Analytik & Logik: Einführung in die Mathematik - Cheatsheet.pdf

Zahlen und Zahlensysteme

Definition:

Zahlen und Zahlensysteme, grundlegende Konzepte in der Mathematik, angewandt in wirtschaftlichen Berechnungen und Analysen.

Details:

• Grundtypen von Zahlen: Natürliche Zahlen (\textbf{N}), Ganze Zahlen (\textbf{Z}), Rationale Zahlen (\textbf{Q}), Reelle Zahlen (\textbf{R})
• Arten von Zahlensystemen: Dezimalsystem (Basis 10), Binärsystem (Basis 2), Hexadezimalsystem (Basis 16)
• Konvertierung zwischen verschiedenen Zahlensystemen
• \textbf{Dezimal zu Binär:} Teile die Zahl durch 2, schreibe Rest auf
• \textbf{Binär zu Dezimal:} Multipliziere Ziffern mit entsprechenden Potenzen von 2
• Beispiel: Dezimal 10 zu Binär: 10/2=5 (Rest 0), 5/2=2 (Rest 1), 2/2=1 (Rest 0), 1/2=0 (Rest 1) ergibt 1010

Differenzial- und Integralrechnung

Definition:

Differenzial- und Integralrechnung: Teilgebiet der Analysis. Beschäftigt sich mit der Berechnung von Steigungen (Differenzieren) und Flächen unter Kurven (Integrieren).

Details:

• Differenzieren: Bestimmung der Ableitung einer Funktion \( f'(x) \). Beschreibt die Änderungsrate.
• Produktregel: \[ (uv)' = u'v + uv' \]
• Quotientenregel: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
• Integralrechnung: Bestimmung des Integrals einer Funktion \( \int f(x) \, dx \). Beschreibt die Fläche unter der Kurve.
• Fundamentalsatz der Analysis: Verbindet Differenzieren und Integrieren: \[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] wobei \ F'(x) = f(x) \.

Matrizen und Lineare Algebra

Definition:

Grundlagen der Matrizenrechnung und linearen Algebra.

Details:

• Matrizen: rechteckige Anordnung von Zahlen, definiert als Elemente in Zeilen und Spalten.
• Lineare Gleichungssysteme: lassen sich durch Matrizen darstellen und mittels verschiedener Methoden wie dem Gauß-Algorithmus lösen.
• Matrixoperationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Inversion.
• Determinante: Skalarwert, wichtige Rolle in der Inversion und Lösung von Gleichungssystemen.
• Eigenwerte und Eigenvektoren: Finden von speziellen Vektoren und Werten einer Matrix.
• Vektorraum: Menge von Vektoren, die durch Addition und skalare Multiplikation geschlossen ist.

Aussagenlogik und Prädikatenlogik

Definition:

Aussagenlogik: untersucht wahrheitsfähige Aussagen mittels logischer Operatoren; Prädikatenlogik: erweitert Aussagenlogik durch Einbeziehung von Quantoren und Prädikaten.

Details:

• Aussagenlogik: verwendet Operatoren wie \(\land\), \(\lor\), \(eg\), \(\rightarrow\), \(\leftrightarrow\)
• Beispiel: \((P \land Q) \rightarrow R\)
• Prädikatenlogik: verwendet Quantoren wie \(\forall\) und \(\exists\)
• Prädikate: Funktionen, die auf Objekte angewendet werden
• Beispiel: \(\forall x (P(x) \rightarrow Q(x))\)

Beweisarten (direkter Beweis, indirekter Beweis, Widerspruchsbeweis)

Definition:

Arten des Beweises in der mathematischen Analyse und Logik.

Details:

• Direkter Beweis: Eine Behauptung wird durch eine direkte Argumentationskette von Annahmen bis zur Konklusion gezeigt.
• Indirekter Beweis: Zeigt die Wahrheit einer Aussage durch das Beweisen, dass die Annahme der Gegenteils zu einem Widerspruch führt.
• Widerspruchsbeweis: Spezieller Typ des indirekten Beweises, bei dem man annimmt, dass die Negation einer Aussage wahr ist und daraus ein Widerspruch folgt.

Hypothesentests und Wahrscheinlichkeitstheorie

Definition:

Statistische Methoden zur Überprüfung von Hypothesen mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Details:

• Nullhypothese (\textit{H}0) und Alternativhypothese (\textit{H}1)
• Signifikanzniveau (\textit{α}) meist 0,05 oder 0,01
• Teststatistik zur Berechnung des p-Wertes
• p-Wert: Wahrscheinlichkeit, die beobachteten Daten unter der Annahme von \textit{H}0 zu erhalten
• Entscheidungsregel: \textit{p-Wert} < \textit{α}: Verwerfung von \textit{H}0
• Einseitige und zweiseitige Tests
• Typ-I-Fehler (fälschliche Verwerfung von \textit{H}0)
• Typ-II-Fehler (fälschliche Akzeptanz von \textit{H}0)

Lineare und Nichtlineare Programmierung

Definition:

Lineare Programmierung (LP) ist eine Methode zur optimalen Lösung eines mathematischen Modells mit linearen Gleichungen und Ungleichungen. Nichtlineare Programmierung (NLP) umfasst Modelle mit mindestens einer nichtlinearen Gleichung oder Ungleichung.

Details:

• Lineare Programmierung: Ziel- und Nebenbedingungen linear.
• Ziel: Maximiere oder minimiere eine lineare Zielfunktion: \[ Z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + ... + c_n x_n \]
• Nebenbedingungen: Gleichungen/Ungleichungen wie \[ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \le b_1 \]
• Nichtlineare Programmierung: Ziel- oder Nebenbedingungen nichtlinear.
• Ziel: Umgang mit nichtlinearen Zielfunktionen/Nebenbedingungen: \[ Z = f(x_1, x_2, ..., x_n) \]
• Typische Lösungsmethoden: Simplexverfahren (LP), Gradientenmethode (NLP).

Finanzmathematik und Risikomanagement

Definition:

Finanzmathematik befasst sich mit der Bewertung von Finanzprodukten und der Modellierung finanzieller Prozesse. Risikomanagement identifiziert, bewertet und mindert finanzielle Risiken mittels quantitativer und qualitativer Methoden.

Details:

• Barwertberechnung: \(PV = \frac{FV}{(1 + r)^n}\)
• Aufzinsung: \(FV = PV (1 + r)^n\)
• Arten von Risiken: Marktrisiko, Kreditrisiko, Liquiditätsrisiko, Operationelles Risiko
• Risikomaße: Value-at-Risk (VaR), Expected Shortfall (ES)
• Hedging: Einsatz von Derivaten zur Risikominderung
• Portfoliotheorie: Diversifikation zur Risikominderung, Optimierung des Risiko-Rendite-Verhältnisses