Zustandsbeobachtung

Die Konstruktion eines Zustandsbeobachters beginnt oft mit der Erstellung eines mathematischen Modells des betreffenden Systems. Dabei werden Differentialgleichungen verwendet, um die Beziehung zwischen Ein- und Ausgangsgrößen darzustellen. Ein bekanntes Verfahren ist der Luenberger-Beobachter, der einen speziellen Entwurf verwendet, um die Dynamik des Beobachters zu steuern und die Konvergenz des geschätzten Zustands zum tatsächlichen Zustand zu gewährleisten.Ein weiteres häufig verwendetes Modell ist der Kalman-Filter, der in vielen Echtzeitanwendungen Verwendung findet, wie zum Beispiel in der Navigationssystemen von Flugzeugen und Fahrzeugen. Der Kalman-Filter ist dabei in der Lage, die Unsicherheiten in Messungen und in der Modellierung zu berücksichtigen, wodurch er eine robuste Schätzung der Systemzustände liefern kann.

Die korrekte Implementierung von Zustandsbeobachtern erfordert auch die Berücksichtigung von Störungen und Unsicherheiten. Ein häufig eingesetztes Werkzeug ist der Kalman-Filter, der probabilistische Methoden verwendet, um Schätzungen anhand von Messungen und Systemmodellen zu verfeinern. Der Kalman-Filter optimiert die Schätzung durch Minimierung der mittleren quadratischen Fehler der Zustandsvariablen.Seine Mathematik basiert auf iterativen Gleichungen, die Rückprojektion und Messkorrektur kombinieren. Die Kalman-Filtergleichungen zur Zustands- und Kovarianskorrektur sind wie folgt:

• Zustandsvorhersage: \( x_{k|k-1} = A x_{k-1} + B u_k \)
• Kovarianzvorhersage: \( P_{k|k-1} = A P_{k-1} A^T + Q \)
• Kalman-Gewinn: \( K_k = P_{k|k-1} C^T (C P_{k|k-1} C^T + R)^{-1} \)
• Zustandskorrektur: \( x_k = x_{k|k-1} + K_k (y_k - C x_{k|k-1}) \)
• Kovarianzkorrektur: \( P_k = (I - K_k C) P_{k|k-1} \)

Ein populärer Zustandsschätzer, der Kalman-Filter, verwendet Wahrscheinlichkeitsstatistiken, um Systemzustände abzuleiten. Die zentrale Idee besteht darin, mehrere Messungen im Zeitverlauf zu verwenden und gleichzeitig das Rauschen zu berücksichtigen. Die Kernformeln des Kalman-Filters sind:

• Zustandsvorhersage: \(\hat{x}_{k|k-1} = A \hat{x}_{k-1} + B u_{k}\)
• Kovarianzvorhersage: \(P_{k|k-1} = A P_{k-1} A^T + Q\)

Während ein Zustandsschätzer auf Statistiken basiert, führt ein Zustandsbeobachter eine deterministische Schätzung durch und verwendet oft ungefilterte Daten. Ein Beispiel für eine Zustandsbeobachtertechnik ist der Luenberger-Beobachter, der die Annäherung eines Systems über die Ausgangsrückführung verbessert. Seine Formel lautet:

• Beobachterzustand: \(\dot{\hat{x}} = A \hat{x} + B u + L(y - C \hat{x})\)

Ein wesentlicher Aspekt eines Zustandsbeobachters ist die Auslegung, die oft den Einsatz von Luenberger-Beobachtern oder Kalman-Filtern beinhaltet. Der Luenberger-Beobachter nutzt eine Verstärkermatrix, um die Schätzungen an die beobachteten Unterschiede anzupassen:\(\text{Beobachterequation: } \dot{\hat{x}} = A \hat{x} + B u + L(y - C \hat{x})\)Diese Formeln beschreiben, wie die Abweichung zwischen der gemessenen und der vorhergesagten Ausgabe in die Berechnung der neuen Zustandsnäherung einfließt. Die Verstärkermatrix \(L\) wird so gewählt, dass die Fehlerschätzung schnell gegen Null konvergiert. Bei korrekter Implementierung verleiht der Zustandsbeobachter dem System Robustheit gegenüber Störungen und Unsicherheiten, während er präzise Rückmeldungen liefert, um die Systemleistung zu optimieren.

Um die mathematischen Beziehungen in einem Regler mit Zustandsbeobachter besser zu verstehen, kannst Du Dir die Zustandsraum-Formulierung und das Regelgesetz genauer ansehen. Der Zustand \(x\) des Systems und der geschätzte Zustand \(\hat{x}\) können folgendermaßen verkettet werden:\[ u = -K \hat{x} + r \]Hierbei ist \(K\) die Rückkopplungsmatrix, die den optimalen Eingriff bestimmt, um die Regelabweichung zu minimieren, während \(r\) die Referenzgröße darstellt. Diese Kombination aus Beobachter und Regelung führt zu adaptiven Anpassungen, die nicht nur den Einfluss von Störungen unterschätzen, sondern auch sicherstellen, dass das gewünschte Verhalten aufrechterhalten wird.