Schrödinger Gleichung

Die Frage nach der Zusammensetzung von Licht besteht schon seit der Antike. Im Verlauf der Geschichte entstanden dazu Theorien, die verschiedene Beobachtungen erklären sollen. Heute ist sich die Wissenschaft sicher: Licht besteht aus Photonen, die sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften haben.

Dieser Welle Teilchen Dualismus lässt sich allerdings auch auf andere Elementarteilchen wie Elektronen anwenden. Als Welle wird das Elektron durch eine Wellenfunktion beschrieben, die Du aus der Schrödinger Gleichung erhältst. Was die Schrödinger Gleichung ist und wie Du sie lösen kannst, erfährst Du hier!

Schrödinger Gleichung: Welle-Teilchen-Dualismus

Erst mit der Entdeckung der Radioaktivität stieg das Interesse an subatomaren Teilchen, da immer genauere experimentelle Methoden zur Messung ihrer Eigenschaften entwickelt wurden. Dabei gingen die Forschenden zunächst davon aus, dass Elementarteilchen sich nach den bekannten Gesetzen der klassischen Physik verhalten würden.

In der klassischen Physik wird zwischen Teilchen und Wellen unterschieden. Dabei kannst Du ein Teilchen nur an einem bestimmten Ort lokalisieren. Eine Welle hingegen breitet sich im Raum aus und kann an mehreren Orten gleichzeitig gemessen werden. Während das Teilchen Energie durch Zusammenstöße instantan übertragen kann, sind Wellen eine Form der Energieausbreitung und übertragen Energie bei Wechselwirkung, so lange wie die Wechselwirkung besteht.

Abb. 1 - Schema zum Welle-Teilchen-Dualismus

Experimentelle Beobachtungen an Elementarteilchen haben allerdings gezeigt, dass sich diese unter gewissen Umständen wie Teilchen und unter anderen wie Wellen verhalten. Beispielsweise bewegen sich quantenmechanische Objekte wie Wellen durch den Raum: Sie können gebeugt werden oder mit anderen Wellen interferieren. Dies wurde erstmals im Doppelspaltexperiment beobachtet. Andererseits zeigen sowohl der Photoeffekt als auch der Compton-Effekt, dass Photonen sich bei Wechselwirkung wie Teilchen verhalten.

Wie kannst Du denn nun Elementarteilchen beschreiben – sind es Wellen oder Teilchen?

Elementarteilchen sind also beides. Dabei setzt sich entweder der Teilchen- oder der Wellencharakter durch, je nachdem welche Eigenschaft betrachtet wird.

Schrödinger Gleichung: Einführung in die Wellenmechanik

Wenn Du an gebundene Elektronen denkst, dann kommt Dir bestimmt das ikonische Bild eines Atoms in den Sinn, indem die Elektronen nach dem Rutherford Atommodell auf elliptischen Bahnen um den Atomkern kreisen:

Abb. 2 - Rutherfordsches Atommodell

Diese Verbildlichung ist jedoch nicht ganz richtig, da hier das Elektron nur als Teilchen dargestellt wird. In Wirklichkeit hat es aber nicht nur Teilchen-, sondern auch Welleneigenschaften und ist somit kein winziger, negativ geladener Ball.

Elektron als stehende Welle

Probieren wir es mit dem Wellenmodell.

Die meisten Wellen, die Du vermutlich kennst, breiten sich im Raum aus. Denk dabei an eine Welle auf dem Meer oder eine La-Ola Welle im Stadion. Es gibt aber auch noch eine andere Form von Wellen, die sich nicht horizontal ausbreiten, sondern lediglich vertikal schwingen.

Stehende Wellen sind allerdings keine Besonderheit, sondern können Dir auch im Alltag begegnen. Nimm Dir doch ein Seil und probier es selbst aus!

Stehende Wellen sind an ihrem Ort eingeschränkt. Genauso eingeschränkt sind Elektronen in Atomen oder Elementen.

Das kannst Du Dir bildlich vorstellen, wenn Du die beiden Seilenden in Abbildung 3 miteinander verbindest und das Seil „im Kreis“ schwingen lässt:

Abb. 4 - Elektron als stehende Welle

Obwohl diese Darstellung von Elektronen nicht so elegant sein mag, wie die Vorstellung von kreisenden Teilchen auf Elektronenbahnen, so liegt sie doch näher an der Realität. Da hier allerdings nur die Energie des Elektrons betrachtet wird, ist Abbildung 4 nur als eine vereinfachte Darstellung zu verstehen.

Damit hast Du jetzt ein Bild davon, wie ein Elektron aussehen könnte. Um allerdings auch noch Vorhersagen über das Verhalten von Elektronen unter verschiedenen Bedingungen machen zu können, benötigst Du dazu eine mathematische Beschreibung.

Wellenfunktion

Mathematisch gesehen entspricht die Wellendarstellung der Elektronen einer Wellenfunktion.

Du kannst die Wellenfunktion nicht einfach aufstellen, sondern Du erhältst sie als Lösung der Schrödinger-Gleichung.

Schrödinger Gleichung einfach erklärt

In der klassischen Physik wird die Bewegung eines Teilchens durch die Newtonschen Gesetze beschrieben. Aus ihnen kannst Du Dir unter anderem die entsprechende Funktion herleiten, die die Teilchenbewegung beschreibt. Analog zu den Newtonschen Gesetzen gibt es in der Wellenmechanik die sogenannte Wellengleichung, die den Zustand der Welle durch eine Wellenfunktion bestimmt.

Vereinfacht kannst Du Dir die Schrödinger-Gleichung wie eine Gleichung vorstellen, die Du nicht nach einer Variablen, sondern nach einer Funktion – der Wellenfunktion – auflöst. Sie wurde 1926 von Erwin Schrödinger postuliert und stellt seitdem die zentrale Gleichung der Quantenmechanik dar. Aber wo kommt sie her und viel wichtiger noch: Wie sieht die Schrödinger-Gleichung überhaupt aus?

Schrödinger Gleichung Herleitung

In seiner berühmten Vorlesungsreihe schrieb Richard Feynman über die Schrödinger-Gleichung:

"Es ist nicht möglich, sie aus etwas Bekanntem herzuleiten. Sie ist ein Produkt des Verstands von Schrödinger."

Und damit hat der Physiker recht: Schrödinger entwickelte seine Wellenmechanik über mehrere Publikationen hinweg und erweiterte somit die klassische Wellengleichung. Obwohl es mittlerweile sämtliche Ansätze gibt, wie Du auf die Schrödinger-Gleichung kommen könntest, so stellt keine von ihnen eine konkrete Herleitung dar.

Dabei wird zwischen stationärer und zeitabhängiger Schrödinger-Gleichung unterschieden.

Zeitabhängige Schrödinger Gleichung

Die allgemeine Schrödinger-Gleichung beschreibt, wie sich ein Quantenzustand mit der Zeit verändert und wird verwendet, wenn der Hamilton-Operator eine Zeitabhängigkeit aufweist. Aber was genau sagt diese Gleichung aus? Schau Dir dazu die einzelnen Komponenten mal genauer an:

Abb. 5 - Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

Der Hamilton-Operator beinhaltet die Gesamtenergie des Systems, die sich aus kinetischer und potentieller Energie zusammensetzt. Genauer gesagt handelt es sich um eine Rechenvorschrift, die auf die Wellenfunktion angewendet wird. Sie gibt vor, wie die Wellenfunktion sich zu verändern hat, um einen entsprechenden Energiewert zu erhalten.

Aber wie genau wird die Energie durch den Hamilton-Operator bestimmt?

Damit kannst Du nun den linken Teil der Gleichung erklären. Wie sieht es jedoch mit dem rechten Teil der Gleichung aus?

Die imaginäre Zahl $i=\sqrt{-1}$ bedeutet, dass die Wellenfunktion nicht unbedingt reell sein muss, sondern auch komplexe Lösungen haben könnte. $\frac{\partial }{\partial t}$ bestimmt die zeitliche Änderung der Wellenfunktion. Da die Wellenfunktion nicht nur von der Zeit, sondern auch vom Ort abhängt, handelt es sich um eine partielle Ableitung.

Das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum $ħ=1,054·{10}^{-31}J·s$ kannst Du als notwendig ansehen, um die Einheiten auf beiden Seiten der Gleichung auszugleichen: Aus dem Hamilton-Operator ergibt sich auf der linken Seite die Einheit Joule. Um diese auch auf der rechten Seite zu erhalten, wird eine Konstante benötigt, deren Einheit die s^-1 aus der zeitlichen Ableitung wieder ausgleicht.

Allerdings ändert sich die potentielle Energie nicht immer in Abhängigkeit von der Zeit. Besteht keine Zeitabhängigkeit, so vereinfacht sich die allgemeine Schrödinger-Gleichung zur stationären Schrödinger-Gleichung.

Stationäre Schrödinger Gleichung

Stationär heißt zeitunabhängig. Allerdings bedeutet es nicht, dass die erhaltene Wellenfunktion sich nicht mit der Zeit ändern kann. Vielmehr geht es dabei um die Zeitunabhängigkeit der potentiellen Energie.

Wie Du erkennen kannst, besteht die stationäre Schrödinger-Gleichung nur aus drei Komponenten:

Abb. 6 - Stationäre Schrödinger-Gleichung

Der Hamilton-Operator beinhaltet auch in diesem Fall die Gesamtenergie des Systems. Auf der rechten Seite kannst Du dieselbe Wellenfunktion wie links erkennen. Daraus kannst Du schließen, dass der Hamilton-Operator die Wellenfunktion an sich nicht verändert. Die einzige Ergänzung ist hier der Energiewert.

Demnach befindet sich die Wellenfunktion in diesem Fall im Eigenzustand des Hamilton-Operators. Dadurch kann diesem Zustand auch eine wohldefinierte Energie zugeordnet werden, die durch den Energie-Eigenwert angegeben wird. Der Energie-Eigenwert ist somit ein möglicher Messwert.

Sowohl die zeitabhängige als auch die stationäre Schrödinger-Gleichung behält für jedes System dieselbe Form. Das Einzige, was sich jedoch ändert, ist die potentielle Energie im Hamilton-Operator. Löst Du die Schrödinger-Gleichung dann nach der Wellenfunktion auf, so erhältst Du unterschiedliche Lösungen für verschiedene Systeme.

Schrödinger Gleichung Lösung

In der Erklärung „Eigenwert berechnen“ kannst Du genau nachlesen, wie Du Eigenwertgleichungen wie die stationäre Schrödinger-Gleichung lösen kannst. Allerdings kannst Du die Schrödinger-Gleichung auch durch logische Betrachtung lösen. Das gilt sowohl für die stationäre als auch für die zeitabhängige Form.

Die Konstanten A und B erhältst Du, wenn Du gewisse Forderungen an die Funktion stellst. Diese sind abhängig vom betrachteten System.

Schrödinger Gleichung Beispiel – Linearer Potentialtopf

Stell Dir ein Teilchen vor, das sich in einer offenen Box befindet und sich in dieser frei bewegen kann. Nimm dabei an, die Wände seien unendlich hoch, sodass das Teilchen den Kasten nicht verlassen kann.

Mathematisch kannst Du dieses System durch einen linearen Potentialtopf beschreiben. In diesem wird das Teilchen durch eine Energiebarriere gefangen gehalten. Der Potentialtopf heißt linear, sofern sich das Teilchen nur entlang einer Achse (hier x-Achse) bewegen kann:

Abb. 7 - Elektron im linearen Potentialtopf

Durch die Potentialwände ist das Teilchen auf einen bestimmten Bereich eingeschränkt. Bei einer Kastenlänge L entspricht es dem Bereich zwischen $x=0$ und $x=L$. Hier spürt das Teilchen kein Potential (dort ist $V\left(x\right)=0$). Außerhalb hingegen ist die Potentielle Energie unendlich groß. Dies kannst Du in den sogenannten Randbedingungen wie folgt zusammenfassen:

$$\begin{gathered} V\left(x\right)=0 \mathrm{für}0<\mathrm{x}<\mathrm{L} \\ V\left(x\right)=\infty \mathrm{für}\mathrm{x}<0,\mathrm{x}>\mathrm{L} \end{gathered}$$

Die entsprechenden Lösungen haben für die ersten drei Energieniveaus folgende Form:

Abb. 8 - Lösungen für linearen Potentialtopf

Dabei entspricht n der Hauptquantenzahl: Diese gibt das energetische Niveau des jeweiligen Zustands an. Im Fall des linearen Potentialtopfes ist die kleinste Hauptquantenzahl $n=0$.

Das Teilchen im linearen Potentialtopf ist eine gute Näherung für freie Teilchen. Frei bedeutet in diesem Fall: frei von einem äußeren Potential. Daher kann dieses Modell verwendet werden, um Elektronensysteme in Molekülen oder elektrischen Leitern zu beschreiben. Dort können sich die Ladungsträger nämlich nur im begrenzten Raum frei bewegen, diesen aber nicht verlassen.

Gebundene Teilchen, wie das Elektron im Wasserstoffatom, stellen hingegen kompliziertere Systeme dar. Demnach sind auch die entsprechenden Lösungen komplexer.

Radiale Schrödingergleichung – Lösungen

Um die Wellenfunktion möglichst genau darstellen zu können, werden neben der Energie noch andere Eigenschaften, wie der Drehimpuls betrachtet. In diesem Fall besteht die Wellenfunktion aus einem orts- und zeitabhängigen Teil und einem Teil, der die weitere Größe berücksichtigt.

Das Wasserstoffatom kannst Du Dir wie eine Kugel vorstellen. Wegen dieser Kugelsymmetrie ist es hier nötig, von kartesischen Koordinaten in die Kugelkoordinaten überzugehen.

$\Psi (r,\phi ,\theta )=R\left(r\right)·Y(\phi ,\theta )$

Für die ersten drei Energieniveaus des Wasserstoff-Atoms liefert die Schrödinger-Gleichung für Wasserstoff folgende Radialanteile:

Abb. 10 - Radialanteil der Wellenfunktion für Wasserstoff

Je nach Nebenquantenzahl l sind dabei für jedes Energieniveau der Hauptquantenzahl n $2·l+1$ unterschiedliche Zustände, also Wellenfunktionen, möglich. Für das tiefste Energieniveau mit $n=1$ gibt es beispielsweise nur eine Wellenfunktion zu $l=0$, während das Energieniveau mit $n=3$ drei Zustände zu $l=0,l=1$und $l=2$ hat.

Betrachtest Du die Gesamtwellenfunktion, dann erhältst Du als Lösung der Schrödinger-Gleichung für Wasserstoff die entsprechende Orbitalstruktur. In zwei Dimensionen sieht das Ganze dann folgendermaßen aus:

Abb. 11 - Einige Gesamtwellenfunktionen von Wasserstoff

Die Orbitalstruktur entspricht dabei der genausten Vorstellung von Elektronen in Atomen oder Molekülen, die wir bisher haben. Wenn Du beim nächsten Mal also an Elektronenbahnen denkst, so stell sie Dir wie in Abbildung 11 dargestellt vor – nicht wie ein um den Atomkern herum kreisendes Teilchen!