E mc2: Äquivalenz Masse & Energie, Erklärung

Q: Was bedeutet Einsteins Formel?

Einsteins Formel E=mc 2 beschreibt die Äquivalenz von Masse und Energie. Demnach kann man jedem Objekt eine Ruheenergie allein aufgrund seiner Masse zuordnen. Diese lässt sich durch die Formel berechnen.

Q: Kann man Energie in Masse umwandeln?

Nach Einsteins Formel E=mc 2 sind Energie und Masse äquivalent und lassen sich ineinander umwandeln. Die Umwandlung von Energie in Materie entsteht zum Beispiel bei der Elektron-Positron-Paarbildung.

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E = mc²: neuer Energiebegriff

Um diese Frage zu beantworten, kannst Du Dir zunächst ansehen, was Energie eigentlich ist.

Im Jahr 1905 veröffentlichte der Physiker Albert Einstein Artikel, auf deren Inhalte er später seine spezielle Relativitätstheorie aufbaute. Darin erweiterte er unter anderem den bis dahin bekannten Energiebegriff.

Der klassische Energiebegriff

In der klassischen Physik – der Mechanik, Elektrodynamik und Thermodynamik – ist Energie eng mit dem Begriff der Arbeit verbunden.

Unter Energie verstehst Du die Fähigkeit eines Systems, Arbeit zu verrichten. Du unterscheidest verschiedene Energieformen wie potentielle, kinetische, Wärme- und Strahlungsenergie.

Das Formelzeichen für Energie ist $△ E$ . Du gibst sie meistens in der Einheit Joule an.

Für diese Erklärung ist es hilfreich, wenn Du ein paar Grundbegriffe zur Energie kennst, etwa die verschiedenen Arten. Mehr dazu findest Du in den entsprechenden Beiträgen.

Ein grundlegendes Prinzip der Physik ist, dass Energie weder erschaffen noch vernichtet werden kann. Sie kann nur in andere Energieformen umgewandelt werden. Dieses Prinzip ist als erster Hauptsatz der Thermodynamik bekannt.

Wenn Du ein Stück Schokolade isst, wandelt Dein Körper die darin gespeicherte chemische Energie in eine für ihn nutzbare Form um. Ein Teil wird zum Beispiel in Wärmeenergie verändert, um Deine Körpertemperatur aufrechtzuerhalten. Ein anderer Teil kann beim Fahrradfahren in Bewegungsenergie verwandelt werden.

Die chemische Energie in der Schokolade stammt aus den Zutaten, denn die Kakaopflanzen speichern die Strahlungsenergie der Sonne in dieser Form in ihren Bohnen.

Du siehst also, dass Energie überall eine Rolle spielt und der Prozess der Energieumwandlung in verschiedensten Umfeldern zu jeder Zeit stattfindet.

E = mc²: Relativitätstheorie

Dieses Prinzip der Energieerhaltung gilt auch in der speziellen Relativitätstheorie, allerdings erweiterte Einstein den Begriff der Energie um eine weitere Form: Masse.

Stell Dir eine Murmel vor, die einen kleinen Hügel hinunterrollt. Dabei wandelt sie potentielle in kinetische Energie um. Ein Teil geht auch durch Reibung in die Umgebung über. Doch selbst wenn die Murmel steht, besitzt sie laut Einstein aufgrund ihrer Masse eine Energie: die sogenannte Ruheenergie.

Du kannst Dir Masse also als eine weitere Art der Energie vorstellen bzw. auch als ein Speichermedium für Energie.

Alle Objekte besitzen eine sogenannte Ruheenergie $E_{0}$ , die durch ihre Masse m ausgedrückt wird.

Dabei sind in der Masse große Mengen an Energie gespeichert. Diese kann nach dem Energieerhaltungssatz auch in andere Energieformen umgewandelt werden. Masse und Energie sind folglich äquivalent.

E = mc²: Äquivalenz von Masse und Energie

Diese Äquivalenz von Masse und Energie wird durch die wohl bekannteste Formel der modernen Physik ausgedrückt:

Einsteins berühmte Formel besagt, dass Masse m und Energie E äquivalent sind und durch einen bestimmten Faktor ineinander umgewandelt werden können. Dieser Faktor ist die Lichtgeschwindigkeit c im Quadrat:

$E_{0} = m \cdot c^{2}$

Aus dem Äquivalenzprinzip folgt, dass alles nur aufgrund seiner Masse auch Energie besitzt (auch Du). Bei der genaueren Betrachtung der Formel wirst Du feststellen, dass die Energie in der Masse sehr konzentriert vorliegt. Um die Ruheenergie zu erhalten, multiplizierst Du jedes Gramm Masse mit dem neunstelligen Faktor der Lichtgeschwindigkeit – im Quadrat.

Umwandlung Energie Masse: Aufgabe

Wie viel Energie steckt eigentlich in einem der kleinsten bekannten Teilchen, dem Elektron?

Aufgabe

Berechne mithilfe von Einsteins Formel die Ruheenergie $E_{0}$ eines Elektrons. Die Masse eines Elektrons beträgt $m_{e} = 9, 1 \cdot 10^{- 31} k g$ .

Gib Deine Ergebnisse in der Einheit Elektronenvolt eV an. Der Umrechnungsfaktor beträgt $6, 24 \cdot 10^{18}$ .

Lösung

Zunächst berechnest Du die Ruheenergie des Elektrons mit Einsteins Formel:

$E_{0} = m_{e} \cdot c^{2} = 9, 1 \cdot 10^{- 31} k g \cdot {(299.792.458 \frac{m}{s})}^{2} \approx 8, 179 \cdot {10^{- 14}}^{} J$

In Elektronenvolt umgerechnet, ergibt dies:

$\begin{array}{rcl} E_{0} & = & 8, 179 \cdot {10^{- 14}}^{} \cdot 6, 24 \cdot 10^{18} \\ \approx & 0, 511 M e V \end{array}$

Diese Energie scheint vielleicht auf den ersten Blick etwas gering. Doch wenn Du daran denkst, wie viele Elektronen (und Protonen und Neutronen) in nur einem Gramm Materie stecken, scheint ist diese Zahl nicht mehr so klein.

Tatsächlich steckt in nur einem Gramm Materie die doppelte Energiemenge, die bei einer Atombombe frei wird.

Daran erkennst Du die enorme Bedeutung, die die Größe der Lichtgeschwindigkeit für die Äquivalenz von Masse und Energie besitzt.

E=mc²: Bedeutung der Lichtgeschwindigkeit

Die gewaltige Energiekonzentration in der Masse eines Objekts ist nicht die einzige Konsequenz, die Du aus der speziellen Relativitätstheorie ziehen kannst.

Die Geschwindigkeit c des Lichts stellt eine Obergrenze für die Geschwindigkeit jeglicher Objekte im Universum dar. Anders ausgedrückt: „Nichts ist schneller als Licht“.

Der Wert der Lichtgeschwindigkeit beträgt:

$c = 299.792.458 \frac{m}{s^{2}}$

Hier wird immer von der Geschwindigkeit des Lichts im Vakuum ausgegangen. In einem Medium (z.B. Luft oder Wasser) bewegt sich Licht etwas langsamer.

Dieses Prinzip ist so fundamental in der Physik, dass es Erklärungen anderer Teilgebiete (unter anderem Theorien zum Urknall oder zur Quantenphysik) infrage stellt.

Doch warum kann eigentlich nichts schneller sein als Licht?

Fakt ist, Du kannst Objekte mit einer Masse nicht einmal auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigen.

Um etwas – sagen wir eine Murmel – zu beschleunigen, führst Du Energie zu. Beschleunigst Du eine Murmel aus ihrer Ruhelage heraus, erhält sich durch ihre zunehmende Geschwindigkeit v immer mehr kinetische Energie. Das siehst Du an der Formel:

$E_{k i n} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}$

Da für die kinetische Energie die Masse, die Geschwindigkeit und der Faktor 0,5 multipliziert werden, bedeutet eine größere Geschwindigkeit (oder eine größere Masse) mehr Energie. An dieser Stelle sagt Einstein, dass Masse und Energie äquivalent sind.

Du kannst die Formel nach der Masse auflösen:

$\begin{array}{rcl} E & = & m \cdot c^{2} | \div c \\ \frac{E}{c^{2}} & = & m | \leftrightarrow \\ m & = & \frac{E}{c^{2}} \end{array}$

Damit lässt sich jede Masse als Quotient aus Energie und Lichtgeschwindigkeit im Quadrat darstellen. Der Prozess funktioniert also in beide Richtungen:

Wenn Du nun die Energie erhöhst, wächst auch die Masse, da die Energie im Zähler steht und die Lichtgeschwindigkeit konstant bleibt. Beschleunigst Du die Murmel, dann steigt ihre Energie. Diese ist äquivalent zur Masse, die bei der Beschleunigung dementsprechend wächst.

Im Prinzip wirst Du auch massereicher, sobald Du anfängst. Du merkst davon jedoch nichts, da die Masse nur minimal zunimmt – so wenig, dass man es kaum bis gar nicht messen kann. Der Grund dafür ist erneut die Lichtgeschwindigkeit und ihr hoher Wert. Beim Berechnen der Masse steht er im Nenner des Bruchs. Die Energie wird also durch eine enorm große Zahl geteilt und das Ergebnis (die Masse) fällt dementsprechend klein aus.

Genau deshalb kann auch nichts mit einer Masse auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden. Denn je mehr Du etwas beschleunigen möchtest, desto mehr kinetische Energie musst Du ihm zuführen –und desto mehr steigt auch seine Masse. Und um massereichere Objekte zu beschleunigen, wird wiederum mehr Energie benötigt.

Das kennst Du zum Beispiel aus dem Alltag. Es ist einfach, eine kleine Murmel in Bewegung zu versetzen, ein Auto mit bloßer Körperkraft anzuschieben dagegen äußerst schwierig.

Kurz und knapp: Die Energie, die Du benötigst, um eine Masse auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen, geht gegen unendlich.

Warum kann Licht sich dann also mit einer Obergrenze von $c_{0} = 299.792.458 \frac{m}{s}$ bewegen?

Das liegt daran, dass es sich bei Licht um Photonen handelt. Dies sind masselose Teilchen, die sich im Vakuum mit genau diesem Wert bewegen: Ihre gesamte Energie liegt also bereits in ihrer Bewegung.

Mehr zum Thema "Photonen" findest Du in der entsprechenden Erklärung.

Der Lorentzfaktor

Der Massezuwachs ist übrigens nicht die einzige Konsequenz aus Einsteins spezieller Relativitätstheorie. Je schneller Du wirst, desto langsamer vergeht für Dich die Zeit und desto kürzer erscheinst Du einem außenstehenden Beobachter.

Diese sogenannten relativistischen Effekte nennt man "Zeitdilatation" und "Längenkontraktion". Mehr dazu findest Du in den entsprechenden Artikeln.

Wichtig dabei ist die Erkenntnis, dass sich Objekte mit zunehmender Geschwindigkeit anders verhalten. Beispielsweise besitzt etwas umso mehr Masse, je schneller es beschleunigt wird. Dies musst Du in Deinen Berechnungen bedenken.

Genau dafür gibt es den Lorentzfaktor.

Der Lorentzfaktor $γ$ ist eine Größe, die beschreibt, wie sich bestimmte Eigenschaften (Masse, Länge, Zeit) eines Objekts ändern, wenn es sich mit der Geschwindigkeit v bewegt:

$γ = \sqrt{\frac{1}{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}}$

Auch hier spielt die Lichtgeschwindigkeit c eine wichtige Rolle.

Den Lorentzfaktor kannst Du Dir als eine Art Umrechnungsfaktor vorstellen, mit dem das Ergebnis multipliziert wird, um den richtigen Wert zu erhalten.

Das siehst Du etwa in der folgenden Tabelle:

Geschwindigkeit v in $\frac{k m}{s}$ (gerundet)	Prozentsatz der Lichtgeschwindigkeit	Lorentzfaktor
3.000	1 %	1,000 005
30.000	10 %	1,005
150.000	50 %	1,155
270.000	90 %	2,294
297.000	99 %	7,089
299.500	99,9 %	22,361

Der Lorentzfaktor gilt also schon bei geringen Werten, allerdings geht er dann gegen 1 und kann vernachlässigt werden. Erst wenn relativistische Effekte auftreten, wird er relevant und steigt exponentiell.

Berechnung der Gesamtenergie

Die Energie eines Objekts besitzt zwei Komponenten:

Die erste Komponente ist seine Ruheenergie – also die Energie, die es allein aufgrund seiner Masse besitzt.

Die zweite ist die kinetische Energie aufgrund seiner Bewegung. Im Stillstand ist diese Energie Null.

Beide zusammen bezeichnest Du als Gesamtenergie.

Die Gesamtenergie $E_{ges}$ eines Objekts berechnest Du aus als Summe seiner Ruheenergie $E_{0}$ und seiner Bewegungsenergie $E_{kin}$ :

$E_{ges} = E_{0} + E_{kin}$

Die Formel für beide Komponenten hast Du bereits kennengelernt. Bewegt sich ein Objekt allerdings mit einer sehr hohen Geschwindigkeit, erfährt es dementsprechend einen Massezuwachs, der in der allgemeinen Formel für die kinetische Energie noch nicht berücksichtigt wird. Durch Umstellen der obigen Formel erhältst Du deshalb eine neue Formel für die kinetische Energie.

Die kinetische Energie $E_{k i n}$ eines Objekts bei sehr hohen Geschwindigkeiten ergibt sich aus seiner Ruhemasse $m_{0}$ , dem Lorentzfaktor $γ$ und der Lichtgeschwindigkeit c im Quadrat:

$E_{k i n} = (m_{0} \cdot γ - m_{0}) \cdot c^{2} = (\frac{m_{0}}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}} - m_{0}) \cdot c^{2}$

Diese Formel kommt immer dann zum Einsatz, wenn Du mit Geschwindigkeiten rechnest, die einen erheblichen Prozentsatz der Lichtgeschwindigkeit betragen. Die Herleitung der Formel kannst Du in der Vertiefung nachlesen.

Die kinetische Energie erhältst Du aus der Differenz von Gesamt- und Ruheenergie, indem Du die erste Formel dieses Absatzes umstellst:

$\begin{array}{rcl} E_{g e s} & = & E_{0} + E_{k i n} | - E_{0} \\ E_{g e s} - E_{0} & = & E_{k i n} | \leftrightarrow \\ E_{k i n} & = & E_{g e s} - E_{0} \end{array}$

Die Ruheenergie ergibt sich aus Einsteins Formel. Um zu kennzeichnen, dass es sich um die Masse des Objekts in Ruhe handelt, versiehst Du die Masse mit dem Index 0:

$E_{0} = m_{0} \cdot c^{2}$

Die Gesamtenergie berechnest Du mit derselben Formel. Der einzige Unterschied ist nun, dass es sich um die Masse während der Bewegung handelt. Du berücksichtigst also den Massezuwachs:

$E_{g e s} = m_{g e s} \cdot c^{2}$

Beides setzt Du nun in die Formel für die Bewegungsenergie ein und klammerst die Lichtgeschwindigkeit aus:

$\begin{array}{rcl} E_{k i n} & = & E_{g e s} - E_{0} \\ = & m_{g e s} \cdot c^{2} - m_{0} \cdot c^{2} \\ = & (m_{g e s} - m_{0}) \cdot c^{2} \end{array}$

Die Ruhemasse ist meistens bekannt. Durch den Lorentzfaktor kannst Du aus ihr die Gesamtmasse während der Bewegung berechnen:

$\begin{array}{rcl} m_{g e s} & = & m_{0} \cdot γ \\ = & m_{0} \cdot \sqrt{\frac{1}{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}} \\ = & \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}} \end{array}$

Du erhältst damit die folgende Formel:

$E_{k i n} = ((m_{0} \cdot γ) - m_{0}) \cdot c^{2} = (\begin{array}{rcl} \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}} \end{array} - m_{0}) \cdot c^{2}$

Massezuwachs: Aufgabe

Du hast bereits die Ruheenergie aus der Masse eines Elektrons berechnet. Mit dem Lorentzfaktor hast Du jetzt alles, was Du brauchst, um den Massezuwachs bei einer gewissen Geschwindigkeit zu ermitteln.

Aufgabe

Das Elektron wird auf eine Geschwindigkeit von 99 % der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt. Berechne seinen Massezuwachs $∆ m$ .

Die Masse des Elektrons beträgt $m_{e} = 9, 1 \cdot 10^{- 31} k g$ .

Lösung

Der Massezuwachs ergibt sich aus der Differenz von Gesamtmasse zu Ruhemasse:

$∆ m = m_{g e s} - m_{0}$

Mithilfe des Lorentzfaktors kannst Du die Gesamtmasse aus der Ruhemasse berechnen:

$\begin{array}{rcl} m_{g e s} & = & m_{0} \cdot γ \\ = & m_{0} \cdot \sqrt{\frac{1}{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}} \end{array}$

Nun kannst Du die Werte aus der Angabe in diese Formel einsetzen. Für die Ruhemasse $m_{0}$ verwendest Du die Masse des Elektrons $m_{e}$ . Du kannst die 99 % der Lichtgeschwindigkeit auch als $v = 0, 99 \cdot c$ schreiben. Somit kürzt sich die Lichtgeschwindigkeit aus der Formel:

$\begin{array}{rcl} m_{ges} & = & 9, 1 \cdot 10^{- 31} kg \cdot \sqrt{\frac{1}{1 - {(\frac{0, 99 \cdot c}{c})}^{2}}} \\ = & \frac{9, 1 \cdot 10^{- 31} kg}{\sqrt{1 - {(0, 99)}^{2}}} \end{array}$

Anschließend setzt Du dies in die Formel ein:

$\begin{array}{rcl} ∆ m & = & \frac{9, 1 \cdot 10^{- 31} kg}{\sqrt{1 - {(0, 99)}^{2}}} - 9, 1 \cdot 10^{- 31} kg \\ \approx & 5, 54 \cdot 10^{- 30} kg \end{array}$

Die Gesamtmasse bei der Bewegung ist also über sechsmal so groß wie die ursprüngliche Masse des Elektrons.

Das ist erstaunlich, allerdings kommen Menschen selbst nicht auf solche hohen Geschwindigkeiten. Gibt es dennoch einen Weg, wie sie Einsteins Formel nutzen können?

E = mc²: Beispiele & Anwendung

Im Alltag spürst Du keine Konsequenzen der speziellen Relativitätstheorie. Dafür sind die Geschwindigkeiten, die Du erlebst, nicht groß genug. Erst ab etwa 10 % der Lichtgeschwindigkeit treten relativistischen Effekte auf. Je schneller Du wirst, desto stärker werden auch diese relativistischen Effekte.

E = mc²: Das CERN, Antimaterie & Paarvernichtung

Ein Beispiel ist der Large Hadron Collider (LHC) am CERN (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire), einer internationalen Forschungseinrichtung für Teilchenphysik in der Schweiz. In einem 27 km langen Ringbeschleuniger werden Protonen auf ca. 99,9 % der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt.

Die beschleunigten Protonen kollidieren miteinander. Manchmal führt das dazu, dass sogenannte Positronen entstehen. Das sind Antimaterieteilchen.

Du kannst Dir Antimaterie wie ein Spiegelbild der normalen Materie vorstellen. Positronen sind das Gegenstück zu Elektronen. Sie besitzen dieselbe Masse, sind allerdings positiv geladen.

Wenn Antimaterieteilchen auf normale Materie treffen, kommt es zu einem Prozess, der als Annihilation bezeichnet wird und den Du schematisch auf der folgenden Abbildung erkennst.

Dabei vernichten sich die beiden Teilchen gegenseitig. Ihre gesamte Masse wird in riesige Mengen an Energie in Form von Photonen freigesetzt.

Dies klingt erst einmal nach der nachhaltigen, unerschöpflichen Energiequelle, die die Menschheit sucht. Im Moment kennen Forschende jedoch noch keinen Weg, Antimaterie in größeren Mengen herzustellen. Tatsächlich verbraucht die Herstellung und Lagerung im Moment genauso viel Energie, wie während einer Annihilation freigesetzt wird, und ist zudem enorm teuer.

E = mc²: Kernspaltung & Kernfusion

Allerdings wird das Prinzip bereits auf andere Weise genutzt: durch Kernspaltung in Atomreaktoren. Dabei spalten sich schwere Atomkerne in kleinere Atomkerne. Die Masse der entstehenden Teilchen ist kleiner als die des ursprünglichen Kerns. Das bezeichnet man als Massendefekt. Die fehlende Masse wird während der Spaltung in Form von Energie freigesetzt.

Hier wird jedoch nicht die Masse direkt in Energie umgewandelt. Die freigesetzte Energie stammt aus der Kernbindungsenergie. Sie macht sich durch fehlendes Gewicht bemerkbar.

Der umgekehrte Prozess, die Kernfusion, findet zu jedem Zeitpunkt im Inneren der Sonne statt. Hier verschmelzen kleinere Atomkerne zu größeren Atomkernen.

Das siehst Du zum Beispiel in der folgenden Abbildung. Dabei werden die beiden Wasserstoffisotope, Deuterium und Tritium, zu Helium fusioniert:

Auch hier wird Energie in Form von Strahlung frei, die das Leben auf der Erde erst ermöglicht.

Der genaue Prozess der beiden Reaktionen ist in den Erklärungen zur "Kernspaltung" und "Kernfusion" dargestellt.

Übrigens verliert die Sonne bei diesem Prozess an Masse. In jeder Sekunde werden 4 Millionen Tonnen davon in Strahlung umgewandelt. Das ist allerdings nur ein winziger Bruchteil ihrer Gesamtmasse, weshalb die Sonne auch noch weitere 5 Milliarden Jahre genauso weiter scheinen wird.

E=mc² – Das Wichtigste

Unter Energie versteht man die Fähigkeit eines Systems, Arbeit zu verrichten. Du unterscheidest verschiedene Energieformen wie potentielle, kinetische, Wärme- und Strahlungsenergie.
Nach dem Energieerhaltungssatz kann Energie weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur in andere Energieformen umgewandelt werden.
Nach Einsteins spezieller Relativitätstheorie besitzen alle Objekte eine sogenannte Ruheenergie, die durch ihre Masse ausgedrückt wird.
Masse und Energie sind äquivalent und lassen sich durch die folgende Formel ineinander umwandeln:

$E = m \cdot c^{2}$

Nichts kann sich schneller als Lichtgeschwindigkeit bewegen.
Je schneller ein Objekt wird, desto größer wird seine Masse. Die relativistischen Effekte kannst Du in Deiner Rechnung durch den Lorentzfaktor $γ$ berücksichtigen:

$γ = \sqrt{\frac{1}{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}}$

Die Gesamtenergie $E_{g e s}$ berechnest Du aus Ruheenergie $E_{0}$ und Bewegungsenergie $E_{k i n}$ :

$E_{g e s} = E_{0} + E_{k i n}$

Daraus ergibt sich folgende Formel für die kinetische Energie:

$E_{k i n} = (m_{0} \cdot γ - m_{0}) \cdot c^{2}$

Einsteins Formel ist wichtig, um Annihilation, Kernfusion und Kernspaltung zu erklären.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema E mc2

Was bedeutet Einsteins Formel?

Einsteins Formel E=mc² beschreibt die Äquivalenz von Masse und Energie. Demnach kann man jedem Objekt eine Ruheenergie allein aufgrund seiner Masse zuordnen. Diese lässt sich durch die Formel berechnen.

Was ist e in e=mc2?

Das E steht für die Energie.

Wie viel Energie hat Masse?

Durch ihre Masse haben Objekte eine Ruheenergie. Diese lässt sich durch die Formel E=mc² berechnen.

Kann man Energie in Masse umwandeln?

Nach Einsteins Formel E=mc² sind Energie und Masse äquivalent und lassen sich ineinander umwandeln. Die Umwandlung von Energie in Materie entsteht zum Beispiel bei der Elektron-Positron-Paarbildung.

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