Längenkontraktion

Längenkontraktion einfach erklärt

Wie Du jetzt gelernt hast, bedeutet die Zeitdilatation, dass bewegte Objekte kürzer gemessen werden, als sie im ruhenden Zustand sind. Schau Dir dafür das Beispiel, einen hypothetischen Zug an, der an Dir vorbeifährt.

Du kennst die eigentliche Länge des Zuges, die Ruhelänge L₀=200 m. Wenn Du den Zug aber mit einer Geschwindigkeit $v=0,1·c$ an Dir vorbeifahren siehst, wirkt dieser verkürzt. Die Länge des bewegten Zuges wird nur noch mit 190 Metern gemessen. Die Länge hat sich aus Deiner Perspektive kontrahiert und ist kürzer geworden.

Die Längenkontraktion ist allerdings von den Betrachter*innen abhängig.

Längenkontraktion Beispiel

Ein Längen-kontrahiertes Objekt kann für einen äußeren Betrachter in Ruhe kürzer sein, für eine Person im bewegten Objekt aber normal lang sein. Beide Messungen sind also richtig, sie sind damit abhängig vom Inertialsystem.

Schau Dir dazu erneut das Beispiel einer Rakete an, die an der Erde vorbeifliegt.

Aus der Sicht in der Rakete ist die Erde verkürzt, und aus der Sicht von der Erde ist die Rakete verkürzt. Aus diesem Beispiel kannst Du Dir auch eine wichtige Beobachtung merken.

Das Bezugssystem muss für die Beobachtung einer Längenkontraktion nicht in Ruhe sein, sondern kann sich auch bewegen. Wenn sich das Bezugssystem bewegt, wird die relative Geschwindigkeit zwischen Beobachter und beobachtetem, bewegtem Körper betrachtet, um die Längenkontraktion zu bestimmen.

Wie sehr werden die bewegten Objekte denn verkürzt und wie berechnest Du die Kontraktion?

Längenkontraktion Formel

Die Formel zur Berechnung der Länge eines Körpers, welcher sich mit einer Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit bewegt, wurde von Hendrik Lorentz aufgestellt.

Die Geschwindigkeit v beschreibt bei dieser Formel den Geschwindigkeitsunterschied zwischen Beobachter*in und dem bewegten Objekt.

Wie kannst Du Dir die Formel der Längenkontraktion herleiten und was ist der Zusammenhang mit der Zeitdilatation?

Längenkontraktion Herleitung

Die Herleitung der Formel für die Längenkontraktion basiert auf der Zeitdilatation.

Für unser Beispiel mit der Erde und der Rakete sagt die Zeitdilatation aus, dass in der bewegten Rakete die Zeit langsamer vergeht, aus der Perspektive der Beobachtung von der Erde aus. Die Formel für die Zeitdilatation lautet:

$∆t_0=∆T·\gamma$

$∆t_0$ ist dabei die vergangene Zeit auf der Erde, $∆T$ ist die Eigenzeit, die für die Rakete gemessen wird und $\gamma$ ist der Lorentzfaktor.

Im nächsten Schritt ziehst Du die Streckenformel der klassischen Mechanik zur Hilfe.

$s=v·t_0$

In diese Formel setzt Du nun die Formel der Zeitdilatation für t₀ ein.

$s_0=v·∆T·\gamma$

Für das $∆T$ setzt Du im nächsten Schritt ebenfalls die Streckenformel, nach der Zeit umgestellt, ein $∆T=\frac{s_0}{v}$.

$s_0=v·\frac{s}{v}·\gamma$

Die Geschwindigkeiten können rausgekürzt werden und Du erhältst folgende Formel:

$s_0=s·\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Im letzten Schritt kannst Du die Strecke s mit der kontrahierten Länge L und der Ruhelänge L₀ ersetzen.

$L_0=L·\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Diese Formel kannst Du auch nach der verkürzten Länge L umstellen und dann erhältst Du die Formel von zuvor für die Längenkontraktion.

$L=L_0·\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Jetzt kennst Du die Formel und die Herleitung für die Längenkontraktion, versuch Dich doch jetzt mal an einer Aufgabe zur Längenkontraktion.

Längenkontraktion Aufgabe

In der folgenden Aufgabe sollst Du wieder anhand des Beispiels der Rakete, die an der Erde vorbeifliegt, berechnen, um wie viel Prozent die Länge des Körpers kontrahiert wird.

Neben der Längenkontraktion gibt es noch einen anderen relativistischen Effekt, die Zeitdilatation.

Längenkontraktion und Zeitdilatation

Einfach erklärt bedeutet Zeitdilatation also, dass die Zeit eines bewegten Systems von außen langsamer zu vergehen scheint. Die Zeit ist also keine absolute Größe, sondern abhängig vom Bezugssystem.

Wenn Du Dir das wieder an dem Beispiel der Rakete vorstellst, bedeutet das, dass eine Uhr in der bewegten Rakete langsamer läuft als die Uhr auf der Erde. Diese Zeitdifferenz kannst Du auch bei gewöhnlichen Linienflügen feststellen, dort beträgt die Differenz allerdings nur wenige Nanosekunden.

Die Zeit von bewegten Objekten vergeht also langsamer als die des Bezugssystems und wenn Du Dir das nun im Kontext der Längenkontraktion anschaust, fällt Dir eines auf. Die Zeit und die Länge sind von diesem Bezugssystem aus verkürzt. Während die Geschwindigkeit dieselbe bleibt, vergeht weniger Zeit und damit wird auch weniger Distanz überbrückt. Daher wird die Länge des Körpers kontrahiert.