Poisson Regression

Was ist Poisson-Regression?

Die Poisson-Regression ist eine Art der Regressionsanalyse, die für Zähldaten eingesetzt wird. Bei diesen Daten handelt es sich typischerweise um die Anzahl der Vorkommen eines bestimmten Ereignisses. Das Modell wird verwendet, um die Abhängigkeit der erwarteten Anzahl von Ereignissen von unabhängigen Variablen zu erfassen. Die Grundgleichung der Poisson-Regression lautet wie folgt: $$\text{log}(\text{E}[Y])={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+\text{...}+{\beta }_n{X}_n$$ Hierbei ist $\text{E}[Y]$ der Erwartungswert der Zählvariable Y, ${\beta }_0$ der Achsenabschnitt und ${\beta }_i$ sind die Steigungskoeffizienten für die unabhängigen Variablen $X_i$.

Annahmen der Poisson-Regression

Wenn Du die Poisson-Regression anwenden möchtest, musst Du einige wichtige Annahmen berücksichtigen. Diese Annahmen sind entscheidend, um sicherzustellen, dass das Modell zu verlässlichen Ergebnissen führt.

Diskretheit der abhängigen Variable

Ein grundlegender Punkt bei der Poisson-Regression ist, dass die abhängige Variable eine Zählvariable darstellen muss. Diese Variable zählt häufig spezifische Ereignisse, die in einem festgelegten Zeitraum oder Raum auftreten.

• Die Zählvariable ist eine nicht-negative ganze Zahl.
• Sie kann theoretisch unbegrenzt steigen, aber praktische Begrenzungen sind oft vorhanden.

Unabhängigkeit der Ereignisse

Eine weitere wichtige Annahme ist die Unabhängigkeit der Ereignisse. Dies bedeutet, dass das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen Ereignisses nicht beeinflusst.In der Praxis ist diese Voraussetzung nicht immer einfach zu prüfen. Dennoch musst Du sicherstellen, dass die Daten, die Du verwendest, möglichst unabhängig sind, um Verzerrungen im Modell zu vermeiden.

Konstante Ereignisrate

Die Rate, mit der Ereignisse auftreten, sollte konstant sein, es sei denn, sie wird durch die unabhängigen Variablen im Modell erklärt.Andernfalls könnte die Poisson-Regression das tatsächliche Verhalten der Daten nicht genau erfassen, was zu unzuverlässigen Vorhersagen führt.

Gleichheit von Mittelwert und Varianz

In einem perfekten Poisson-Prozess entspricht der Mittelwert der Verteilung auch der Varianz. Diese bedingte Äquivalenz hilft, die Poisson-Gleichung zu vereinfachen: $$\lambda =\text{Var}(Y)=\text{E}(Y)$$ Hierbei repräsentiert $\lambda$ die Rate der Ereignisse pro Zeiteinheit oder Bereich. Wenn die Varianz deutlich höher oder niedriger als der Mittelwert ist, spricht man von Überdispersion oder Unterdispersion, was auf Modellverletzungen hinweisen kann.

Poisson-Regressionsanalyse

Die Poisson-Regressionsanalyse ist ein wesentlicher Bestandteil der statistischen Analyse diskreter Daten. Sie ist speziell darauf ausgelegt, Zähldaten zu modellieren, und wird häufig in Bereichen wie Epidemiologie, Versicherungswirtschaft und Verkehrsanalyse eingesetzt, um die Rate von Ereignissen zu verstehen und vorherzusagen.

Schritte der Poisson-Regressionsanalyse

Die Durchführung einer Poisson-Regressionsanalyse erfordert mehrere methodische Schritte, um die Gültigkeit und Genauigkeit der Ergebnisse zu gewährleisten.

1. Datenaufnahme: Sammle Zähldaten, idealerweise als ganze Zahlen.
2. Datenexploration: Untersuche die Verteilungen und prüfe auf Überdispersion.
3. Modellspezifikationen: Identifiziere unabhängige Variablen. Die Grundformel lautet: $$\log (\mu )={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+...+{\beta }_n{X}_n$$ Dabei ist $\mu$ der Erwartungswert der Ereignisse.
4. Modellanpassung: Passe das Modell den Daten an und schätze die Parameter $\beta$.
5. Modellbewertung: Überprüfe Gültigkeit und Robustheit der Ergebnisse, z.B. mit Hilfe von Residuenanalyse.

GLM Poisson-Regression

Die Verwendung der Generalisierten Linearen Modelle (GLM) bei der Poisson-Regression ermöglicht es, flexible und anpassungsfähige Modelle zu erstellen, die sowohl auf Zähl- als auch auf andere Arten von abgeschriebenen Daten angewendet werden können. Diese Modelle erweitern die linearen Modelle und nutzen die Exponentialfamilie von Verteilungen.

• Link-Funktion: Die natürliche Wahl für Poisson ist die logistische Link-Funktion, welche die Ergebnisse linearisiert und es ermöglicht, die Regressionskoeffizienten zu interpretieren: $$g(\mu )=\log (\mu )={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+...+{\beta }_n{X}_n$$
• Flexibilität: GLMs erlauben den Einsatz verschiedener Verteilungen und Link-Funktionen, was besonders nützlich ist, wenn klassische lineare Modelle nicht geeignet sind.

Anwendungsbeispiele Poisson-Regression

Die Poisson-Regression bietet sich exzellent für die Analyse von Zähldaten an, und ihre Anwendung reicht weit über simple akademische Beispiele hinaus. Viele reale Szenarien machen von diesem Modell Gebrauch, um das Verhalten von diskreten Ereignissen in verschiedenen Bereichen zu untersuchen.

Praktische Szenarien und Beispiele

In der Poisson-Regression werden reale Szenarien häufig analysiert, um die Beziehung zwischen mehreren Variablen und den Häufigkeiten eines Ereignisses zu verstehen. Hier sind einige praktische Beispiele:

• Gesundheitswesen: Messen der Anzahl von Patientenbesuchen in einer Notaufnahme pro Stunde. Faktoren wie Tageszeit, Wetterbedingungen oder Grippewellen könnten analysiert werden.
• Verkehrsanalyse: Modellierung der Anzahl von Unfällen auf einer bestimmten Straßenstrecke pro Monat. Solche Analysen helfen, gefährliche Abschnitte zu identifizieren und Präventionsmaßnahmen zu ergreifen.
• Kriminologie: Untersuchung der täglichen Anzahl von Vorfällen in einem bestimmten Stadtviertel, um die Wirksamkeit von Polizeistreifen oder Überwachungskameras zu beurteilen.

Interpretation der Poisson-Regression Koeffizienten

Die Interpretation der Koeffizienten im Rahmen der Poisson-Regression kann komplex erscheinen, ist jedoch entscheidend, um die Ergebnisse Deiner Analyse richtig zu verstehen und zu kommunizieren. Es wird Dir helfen, die Stärke und Richtung der Beziehungen zwischen den unabhängigen Variablen und der Zählvariablen zu deuten.

Logarithmische Transformation

Die Poisson-Regression stützt sich auf eine logarithmische Transformation der erwarteten Zählvariable. Dies bedeutet, dass die Koeffizienten auf einer logarithmierten Skala interpretiert werden. Die Grundgleichung lautet:$$\log (\mu )={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+...+{\beta }_n{X}_n$$ Hierbei repräsentiert $\mu$ den Erwartungswert der Ereignisse. In dieser Form zeigt jeder ${\beta }_i$-Wert die Veränderung des natürlichen Logarithmus der Rate, wenn sich $X_i$ um eine Einheit ändert.

Exponentielle Transformation

Eine übliche Methode, um die Verständlichkeit der Koeffizienten der Poisson-Regression zu steigern, ist die Umwandlung mithilfe der Exponentialfunktion. Dies erlaubt eine direkte Interpretation auf der Ebene der Zählvariablen selbst.Der transformatierte Effekt kann so berechnet werden:$$\text{Multiplikativer Effekt}=e^{{\beta }_i}$$ Dies zeigt, um welchen Faktor sich die erwarteten Zählungen ändern, wenn sich $X_i$ um eine Einheit erhöht. Für das obige Beispiel mit ${\beta }_1=0.3$, ergibt sich: $$e^{0.3}\approx 1.35$$ Das bedeutet, dass für jede zusätzliche Werbeaktion die Anrufrate um 35% zunehmen würde.

Diese Interpretation kann extrem nützlich sein, um die Auswirkungen einzelner Einflussfaktoren auf eine Zählvariable konkret zu quantifizieren und zu veranschaulichen.