Empirical Mode Decomposition

Was ist Empirical Mode Decomposition?

Die Empirical Mode Decomposition (EMD) ist ein innovatives Verfahren zur Zerlegung vielschichtiger Signale in ihre grundlegenden Bestandteile. Im Unterschied zu traditionellen Methoden wie der Fourier- und Wavelet-Transformation, die auf vorbestimmten mathematischen Modellen basieren, folgt die EMD einem adaptiven Ansatz. Dieser Ansatz ermöglicht es, dynamische Systeme zu analysieren, die durch ihre komplexen und sich ändernden Frequenzen charakterisiert sind.

Ein zentraler Aspekt der EMD ist die Zerlegung eines Signals in sogenannte Intrinsische Modusfunktionen (IMFs). Diese IMFs sind vielfach verwertbare Schwingungskomponenten, die aus dem Signal extrahiert werden, um es besser zu verstehen. Das Ziel ist, das ursprüngliche Signal als Summe dieser IMFs darzustellen:

• \[ x(t) = \sum_{i=1}^{n} \text{IMF}_i(t) + r(t) \]

Hierbei steht \(x(t)\) für das Originalsignal, \(\text{IMF}_i(t)\) für die i-te intrinsische Modusfunktion, und \(r(t)\) für den Rest oder Residuum.

Empirical Mode Decomposition einfach erklärt

Um die Empirical Mode Decomposition zu verstehen, helfen folgende einfache Schritte:

• Identifiziere die lokalen Extrema: Bestimme die maximalen und minimalen Werte im Signal. Diese Werte dienen zur Konstruktion der oberen und unteren Signalhülle.
• Berechne die Hüllkurven: Interpoliere die Extrema um eine obere und eine untere Hülle zu erstellen.
• Finde das mittlere Signal: Bestimme die Durchschnittslinie der oberen und unteren Hüllkurve. Diese Linie wird als mittleres Signal genutzt.
• Subtrahiere das mittlere Signal: Ziehe das mittlere Signal vom Originalsignal ab, um eine Potenzial-IMF (vorläufige IMF) zu erhalten.
• Wiederhole den Prozess: Wenn die vorläufige IMF die Eigenschaften einer IMF erfüllt, wird sie abgespeichert, andernfalls wird der Prozess wiederholt.

Das Ergebnis ist eine Reihe von IMFs, die zusammengenommen die Komplexität des Originals darstellen, aber deutlich einfacher zu analysieren sind. Diese Art der Signalzerlegung ist insbesondere in der Ingenieurwissenschaften nützlich, da sie komplexe dynamische Systeme leichter verständlich macht.

Eine wichtige Formel bei der EMD lautet:

• \[ \text{Signal} = \text{IMF}_1 + \text{IMF}_2 + \ldots + \text{IMF}_n + \text{Residuum}\]

Empirical Mode Decomposition Durchführung

Die Anwendung der Empirical Mode Decomposition ist entscheidend, um komplexe Signale in handhabbare Komponenten zu zerlegen. Dieses Verfahren ist besonders nützlich in der Analyse nichtlinearer und nichtstationärer Signale.

Schritte der Empirical Mode Decomposition

Um die Empirical Mode Decomposition erfolgreich durchzuführen, hältst Du dich an eine Reihe klar definierter Schritte:

• Identifikation der Extrema: Suche nach lokalen Maxima und Minima innerhalb des Signals, um die Grundlage für die Hüllkurven zu schaffen.
• Erstellung der Hüllkurven: Interpoliere die Maxima, um eine obere Hülle, und die Minima, um eine untere Hülle zu generieren.
• Berechnung des mittleren Signals: Errechne die mittlere Linie zwischen den oberen und unteren Hüllen, diese repräsentiert das mittlere Signal.
• Subtraktion des mittleren Signals: Ziehe die mittlere Linie vom Originalsignal ab, um eine vorläufige IMF zu bilden.
• Iterativer Prozess: Bestätige die Eigenschaften der vorläufigen IMF oder wiederhole den Prozess für eine genauere Definition.

Jede iterierte IMF erfüllt die grundlegenden Kriterien einer IMF, sie hat die gleiche Anzahl an Nulldurchgängen wie Extrema, und damit ist sie schwingungstechnisch bestens analysierbar.

Empirical Mode Decomposition Algorithm

Der Algorithmus der Empirical Mode Decomposition basiert auf einer detaillierten Teilschrittabfolge, die für die adäquate Signalzerlegung sorgt:

• Schritt 1: Filterung der Extrema: Beginne mit der Identifikation der lokalen Maxima und Minima im Signal.
• Schritt 2: Hüllkurvenbestimmung: Nutze Spline-Interpolation, um die Hüllkurven zu errechnen. Diese kurvenförmige Umhüllung gibt den äußeren Rahmen des Signals an.
• Schritt 3: Mittelwertberechnung: Die Mittelwertkurve zwischen oberer und unterer Hüllkurve stellt die Schwingungsmitte dar.
• Schritt 4: Berechnung der vorläufigen IMF: Die vorläufige IMF erhältst Du durch Subtraktion der Mittelwertlinie vom Originalsignal.
• Schritt 5: Durchgängigkeit und Wiederholung: Überprüfe, ob die vorläufige IMF die Kriterien einer IMF erfüllt, andernfalls wiederhole den Prozess.

Zur Sicherstellung der Genauigkeit und Relevanz im EMD-Algorithmus ist die Iteration entscheidend. Mehrfache Wiederholungen helfen dabei, ein tieferes Verständnis der signalabhängigen Komponenten zu schaffen.

Ensemble Empirical Mode Decomposition

Die Ensemble Empirical Mode Decomposition (EEMD) ist eine Weiterentwicklung der klassischen Empirical Mode Decomposition (EMD). Sie wurde entwickelt, um bestimmte Limitationen der EMD zu überwinden, insbesondere die Problemstellung der Modenverwechslung.

Unterschiede zur klassischen Empirical Mode Decomposition

Die Ensemble Empirical Mode Decomposition bietet signifikante Unterschiede und Verbesserungen gegenüber der klassischen EMD:

• Zusätzlicher Rauschtermin: Bei EEMD wird dem Originalsignal ein weißes Rauschen hinzugefügt. Dieses Verfahren reduziert die Modenverwechslung, die bei der klassischen EMD häufig vorkommt.
• Mehrere Realisationen: EEMD umfasst die Berechnung mehrerer Realisationen des Signals mit verschiedenen Rauschkomponenten. Jede Realisation führt eine separate EMD durch, was die Robustheit erhöht.
• Ensemble-Mittelung: Nachdem die EMD auf jede Realisation angewendet wurde, werden die IMFs über alle Realisationen gemittelt. Das Ergebnis lässt sich somit besser interpretieren und verfügt über weniger zufällige Störungen.

Vorteile der Ensemble Empirical Mode Decomposition

Die Ensemble Empirical Mode Decomposition bietet zahlreiche Vorteile gegenüber der klassischen Methode:

• Reduzierte Modenverwechslung: Durch die Einbeziehung von weißem Rauschen mindert EEMD die Gefahr der Modenverwechslung, was zu klarer differenzierten Signalschichten führt.
• Robustheit: Die Methode ist widerstandsfähiger gegenüber Rauschen und zeigt bessere Stabilität bei der Analyse von nichtstationären Signalen.
• Genauigkeit und Verlässlichkeit: Durch die Verwendung von Ensemble-Mittelwerten bieten die Ergebnisse der EEMD eine höhere Genauigkeit und Verlässlichkeit.

Ein mathematisches Modell der EEMD kann dargestellt werden als:

• \[ x(t) = \sum_{i=1}^{m} \text{IMF}_i^E(t) + r(t) \]

Hier steht \(\text{IMF}_i^E(t)\) für die gemittelte intrinsische Modusfunktion und \(r(t)\) für das Residuum.

Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition

Die Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition (CEEMD) ist eine Erweiterung der klassischen Empirical Mode Decomposition, die eine verbesserte Analyse von nichtlinearen und nichtstationären Signalen ermöglicht. Diese Technik integriert die Methodik der Ensemble Empirical Mode Decomposition und bietet eine präzisere Modenidentifikation durch die vollständige Ausnutzung von Rauschsignalen.

Einführung in Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition

Die Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition (CEEMD) verbessert die Signalverarbeitung durch die vollständige Nutzung additiver Rauschterme. Diese Technik garantiert, dass jede realisierte Modenfunktion über die gesamte Analyse hinweg erhalten bleibt, was zu einer genaueren und kohärenteren Deutung des Signals führt.

Besondere Merkmale der CEEMD umfassen:

• Verwendung eines Rauschensembles: Jede Realisierung des Signals erhält unterschiedliche Rauschkomponenten, um die Analysevielfalt zu erhöhen.
• Komplette Signalauswertung: Bei der CEEMD wird das Originalsignal mehrfach verarbeitet, sodass kein Rauschanteil komplett herausgefiltert wird.
• Kombination der Ergebnisse: Die durchschnittliche Berechnung der Moden über alle Realisationen fördert die Konvergenz und verringert statistische Verzerrungen.

Anwendungsbeispiele für Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition

Die Anwendung von Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition (CEEMD) umfasst eine Vielzahl von Bereichen, in denen komplexe Signalstrukturen analysiert werden müssen:

• Medizinische Bildgebung: CEEMD hilft bei der Verarbeitung von 3D-Bilddaten, um Tumore oder Anomalien zu lokalisieren.
• Vibrationserkennung: In der Maschinenüberwachung kann CEEMD zur Echtzeitanalyse von Vibrationsmustern eingesetzt werden, um frühzeitig Maschinenfehler zu erkennen.
• Klimadatenanalyse: Bei der Wettervorhersage wird CEEMD verwendet, um zyklische Muster in großen Klimadatenmengen zu identifizieren.

Werfen wir einen Blick auf eine mathematische Darstellung der CEEMD:

• \[ x(t) = \sum_{i=1}^{p} \text{IMF}_i^C(t) + r(t) \]

In dieser Formel steht \(\text{IMF}_i^C(t)\) für die vollständige intrinsische Modusfunktion, während \(r(t)\) das Residuum bezeichnet.