Statistik II: Induktive Statistik - Exam.pdf

Aufgabe 4)

Ein Unternehmen möchte verstehen, ob zwei seiner Produktionsanlagen, Anlage A und Anlage B, unterschiedliche durchschnittliche Produktionszeiten für dieselben Produkte aufweisen. Die Produktionszeiten (in Minuten) werden für 50 Produkte pro Anlage gemessen. Die Standardabweichung der Produktionszeiten in Anlage A beträgt 5 Minuten und in Anlage B 6 Minuten. Außerdem möchte das Unternehmen prüfen, ob die Produktionszeiten statistisch unabhängig von der Schicht (Tagschicht oder Nachtschicht) sind, indem sie stichprobenartig 100 Produktionszeiten für beide Schichten sammeln.

a)

1. Durchführen eines unverbundenen t-Tests: Berechne die t-Test-Statistik, um zu prüfen, ob es einen signifikanten Unterschied zwischen den durchschnittlichen Produktionszeiten der beiden Anlagen gibt. Verwende die folgenden Mittelwerte: \( \bar{x}_A = 120 \) Minuten für Anlage A und \( \bar{x}_B = 123 \) Minuten für Anlage B. Die Stichprobengrößen sind jeweils \( n_A = n_B = 50 \).

Lösung:

Um zu prüfen, ob es einen signifikanten Unterschied zwischen den durchschnittlichen Produktionszeiten der Anlagen A und B gibt, führen wir einen unverbundenen t-Test durch. Hier sind die detaillierten Schritte zur Berechnung der t-Test-Statistik:

• Notiere die angegebenen Werte:
  • \(\bar{x}_A = 120\) Minuten
  • \(\bar{x}_B = 123\) Minuten
  • \(n_A = 50\)
  • \(n_B = 50\)
  • Standardabweichung der Produktionszeiten für Anlage A: \(s_A = 5\) Minuten
  • Standardabweichung der Produktionszeiten für Anlage B: \(s_B = 6\) Minuten
• Berechne die gepoolte Standardabweichung (\(s_p\)): \[ s_p = \sqrt{\frac{(n_A - 1) s_A^2 + (n_B - 1) s_B^2}{n_A + n_B - 2}} \] Einsetzen der Werte: \[ s_p = \sqrt{\frac{(50 - 1) * 5^2 + (50 - 1) * 6^2}{50 + 50 - 2}} \] \[ s_p = \sqrt{\frac{49 * 25 + 49 * 36}{98}} \] \[ s_p = \sqrt{\frac{1225 + 1764}{98}} \] \[ s_p = \sqrt{\frac{2989}{98}} \] \[ s_p \approx \sqrt{30.5} \approx 5.52\]
• Berechne die t-Test-Statistik (t): \[ t = \frac{\bar{x}_A - \bar{x}_B}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}}} \] Einsetzen der Werte: \[ t = \frac{120 - 123}{5.52 \sqrt{\frac{1}{50} + \frac{1}{50}}} \] \[ t = \frac{-3}{5.52 \sqrt{\frac{2}{50}}} \] \[ t = \frac{-3}{5.52 \sqrt{0.04}} \] \[ t = \frac{-3}{5.52 * 0.2} \] \[ t = \frac{-3}{1.104} \] \[ t \approx -2.72 \]

Die berechnete t-test-Statistik ist \(-2.72\). Nun kannst du diese Teststatistik mit einem kritischen Wert aus der t-Verteilung vergleichen (abhängig vom gewünschten Signifikanzniveau und den Freiheitsgraden) oder den p-Wert berechnen, um zu entscheiden, ob der Unterschied signifikant ist.

b)

2. Durchführen eines Chi-Quadrat-Tests: Das Unternehmen hat festgelegt, dass die erwarteten Produktionszeiten gleich über die Schichten verteilt sein sollten. Sie beobachten tatsächlich die folgenden Häufigkeiten: Tagschicht: 45, Nachtschicht: 55. Berechne die Chi-Quadrat-Statistik, um zu prüfen, ob die Produktionszeiten von der Schicht abhängig sind.

Lösung:

Um zu prüfen, ob die Produktionszeiten von der Schicht (Tagschicht oder Nachtschicht) abhängig sind, führen wir einen Chi-Quadrat-Test durch. Hier sind die detaillierten Schritte zur Berechnung der Chi-Quadrat-Statistik:

• Notiere die angegebenen Werte:
  • Erwartete Häufigkeit für beide Schichten: Da die Verteilung gleich erwartet wird, ist die erwartete Häufigkeit für jede Schicht \(E_i = 50\).
  • Beobachtete Häufigkeiten:
    • Tagschicht: \(O_1 = 45\)
    • Nachtschicht: \(O_2 = 55\)
• Berechne die Chi-Quadrat-Statistik (\(\chi^2\)): \[\chi^2 = \sum_{i=1}^{n} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}\] Einsetzen der Werte: \[\chi^2 = \frac{(45 - 50)^2}{50} + \frac{(55 - 50)^2}{50}\] \[\chi^2 = \frac{(-5)^2}{50} + \frac{(5)^2}{50}\] \[\chi^2 = \frac{25}{50} + \frac{25}{50}\] \[\chi^2 = 0.5 + 0.5\] \[\chi^2 = 1\]

Die berechnete Chi-Quadrat-Statistik ist \(1\). Nun kannst du diese Teststatistik mit einem kritischen Wert aus der Chi-Quadrat-Verteilung vergleichen (abhängig vom gewünschten Signifikanzniveau und den Freiheitsgraden) oder den p-Wert berechnen, um zu entscheiden, ob die Produktionszeiten signifikant von der Schicht abhängen.

c)

3. Durchführen eines F-Tests: Angenommen, neben den Produktionszeiten werden auch die Produktqualitäten in zwei unterschiedlichen Produktionslinien innerhalb derselben Anlage gemessen. Produktionslinie 1 hat eine gemessene Varianz von 4 und Produktionslinie 2 eine Varianz von 2. Berechne die F-Test-Statistik, um festzustellen, ob es einen signifikanten Unterschied zwischen den Varianzen der beiden Produktionslinien hinsichtlich der Produktqualität gibt.

Lösung:

Um zu prüfen, ob es einen signifikanten Unterschied zwischen den Varianzen der Produktqualitäten der beiden Produktionslinien gibt, führen wir einen F-Test durch. Hier sind die detaillierten Schritte zur Berechnung der F-Test-Statistik:

• Notiere die angegebenen Werte:
  • Varianz von Produktionslinie 1: \(s_1^2 = 4\)
  • Varianz von Produktionslinie 2: \(s_2^2 = 2\)
• Berechne die F-Test-Statistik (\(F\)): Die F-Test-Statistik wird durch das Verhältnis der beiden Varianzen berechnet: \[F = \frac{s_1^2}{s_2^2}\] Einsetzen der Werte: \[F = \frac{4}{2}\] \[F = 2\]

Die berechnete F-Test-Statistik ist \(2\). Nun kannst du diese Teststatistik mit einem kritischen Wert aus der F-Verteilung vergleichen (abhängig von den Freiheitsgraden und dem gewünschten Signifikanzniveau) oder den p-Wert berechnen, um zu entscheiden, ob der Unterschied der Varianzen signifikant ist.