Was kann man mit der Schrödingergleichung berechnen?

Als Lösung der Schrödinger-Gleichung werden Wellenfunktionen erhalten. Eine Wellenfunktion beschreibt den Zustand eines Systems vollständig.

Wann wird die zeitunabhängige Schrödingergleichung verwendet?

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung wird dann verwendet, wenn die potentielle Energie im Hamilton-Operator nur vom Ort, aber nicht von der Zeit abhängt .

Wie beschrieb Erwin Schrödinger Elektronen?

Nach Schrödinger sind Elektronen stehende Wellen . Mathematisch können sie durch eine Wellenfunktion beschrieben werden.

Was hat es mit Schrödingers Katze auf sich?

Schrödingers Katze ist ein Gedankenexperiment , um die eingeschränkte Anwendbarkeit der Quantenmechanik auf makroskopische Systeme zu demonstrieren.

Wähle aus, was auf den Hamilton-Operator zutrifft.

Er beschreibt die Gesamtenergie .

Beende die folgende Aussage: Mit Wellenfunktionen ...

... werden quantenmechanische Zustände vollständig beschrieben.

Schrödinger Gleichung: Herleitung & Erklärung

Dieser Welle Teilchen Dualismus lässt sich allerdings auch auf andere Elementarteilchen wie Elektronen anwenden. Als Welle wird das Elektron durch eine Wellenfunktion beschrieben, die Du aus der Schrödinger Gleichung erhältst. Was die Schrödinger Gleichung ist und wie Du sie lösen kannst, erfährst Du hier!

Schrödinger Gleichung: Welle-Teilchen-Dualismus

Erst mit der Entdeckung der Radioaktivität stieg das Interesse an subatomaren Teilchen, da immer genauere experimentelle Methoden zur Messung ihrer Eigenschaften entwickelt wurden. Dabei gingen die Forschenden zunächst davon aus, dass Elementarteilchen sich nach den bekannten Gesetzen der klassischen Physik verhalten würden.

Um ein System beobachten zu können, benötigst Du Strahlung derselben Größenordnung. Planeten im Sonnensystem oder andere massive Objekte werden beispielsweise mit Radioteleskopen beobachtet. Um Quantenobjekte aufzulösen, benötigst Du hingegen Strahlung mit kurzer Wellenlänge.

In der klassischen Physik wird zwischen Teilchen und Wellen unterschieden. Dabei kannst Du ein Teilchen nur an einem bestimmten Ort lokalisieren. Eine Welle hingegen breitet sich im Raum aus und kann an mehreren Orten gleichzeitig gemessen werden. Während das Teilchen Energie durch Zusammenstöße instantan übertragen kann, sind Wellen eine Form der Energieausbreitung und übertragen Energie bei Wechselwirkung, so lange wie die Wechselwirkung besteht.

Schrödinger Gleichung Welle Teilchen Dualismus StudySmarter Abb. 1 - Schema zum Welle-Teilchen-Dualismus

Experimentelle Beobachtungen an Elementarteilchen haben allerdings gezeigt, dass sich diese unter gewissen Umständen wie Teilchen und unter anderen wie Wellen verhalten. Beispielsweise bewegen sich quantenmechanische Objekte wie Wellen durch den Raum: Sie können gebeugt werden oder mit anderen Wellen interferieren. Dies wurde erstmals im Doppelspaltexperiment beobachtet. Andererseits zeigen sowohl der Photoeffekt als auch der Compton-Effekt, dass Photonen sich bei Wechselwirkung wie Teilchen verhalten.

Mehr dazu erfährst Du in den entsprechenden Erklärungen.

Wie kannst Du denn nun Elementarteilchen beschreiben – sind es Wellen oder Teilchen?

Nach dem Welle Teilchen Dualismus kann ein quantenmechanisches Objekt, z. B. ein Elektron, sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften besitzen.

Du möchtest mehr zum Welle-Teilchen-Dualismus hören? Dann schau doch in der entsprechenden Erklärung vorbei!

Elementarteilchen sind also beides. Dabei setzt sich entweder der Teilchen- oder der Wellencharakter durch, je nachdem welche Eigenschaft betrachtet wird.

Schrödinger Gleichung: Einführung in die Wellenmechanik

Wenn Du an gebundene Elektronen denkst, dann kommt Dir bestimmt das ikonische Bild eines Atoms in den Sinn, indem die Elektronen nach dem Rutherford Atommodell auf elliptischen Bahnen um den Atomkern kreisen:

Schrödinger Gleichung Rutherford Atommodell StudySmarter Abb. 2 - Rutherfordsches Atommodell

Diese Verbildlichung ist jedoch nicht ganz richtig, da hier das Elektron nur als Teilchen dargestellt wird. In Wirklichkeit hat es aber nicht nur Teilchen-, sondern auch Welleneigenschaften und ist somit kein winziger, negativ geladener Ball.

Elektron als stehende Welle

Probieren wir es mit dem Wellenmodell.

Die meisten Wellen, die Du vermutlich kennst, breiten sich im Raum aus. Denk dabei an eine Welle auf dem Meer oder eine La-Ola Welle im Stadion. Es gibt aber auch noch eine andere Form von Wellen, die sich nicht horizontal ausbreiten, sondern lediglich vertikal schwingen.

Eine stehende Welle breitet sich nicht im Raum aus, sondern verbleibt an einer Stelle. Die einzige Bewegung ist die Schwingung ihrer Amplitude.

Obwohl eine stehende Welle an einem Ort verbleibt, so entsteht sie durch Interferenz zweier Wellen, die sich gegenläufig bewegen.

Stehende Wellen sind allerdings keine Besonderheit, sondern können Dir auch im Alltag begegnen. Nimm Dir doch ein Seil und probier es selbst aus!

Halte das Seil an einem Ende fest und befestige das andere Ende an einer Wand, einem Baum oder einem anderen fest verankerten Gegenstand. Wenn Du das Seil jetzt zum Schwingen anregst, erzeugst Du eine stehende Welle!

Schrödinger Gleichung stehende Welle Entstehung StudySmarter Abb. 3 - Stehende Welle

Dabei wirst Du beobachten, dass sich nur die Amplitude der Welle verändert (Punkt A), wobei die Knotenpunkte (mit einem N markiert) immer an derselben Stelle bleiben. Dies kommt daher, dass die Welle sich nicht über den Befestigungspunkt hinaus ausbreiten kann und an diesem reflektiert wird. Die durch Dich erzeugte, einfallende Welle interferiert mit der zurücklaufenden, reflektierten Welle zur stehenden Welle.

Stehende Wellen sind an ihrem Ort eingeschränkt. Genauso eingeschränkt sind Elektronen in Atomen oder Elementen.

Elektronen sind stehende Wellen, die den Atomkern umlaufen.

Das kannst Du Dir bildlich vorstellen, wenn Du die beiden Seilenden in Abbildung 3 miteinander verbindest und das Seil „im Kreis“ schwingen lässt:

Schrödinger Gleichung stehende Welle Elektron StudySmarter Abb. 4 - Elektron als stehende Welle

Obwohl diese Darstellung von Elektronen nicht so elegant sein mag, wie die Vorstellung von kreisenden Teilchen auf Elektronenbahnen, so liegt sie doch näher an der Realität. Da hier allerdings nur die Energie des Elektrons betrachtet wird, ist Abbildung 4 nur als eine vereinfachte Darstellung zu verstehen.

Allerdings ist die Modellvorstellung von Elektronenbahnen, wie Du sie vielleicht aus dem Bohrschen Atommodell kennst, gar nicht so verkehrt. Denn Elektronen, wenn auch als Wellen, befinden sich sehr wohl auf wohldefinierten Bahnen um den Atomkern, die nach Bohr in ihrer Energie quantisiert sind.

Damit hast Du jetzt ein Bild davon, wie ein Elektron aussehen könnte. Um allerdings auch noch Vorhersagen über das Verhalten von Elektronen unter verschiedenen Bedingungen machen zu können, benötigst Du dazu eine mathematische Beschreibung.

Wellenfunktion

Mathematisch gesehen entspricht die Wellendarstellung der Elektronen einer Wellenfunktion.

Eine Wellenfunktion beschreibt den Zustand eines quantenmechanischen Systems vollständig. Sie hängt einerseits von den Ortskoordinaten des Systems ab, kann aber auch zusätzlich von der Zeit abhängen.

Nach der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation entspricht das Betragsquadrat der Wellenfunktion ihrer Wahrscheinlichkeitsdichte. Daraus kannst Du dann die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten eines bestimmten Zustands berechnen.

Die Wellenfunktion kannst Du Dir wie eine „normale“ Funktion vorstellen, die allerdings eine Schwingung beschreibt. Sie ist eines der wichtigsten Grundlagen der Quantenmechanik. Wenn Du Dich näher dafür interessierst, dann schau doch in der Erklärung Postulate der Quantenmechanik vorbei!

Du kannst die Wellenfunktion nicht einfach aufstellen, sondern Du erhältst sie als Lösung der Schrödinger-Gleichung.

Schrödinger Gleichung einfach erklärt

In der klassischen Physik wird die Bewegung eines Teilchens durch die Newtonschen Gesetze beschrieben. Aus ihnen kannst Du Dir unter anderem die entsprechende Funktion herleiten, die die Teilchenbewegung beschreibt. Analog zu den Newtonschen Gesetzen gibt es in der Wellenmechanik die sogenannte Wellengleichung, die den Zustand der Welle durch eine Wellenfunktion bestimmt.

Allerdings beinhaltet die Wellenfunktion viel mehr Informationen über das Teilchen als nur seinen Bewegungszustand.

Die Schrödinger-Gleichung ist eine besondere Form der Wellengleichung. Wenn Du sie löst, erhältst Du die Wellenfunktion.

Vereinfacht kannst Du Dir die Schrödinger-Gleichung wie eine Gleichung vorstellen, die Du nicht nach einer Variablen, sondern nach einer Funktion – der Wellenfunktion – auflöst. Sie wurde 1926 von Erwin Schrödinger postuliert und stellt seitdem die zentrale Gleichung der Quantenmechanik dar. Aber wo kommt sie her und viel wichtiger noch: Wie sieht die Schrödinger-Gleichung überhaupt aus?

Schrödinger Gleichung Herleitung

In seiner berühmten Vorlesungsreihe schrieb Richard Feynman über die Schrödinger-Gleichung:

It's not possible to derive it from anything you know. It came out of the mind of Schrödinger.⁶

"Es ist nicht möglich, sie aus etwas Bekanntem herzuleiten. Sie ist ein Produkt des Verstands von Schrödinger."

Und damit hat der Physiker recht: Schrödinger entwickelte seine Wellenmechanik über mehrere Publikationen hinweg und erweiterte somit die klassische Wellengleichung. Obwohl es mittlerweile sämtliche Ansätze gibt, wie Du auf die Schrödinger-Gleichung kommen könntest, so stellt keine von ihnen eine konkrete Herleitung dar.

Die Schrödinger-Gleichung kann also nicht konkret aus den Grundprinzipien der Physik hergeleitet werden, sondern stellt vielmehr selbst eines der wichtigsten Grundprinzipien der Quantenmechanik dar.

Dabei wird zwischen stationärer und zeitabhängiger Schrödinger-Gleichung unterschieden.

Zeitabhängige Schrödinger Gleichung

Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung entspricht der allgemeinen Form, wie sie Erwin Schrödinger im Jahr 1926 aufgestellt hat. Wenn Du eine Wellenfunktion findest, die diese Gleichung erfüllt, so kannst Du damit gewisse Voraussagen für die Entwicklung des Zustands treffen.

Die allgemeine Form der Schrödinger-Gleichung entspricht

$H Ψ = i \cdot ħ \cdot \frac{\partial}{\partial t} Ψ$

In der Wellenmechanik werden Wellenfunktionen meistens durch den griechischen Buchstaben Ψ (ausgesprochen als "Psi") dargestellt. H ist der Hamilton-Operator, $i = \sqrt{- 1}$ die imaginäre Zahl und $\frac{\partial}{\partial t}$ beschreibt eine zeitliche Änderung. Das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum ħ hat den Wert

$ħ = 1, 054 \cdot 10^{- 31} J \cdot s$

Ist Dir aufgefallen, dass auf der linken Seite der Gleichung kein Malzeichen steht? Dies liegt daran, dass der Hamilton-Operator keine Zahl, sondern eine Rechenvorschrift ist. Solche Rechenoperationen werden Operatoren genannt.

Die allgemeine Schrödinger-Gleichung beschreibt, wie sich ein Quantenzustand mit der Zeit verändert und wird verwendet, wenn der Hamilton-Operator eine Zeitabhängigkeit aufweist. Aber was genau sagt diese Gleichung aus? Schau Dir dazu die einzelnen Komponenten mal genauer an:

Schrödinger Gleichung zeitabhängige Erklärung StudySmarter Abb. 5 - Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

Der Hamilton-Operator beinhaltet die Gesamtenergie des Systems, die sich aus kinetischer und potentieller Energie zusammensetzt. Genauer gesagt handelt es sich um eine Rechenvorschrift, die auf die Wellenfunktion angewendet wird. Sie gibt vor, wie die Wellenfunktion sich zu verändern hat, um einen entsprechenden Energiewert zu erhalten.

Wie Operatoren in der Quantenmechanik wirken und was sie mit einer physikalischen Messung zu tun haben, kannst Du in der Erklärung Postulate der Quantenmechanik nachlesen.

Aber wie genau wird die Energie durch den Hamilton-Operator bestimmt?

Die Gesamtenergie eines klassischen Systems ergibt sich als Summe von kinetischer und potentieller Energie:

$E_{g e s a m t} = E_{k i n} + E_{p o t}$

Die kinetische Energie kannst Du dabei über den Impuls $p = m \cdot v$ bzw. $v = \frac{p}{m}$ umschreiben:

$E_{k i n} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2} = \frac{p^{2}}{2 \cdot m}$

Damit lautet die klassische Gesamtenergie:

$E_{g e s a m t} = \frac{p^{2}}{2 \cdot m} + E_{p o t}$

Wenn Du von der klassischen zur quantenmechanischen Beschreibung übergehst, dann werden physikalische Größen zu Operatoren. Somit wird auch die Gesamtenergie zum Hamilton-Operator H.

Der klassische Impuls wird durch den quantenmechanischen Impulsoperator P ersetzt:

$p \to P = \frac{ħ}{i} \cdot \frac{d}{d x}$

Dabei ist ħ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum, i die imaginäre Zahl und $\frac{d}{d x}$ gibt eine Änderung des Ortes an.

Der Operator für potentielle Energie wird in der Quantenmechanik als V geschrieben.

Wenn Du nun alle Änderungen, die Du bei dem Übergang von der klassischen Mechanik in die Quantenmechanik gemacht hast, in die Formel für Gesamtenergie einsetzt, erhältst Du den Hamilton-Operator :

$H = \frac{1}{2 \cdot m} \cdot {(\frac{ħ}{i} \cdot \frac{d}{d x})}^{2} + V H = \frac{1}{2 \cdot m} \cdot (- ħ^{2}) \cdot \frac{d^{2}}{d x^{2}} + V H = \frac{- ħ^{2}}{2 \cdot m} \cdot \frac{d^{2}}{d x^{2}} + V$

Der Hamilton-Operator hat für jedes quantenmechanische System dieselbe Form. Das Einzige, was sich je nach System ändert, ist die potentielle Energie V.

Der erste Term im Hamilton-Operator (kinetische Energie) ist zeitunabhängig. Allerdings kann der Term für potentielle Energie je nach System eine Zeitabhängigkeit aufweisen.

Damit kannst Du nun den linken Teil der Gleichung erklären. Wie sieht es jedoch mit dem rechten Teil der Gleichung aus?

Die imaginäre Zahl $i = \sqrt{- 1}$ bedeutet, dass die Wellenfunktion nicht unbedingt reell sein muss, sondern auch komplexe Lösungen haben könnte. $\frac{\partial}{\partial t}$ bestimmt die zeitliche Änderung der Wellenfunktion. Da die Wellenfunktion nicht nur von der Zeit, sondern auch vom Ort abhängt, handelt es sich um eine partielle Ableitung.

Das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum $ħ = 1, 054 \cdot 10^{- 31} J \cdot s$ kannst Du als notwendig ansehen, um die Einheiten auf beiden Seiten der Gleichung auszugleichen: Aus dem Hamilton-Operator ergibt sich auf der linken Seite die Einheit Joule. Um diese auch auf der rechten Seite zu erhalten, wird eine Konstante benötigt, deren Einheit die s^-1aus der zeitlichen Ableitung wieder ausgleicht.

Allerdings ändert sich die potentielle Energie nicht immer in Abhängigkeit von der Zeit. Besteht keine Zeitabhängigkeit, so vereinfacht sich die allgemeine Schrödinger-Gleichung zur stationären Schrödinger-Gleichung.

Stationäre Schrödinger Gleichung

Stationär heißt zeitunabhängig. Allerdings bedeutet es nicht, dass die erhaltene Wellenfunktion sich nicht mit der Zeit ändern kann. Vielmehr geht es dabei um die Zeitunabhängigkeit der potentiellen Energie.

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung hat die Form

$H Ψ = E \cdot Ψ$

Dies entspricht einer Eigenwertgleichung mit dem Hamilton-Operator H, der Wellenfunktion Ψ und dem Energie-Eigenwert E.

Wie Du erkennen kannst, besteht die stationäre Schrödinger-Gleichung nur aus drei Komponenten:

Schrödinger Gleichung zeitunabhängige Erklärung StudySmarter Abb. 6 - Stationäre Schrödinger-Gleichung

Der Hamilton-Operator beinhaltet auch in diesem Fall die Gesamtenergie des Systems. Auf der rechten Seite kannst Du dieselbe Wellenfunktion wie links erkennen. Daraus kannst Du schließen, dass der Hamilton-Operator die Wellenfunktion an sich nicht verändert. Die einzige Ergänzung ist hier der Energiewert.

Gleichungen, in denen der Operator die Funktion nicht verändert, stellen ein sogenanntes Eigenwertproblem dar.

In diesem Fall befindet sich die Funktion im Eigenzustand des Operators und die durch den Operator beschriebene physikalische Größe besitzt einen wohldefinierten Eigenwert. Dieser ist ein möglicher Messwert.

Eine ausführliche Erklärung zum Eigenwertproblem findest Du in der Erklärung Eigenwert berechnen!

Demnach befindet sich die Wellenfunktion in diesem Fall im Eigenzustand des Hamilton-Operators. Dadurch kann diesem Zustand auch eine wohldefinierte Energie zugeordnet werden, die durch den Energie-Eigenwert angegeben wird. Der Energie-Eigenwert ist somit ein möglicher Messwert.

Sowohl die zeitabhängige als auch die stationäre Schrödinger-Gleichung behält für jedes System dieselbe Form. Das Einzige, was sich jedoch ändert, ist die potentielle Energie im Hamilton-Operator. Löst Du die Schrödinger-Gleichung dann nach der Wellenfunktion auf, so erhältst Du unterschiedliche Lösungen für verschiedene Systeme.

Schrödinger Gleichung Lösung

In der Erklärung „Eigenwert berechnen“ kannst Du genau nachlesen, wie Du Eigenwertgleichungen wie die stationäre Schrödinger-Gleichung lösen kannst. Allerdings kannst Du die Schrödinger-Gleichung auch durch logische Betrachtung lösen. Das gilt sowohl für die stationäre als auch für die zeitabhängige Form.

Der Einfachheit halber wird hier jedoch nur der stationäre Fall betrachtet.

Mit dem Hamilton-Operator $H = \frac{- ħ^{2}}{2 \cdot m} \cdot \frac{d^{2}}{d x^{2}} + V$ kannst Du die stationäre Schrödinger-Gleichung folgendermaßen umformen:

$\begin{array}{rcl} H Ψ & = & E \cdot Ψ \\ (\frac{- ħ^{2}}{2 \cdot m} \cdot \frac{d^{2}}{d x^{2}} + V) Ψ & = & E \cdot Ψ \\ \frac{- ħ^{2}}{2 \cdot m} \cdot \frac{d^{2} Ψ}{d x^{2}} + V \cdot Ψ & = & E \cdot Ψ - V \cdot Ψ \\ \frac{- ħ^{2}}{2 \cdot m} \cdot \frac{d^{2} Ψ}{d x^{2}} & = & E \cdot Ψ - V \cdot Ψ \\ \frac{- ħ^{2}}{2 \cdot m} \cdot \frac{d^{2} Ψ}{d x^{2}} & = & (E - V) \cdot Ψ (1) \end{array}$

Die Konstanten $\begin{array}{rcl} \frac{- ħ^{2}}{2 \cdot m} \end{array}$ und $(E - V)$ kannst Du für den Moment ignorieren. Der Rest dieser Gleichung sagt Dir, dass Du eine Wellenfunktion suchst, deren zweite Ableitung dieselbe Form hat wie die Funktion selbst. Ein solches Verhalten zeigt unter anderem die folgende Wellenfunktion:

$\begin{array}{rcl} Ψ (x) & = & A \cdot \sin (k \cdot x) + B \cdot \cos (k \cdot x) \\ \frac{d Ψ (x)}{d x} & = & k \cdot A \cdot \cos (k \cdot x) - k \cdot B \cdot \sin (k \cdot x) \\ \frac{d^{2} Ψ (x)}{d x^{2}} & = & - k^{2} \cdot A \cdot \sin (k \cdot x) - k^{2} \cdot B \cdot \cos (k \cdot x) \\ = & - k^{2} \cdot (A \cdot \sin (k \cdot x) + B \cdot \cos (k \cdot x)) \\ \frac{d^{2} Ψ (x)}{d x^{2}} & = & - k^{2} \cdot Ψ (x) \end{array}$

Setzt Du dies nun in Gleichung (1) ein, kannst Du den Faktor k im Argument der Funktion bestimmen:

$\begin{array}{rcl} \frac{- ħ^{2}}{2 \cdot m} \cdot \frac{d^{2} Ψ}{d x^{2}} & = & (E - V) \cdot Ψ (x) \\ \frac{- ħ^{2}}{2 \cdot m} \cdot (- k^{2}) \cdot Ψ (x) & = & (E - V) \cdot Ψ (x) \\ \frac{ħ^{2}}{2 \cdot m} \cdot k^{2} & = & (E - V) \cdot \frac{2 \cdot m}{ħ^{2}} \\ k^{2} & = & (E - V) \cdot \frac{2 \cdot m}{ħ^{2}} \sqrt{. . .} \\ k & = & \sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot (E - V)}{ħ^{2}}} \end{array}$

Damit lautet Deine Wellenfunktion im allgemeinen Fall also:

$\begin{array}{rcl} Ψ (x) & = & A \cdot \sin (\sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot (E - V)}{ħ^{2}}} \cdot x) + B \cdot \cos (\sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot (E - V)}{ħ^{2}}} \cdot x) (2) \end{array}$

Die Konstanten A und B erhältst Du, wenn Du gewisse Forderungen an die Funktion stellst. Diese sind abhängig vom betrachteten System.

Schrödinger Gleichung Beispiel – Linearer Potentialtopf

Stell Dir ein Teilchen vor, das sich in einer offenen Box befindet und sich in dieser frei bewegen kann. Nimm dabei an, die Wände seien unendlich hoch, sodass das Teilchen den Kasten nicht verlassen kann.

Mathematisch kannst Du dieses System durch einen linearen Potentialtopf beschreiben. In diesem wird das Teilchen durch eine Energiebarriere gefangen gehalten. Der Potentialtopf heißt linear, sofern sich das Teilchen nur entlang einer Achse (hier x-Achse) bewegen kann:

Schrödinger Gleichung linearer Potentialtopf StudySmarter Abb. 7 - Elektron im linearen Potentialtopf

Um den Potentialtopf zu verlassen, muss das Teilchen die Energiebarriere überwinden. Bei einer unendlich hohen Barriere bräuchte es dazu allerdings unendlich viel Energie.

Durch die Potentialwände ist das Teilchen auf einen bestimmten Bereich eingeschränkt. Bei einer Kastenlänge L entspricht es dem Bereich zwischen $x = 0$ und $x = L$ . Hier spürt das Teilchen kein Potential (dort ist $V (x) = 0$ ). Außerhalb hingegen ist die Potentielle Energie unendlich groß. Dies kannst Du in den sogenannten Randbedingungen wie folgt zusammenfassen:

$V (x) = 0 für 0 < x < L V (x) = \infty für x < 0, x > L$

Die Randbedingungen fordern, dass sich das Teilchen nur innerhalb des Kastens aufhalten kann. Damit kannst Du die Wellenfunktion aus Gleichung (2) an den Rändern des Kastens gleich Null setzen. Weil das Potential innerhalb des Kastens verschwindet, setzt Du auch $V = 0$ . Für die erste Potentialwand bei $x = 0$ folgt:

$\begin{array}{rcl} A \cdot \sin (\sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot E}{ħ^{2}}} \cdot 0) + B \cdot \cos (\sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot E}{ħ^{2}}} \cdot 0) & = & 0 \\ A \cdot \sin (0) + B \cdot \cos (0) & = & 0 \\ B & = & 0 \end{array}$

Damit hast Du eine Konstante aus Gleichung (2) schon mal gelöst. Die Wellenfunktion vereinfacht sich also zu:

$\begin{array}{rcl} Ψ (x) & = & A \cdot \sin (\sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot E}{ħ^{2}}} \cdot x) \end{array}$

Nun fehlen Dir noch zwei Unbekannte, um die vollständige Wellenfunktion zu erhalten: Der Koeffizient A und die Energie E. Den Energiewert erhältst Du mit der zweiten Randbedingung. Diese fordert, dass die Funktion an der zweiten Wand bei $x = L$ den Wert Null hat:

$\begin{array}{rcl} A \cdot \sin (\sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot E}{ħ^{2}}} \cdot L) & = & 0 \end{array}$

A darf nicht Null sein, da sonst die Funktion für alle Werte von x verschwindet. Deswegen suchst Du jetzt nach den Nullstellen der Sinus-Funktion.

Die Sinus-Funktion hat unendlich viele Nullstellen, die bei einem ganzzahligen vielfachen von π liegen.

Mit einer natürlichen Zahl n folgt also:

$\begin{array}{rcl} \sin (\sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot E}{ħ^{2}}} \cdot L) & = & 0 \\ \sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot E}{ħ^{2}}} \cdot L & = & n \cdot π \end{array}$

Daraus kannst Du nun den Energiewert berechnen:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot E}{ħ^{2}}} \cdot L & = & n \cdot π \div L \\ \sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot E}{ħ^{2}}} & = & \frac{n \cdot π}{L} {(. . .)}^{2} \\ \frac{2 \cdot m \cdot E}{ħ^{2}} & = & \frac{n^{2} \cdot π^{2}}{L^{2}} \cdot ħ^{2} \\ 2 \cdot m \cdot E & = & \frac{n^{2} \cdot π^{2} \cdot ħ^{2}}{L^{2}} \div (2 \cdot m) \\ E & = & \frac{n^{2} \cdot π^{2} \cdot ħ^{2}}{2 \cdot m \cdot L^{2}} \end{array}$

Um genauer zu sein, ist es der Energie-Eigenwert. Diesen erhältst Du bei einer Messung.

Damit erhältst Du die Zwischenlösung

$\begin{array}{rcl} Ψ (x) & = & A \cdot \sin (\sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot E}{ħ^{2}}} \cdot x) \\ = & A \cdot \sin (\sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot \frac{n^{2} \cdot π^{2} \cdot ħ^{2}}{2 \cdot m \cdot L^{2}}}{ħ^{2}}} \cdot x) \\ = & A \cdot \sin (\sqrt{\frac{n^{2} \cdot π^{2}}{L^{2}}} \cdot x) = A \cdot \sin (\frac{n \cdot π}{L} \cdot x) \end{array}$

Jetzt fehlt nur noch die Konstante A. Diese erhältst Du aus der Normierungsbedingung. Was das ist und wie diese Konstante berechnet wird, erfährst Du in der Erklärung „Postulate der Quantenmechanik“.

Die entsprechenden Lösungen haben für die ersten drei Energieniveaus folgende Form:

Schrödinger Gleichung linearer Potentialtopf Wellenfunktionen StudySmarter Abb. 8 - Lösungen für linearen Potentialtopf

Dabei entspricht n der Hauptquantenzahl: Diese gibt das energetische Niveau des jeweiligen Zustands an. Im Fall des linearen Potentialtopfes ist die kleinste Hauptquantenzahl $n = 0$ .

Durch die Hauptquantenzahl werden die Hauptenergieniveaus in Atomen bestimmt. Diese kennst Du vielleicht eher als Schalen im Atommodell. Mehr zu Quantenzahlen findest Du in der Erklärung zu Haupt- und Nebenquantenzahlen.

Das Teilchen im linearen Potentialtopf ist eine gute Näherung für freie Teilchen. Frei bedeutet in diesem Fall: frei von einem äußeren Potential. Daher kann dieses Modell verwendet werden, um Elektronensysteme in Molekülen oder elektrischen Leitern zu beschreiben. Dort können sich die Ladungsträger nämlich nur im begrenzten Raum frei bewegen, diesen aber nicht verlassen.

Gebundene Teilchen, wie das Elektron im Wasserstoffatom, stellen hingegen kompliziertere Systeme dar. Demnach sind auch die entsprechenden Lösungen komplexer.

Radiale Schrödingergleichung – Lösungen

Um die Wellenfunktion möglichst genau darstellen zu können, werden neben der Energie noch andere Eigenschaften, wie der Drehimpuls betrachtet. In diesem Fall besteht die Wellenfunktion aus einem orts- und zeitabhängigen Teil und einem Teil, der die weitere Größe berücksichtigt.

Damit ergeben sich sogenannte Gesamtwellenfunktionen, die etwas komplexer aussehen können.

Das Wasserstoffatom kannst Du Dir wie eine Kugel vorstellen. Wegen dieser Kugelsymmetrie ist es hier nötig, von kartesischen Koordinaten in die Kugelkoordinaten überzugehen.

Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten (x, y und z) in Kugelkoordinaten (r, φ und θ) kannst Du Dir folgendermaßen vorstellen:

Schrödinger Gleichung Kugelkoordinaten StudySmarter Abb. 9 - Umwandlung kartesische Koordinaten zu Kugelkoordinaten

Links dargestellt siehst Du eine Kugel mit dem Radius r. Diese könnte das Wasserstoff-Atom darstellen. Auf der Kugeloberfläche befindet sich ein Kügelchen, z. B. ein Elektron. Der Ortsvektor $\vec{r}$ des Elektrons ist im Winkel θ zur z-Achse und im Winkel φ zur x-Achse orientiert. Daraus ergibt sich aus geometrischer Betrachtung folgender Zusammenhang:

$\sin (θ) = \frac{d}{r} \leftrightarrow d = r \cdot \sin (θ) \cos (θ) = \frac{z}{r} \leftrightarrow z = r \cdot \cos (θ) \sin (φ) = \frac{y}{d} \leftrightarrow y = d \cdot \sin (φ) = r \cdot \sin (θ) \cdot \sin (φ) \cos (φ) = \frac{x}{d} \leftrightarrow x = d \cdot \cos (φ) = r \cdot \sin (θ) \cdot \cos (φ)$

Damit ist nun einerseits der Abstand r des Elektrons zum Atomkern wichtig. Andererseits bestimmen die entsprechenden Winkel die Orientierung im Raum. Damit kannst Du die Wellenfunktion in einen Radialanteil R(r) und einen Winkelanteil Y(φ,θ) aufteilen:

$Ψ (r, φ, θ) = R (r) \cdot Y (φ, θ)$

Schrödinger Gleichung Wasserstoffatom – Lösungen

Für die ersten drei Energieniveaus des Wasserstoff-Atoms liefert die Schrödinger-Gleichung für Wasserstoff folgende Radialanteile:

Schrödinger Gleichung Radialanteil Lösung Wasserstoff StudySmarter Abb. 10 - Radialanteil der Wellenfunktion für Wasserstoff

Je nach Nebenquantenzahl l sind dabei für jedes Energieniveau der Hauptquantenzahl n $2 \cdot l + 1$ unterschiedliche Zustände, also Wellenfunktionen, möglich. Für das tiefste Energieniveau mit $n = 1$ gibt es beispielsweise nur eine Wellenfunktion zu $l = 0$ , während das Energieniveau mit $n = 3$ drei Zustände zu $l = 0, l = 1$ und $l = 2$ hat.

Hier ist allerdings jeweils nur der Radialteil dargestellt. Eine genauere Erklärung zu dem Winkelabhängigen Teil, so wie einen Lösungsweg, findest Du bei Schrödinger-Gleichung für Wasserstoff.

Betrachtest Du die Gesamtwellenfunktion, dann erhältst Du als Lösung der Schrödinger-Gleichung für Wasserstoff die entsprechende Orbitalstruktur. In zwei Dimensionen sieht das Ganze dann folgendermaßen aus:

Schrödinger Gleichung Gesamtwellenfunktionen von Wasserstoff StudySmarter Abb. 11 - Einige Gesamtwellenfunktionen von Wasserstoff

Was es mit diesen Abbildungen auf sich hat und wie Du sie deuten kannst, erfährst Du in der Erklärung zur Orbitalstruktur.

Die Orbitalstruktur entspricht dabei der genausten Vorstellung von Elektronen in Atomen oder Molekülen, die wir bisher haben. Wenn Du beim nächsten Mal also an Elektronenbahnen denkst, so stell sie Dir wie in Abbildung 11 dargestellt vor – nicht wie ein um den Atomkern herum kreisendes Teilchen!

Schrödinger Gleichung - Das Wichtigste

Nach dem Welle-Teilchen-Dualismus kann ein Elektron sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften besitzen.
Elektronen sind stehende Wellen, die den Atomkern umlaufen. Mathematisch wird es durch eine Wellenfunktion beschrieben.
Eine Wellenfunktion beschreibt den Zustand eines quantenmechanischen Systems vollständig.
- Nach der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation entspricht das Betragsquadrat der Wellenfunktion ihrer Wahrscheinlichkeitsdichte.
- Die Wellenfunktion wird als Lösung der Schrödinger-Gleichung erhalten.
Die Schrödinger-Gleichung kann nicht konkret aus den Grundprinzipien der Physik hergeleitet werden.
Die allgemeine Form der Schrödinger-Gleichung wird benutzt, wenn der Hamilton-Operator H zeitabhängig ist. Mit der imaginären Zahl i, dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum ħ und der Wellenfunktion Ψ lautet sie:

$H Ψ = i \cdot ħ \cdot \frac{\partial}{\partial t} Ψ$

Die stationäre Schrödinger-Gleichung stellt ein Eigenwertproblem dar und liefert die Energieeigenwerte E des Hamilton-Operators H:

$H Ψ = E \cdot Ψ$

Der Hamilton-Operator ist der Operator für Gesamtenergie und ändert sich in seiner potentiellen Energie je nach System.

Nachweise

Peter W. Atkins, Ronald S. Friedman (2011). Molecular Quantum Mechanics. Oxford University Press.
Leonard Susskind, Art Friedman (2015). Quantum Mechanics The Theoretical Minimum. Penguin Books.
Erwin Schrödinger (1933). The fundamental idea of wave mechanics. Nobel Lecture.
Daniel Fleisch, Laure Kinnaman (2015). A Student's Guide to Waves. Cambridge University Press.
Daniel Fleisch (2022). A Student's Guide to Schrödinger Equation. Cambridge University Press.
R. Feynman, R. Leighton, M. Sands (1965). The Feynman Lectures on Physics, Volume III. Basic Books.

Schrödinger Gleichung

StudySmarter Redaktionsteam

Schrödinger Gleichung: Welle-Teilchen-Dualismus