Analytik & Logik: Einführung in die Mathematik - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Du arbeitest als Wirtschaftsanalyst und musst verschiedene Zahlen und Zahlensysteme verstehen und anwenden. Deine Aufgabe ist es, mehrere Zahlen von einem System in ein anderes zu konvertieren und mathematische Eigenschaften der verschiedenen Zahlensysteme zu erklären.

a)

Teil a: Konvertiere die Dezimalzahl 2023 in das Binärsystem und in das Hexadezimalsystem.

• Zeige alle Berechnungsschritte für die Konvertierungen.
• Stelle sicher, dass Du die Restdivision detailliert darstellst sowie die Multiplikation mit den Potenzen der Basis (wo anwendbar).

Lösung:

Um die Dezimalzahl 2023 in das Binär- und Hexadezimalsystem zu konvertieren, gehen wir wie folgt vor:

1. Konvertierung der Dezimalzahl 2023 ins Binärsystem:

• Wir verwenden die Methode der Restdivision, bei der die Dezimalzahl wiederholt durch 2 geteilt wird und die Reste notiert werden.
• Die Reste ergeben, von unten nach oben gelesen, die Binärdarstellung.

• 2023 ÷ 2 = 1011 Rest 1
• 1011 ÷ 2 = 505 Rest 1
• 505 ÷ 2 = 252 Rest 1
• 252 ÷ 2 = 126 Rest 0
• 126 ÷ 2 = 63 Rest 0
• 63 ÷ 2 = 31 Rest 1
• 31 ÷ 2 = 15 Rest 1
• 15 ÷ 2 = 7 Rest 1
• 7 ÷ 2 = 3 Rest 1
• 3 ÷ 2 = 1 Rest 1
• 1 ÷ 2 = 0 Rest 1

Die Binärdarstellung von 2023 ist somit: 11111100111

2. Konvertierung der Dezimalzahl 2023 ins Hexadezimalsystem:

• Für die Konvertierung ins Hexadezimalsystem verwenden wir wieder die Methode der Restdivision, teilen aber diesmal durch 16.

• 2023 ÷ 16 = 126 Rest 7
• 126 ÷ 16 = 7 Rest 14 (E)
• 7 ÷ 16 = 0 Rest 7

Die Hexadezimaldarstellung von 2023 ist somit (von unten nach oben gelesen): 7E7

b)

Teil b: Erläutere, warum die Konvertierung zwischen verschiedenen Zahlensystemen für wirtschaftliche Analysen relevant sein kann. Erwähne spezifische Anwendungen in der Wirtschaft, in denen die Verwendung verschiedener Zahlensysteme vorteilhaft ist.

• Nenne mindestens zwei konkrete Beispiele.
• Diskutiere, wie das Verständnis von binären und hexadezimalen Zahlensystemen die Arbeit in Bereichen wie Buchhaltung, Finanzanalyse oder Datenanalyse unterstützen kann.

Lösung:

Die Konvertierung zwischen verschiedenen Zahlensystemen ist für wirtschaftliche Analysen aus mehreren Gründen relevant. Hier sind spezifische Anwendungen und Beispiele, bei denen die Verwendung verschiedener Zahlensysteme vorteilhaft ist:

• Datenanalyse und -verarbeitung: In der Datenanalyse und -verarbeitung spielt das Binärsystem eine kritische Rolle, da Computer auf binären Zahlen basieren. Das Verstehen von binären Zahlen kann Analysten helfen, effizienter mit Computern und Software zu interagieren, insbesondere bei der Programmierung und Fehlersuche. Zum Beispiel nutzen Datenbanken oft binäre Indizes, um Daten schnell abzurufen und zu sortieren. Das Verständnis des binären Systems kann dabei helfen, die Funktionsweise von Datenbankabfragen und -optimierungen besser zu verstehen and anzuwenden.
• Speicherverwaltung und -optimierung: In der IT-Abteilung großer Unternehmen, wo Speicherressourcen und Speicherplatzmanagement entscheidend sind, ist das Verständnis des Hexadezimalsystems nützlich. Hexadezimalzahlen bieten eine kompakte Darstellung binärer Daten, was es einfacher macht, Speicheradressen und Datenstrukturen zu verstehen und zu verwalten. Zum Beispiel verwenden Betriebssysteme und Hardware-Diagnosetools oft hexadezimale Adressen und Werte, was die Fehlersuche und Optimierung von Speichern erheblich erleichtert.
• Buchhaltung und Finanzanalyse: Während Dezimalsysteme in der Buchhaltung und Finanzanalyse dominieren, können komplexe Finanztabellen und -modelle von der Verwendung von binären oder hexadezimalen Systemen profitieren, insbesondere bei der Implementierung von Algorithmen und automatisierten Analysen. Ein Beispiel wäre die Verschlüsselung finanzieller Daten, die binäre Codierung verwendet, um sichere Transaktionen zu gewährleisten. Ein starkes Verständnis der zugrundeliegenden Zahlensysteme hilft dabei, robuste Sicherheitsmaßnahmen zu entwickeln und zu implementieren.
• Blockchain und Kryptowährungen: In der Welt der Blockchain und Kryptowährungen ist das Verstehen der binären und hexadezimalen Zahlensysteme ebenso kritisch. Kryptowährungen wie Bitcoin und Ethereum verwenden kryptografische Algorithmen, die stark auf diesen Zahlensystemen basieren. Das Verständnis der Hexadezimaldarstellung von Wallet-Adressen und Transaktions-IDs kann für das Management und die Analyse von Krypto-Assets entscheidend sein. Zum Beispiel werden Hashes oft in hexadezimaler Form dargestellt, und die Konvertierung zwischen den verschiedenen Zahlensystemen ist notwendig, um Transaktionen zu verifizieren und zu analysieren.

Zusammenfassend kann das Verständnis und die Fähigkeit, zwischen verschiedenen Zahlensystemen zu konvertieren:

• Datenanalyseprozesse und -verarbeitung optimieren,
• die Speicherverwaltung und Fehlerdiagnose verbessern,
• die Sicherheit und Verschlüsselung in Finanzanwendungen verstärken, und
• die Effizienz und Genauigkeit in Kryptowährungstransaktionen und Blockchain-Management erhöhen.

Aufgabe 2)

Du hast eine Funktion gegeben:

• Funktion: \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \)
• Bestimme die Ableitungen der Funktion und zeichne die Änderungsrate.
• Berechne die Fläche unter der Kurve im Intervall [1, 3] mit Hilfe der Integralrechnung.

b)

Verwende die Produktregel und Quotientenregel, um die Ableitung der Funktion \( h(x) = \frac{ (x^2 + 1)(x - 2) }{ x^3 + 2x } \) zu berechnen.

Lösung:

Um die Ableitung der Funktion \(h(x) = \frac{ (x^2 + 1)(x - 2) }{ x^3 + 2x }\) zu berechnen, verwenden wir die Produktregel und die Quotientenregel. Hier sind die relevanten Regeln, die wir benötigen:

• Produktregel:\((uv)' = u'v + uv'\)
• Quotientenregel:\(\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)

Schritt 1: Bestimme die Ableitungen der einzelnen Funktionen

Zunächst definieren wir die einzelnen Teile der Funktion:

• \(u(x) = (x^2 + 1)(x - 2)\)
• \(v(x) = x^3 + 2x\)

Für die Ableitung von \(u(x)\) verwenden wir die Produktregel:

• Setze:\(u_1(x) = x^2 + 1\) \(u_2(x) = x - 2\)
• Berechne die Ableitungen:\(u_1'(x) = 2x\) \(u_2'(x) = 1\)
• Verwende die Produktregel:\(u'(x) = u_1'(x) \times u_2(x) + u_1(x) \times u_2'(x)\)\(u'(x) = 2x(x - 2) + (x^2 + 1)\)
• Vereinfachen:
\(u'(x) = 2x^2 - 4x + x^2 + 1\)\(u'(x) = 3x^2 - 4x + 1\)

Für die Ableitung von \(v(x)\) berechnen wir direkt:

\(v'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2\)

Schritt 2: Bestimme die Ableitung von \(h(x)\) mit der Quotientenregel

Laut der Quotientenregel:

\(h'(x) = \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}\)

Ersetze die gefundenen Werte:

\(h'(x) = \frac{(3x^2 - 4x + 1)(x^3 + 2x) - ((x^2 + 1)(x - 2))(3x^2 + 2)}{(x^3 + 2x)^2}\)

Schritt 3: Vereinfache den Ausdruck (falls notwendig)

• Multipliziere die Terme oben aus und vereinfache, um die endgültige Form der Ableitung zu finden. Dieser Teil kann ziemlich ausführlich werden, daher lassen wir es bei der Strukturformel stehen.

Finale Ableitung:

\(h'(x) = \frac{(3x^2 - 4x + 1)(x^3 + 2x) - ((x^2 + 1)(x - 2))(3x^2 + 2)}{(x^3 + 2x)^2}\)

c)

Berechne das bestimmte Integral \( \int_1^3 (x^3 - 6x^2 + 9x + 1) \ dx \) und finde die Fläche unter der Kurve im gegebenen Intervall. Verwende den Fundamentalsatz der Analysis zur Lösung.

Lösung:

Um das bestimmte Integral \( \int_1^3 (x^3 - 6x^2 + 9x + 1) \ dx \) zu berechnen und die Fläche unter der Kurve im gegebenen Intervall [1, 3] zu finden, verwenden wir den Fundamentalsatz der Analysis. Dieser Satz besagt, dass:

• Wenn \( F(x) \) eine Stammfunktion von \( f(x) \) ist, dann ist:

\[ \int_a^b f(x) \ dx = F(b) - F(a) \]

Schritt 1: Bestimme die Stammfunktion \( F(x) \)

Wir bestimmen zunächst die Stammfunktion der Funktion \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \):

• Die Stammfunktion von \( x^3 \) ist \( \frac{x^4}{4} \)
• Die Stammfunktion von \( -6x^2 \) ist \( -2x^3 \) (da \( \frac{-6x^3}{3} = -2x^3 \)
• Die Stammfunktion von \( 9x \) ist \( \frac{9x^2}{2} \)
• Die Stammfunktion von \( 1 \) ist \( x \)

Setzen wir nun alle Teile zusammen:

\[ F(x) = \frac{x^4}{4} - 2x^3 + \frac{9x^2}{2} + x \]

Schritt 2: Bestimme die Werte von \( F(x) \) an den Grenzen des Intervalls [1, 3]

Berechne \( F(3) \) und \( F(1) \):

• \[ F(3) = \frac{3^4}{4} - 2 \cdot 3^3 + \frac{9 \cdot 3^2}{2} + 3 \]
• \[ F(3) = \frac{81}{4} - 54 + \frac{81}{2} + 3 \]
• \[ F(3) = 20.25 - 54 + 40.5 + 3 \]
• \[ F(3) = 9.75 \]

Berechne \( F(1) \):

• \[ F(1) = \frac{1^4}{4} - 2 \cdot 1^3 + \frac{9 \cdot 1^2}{2} + 1 \]
• \[ F(1) = \frac{1}{4} - 2 + \frac{9}{2} + 1 \]
• \[ F(1) = 0.25 - 2 + 4.5 + 1 \]
• \[ F(1) = 3.75 \]

Schritt 3: Verwende den Fundamentalsatz der Analysis

Nun wenden wir den Fundamentalsatz der Analysis an:

\[ \int_1^3 (x^3 - 6x^2 + 9x + 1) \ dx = F(3) - F(1) \]

\[ = 9.75 - 3.75 \]

\[ = 6 \]

Die Fläche unter der Kurve im Intervall [1, 3] beträgt also \( 6 \) Flächeneinheiten.

Aufgabe 4)

Aussagenlogik und PrädikatenlogikBetrachte die folgenden Aussagen in der Aussagenlogik und Prädikatenlogik: Aussagenlogik untersucht wahrheitsfähige Aussagen mittels logischer Operatoren wie \land, \lor, eg, \rightarrow, \leftrightarrow. Zum Beispiel, \((P \land Q) \rightarrow R\).Die Prädikatenlogik erweitert die Aussagenlogik durch Einbeziehung von Quantoren (\forall, \exists) und Prädikaten, die als Funktionen auf Objekte angewendet werden können. Zum Beispiel, \(\forall x (P(x) \rightarrow Q(x))\).

a)

Gegeben sei die folgende Aussage in der Aussagenlogik: \((P \land Q) \rightarrow R\).

• Bestimme die Wahrheitstabelle für die gegebene Aussage.
• Ermittele unter welchen Bedingungen die Aussage wahr ist.

Lösung:

Aussagenlogik und PrädikatenlogikBetrachte die folgenden Aussagen in der Aussagenlogik und Prädikatenlogik: Aussagenlogik untersucht wahrheitsfähige Aussagen mittels logischer Operatoren wie ∧, ∨, ¬, →, ↔. Zum Beispiel, \((P ∧ Q) → R\).Die Prädikatenlogik erweitert die Aussagenlogik durch Einbeziehung von Quantoren (∀, ∃) und Prädikaten, die als Funktionen auf Objekte angewendet werden können. Zum Beispiel, \( ∀ x (P(x) → Q(x)) \).Löse die folgende Teilaufgabe:Gegeben sei die folgende Aussage in der Aussagenlogik: \((P ∧ Q) → R\).

• Bestimme die Wahrheitstabelle für die gegebene Aussage.
• Ermittele unter welchen Bedingungen die Aussage wahr ist.

Lösung:

• Bestimme die Wahrheitstabelle für die gegebene Aussage \((P ∧ Q) → R\):

P	Q	R	P ∧ Q	(P ∧ Q) → R
W	W	W	W	W
W	W	F	W	F
W	F	W	F	W
W	F	F	F	W
F	W	W	F	W
F	W	F	F	W
F	F	W	F	W
F	F	F	F	W

• Ermittle unter welchen Bedingungen die Aussage wahr ist:

Die Aussage \((P ∧ Q) → R\) ist wahr in den folgenden Fällen:

• Wenn sowohl P als auch Q falsch sind, ist der Wert von \((P ∧ Q)\) ebenfalls falsch, und die Implikation \((P ∧ Q) → R\) ist daher wahr.
• Wenn P oder Q falsch, ist \((P ∧ Q)\) auch falsch, und wieder ist die Implikation \((P ∧ Q) → R\) wahr.
• Wenn P und Q beide wahr sind und wenn R ebenfalls wahr ist, dann ist die Aussage \((P ∧ Q) → R\) ebenfalls wahr.

b)

Betrachte die folgende Aussage in der Prädikatenlogik: \(\forall x (P(x) \rightarrow Q(x))\).

• Erkläre die Bedeutung der Aussage, und was sie besagt.
• Gib ein Beispiel an, in dem die Aussage falsch wäre, indem Du konkrete Werte für die Prädikate angibst.

Lösung:

Aussagenlogik und PrädikatenlogikBetrachte die folgenden Aussagen in der Aussagenlogik und Prädikatenlogik: Aussagenlogik untersucht wahrheitsfähige Aussagen mittels logischer Operatoren wie ∧, ∨, ¬, →, ↔. Zum Beispiel, \((P ∧ Q) → R\).Die Prädikatenlogik erweitert die Aussagenlogik durch Einbeziehung von Quantoren (∀, ∃) und Prädikaten, die als Funktionen auf Objekte angewendet werden können. Zum Beispiel, \( ∀ x (P(x) → Q(x)) \).Löse die folgende Teilaufgabe:Betrachte die folgende Aussage in der Prädikatenlogik: \( ∀ x (P(x) → Q(x)) \).

• Erkläre die Bedeutung der Aussage, und was sie besagt.
• Gib ein Beispiel an, in dem die Aussage falsch wäre, indem Du konkrete Werte für die Prädikate angibst.

Erklärung der Bedeutung der Aussage:Die Aussage \( ∀ x (P(x) → Q(x)) \) bedeutet, dass für alle Elemente x im betrachteten Universum die Implikation \( P(x) → Q(x) \) gilt. Anders ausgedrückt: Jeder x im Universum, der die Eigenschaft P hat, muss auch die Eigenschaft Q haben. Es gibt kein x, das die Eigenschaft P hat, aber nicht die Eigenschaft Q.Beispiel, in dem die Aussage falsch wäre:Wir nehmen an, dass das Universum der Rede Menschen umfasst und definieren die Prädikate wie folgt:

• \( P(x): x ist ein Student \)
• \( Q(x): x ist fleißig \)

Die Aussage \( ∀ x (P(x) → Q(x)) \) bedeutet in diesem Fall, dass alle Studenten fleißig sind.Um ein Gegenbeispiel zu finden, müssen wir einen Studenten finden, der nicht fleißig ist. Nehmen wir an, Peter ist ein Student, aber er ist nicht fleißig:

• Peter ist ein Student: \( P(Peter) \) ist wahr.
• Peter ist nicht fleißig: \( Q(Peter) \) ist falsch.

In diesem Fall ist die Implikation \( P(Peter) → Q(Peter) \) falsch (weil eine wahre Implikation zu einer falschen Aussage führt). Daher ist die Aussage \( ∀ x (P(x) → Q(x)) \) insgesamt falsch, wenn es mindestens ein Element im Universum gibt, für das die Prädikate so definiert sind, dass \( P(x) \) wahr und \( Q(x) \) falsch ist.

c)

Transformiere die folgende Aussage aus der Prädikatenlogik in die Aussagenlogik, indem Du die Domain der Variable \(x\) als \{a, b\} nimmst: \(\exists x (P(x) \land Q(x))\).

• Erkläre die Schritte, die notwendig sind, um die Umwandlung vorzunehmen.
• Gib das Ergebnis der Transformation als eine Aussage der Aussagenlogik an.

Lösung:

Aussagenlogik und PrädikatenlogikBetrachte die folgenden Aussagen in der Aussagenlogik und Prädikatenlogik: Aussagenlogik untersucht wahrheitsfähige Aussagen mittels logischer Operatoren wie ∧, ∨, ¬, →, ↔. Zum Beispiel, \((P ∧ Q) → R\).Die Prädikatenlogik erweitert die Aussagenlogik durch Einbeziehung von Quantoren (∀, ∃) und Prädikaten, die als Funktionen auf Objekte angewendet werden können. Zum Beispiel, \( ∀ x (P(x) → Q(x)) \).Löse die folgende Teilaufgabe:Transformiere die folgende Aussage aus der Prädikatenlogik in die Aussagenlogik, indem Du die Domain der Variable \(x\) als \{a, b\} nimmst: \( ∃ x (P(x) ∧ Q(x)) \).

• Erkläre die Schritte, die notwendig sind, um die Umwandlung vorzunehmen.
• Gib das Ergebnis der Transformation als eine Aussage der Aussagenlogik an.

Lösung:

• Erkläre die Schritte, die notwendig sind, um die Umwandlung vorzunehmen:

Um die gegebene prädikatenlogische Aussage in die Aussagenlogik zu transformieren, gehen wir systematisch vor:

1. Identifiziere die Domain (den Definitionsbereich) der Variablen. In diesem Fall ist die Domain \(\{a, b\}\).
2. Ersetze die quantifizierte Variable \(x\) durch jedes Element der Domain. Da die Aussage ein Existenzquantor (\( ∃ \)) ist, verwenden wir eine logische ODER-Verknüpfung (\( ∨ \)).

• Gib das Ergebnis der Transformation als eine Aussage der Aussagenlogik an:

Die gegebene prädikatenlogische Aussage lautet: \( ∃ x (P(x) ∧ Q(x)) \)Ersetze die Variable \(x\) durch jedes Element aus der Domain \(\{a, b\}\):

• \( P(a) ∧ Q(a) \)
• \( P(b) ∧ Q(b) \)

Da es sich um einen Existenzquantor handelt, verbinden wir die Aussagen mit einem logischen ODER (\( ∨ \)):\( (P(a) ∧ Q(a)) ∨ (P(b) ∧ Q(b)) \)Daher ist das Ergebnis der Transformation der prädikatenlogischen Aussage \( ∃ x (P(x) ∧ Q(x)) \) in die Aussagenlogik:\( (P(a) ∧ Q(a)) ∨ (P(b) ∧ Q(b)) \)