielfaches davon. Doch welchen Wert hat das plancksche Wirkungsquantum nun eigentlich? Und in welcher Einheit kannst Du es angeben?

Plancksches Wirkungsquantum Wert

Das Plancksche Wirkungsquantum ist wie auch die Lichtgeschwindigkeit eine fundamentale Naturkonstante. Im Internationalen Einheitensystem (SI) wurde ihr 2019 ein fester Wert zugewiesen.

Du gibst das plancksche Wirkungsquantum also in der Einheit Joule [J] mal Sekunde [s] an, also Energie mal Zeit. Dies ist die Einheit der physikalischen Größe Wirkung, von der das plancksche Wirkungsquantum seinen Namen hat.

Alternativ kannst Du das plancksche Wirkungsquantum auch in eV mal s, also der Einheit Elektronenvolt mal Sekunde angeben:

$h=4,135667·{10}^{-15}eV·s$

Obwohl das plancksche Wirkungsquantum sehr klein ist, hat der exakte Wert enorme Bedeutung für alle Prozesse im Universum. Wäre der Wert zum Beispiel größer, würde das Universum ganz anders aussehen.

In manchen Formeln wirst Du die Naturkonstante auch in ihrer reduzierten Form finden. Dabei bleibt die Einheit dieselbe.

Reduziertes plancksches Wirkungsquantum

In vielen Rechnungen der Quantenphysik kommt der Wert $2·\pi$ vor, deshalb wird er manchmal mit dem planckschen Wirkungsquantum zusammengefasst: Du erhältst die reduzierte Form des planckschen Wirkungsquantums.Dadurch werden einige Formeln übersichtlicher.

Genau wie das plancksche Wirkungsquantum gibst Du seine reduzierte Form ebenfalls in Joule mal Sekunde bzw. in Elektronenvolt mal Sekunde an:

$\begin{array}{rcl}\hslash & \approx & 6,582120·{10}^{-16}eV·s\end{array}$

Doch wie kommst Du eigentlich auf diese Werte?

Plancksches Wirkungsquantum Herleitung

Den Wert für das plancksche Wirkungsquantum kannst Du über die Gegenfeldmethode herleiten. Diese Methode ist ein wichtiges Experiment zum sogenannten Photoeffekt.

Plancksches Wirkungsquantum Photoeffekt

Der Erste, der die gesamte Bedeutung von Max Plancks Entdeckung begriff, war Albert Einstein. Dadurch gelang es ihm 1905 den äußeren Photoeffekt zu erklären.

Beim Photoeffekt werden Elektronen unter Bestrahlung mit Licht aus einer Metallplatte gelöst. Dies konnte zunächst nicht mit dem Wellenmodell des Lichts erklärt werden. Man ging davon aus, dass die Energie des Lichts kontinuierlich ist. Demnach müssten Elektronen erst eine gewisse Zeit lang mit Licht bestrahlt werden, um genügend Energie zu sammeln und die Platte verlassen zu können.

Diese Vorstellung stimmte aber nicht mit den Beobachtungen überein: Die Elektronen verließen sofort nach Auftreffen des Lichts die Metallplatte. Allerdings auch nur dann, wenn die Frequenz des Lichts über einem bestimmten Grenzwert lag.

Erst durch Einsteins Lichtquantenhypothese wurde das Wirkungsprinzip verstanden.

Die Energie eines Photons ist also ein Vielfaches des planckschen Wirkungsquantums. Das Vielfache ist dabei durch die Frequenz f gegeben. Die Photonen übertragen beim Auftreffen auf die Metallplatte den Elektronen ihre gesamte Energie, ist diese groß genug, können die Elektronen die Metallplatte sofort verlassen.

Den Effekt zeigt Dir auch die folgende Abbildung:

Abb. 3 - Photoeffekt

Liegt die Frequenz der Photonen allerdings unter dem Grenzwert, ist das Energiepaket zu klein. Die Elektronen können die Metallplatte nicht verlassen. Ein bekanntes Experiment zum Photoeffekt ist die sogenannte Gegenfeldmethode.

Gegenfeldmethode

Bei der Gegenfeldmethode bestrahlst Du eine Metallplatte zunächst mit Licht. Die Frequenz des Lichts sollte hoch genug sein, damit es über den Photoeffekt Elektronen aus der Metallplatte lösen kann. Sie muss also mindestens so groß sein, wie die Energie, die ein Elektron braucht, um die Metallplatte zu verlassen.

Den Aufbau der Gegenfeldmethode zeigt Dir die folgende Abbildung.

Abb. 4 - Gegenfeldmethode

Sobald die Elektronen, die Metallplatte verlassen, werden sie von der positiv geladenen Ringanode angezogen. Dabei sorgt die Vakuum-Lichtzelle dafür, dass die Elektronen auf ihrem Weg zur Anode nicht mit Gasmolekülen in der Luft kollidieren.

Nun legst Du eine sogenannte Gegenspannung an, die durch ein elektrisches Feld (das Gegenfeld), die Elektronen abbremst.

Plancksches Wirkungsquantum Formel

Die Elektronen, die sich in Richtung Ringanode bewegen, haben eine gewisse kinetische Energie E_kin. Diese ist abhängig von der Energie der Photonen, die Du mit folgender Formel berechnest:

$E_{Ph}=h·f$

Nach Einsteins Erklärung für den Photoeffekt übertragen die Photonen ihre Energie vollständig an die Elektronen.

Einen Teil dieser Energie nutzen die Elektronen für die Austrittsarbeit W_A. Dies ist die Energie, die Elektronen benötigen, um die Metallplatte zu verlassen. Der restliche Teil wird in kinetische Energie E_kin umgewandelt:

$E_{kin}=\hspace{0.17em}h·f-W_A$

Die Energie E_el des erzeugten Gegenfelds ist abhängig von der Gegenspannung U, wobei e die Elementarladung mit $e\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}1,602·{10}^{-19}C$ ist:

$E_{el}=\hspace{0.17em}U·e$

Ist das Gegenfeld so stark, dass es die Elektronen vollständig abbremst, gilt der Energieerhaltungssatz und Du kannst die beiden Formeln gleichsetzen:

$\begin{array}{rcl}{E}_{kin}& =& E_{el}\\ h·f-W_A& =& U·e\end{array}$

Nun löst Du die Gleichung nach dem planckschen Wirkungsquantum auf:

$\begin{array}{rcl}h·f-W_A& =& U·e|+W_A\\ h·f& =& U·e+W_A|÷f\\ h& =& \hspace{0.17em}\frac{U·e+W_A}{f}\end{array}$

Mit dieser Formel kannst Du nun den Wert des planckschen Wirkungsquantums h berechnen.

Plancksches Wirkungsquantum berechnen

Um den Wert des planckschen Wirkungsquantums zu ermitteln, benötigst Du zunächst die Daten aus Deinem Experiment.

Durch die "Hilfsvariable", die Max Planck zunächst für die Erklärung des Schwarzkörperspektrums einführte, konnte Einstein den Photoeffekt erklären. Doch die Bedeutung des planckschen Wirkungsquantums reicht noch weiter.

Plancksches Wirkungsquantum Quantenmechanik

Max Planck stellte am 14. Dezember 1900 seine Hypothese zur Quantelung der Energie vor. Obwohl seine Hypothese zunächst skeptisch aufgenommen wurde, stellte sich das plancksche Wirkungsquantum als wichtigste Konstante in der Quantenmechanik heraus.

Mit ihrer Hilfe stellte unter anderem der Physiker Louis de Broglie seine Gleichung der Materiewellen auf. Dadurch wurde der Welle Teilchen Dualismus begründet.

Aber auch die Heisenbergsche Unschärferelation kann nur durch das reduzierte plancksche Wirkungsquantum beschrieben werden.

Das plancksche Wirkungsquantum findet noch in vielen weiteren Theorien der Quantenmechanik seine Anwendung, zum Beispiel in der Beschreibung der Orbitalstruktur im Atommodell mit Hilfe der sogenannten Quantenzahlen.

Seine Bedeutung für den Beginn der Quantenphysik liegt in der Idee der kleinsten Einheiten in unserem Universum: den sogenannten Quanten.