Kinetische Gastheorie

Kinetische Gastheorie – Ideales Gas und Reales Gas

Egal, welches Gas Du betrachtest – alle Gase haben genau eine Gemeinsamkeit:

Aber wie kannst Du Dir Gase genau vorstellen? Schließlich kannst Du sie nicht einfach mit dem bloßen Auge beobachten.

Die einfachste Modellvorstellung von Gasen ist das ideale Gas. Dabei wird sowohl das Eigenvolumen der Moleküle als auch ihre Wechselwirkungen untereinander vernachlässigt. Die einzigen Wechselwirkungen der Moleküle eines idealen Gases sind demnach elastische Stöße miteinander und mit den Wänden des Behälters, in dem sich das Gas befindet.

Das ideale Gas wird durch die Ideale Gasgleichung beschrieben.

Die ideale Gasgleichung kombiniert auch die drei wichtigsten Gasgesetze, die ab der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts entwickelt wurden: das Gasgesetz von Boyle-Mariotte, das Gasgesetz von Gay-Lussac und das Gasgesetz von Amontons. Diese wurden basierend auf Beobachtungen aufgestellt und boten die erste, mathematische Beschreibung eines idealen Gases.

In seinen Grundannahmen unterscheidet sich das ideale Gas stark von realen Gasen. Diese bestehen nämlich aus Molekülen, die sowohl eine Ausdehnung (also Eigenvolumen) besitzen, als auch miteinander wechselwirken können:

Abb. 1 - Reales und ideales Gas

Dies führt unter anderem dazu, dass in der Realität weniger Teilchen eines realen Gases auf dasselbe Volumen passen wie bei einem idealen Gas. Außerdem sind durch Wechselwirkungen zwischen den Teilchen auch Änderungen von Aggregatzuständen möglich.

Bis auf die Änderung des Aggregatzustands kann das Verhalten von realen Gasen qualitativ allerdings ziemlich gut durch das ideale Gas beschrieben werden. Dies ist Aufgabe der kinetischen Gastheorie.

Kinetische Gastheorie – Definition

Kinetik beschreibt stets einen Bewegungsvorgang. Eine Theorie wiederum beschreibt und deutet physikalische Phänomene.

Dabei gehst Du stets von den Molekülen eines idealen Gases aus, die sich ungerichtet im Raum bewegen.

Kinetische Gastheorie mittlere Geschwindigkeit

Gasteilchen bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten, die sowohl von der Größe der Teilchen als auch von der Temperatur des Gases abhängen.

Stell Dir beispielsweise drei Gaswölkchen vor, die aus gleich vielen Teilchen bestehen, sich aber in der Temperatur und / oder Molekülgröße unterscheiden. Nun misst Du für jedes Wölkchen, wie viele Teilchen sich wie schnell bewegen und trägst die Anzahl der Teilchen gegen die entsprechende Geschwindigkeit auf. Dadurch erhältst Du eine Geschwindigkeitsverteilung, die sich durch die Maxwell-Boltzmann Verteilung beschreiben lässt:

Abb. 2 - Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten bei unterschiedlichen Temperaturen

Dabei fällt auf, dass sich das Maximum mit steigender Temperatur bzw. abnehmender Molekülgröße zu höheren Geschwindigkeiten verschiebt. Dies bedeutet, dass sich kleinere Moleküle und Moleküle bei höheren Temperaturen schneller bewegen.

Außerdem flacht die Kurve mit steigender Temperatur ab und die Verteilung wird breiter. Daraus kannst Du schließen, dass die Geschwindigkeiten immer unterschiedlicher werden, je kleiner das Molekül oder höher die Temperatur ist. Insgesamt erreichen nur wenige Moleküle sehr hohe Geschwindigkeiten, während die meisten Moleküle eher langsam sind.

Die Lage vom Maximum (Punkt 1) gibt dabei jeweils die Geschwindigkeit an, die am häufigsten vorkommt. Dieser Wert ist allerdings kleiner als die durchschnittliche Geschwindigkeit der Moleküle (Punkt 2). Diesen Werten wird in der kinetischen Gastheorie jedoch nicht viel Beachtung geschenkt. Viel wichtiger ist hier die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit (Punkt 3).

Warum wird aber in der kinetischen Gastheorie ausgerechnet das quadratische Mittel der Geschwindigkeit und nicht die mittlere oder die häufigste Geschwindigkeit verwendet?

Kinetische Gastheorie Temperatur und Energie

Dass hier ausgerechnet das quadratische Mittel verwendet wird, liegt an der Berechnung der kinetischen Energie. Nach der klassischen Formel

$E_{kin}=\frac{1}{2}·m·v^2$

wird die Teilchengeschwindigkeit nämlich zum Quadrat genommen. Demnach haben unterschiedlich hohe Geschwindigkeiten unterschiedlichen Einfluss auf das Ergebnis. Höhere Geschwindigkeiten beeinflussen die kinetische Energie stärker als niedrige. Dementsprechend sollten diese auch stärker gewichtet werden. Dies wird durch das quadratische Mittel der Geschwindigkeit auch berücksichtigt.

Setzt Du den entsprechenden Wert in die Formel für kinetische Energie ein, so erhältst Du die kinetische Energie eines Gasteilchens:

$$\begin{gathered} E_{kin}=\frac{1}{2}·m·v^2 \\ {E}_{kin}=\frac{1}{2}·m·{\left(\sqrt{\frac{3·k_B·T}{m}}\right)}^2 \\ {E}_{kin}=\frac{1}{2}·\cancel{m}·\frac{3·k_B·T}{\cancel{m}} \\ {E}_{kin}=\frac{3}{2}·k_B·T \end{gathered}$$

Diese Formel gilt allerdings nur für einatomige Gase. Sie kannst Du Dir wie glatte Kugeln vorstellen, die sich in drei Raumrichtungen bewegen können. Deswegen steht im Zähler auch eine 3.

Da es keine anderen Wechselwirkungen gibt, setzt sich die mittlere kinetische Energie des Gases nur aus den kinetischen Energien der Gasmoleküle zusammen.

Somit bestimmt die Temperatur die mittlere kinetische Energie des Gases. Neben der Temperatur ist auch die Übertragung von Wärme von besonderem Interesse für die Wärmelehre.

Kinetische Gastheorie Wärmekapazität

Wärme ist eine Prozessgröße und gibt an, wie viel Energie in Form von Wärme bei einem Prozess abgegeben oder aufgenommen wird. Damit unterscheidet sie sich von der Temperatur, die als Maß für den thermischen Zustand eines Systems gilt und angibt, wie kalt oder warm dieses ist.

Wie viel Wärme in einem Prozess pro Temperaturänderung übertragen wird, wird durch die Wärmekapazität bestimmt. Dabei wird zwischen Wärmekapazität bei konstantem Volumen und Wärmekapazität bei konstantem Druck unterschieden.

Die Wärmekapazität bei konstantem Volumen C_V kannst Du als Ableitung der mittleren kinetischen Energie nach der Temperatur berechnen. Dazu verwendest Du die Formel aus der obigen Definition:

$\begin{array}{rcl}{C}_V& =& {\left(\frac{dE}{dT}\right)}_V\\ & & \\ C_V& =& \frac{d}{dT}\left(\frac{3}{2}·N·k_B·T\right)\\ & & \\ C_V& =& \frac{3}{2}·N·k_B\end{array}$

Da Gase jedoch aus sehr vielen Teilchen bestehen, ist es unpraktisch, mit der Teilchenzahl zu rechnen. Deswegen wird dieses Ergebnis durch die Stoffmenge n geteilt, um die Wärmekapazität für eine bestimmte Gasmenge anzugeben. Das Ergebnis ist die molare Wärmekapazität C_V,m:

$\begin{array}{rcl}{C}_{V,m}& =& \frac{\frac{3}{2}·N·k_B}{n}\\ & & \\ C_{V,m}& =& \frac{3}{2}·\frac{N}{n}·k_{B }\overline{)\frac{N}{n}=N_A}\\ & & \\ C_{V,m}& =& \frac{3}{2}·N_A·k_B \overline{)N_A·k_B=R}\\ & & \\ C_{V,m}& =& \frac{3}{2}·R\end{array}$

Dabei wird zum einen die Avogadro-Konstante $N_A=6,022·{10}^{23}\frac{1}{mol}$ und zum anderen die universelle Gaskonstante R verwendet.

Da die molare Wärmekapazität nur durch Konstanten bestimmt wird, hat sie auch einen konstanten Wert.

Damit kannst Du nun über die Teilchenbewegung einen Teil des thermischen Verhaltens von idealen Gasen erklären. Der restliche Teil betrifft den Zusammenhang zwischen Temperatur und Gasdruck.

Kinetische Gastheorie Druck

Der mechanische Druck ist als Kraft auf eine bestimmte Fläche definiert. Ähnlich definierst Du auch den Gasdruck in der kinetischen Gastheorie: Indem die Gasmoleküle nämlich gegen die Behälterwände stoßen, üben sie eine Kraft auf die entsprechende Fläche aus. Zwar kannst Du die einzelnen Zusammenstöße nicht beobachten, ihre Gesamtheit äußert sich allerdings als Druck auf die Behälterwände.

Dies ist ein wichtiger Grundstein für eine der wichtigsten Formeln der Wärmelehre – die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie.

Kinetische Gastheorie Herleitung der Grundgleichung

Betrachte ein Gasteilchen, das sich in einem Behälter bewegt und elastisch mit der Gefäßwand stößt:

Abb. 3 - Ein Gasteilchen stößt an die Gefäßwand

Zur Vereinfachung wird hier nur die Bewegung entlang der x-Achse betrachtet. Vor dem Stoß beträgt der Betrag vom Impuls in x-Richtung

$p_x=m·v_x$

Dabei ist m die Masse des Teilchens und v_x die Geschwindigkeit entlang der x-Achse. Wenn sich beim Zusammenstoß nur die x-Richtung ändert, so ergibt sich der Impuls nach dem Stoß zu

$p_x\text{'}=-m·v_x$

Insgesamt ändert sich die x-Komponente vom Impuls also bei jedem Zusammenstoß um

$\Delta p_x=p_x-p_x\text{'}=2·m·v_x$

Diese Änderung gilt für ein einzelnes Molekül.

Betrachte jetzt einen bestimmten Zeitraum Δt. Innerhalb dieser Zeit erreichen N Gasmoleküle die Gefäßwand. Die Gesamtänderung vom Impuls ergibt sich aus allen einzelnen Impulsänderungen:

$\Delta p_{gesamt}=\mathrm{Anzahl}\mathrm{der}\mathrm{Zusammenstöße}·2·m·v_x$

Doch wie werden diese bestimmt? Immerhin kannst Du diese Zusammenstöße nicht einfach beobachten und zählen!

Damit folgt für die Impulsänderung:

$\begin{array}{rcl}\Delta p_{gesamt}& =& \mathrm{Anzahl}\mathrm{der}\mathrm{Zusammenstöße}·2·m·v_x\\ & & \\ \Delta p_{gesamt}& =& \frac{1}{\cancel{2}}·\frac{N}{V}·A·v_x·\Delta t·\cancel{2}·m·v_x\\ & & \\ \Delta p_{gesamt}& =& \frac{N}{V}·A·{v_x}^2·\Delta t·m\end{array}$

Die Definition einer Kraft ist die zeitliche Änderung vom Impuls. Wenn Du also die Gesamtimpulsänderung durch den Zeitraum Δt teilst, erhältst Du die Kraft, die die Teilchen auf die Gefäßwand ausüben:

$F=\frac{\begin{array}{rcl}& & \Delta p_{gesamt}\end{array}}{\begin{array}{rcl}& & \Delta t\end{array}}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{N}{V}\end{array}\begin{array}{rcl}& & ·\end{array}\begin{array}{rcl}& & A\end{array}\begin{array}{rcl}& & ·\end{array}\begin{array}{rcl}& & v_x\end{array}\begin{array}{rcl}& & 2\end{array}\begin{array}{rcl}& & ·\end{array}\begin{array}{rcl}& & m\end{array}$

Der Gasdruck entspricht dieser Kraft auf die Fläche A. Damit ergibt er sich, wenn Du diese Formel durch A teilst:

$p=\frac{F}{A}=\begin{array}{rcl}& & \frac{N}{V}\end{array}\begin{array}{rcl}& & ·\end{array}\begin{array}{rcl}& & {v_x}^2\end{array}\begin{array}{rcl}& & ·\end{array}\begin{array}{rcl}& & m \left(1\right)\end{array}$

Allerdings bewegen sich die Moleküle mit unterschiedlicher Geschwindigkeit, sodass Du statt einer einzelnen Geschwindigkeit v_x² den Mittelwert $\overline{{v_x}^2}$ einsetzt:

$p=\frac{F}{A}=\begin{array}{rcl}& & \frac{N}{V}\end{array}\begin{array}{rcl}& & ·\end{array}\begin{array}{rcl}& & \overline{{v_x}^2}\end{array}\begin{array}{rcl}& & ·\end{array}\begin{array}{rcl}& & m\end{array}$

Nun hast Du bisher auch nur eine Raumrichtung betrachtet (x-Richtung). Diese trägt zusammen mit den anderen Raumrichtungen (y und z) zur Gesamtgeschwindigkeit v bei:

$v^2={v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2$

Der Mittelwert davon entspricht dem quadratischen Mittel der Geschwindigkeit v_rms:

$\begin{array}{rcl}{v_{rms}}^2& =& \overline{v^2}\\ {v_{rms}}^2& =& \overline{{v_x}^2}+\overline{{v_y}^2}+\overline{{v_z}^2}\end{array}$

Weil die Teilchen sich willkürlich im Raum bewegen, sind die Mittelwerte aller Raumrichtungen gleich. Damit ergibt sich:

$\begin{array}{rcl}{v_{rms}}^2& =& \overline{{v_x}^2}+\overline{{v_y}^2}+\overline{{v_z}^2}\\ {v_{rms}}^2& =& 3·\overline{{v_x}^2}\end{array}$

Diese Formel kannst Du nun nach $\overline{{v_x}^2}$ umstellen, um diesen Wert in Gleichung (1) durch v_rms zu ersetzen:

$$\begin{gathered} {v_{rms}}^2=3·\overline{{v_x}^2} \\ \overline{{v_x}^2}=\frac{1}{3}·{v_{rms}}^2 \end{gathered}$$

Diesen Wert kannst Du nun in Gleichung (1) einsetzen:

$p=\begin{array}{rcl}& & \frac{N}{V}\end{array}\begin{array}{rcl}& & ·\end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{1}{3}·{v_{rms}}^2\end{array}\begin{array}{rcl}& & ·\end{array}\begin{array}{rcl}& & m\end{array}$

Damit erhältst Du den Zusammenhang zwischen dem Gasdruck und der Teilchengeschwindigkeit. Diese Formel entspricht der Grundgleichung der kinetischen Gastheorie.

Kinetische Gastheorie Formel

Mit der Grundgleichung der kinetischen Gastheorie kannst Du den Druck eines idealen Gases unter verschiedenen Bedingungen berechnen.

Wenn Du hier $v_{rms}=\sqrt{\frac{3·k_B·T}{m}}$ einsetzt, so folgt:

$\begin{array}{rcl}p& =& \frac{1}{3}·\frac{N·m}{V}·{\left(\sqrt{\frac{3·k_B·T}{m}}\right)}^2\\ & & \\ p& =& \frac{1}{\cancel{3}}·\frac{N·\cancel{m}}{V}·\frac{\cancel{3}·k_B·T}{\cancel{m}}\\ & & \\ p& =& \frac{N}{V}·k_B·T \overline{)\leftrightarrow }\\ & & \\ p·V& =& N·k_B·T\end{array}$

Kommt Dir diese Formel bekannt vor? Dabei handelt es sich nämlich um die ideale Gasgleichung!

Was die Forschenden der letzten Jahrhunderte aus ihren Experimenten mit Gasen festhalten konnten, hast Du hier selbst hergeleitet. Damit hast Du gezeigt, dass die kinetische Gastheorie durch wenige einfache Annahmen das qualitative Verhalten von Gasen vollständig beschreiben kann – und das nur über die Teilchenbewegung der Gasmoleküle!