Ideales Gas

Ideales Gas – Eigenschaften

Stelle Dir folgende Situation vor: Du bist auf einen Geburtstag eingeladen und kaufst einen mit Helium-Gas gefüllten Ballon als Geschenk. Du verlässt den Ballon-Laden, es ist Winter und draußen ist es kalt. Nach kurzer Zeit merkst Du, dass der Ballon sichtlich geschrumpft ist und nicht mehr so prall scheint, wie zuvor. Du kannst aber auch kein Loch entdecken und es sieht nicht danach aus, dass das Gas austreten würde. Also was genau geht hier vor?

Keine Sorge, Dein Ballon ist nicht kaputt und Du kannst ihn beruhigt verschenken. Da er mit Gas gefüllt ist, kannst Du Deine Beobachtung mit dem Verhalten von Gasen erklären. Dazu benötigst Du zunächst eine Vorstellung davon, was Gase überhaupt sind und wie Du sie beschreiben kannst.

Die einfachste Modellvorstellung, mit der Du das Verhalten von Gasen annähernd beschreiben kannst, ist das ideale Gas. Zur Vereinfachung werden dem idealen Gas zwei grundlegende Eigenschaften zugeschrieben:

Diese Annahmen lassen sich nur begrenzt auf reale Gase übertragen, denn im Gegensatz zu idealen Gasen haben reale Gase sehr wohl eine Ausdehnung (sogenanntes Eigenvolumen). Zudem können die Moleküle realer Gase miteinander wechselwirken, wodurch unter anderem die Bildung von Aggregatzuständen möglich ist.

Diesen Unterschied zwischen realen und idealen Gasen kannst Du Dir folgendermaßen bildlich vorstellen:

Abb. 1 - Unterschied zwischen realen und idealen Gasen

Da reales Gas sich von dem idealen Gas in den grundlegenden Annahmen unterscheidet, ist das Modell des idealen Gases nur begrenzt auf reale Gase anwendbar. Besonders kleine Gase, die nur wenig miteinander wechselwirken (z. B. Helium, Stickstoff, usw.) kannst Du gut durch dieses Modell annähern.

Zudem bietet das ideale Gas eine gute Näherung bei kleinen Drücken, da in diesem Fall die Moleküle des realen Gases so weit auseinander sind, dass sie kaum wechselwirken. Demnach reicht dieses Modell auch vollkommen aus, um einfache Vorgänge zu beschreiben.

Gasgesetze – Von Beobachtungen zur Formel

Die mathematische Beschreibung des idealen Gases geht auf die Beobachtungen von Boyle und Mariotte zurück, die Ende des 17. Jahrhunderts Kompressions- und Ausdehnungsexperimente an Gasen durchführten.

Gasgesetz von Boyle-Mariotte

Robert Boyle und Edme Mariotte stellten unabhängig voneinander fest, dass bei gleichbleibender Teilchenzahl N und konstanter Temperatur T der Druck von Gasen mit sinkendem Volumen zunimmt. Diese Beobachtung wird im Gesetz von Boyle-Mariotte zusammengefasst.

Gasgesetz von Gay-Lussac und Charles

Ein Jahrhundert später kamen Jacques Charles (im Jahr 1787) und Joseph Louis Gay-Lussac (im Jahr 1802) zur selben Erkenntnis wie Du mit Deinem Helium-Ballon: dass sich Gase bei Erwärmung ausdehnen und beim Abkühlen zusammenziehen. Diese Beobachtung wird im Gesetz von Gay-Lussac (bzw. Gesetz von Charles) festgehalten.

Gasgesetz von Amontons

Ähnliches Verhalten beobachtete auch Guillaume Amontons. Allerdings betrachtete er den Zusammenhang zwischen der Temperatur eines idealen Gases und seinem Druck. Heute ist seine Entdeckung bekannt als das Gesetz von Amontons.

Da alle Gasgesetze gleichzeitig gültig sind, können sie auch in eine gemeinsame Gleichung zusammengefasst werden. Diese Gleichung ist das ideale Gasgesetz, die Zustandsgleichung idealer Gase.

Ideales Gas Gesetz

Die Größen einer Zustandsgleichung heißen Zustandsgrößen. Wenn Du eine Zustandsgröße in Abhängigkeit von den anderen beschreiben möchtest, dann kannst Du die Zustandsgleichung nach ihr umformen. Die anderen Größen werden dabei zu Zustandsvariablen. Wenn sich diese verändern, so verändert sich auch der Wert der gesuchten Zustandsgröße.

Wie Du bereits in den Gasgesetzen gesehen hast, können sowohl der Druck, das Volumen als auch die Temperatur verändert werden.

Ideales Gas – Formel

Du kannst nun den Druck, die Temperatur oder das Volumen des Gases jeweils durch die beiden anderen Größen berechnen. Damit der Zustand eines idealen Gases beschrieben wird, ist die ideale Gasgleichung eine Zustandsgleichung.

Du fragst Dich, wie Du von den Gasgesetzen auf die ideale Gasgleichung kommst oder warum es zwei gleichwertige Definitionen dafür gibt?

So wie es auch bei gewöhnlichen Funktionen mit einer Variable der Fall ist, kannst Du auch Zustandsgleichungen als Funktionen mit zwei Variablen in einem Graphen darstellen. Graphen von Zustandsgleichungen heißen Zustandsdiagramme.

Zustandsgleichung ideales Gas – Diagramm

Bei Funktionen mit einer Variablen wird eine y-Achse für den Funktionswert und eine x-Achse für den x-Wert verwendet. Ähnlich sieht es auch bei Zustandsdiagrammen aus, wobei hier noch eine dritte Achse dazukommt.

Der Funktionswert (eine Zustandsgröße) kann in diesem Fall an der z-Achse abgelesen werden, wobei die beiden Zustandsvariablen jeweils auf die x- und y-Achse kommen. Weil es hier also eine zusätzliche Dimension gibt, ergibt der Graph keine Kurve, sondern eine Fläche:

Abb. 2 - p-V-T-Diagramm idealer Gase

Dieses Diagramm wird von Physiker*innen es als ein p-V-T-Diagramm bezeichnet, da darin alle Zustandsgrößen in Abhängigkeit voneinander dargestellt werden. Dabei wird der Druck p auf die z-Achse und das Volumen V bzw. die Temperatur T jeweils auf die x- und y-Achse aufgetragen. Die Fläche in Abbildung 2 entspricht dabei dem Druck bei einer bestimmten Temperatur und einem bestimmten Volumen.

Aus diesem Diagramm kannst Du Dir erschließen, wie sich die beiden anderen Größen verhalten, wenn eine Größe konstant gehalten wird. Dazu schneidest Du sozusagen durch das Diagramm in Abbildung 2.

Die entsprechenden Schnitte sehen wie folgt aus:

Abb. 3 - Isotherme, isobare und isochore Schnitte im p-V-T-Diagramm

Um das Verhalten des Drucks in Abhängigkeit vom Volumen bei einer konstanten Temperatur zu beschreiben, schneidest Du gewissermaßen das Diagramm bei der entsprechenden Temperatur durch.

Dazu gehst Du, ausgehend von der T-Achse, einmal senkrecht hoch (parallel zur p-Achse) und einmal waagerecht (parallel zur V-Achse) zur Seite, bis Du die blaue Fläche triffst. Diese beiden Geraden (grau eingezeichnet) kannst Du Dir nun als Koordinatenachsen denken. Der Schnitt durch die Fläche an dieser Stelle (hier grün dargestellt) ist dann Dein p-V-Diagramm.

Genauso verfährst Du, wenn Du das Verhalten des Volumens in Abhängigkeit von der Temperatur bei konstantem Druck darstellen möchtest. Ausgehend vom entsprechenden Druck auf der p-Achse zeichnest Du zwei parallele Geraden, eine Parallele zur T-Achse und eine zur V-Achse. Der Schnitt durch die Fläche entspricht einer Geraden (orange dargestellt) im V-T-Diagramm.

Der letzte Schnitt entspricht einer Geraden im p-T-Diagramm und stellt das Verhalten vom Druck in Abhängigkeit von der Temperatur bei konstantem Volumen dar. Dazu teilst Du das Diagramm beim entsprechenden Volumen durch. Dabei geht der Schnitt parallel zur p- und zur T-Achse (grau eingezeichnet) und entspricht einer Geraden (rot).

Ideales Gas – Aufgabe

Möchtest Du auch noch bestimmen können, wie genau sich das Volumen ändert, wenn Du aus dem Ballon-Laden in die Kälte gehst? Schaue Dir dazu das folgende Rechenbeispiel an.

Da Du Dich jetzt mit dem Verhalten von idealen Gasen unter verschiedenen Bedingungen vertraut gemacht hast, wird es Zeit, die Eigenschaften im konkreten Bezug zur Thermodynamik zu betrachten.

Ideales Gas – Entropie und innere Energie

Besondere Bedeutung haben in der Wärmelehre die innere Energie und die Entropie.

Innere Energie – Ideales Gas

Die innere Energie eines Systems kann sich aus mehreren Energieformen, wie Bindungsenergie, kinetische Energie oder Anregungsenergie zusammensetzen und entspricht der Gesamtenergie. Da bei idealen Gasen angenommen wird, dass die Moleküle nicht miteinander wechselwirken, beschränkt sich die innere Energie idealer Gase auf die kinetische Energie der Moleküle.

Thermisches Gleichgewicht bedeutet dabei, dass das System keine Wärme mit der Umgebung mehr austauscht. Beides besitzt dieselbe Temperatur.

Bei f Freiheitsgraden ergibt sich die Energie zu

$U=\frac{f}{2}·k_B·T$

Diese Energie gilt pro Teilchen. Sind insgesamt N Teilchen vorhanden, dann ist die Gesamtenergie

$U=N·\frac{f}{2}·k_B·T$

Oder, ausgedrückt durch die Stoffmenge n:

$U=\frac{f}{2}·n·R·T$

Die einzige Bewegung idealer Gase ist die Translationsbewegung in alle drei Raumrichtungen. Damit reduziert sich die Anzahl der Freiheitsgerade für ein ideales Gas auf $f=3$.

Bei isothermen Prozessen ist die Temperaturänderung $\Delta T=0$. Damit ist auch die Änderung der inneren Energie eines idealen Gases bei isothermen Prozessen ebenfalls $\Delta U=0$.

Entropie – Ideales Gas

In der Natur kannst Du beobachten, dass spontan ablaufende Prozesse zur willkürlichen Verteilung von Energie und Materie führen. So schmelzen Eiswürfel etwa immer bei Raumtemperatur, spontanes einfrieren wurde jedoch noch nie beobachtet.

Ob ein Prozess spontan abläuft oder nicht, hat also etwas mit übertragener Wärme und Temperatur zu tun. Um das mathematisch zusammenzufassen, wurde eine neue Zustandsfunktion definiert. Diese heißt Entropie. Die Entropie wird oft auch als ein Maß für die Unordnung bezeichnet. Da sich Zustände im Verlauf von Prozessen ändern, ist hier insbesondere die Änderung der Entropie interessant.

Weil die absolute Temperatur immer positiv ist, nimmt die Entropie zu ($dS>0$), wenn bei dem Prozess Wärme aufgenommen wird ($\delta Q>0$). Gibt das System hingegen Wärme ab ($\delta Q<0$), dann sinkt seine Entropie ($dS<0$). Durch Integration von $\mathrm{dS}$ erhältst Du die Änderung der Entropie bei Zustandsänderungen.

Für einatomige, ideale Gase hat die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen den Wert $C_V=\frac{3}{2}·R$. Bei konstantem Druck entspricht dieser Wert $C_p=\frac{5}{2}·R$. Dabei ist R jeweils die allgemeine Gaskonstante.

Du bist jetzt mit dem Wissen über ideale Gase ausgestattet. Damit kannst Du Dir nun bestimmt auch erklären, warum sich der Heliumballon in der Kälte zusammenzieht: Das Volumen eines Gases sinkt, wenn die Gastemperatur kleiner wird und steigt, sobald die Temperatur steigt!