Lerninhalte finden
Features
Entdecke
Die Likelihood-Funktion ist ein fundamentales Konzept in der Statistik, das verwendet wird, um die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten gegeben bestimmte Parameter eines statistischen Modells zu berechnen. Sie spielt eine entscheidende Rolle bei der Maximum-Likelihood-Schätzung, einer Methode zur Schätzung der Parameter, die die Likelihood maximiert. Um die Idee besser zu verstehen, stell Dir vor, die Likelihood zeigt an, wie gut ein Modell mit bestimmten Parametern die tatsächlichen Daten erklärt.
Lerne mit Millionen geteilten Karteikarten
Leg kostenfrei losWelche Methode erleichtert die Schätzung bei logistischer Regression?
Wie wird eine Likelihood-Funktion für Poisson-verteilte Daten formuliert?
Welche Schritte sind wichtig bei der Anwendung der Maximum Likelihood Methode?
Was ist eine Likelihood-Funktion?
Was ist der Maximum-Likelihood-Schätzer (MLE) für die Erfolgswahrscheinlichkeit \( p \) bei 30 positiven Reaktionen von 50 Patienten?
Welche Funktion wird verwendet, um die Erfolgswahrscheinlichkeit eines Medikaments in einer Studie zu berechnen?
Was ist der Maximum-Likelihood-Schätzer (\(\hat{p}\)) für binomialverteilte Merkmale?
Was ermöglicht die Maximum Likelihood Funktion in der statistischen Datenanalyse?
Wie wird die Maximum-Likelihood Schätzung (MLE) verwendet?
Wie sieht die Likelihood-Funktion beim Wurf eines Würfels aus?
Welche Methoden können verwendet werden, um die Maximum Likelihood Funktion zu maximieren?
Welche Methode erleichtert die Schätzung bei logistischer Regression?
Wie wird eine Likelihood-Funktion für Poisson-verteilte Daten formuliert?
Welche Schritte sind wichtig bei der Anwendung der Maximum Likelihood Methode?
Was ist eine Likelihood-Funktion?
Was ist der Maximum-Likelihood-Schätzer (MLE) für die Erfolgswahrscheinlichkeit \( p \) bei 30 positiven Reaktionen von 50 Patienten?
Welche Funktion wird verwendet, um die Erfolgswahrscheinlichkeit eines Medikaments in einer Studie zu berechnen?
Was ist der Maximum-Likelihood-Schätzer (\(\hat{p}\)) für binomialverteilte Merkmale?
Was ermöglicht die Maximum Likelihood Funktion in der statistischen Datenanalyse?
Wie wird die Maximum-Likelihood Schätzung (MLE) verwendet?
Wie sieht die Likelihood-Funktion beim Wurf eines Würfels aus?
Welche Methoden können verwendet werden, um die Maximum Likelihood Funktion zu maximieren?
Schreib bessere Noten mit StudySmarter Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Team Likelihood-Funktion Lehrer
Die Likelihood-Funktion ist ein entscheidendes Konzept in der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie, das häufig für die Parameterschätzung von statistischen Modellen verwendet wird. Sie beschreibt, wie wahrscheinlich es ist, dass ein gegebenes statistisches Modell eine beobachtete Datenserie hervorbringt.
Definition: Die Likelihood-Funktion, oft als \( L(\theta) \) bezeichnet, ist eine Funktion der Parameter \( \theta \), gegeben die Daten \( x \), und wird berechnet als das Produkt der Wahrscheinlichkeiten aller beobachteten Datenpunkte unter einem angenommenen Modell: \[ L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i | \theta) \] wobei \( f(x_i | \theta) \) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Daten ist.
Nutzen der Likelihood-Funktion: In der Praxis wird die Likelihood-Funktion hauptsächlich bei der Maximum-Likelihood-Schätzung (MLE) verwendet, um die besten Parameter \( \hat{\theta} \) zu finden, die die Daten am wahrscheinlichsten erklären. Dies geschieht, indem die Likelihood-Funktion maximiert wird: \[ \hat{\theta} = \arg \max_{\theta} L(\theta) \] Diese Methode ist besonders nützlich, weil sie trotz ihrer Einfachheit sehr genaue Schätzungen liefern kann, vorausgesetzt, das zugrunde liegende Modell ist korrekt spezifiziert. Im Allgemeinen kannst Du folgende Schritte befolgen, um die Likelihood-Funktion effektiv anzuwenden:
Beispiel: Angenommen, Du hast eine Serie von Würfelwürfen beobachtet und möchtest den Parameter \( p \) der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses (z.B. eine „6“) auf einem fairen Würfel schätzen. Bei 100 Würfen wurde 15-mal eine „6“ beobachtet. Die Likelihood-Funktion wäre dann: \[ L(p) = \binom{100}{15} p^{15} (1-p)^{85} \] Indem Du \( L(p) \) maximierst, kannst Du die beste Schätzung für \( p \) finden. In diesem Fall ist es \( \hat{p} = 0,15 \.
Die Likelihood ist zwar eine Funktion der Parameter, aber keine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil sie sich nicht zu \( 1 \) aufsummiert.
Die Likelihood-Funktion ist eine grundlegende statistische Methode, die verwendet wird, um die Wahrscheinlichkeit eines erhaltenen Datensatzes unter verschiedenen Modellbedingungen auszudrücken. Dies ist besonders nützlich, wenn es darum geht, Modellparameter zu schätzen.
Wie stellt man eine Likelihood-Funktion auf? Um eine Likelihood-Funktion zu konstruieren, durchläuft man in der Regel folgende Schritte:
Denke daran: Die Likelihood-Funktion ist eine Funktion der Parameter \(\theta\), nicht der Daten \(x\).
Beispiel zur Illustration: Stelle dir vor, Du hast Poisson-verteilte Daten, und Du möchtest wissen, ob die beobachtete Anzahl von Ereignissen mit dem erwarteten Durchschnitt übereinstimmt. Die dafür geeignete Likelihood-Funktion ist: \[L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_i}}{x_i!}\] Indem Du \(L(\lambda)\) maximierst, kannst Du den besten Schätzwert für den Parameter \(\lambda\) ermitteln.
Tiefere Untersuchung: In vielen Fällen kann die analytische Maximierung der Likelihood-Funktion schwierig sein. Hier kommen numerische Optimierungsmethoden ins Spiel, wie der Newton-Raphson-Algorithmus oder die Fisher-Scoring-Methode. Diese Algorithmen verwenden die Informationen über die Ableitung der Likelihood-Funktion, um iterativ zu einem optimalen Parametersatz zu konvergieren. Ein besonderer Vorteil dieser Methoden ist ihre Fähigkeit, über große Parameterbereiche zu suchen und durch die Berechnung der Hessischen Matrix auch Konfidenzintervalle für die Parameter zu liefern.
Die Binomialverteilung ist eine der am häufigsten verwendeten Verteilungen zur Modellierung diskreter Daten. Sie beschreibt Experimente, die aus einer Reihe unabhängiger, identischer Bernoulli-Versuche bestehen, bei denen jedes einen Erfolg oder Misserfolg ergeben kann.
Binomialverteilung: Die Binomialverteilung mit den Parametern \(n\) (Anzahl der Versuche) und \(p\) (Erfolgswahrscheinlichkeit) kann durch die Wahrscheinlichkeit \(P(X=k)\) für \(k\) Erfolge beschrieben werden: \[P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]
Um die Likelihood-Funktion für die Binomialverteilung aufzustellen, verwende die Formel für \(P(X=k)\) als Grundlage. Die Likelihood-Funktion für eine Serie binomialverteilter Ausgänge ist dann das Produkt dieser Wahrscheinlichkeiten über alle Beobachtungen: \[L(p) = \prod_{i=1}^{m} \binom{n_i}{k_i} p^{k_i} (1-p)^{n_i-k_i}\] Durch die Maximierung von \(L(p)\) kannst Du die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) für das binomialverteilte Merkmal am besten schätzen. Wenn Du weißt, dass \(m\) unabhängige Stichproben vorliegen, ergibt sich der Maximum-Likelihood-Schätzer \(\hat{p}\) als: \[\hat{p} = \frac{\sum_{i=1}^{m} k_i}{\sum_{i=1}^{m} n_i}\]
Die Genauigkeit des Maximum-Likelihood-Schätzers hängt stark von der Stichprobengröße ab. Größere Stichproben liefern in der Regel genauere Schätzungen.
Die Maximum Likelihood Funktion ist ein zentrales Konzept der statistischen Datenanalyse, das als Methode zur Parameterschätzung gehört. Sie ermöglicht es Dir, das beste Modell für Deine Daten zu finden, indem sie die Wahrscheinlichkeit maximiert, dass die beobachteten Daten durch das Modell erzeugt werden.
Um die Maximum Likelihood Funktion in der Praxis anzuwenden, folge diesen grundlegenden Schritten:
Praktisches Beispiel: Angenommen, Du analysierst die Größe von Pflanzen und weißt, dass sie normalverteilt sind. Deine Aufgabe ist es, den Mittelwert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\) der Verteilung zu schätzen. Die Likelihood-Funktion in diesem Fall wäre: \[L(\mu, \sigma) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}}\] Durch die Ableitung von \(L\) nach \(\mu\) und \(\sigma\), gefolgt von der Setzung dieser Ableitungen gleich Null, kannst Du die Werte von \(\mu\) und \(\sigma\) finden, die \(L\) maximieren.
Ein häufig verwendeter Bestandteil der Maximum-Likelihood-Schätzung ist die Log-Likelihood-Funktion, die das Produkt von Wahrscheinlichkeiten in eine Summation umwandelt, was die Berechnungen oft vereinfacht.
Vertiefung: Wozu Maximum Likelihood? Die Maximum-Likelihood-Schätzung ist besonders nützlich, weil sie unter bestimmten Bedingungen die besten Eigenschaften unter den Schätzmethoden aufweist. Wenn das gewählte Modell korrekt ist, liefert MLE konsistente, unverzerrte Schätzer, sodass mit zunehmender Stichprobengröße die Schätzwerte gegen die wahren Parameter konvergieren. Diese Methode erlaubt auch die Berechnung von standardmäßigen Fehlern sowie Konfidenzintervallen, indem sie die Fisher-Information und die resultierende Hessische Matrix nutzt, um die Unsicherheiten abzuschätzen. Abseits der Theorie ist die MLE auch praktisch vorteilhaft, wenn Daten komplex sind, da sie in vielen Fällen robust gegenüber verschiedenen Arten von Zustandsunklarheiten und Beobachtungsrauschen ist.
Beispiele für die Anwendung der Likelihood-Funktion sind zentral, um das Verständnis ihrer Anwendung in realen Situationen zu vertiefen. Die Likelihood-Funktion ist nützlich in verschiedenen Bereichen, von der Biostatistik bis hin zur Finanzmarktforschung. Sie dient dazu, die besten Schätzungen für die unbekannten Parameter in einem Modell zu finden.
Beispiel: Angenommen, Du untersuchst die Erfolgsrate eines neuen Medikaments. Du führst eine Studie mit 50 Patienten durch und entdeckst, dass 30 eine positive Reaktion auf das Medikament zeigen. Den Annahmen der binomialen Verteilung folgend, könntest Du die Erfolgswahrscheinlichkeit \( p \) mit der Likelihood-Funktion berechnen: \[ L(p) = \binom{50}{30} p^{30} (1-p)^{20} \] Maximierst Du diese Funktion, erhältst Du den Maximum-Likelihood-Schätzer (MLE) für \( p \) als \( \hat{p} = 0,6 \).
Die Wahl von numerischen Methoden zur Maximierung kann besonders nützlich sein, wenn die analytische Lösung zu kompliziert wird.
In der realen Welt stoßen Modelle oft auf heterogene Datenstrukturen, die klassische Likelihood-Berechnungen erschweren. Ein anschauliches Beispiel ist die logistische Regression, die für binäre Outcome-Daten mit mehreren prädiktiven Variablen verwendet wird. Mit einer logistischen Linkfunktion kann die Likelihood-Funktion für die erfolgsbedingte Wahrscheinlichkeit \( p \) so formuliert werden: \[ L(\beta) = \prod_{i=1}^{n} p_i^{y_i} (1-p_i)^{1-y_i} \] wobei \( p_i = \frac{e^{\beta^T x_i}}{1 + e^{\beta^T x_i}} \). Hier ist \( \beta \) der Vektor der coefficients, und \( x_i \) der Vektor der unabhängigen Variablen für die \( i \text{-te} \) Beobachtung. Diese Methode erlaubt es, zusammen mit Manipulationen von Dummy-Variablen für kategoriale Prädiktoren, eine robuste Annäherung vorzunehmen. Sie zeigt, wie Maximum Likelihood Schätzungen in der statistischen Modellierung entscheidend sind. Durch die Einführung moderner Computer-Techniken wie des iterativen reweighted least squares (IRLS) Algorithmus wird die Konvergenz der Schätzung in komplexen Modellen optimiert.
Melde dich kostenlos an, um Zugriff auf all unsere Karteikarten zu erhalten.
Bei StudySmarter haben wir eine Lernplattform geschaffen, die Millionen von Studierende unterstützt. Lerne die Menschen kennen, die hart daran arbeiten, Fakten basierten Content zu liefern und sicherzustellen, dass er überprüft wird.
Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
Lerne Lily kennen
Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
Lerne Gabriel kennen
Schule 
Studium 
Ausbildung 
Karteikarten 
StudySmarter AI 
Notizen 
Lernplan 
Spaced Repetition 
Lernsets 
Finde einen Job 
Studentenrabatte 
Ausbildungen 
Magazine 
Mobile App 
Für Unternehmen