Zeitdilatation

Relativitätstheorie Zeitdilatation

Einstein veröffentlichte 1905 seine spezielle Relativitätstheorie, die bis heute zu den wichtigsten Werken der Physik gehört. Ihr Name stammt von dem darin postulierten Prinzip, dass bestimmte Größen (wie Geschwindigkeit oder Zeit), nicht absolut sind. Sie können nur relativ zu einem Bezugssystem beschrieben werden. Sie baut auf zwei fundamentalen Prinzipien auf: Dem Prinzip des Inertialsystems und der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit c.

Bezugssystem und Inertialsystem

Stell Dir vor, Du befindest Dich in einem Zug, der sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Auf dem Tisch vor Dir befindet sich eine Tasse Kaffee und durch das Fenster kannst Du die vorbeiziehende Landschaft betrachten. Aus Deinem Blickwinkel steht die Tasse still, während sich die Landschaft bewegt.

Für einen außenstehenden Beobachter ist die Landschaft dagegen in Ruhe, während sich der Zug (inklusive Dir und Deiner Tasse) in Bewegung befinden. Ob sich die Tasse bewegt, hängt also davon ab, welches Bezugssystem Du wählst.

Wie wichtig ein Bezugssystem sein kann, veranschaulicht Dir das folgende Beispiel in der Vertiefung.

Eine besondere Art des Bezugssystems ist das Inertialsystem. Als solches bezeichnest Du ein Bezugssystem, in dem das Newtonsche Trägheitsgesetz gilt. Dieses besagt, dass ein Körper, auf den keine Kraft wirkt, in Ruhe oder gleichmäßig geradliniger Bewegung verbleibt.

Bewegt sich ein Bezugssystem mit konstanter Geschwindigkeit zu einem Inertialsystem, ist es ebenfalls ein Inertialsystem. Meist wird die Erde als Inertialsystem angesehen.

Entsprechend wäre der Zug (solange er sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt) auch ein Inertialsystem.

Genauso wären zum Beispiel zwei Raumschiffe, die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, ebenfalls Inertialsysteme.

Viele physikalische Größen kannst Du nur relativ zu ihrem Bezugssystem beschreiben. Es gibt allerdings eine wichtige Größe in der Physik, die unabhängig vom Bezugssystem konstant bleibt: die Lichtgeschwindigkeit.

Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

Das zweite wichtige Postulat aus Einsteins spezieller Relativitätstheorie ist die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.

Unabhängig vom Bezugssystem, bewegt sich Licht immer mit derselben Geschwindigkeit c.

Wichtig hierbei ist anzumerken, dass nicht Licht selbst die Grenze festlegt. Das ist einfach die maximale Geschwindigkeit, die in unserem Universum erreicht werden kann. Außerdem können sich nur masselose Objekte wie das Photon (Lichtquant) mit dieser Geschwindigkeit bewegen. Ein Objekt mit einer Masse (und mag sie auch noch so klein sein) kann niemals Lichtgeschwindigkeit erreichen.

Doch was genau bedeutet es konkret, wenn sich Licht immer mit derselben Geschwindigkeit ausbreitet? Dazu schauen wir uns ein Beispiel an.

Das kann allerdings nicht sein, denn die Lichtgeschwindigkeit c ist die maximal mögliche Geschwindigkeit in unserem Universum. Nichts kann schneller als die Lichtgeschwindigkeit c sein – nicht mal Licht selbst.

Wir sind auf ein scheinbares Paradoxon der Physik gestoßen. Doch genau dieses löst Einstein in seiner speziellen Relativitätstheorie auf.

Zeitdilatation Beispiel

Um diesen Widerspruch aufzulösen, sehen wir uns als Beispiel ein berühmtes Gedankenexperiment mit einer Lichtuhr an. Eine Lichtuhr ist eine einfache Messapparatur, die aus zwei gegenüberliegenden Spiegeln im Abstand d und Photonen (Lichtteilchen) besteht. Die genaue Anordnung siehst Du auf Abbildung 1 etwas weiter unten.

Zeitdilatation Beispiel: Ruhende Lichtuhr

Das Licht bewegt sich mit der Lichtgeschwindigkeit c zwischen den Spiegeln hin und her. Je kleiner der Abstand d zwischen den beiden Spiegeln ist, desto öfter wird das Licht von den Spiegeln reflektiert. Den Aufbau siehst Du in Abbildung 1:

Abb. 1: Aufbau einer Lichtuhr

Mit der folgenden Formel kannst Du berechnen, wie viel Zeit t das Licht braucht, um den Abstand d zwischen den Spiegeln zu überwinden:

$t=\hspace{0.17em}\frac{d}{c}$

Aus der Zeit t, die das Licht braucht, um einmal den Abstand d zu überwinden, kannst Du errechnen, wie oft der Lichtstrahl in einer Sekunde, Minute oder Stunde hin und her fliegt (das kannst Du Dir wie einen "Tick" der Lichtuhr vorstellen). Durch Zählen, wie oft die Lichtuhr in einem bestimmten Zeitraum "tickt", weißt Du umgekehrt also, wie viel Zeit vergangen ist.

Noch ist die Lichtuhr in Ruhe. Doch was passiert, wenn sich die Lichtuhr in Bewegung befindet?

Zeitdilatation Beispiel Lichtuhr in Bewegung

Stell Dir vor, ein intergalaktischer Zug bewegt sich mit sehr hoher – jedoch konstanter – Geschwindigkeit an der Erde vorbei. Auf dem Dach dieses intergalaktischen Zugs befindet sich eine Lichtuhr. Betrachtest Du diese Lichtuhr, fällt Dir etwas auf: das Licht scheint einen längeren Weg zurückzulegen.

Während sich das Licht im Inneren der Lichtuhr nach oben bewegt, bewegt sich in der gleichen Zeit t die gesamte Lichtuhr um eine bestimmte Strecke x in Fahrtrichtung weiter. Das Licht bewegt sich mit der Uhr mit und muss deshalb von außen betrachtet zusätzlich zum Abstand d auch noch diese Strecke x zurücklegen.

Abb. 2: Lichuhr in Bewegung

Wie Du auf der Abbildung erkennst, scheint das Licht aus Erd-Perspektive nun nicht mehr einen zu den Spiegeln senkrechten Weg zurückzulegen. Diese längere Strecke nennst Du s und setzt sie in die obige Formel ein. Anschließend stellst Du die Formel nach der Lichtgeschwindigkeit um:

$$\begin{gathered} t=\frac{s}{c}|·c|÷t \\ c=\hspace{0.17em}\frac{s}{t} \end{gathered}$$

Wenn die Strecke s größer wird, muss die Zeit t im Nenner ebenfalls größer werden, da das Ergebnis des Bruchs eine Konstante ist: die Lichtgeschwindigkeit c.

Je schneller sich der Zug bewegt, desto größer wird die Strecke und desto größer wird der Wert t. Die Zeit vergeht, geht also langsamer. Dieses Phänomen bezeichnest Du als Zeitdilatation.

Zeitdilatation Definition

Einfach erklärt bedeutet Zeitdilatation also, dass die Zeit eines bewegten Systems von außen langsamer zu vergehen scheint.

Zeit ist in der Physik also keine absolute Größe, sondern abhängig von dem Bezugssystem.

Das Ganze ist übrigens nicht nur ein mathematischer Trick, damit die Formel $c=\frac{s}{t}$ weiterhin stimmt (Es ist nur einfacher, sich das über diesen Weg herzuleiten). Tatsächlich wurde Zeitdilatation bereits experimentell nachgewiesen.

Die Zeitdifferenz bei einem gewöhnlichen Linienflugzeug beträgt nur einige Nanosekunden. Je schneller Du allerdings wirst, desto stärker ist die Zeitdilatation. Übrigens ist diese Formulierung auch relativ. Ein Beobachter in einem sehr schnellen Raumschiff kann genauso behaupten, dass die Zeit außerhalb des Raumschiffs langsamer ginge. Beide Standpunkte sind korrekt (gleichberechtigt), da sie von unterschiedlichen Bezugssystemen abhängen.

Zeitdilatation Formel

Bewegte Uhren gehen also relativ zu einem ruhenden Beobachter langsamer. Doch um wie viel langsamer? Dies kannst Du mit dem sogenannten Lorentzfaktor berechnen.

Für zwei Systeme, die sich relativ zueinander in Ruhe befinden, ist der Lorentzfaktor gleich 1:

$\gamma =\hspace{0.17em}1$

Auch bei Alltagsgeschwindigkeiten ist der Lorentzfaktor annähernd 1 und wird deshalb in den meisten Rechnungen vernachlässigt. Erst für sehr hohe Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit wird der Lorentzfaktor relevant. Diese Geschwindigkeiten heißen relativistische Geschwindigkeiten.

Mit Hilfe dieses Lorentzfaktors kannst Du nun die Zeitdilatation berechnen.

Angenommen, einer Deiner Freunde befindet sich auf dem Zug, somit vergeht für ihn die Zeit t'.

Von der Erde aus scheint die Zeit im Zug allerdings langsamer zu vergehen. Du würdest also sagen, es vergeht die Zeit t. Die Zeit, die Du von der Erde aus für den Zug misst, ist größer als die Zeit, die Dein Freund im Zug misst.

Da der Lorentzfaktor immer größer oder gleich 1 ist, gilt für die Zeit:

$t\ge t\text{'}$

Ein berühmtes Gedankenexperiment zur Zeitdilatation ist das sogenannte Zwillingsparadoxon. Dieses zeigt einen scheinbaren Widerspruch der speziellen Relativitätstheorie auf. Mehr dazu in der Vertiefung.

Zeitdilatation Herleitung

Du kannst die Formel für die Zeitdilatation an Bord des Zugs auch mit Hilfe der Lichtuhr herleiten. Dazu schauen wir uns nochmal die folgende Abbildung der bewegten Lichtuhr auf dem Dach des intergalaktischen Zugs an:

Abb. 3: Herleitung der Formel mit einer Lichtuhr

Auf der Abbildung siehst Du, dass die Größen d, x und s ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Deshalb kannst Du den Satz des Pythagoras anwenden:

$s^2=\hspace{0.17em}{d}^2+x^2$

Die Zeit, die im Zug vergeht, kann von zwei unterschiedlichen Bezugssystemen gemessen werden:

t' ist die Zeit aus der Sicht eines Fahrgasts.

t ist die Zeit aus der Sicht eines außenstehenden Beobachters.

Von der Erde aus scheint die Lichtuhr in der Zeit t mit einer Geschwindigkeit v um die Strecke x weiter gehen:

$x=v·t$

Gleichzeitig bewegt sich das Licht von der Erde aus in der gleichen Zeit t mit der Lichtgeschwindigkeit c um die Strecke s:

$s=\hspace{0.17em}c·t$

Die Lichtuhr und ein Fahrgast befinden sich im selben Bezugssystem und bewegen sich relativ zueinander nicht. Für den Fahrgast scheint das Licht also immer noch den Weg d zurückzulegen, und zwar in der an Bord gemessenen Zeit t':

$d=\hspace{0.17em}c·t\text{'}$

d, x und s setzt Du nun in die Gleichung für den Satz des Pythagoras ein:

${\left(c·t\right)}^2=\hspace{0.17em}{\left(c·t\text{'}\right)}^2+{\left(v·t\right)}^2$

Nun löst Du diese Gleichung nach der Zeit t' auf. Dazu beginnst Du damit, die Klammern aufzulösen und anschließend den Term $\begin{array}{rcl}& & \left(v^2·t^2\right)\end{array}$ auf die andere Seite der Gleichung zu bringen:

$\begin{array}{rcl}{c}^2·t^2& =& c^2·{\left(t\text{'}\right)}^2+v^2·t^2|-\left(v^2·t^2\right)\\ c^2·t^2-v^2·t^2& =& c^2·{\left(t\text{'}\right)}^2|\leftrightarrow \\ c^2·{\left(t\text{'}\right)}^2& =& c^2·t^2-v^2·t^2\end{array}$

Somit kannst Du nun durch die Lichtgeschwindigkeit c im Quadrat teilen:

$\begin{array}{rcl}{c}^2·{\left(t\text{'}\right)}^2& =& c^2·t^2-v^2·t^2|÷c^2\\ {\left(t\text{'}\right)}^2& =& \hspace{0.17em}\frac{c^2·t^2}{c^2}-\frac{v^2·t^2}{c^2}\\ {\left(t\text{'}\right)}^2& =& \hspace{0.17em}{t}^2-\frac{v^2}{c^2}·t^2\end{array}$

Dadurch kürzt sich die Lichtgeschwindigkeit c im Quadrat aus dem vorderen Bruch und Du kannst t² ausklammern:

${\left(t\text{'}\right)}^2=\hspace{0.17em}{t}^2·\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)$

Nun ziehst Du noch die Wurzel aus beiden Seiten der Gleichung:

$t\text{'}=t·\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Anschließend stellst Du die Formel noch nach der Zeit t um:

$\begin{array}{rcl}t\text{'}& =& t·\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}\hspace{0.17em}|÷\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}\\ & & \\ \hspace{0.17em}t\text{'}·\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}& =& t\end{array}$

Der Bruch entspricht dem Lorentzfaktor. Zuletzt kannst Du also $\gamma$ für den Lorentzfaktor einsetzen und die Seiten tauschen:

$\begin{array}{rcl}\hspace{0.17em}t\text{'}·\gamma & =& t|\leftrightarrow \\ t& =& \hspace{0.17em}t\text{'}·\gamma \end{array}$

Somit erhältst Du die Formel für die Zeitdilatation.

Zeitdilatation bei Lichtgeschwindigkeit

Je näher Du der Lichtgeschwindigkeit kommst, desto größer wird die Zeitdilatation. Dies hängt direkt mit dem Lorentzfaktor zusammen.

Das folgende Diagramm zeigt Dir, wie der Lorentzfaktor mit zunehmender Geschwindigkeit steigt. Auf der x-Achse siehst Du die Geschwindigkeit v des sich bewegenden Systems als Prozentsatz der Lichtgeschwindigkeit c. Die y-Achse zeigt Dir, wie groß der Lorentzfaktor für die jeweilige Geschwindigkeit wird.

Abbildung 4: Der Lorentzfaktor als Graph

Der Lorentzfaktor steigt also exponentiell, je näher Du der Lichtgeschwindigkeit kommst. Nach der speziellen Relativitätstheorie kann nichts mit einer Masse auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden. Dies siehst Du auch in der Abbildung 4. Auf der x-Achse siehst Du den Quotienten aus Geschwindigkeit v und Lichtgeschwindigkeit c. Dadurch entspricht zum Beispiel der Wert 0,6 auf der x-Achse 60 % der Lichtgeschwindigkeit.

Die Funktion f zeigt Dir, wie der Lorentzfaktor $\gamma$ mit steigender Geschwindigkeit exponentiell steigt. Jedoch erreicht er nie den x-Wert 1, was 100 % Lichtgeschwindigkeit c entspricht.

Anhand der folgenden Tabelle siehst Du, wie stark die Zeitdilatation abhängig von der Geschwindigkeit wäre. Dabei nehmen wir an, dass im intergalaktischen Zug 5 Jahre vergangen sind.

Wie Du siehst, hat eine Erhöhung der Geschwindigkeit von 99 % auf 99,99 % der Lichtgeschwindigkeit einen größeren Einfluss auf die Zeitdilatation als eine Erhöhung von 10 % auf 50 %.

Gleichzeitig scheint eine Reise mit hohen Geschwindigkeiten also auch eine Reise in die Zukunft zu sein.

Gravitative Zeitdilatation einfach erklärt

Bisher haben wir uns mit der Zeitdilatation beschäftigt, die durch hohe Geschwindigkeiten auftritt. Diese Art der Zeitdilatation nennst Du kinematische Zeitdilatation. Allerdings kann Zeitdilatation auch durch Gravitation verursacht werden.

Allgemein ist die Gravitationskraft stärker, je näher Du dem gravitativen Zentrum eines Körpers kommst. Entsprechend vergeht die Zeit dort langsamer, relativ zu einem weiter entfernten Punkt im Gravitationsfeld. Die Zeit vergeht für Deine Füße also schneller relativ zu Deinem Kopf (allerdings nur um einen extrem kleinen Wert).

Da Satelliten im Orbit der Erde stationiert sind, sind sie weiter vom gravitativen Zentrum der Erde entfernt als die Erdoberfläche. Entsprechend vergeht dort die Zeit schneller, relativ zur Erdoberfläche. Damit es zum Beispiel bei GPS-Satelliten nicht zu Navigations-Fehlern kommt, muss die Zeitdilatation bei der Programmierung berücksichtigt werden.

Zeitreisen und schwarze Löcher

Schwarze Löcher sind die Überreste von supermassereichen Sternen, die am Ende ihres Lebens unter ihrer eigenen Gravitation kollabiert sind. Die Gravitation eines schwarzen Lochs ist so groß, dass sie die Raumzeit krümmt. Die Effekte der Zeitdilatation in der Nähe eines schwarzen Lochs sind so gewaltig, dass Du sie theoretisch als Zeitmaschine in die Zukunft nutzen könntest.

Angenommen, Du fliegst mit nahezu Lichtgeschwindigkeit zu einem schwarzen Loch und verbringst eine Stunde nahe des sogenannten Ereignishorizonts.

Anschließend fliegst Du zurück zur Erde. Je nach Größe und Entfernung des schwarzen Lochs sind die kombinierten Effekte der kinematischen Zeitdilatation (durch die Reise) und der gravitativen Zeitdilatation (durch das schwarze Loch) so groß, dass bei Deiner Rückkehr auf die Erde mehrere Jahrhunderte oder sogar Jahrtausende vergangen sein können.

Zeit ist also tatsächlich relativ, zumindest relativ zum Bezugssystem. Zwar scheint uns die Zeit in manchen Situationen ewig vorzukommen, doch hierbei handelt es sich um einen Trick unseres Gehirns. Die richtige Zeitdilatation hängt von der Geschwindigkeit und Wahl des Bezugssystems ab.