Statistik - Cheatsheet.pdf

Maßzahlen der zentralen Tendenz: Mittelwert, Median, Modus

Definition:

Maßzahlen der zentralen Tendenz dienen der Beschreibung des typischen Wertes einer Datenreihe.

Details:

• Mittelwert: Arithmetisches Mittel, berechnet als Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte. Formel: \( \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \)
• Median: Zentralwert, teilt die Datenreihe in zwei Hälften. Bei ungerader Anzahl der Werte: mittlerer Wert, bei gerader Anzahl: Mittelwert der beiden mittleren Werte.
• Modus: Häufigster Wert in der Datenreihe. Kann mehrere Moden geben (unimodal, bimodal, multimodal).

Hypothesentests: Nullhypothese, Alternativhypothese, p-Wert

Definition:

Bewertung von Hypothesen durch Tests. Nullhypothese (H0) stellt den Status Quo dar, Alternativhypothese (H1) spiegelt die vermutete Änderung wider. p-Wert gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die beobachteten Daten unter Annahme von H0 auftreten.

Details:

• Nullhypothese (H0): Annahme, die widerlegt werden soll.
• Alternativhypothese (H1): Aussage, die bei Verwerfung von H0 angenommen wird.
• p-Wert: Berechnet sich durch \( P(X \geq x | H_0) \) für rechtsseitigen Test.
• Signifikanzniveau (\( \alpha \)): Grenze, unter der H0 abgelehnt wird.

Signifikanzniveaus und Fehlerarten: Alpha- und Beta-Fehler

Definition:

Überwachung von Fehlerwahrscheinlichkeiten in Hypothesentests; Alpha-Fehler (Fehler 1. Art) und Beta-Fehler (Fehler 2. Art) regeln die Entscheidungsfindung.

Details:

• Alpha-Fehler (\( \alpha \)): Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese irrtümlich abzulehnen (Fehler 1. Art).
• Beta-Fehler (\( \beta \)): Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese irrtümlich beizubehalten (Fehler 2. Art).
• Signifikanzniveau (\( \alpha \)): vorgegebene Schranke für die Alpha-Fehler-Wahrscheinlichkeit, oft 0,05.
• Teststärke (\( 1 - \beta \)): Wahrscheinlichkeit korrekt die Alternativhypothese anzunehmen.

Einfache lineare Regression: Methode der kleinsten Quadrate

Definition:

Einfache lineare Regression: Methode der kleinsten Quadrate zur Schätzung der Regressionsgeraden (Minimierung der Summe der quadrierten Abweichungen).

Details:

• Model: \(Y = \beta_0 + \beta_1X + \epsilon\)
• Schätzung der Parameter mittels Minimierung der Fehlerquadrate: \(Q(\beta_0, \beta_1) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i))^2\)
• Bedingungen: Lineare Beziehung, Homoskedastizität, Unabhängigkeit der Residuen
• Schätzer: \(\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\) und \(\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}\)
• Güte: Bestimmtheitsmaß \(R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}\)

ARIMA-Modelle: Autoregressive integrierte gleitende Durchschnitte

Definition:

ARIMA-Modelle erklären Zeitreihen durch Autoregression (AR), Differenzbildung (I) und gleitende Durchschnitte (MA).

Details:

• ARIMA(p,d,q) Modellspezifikation mit:
• p: Anzahl der AR-Terme
• d: Anzahl der notwendigen Differenzbildungen zur Stationarität
• q: Anzahl der MA-Terme
• AR-Modell: \[X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + ... + \phi_p X_{t-p} + \epsilon_t\]
• MA-Modell: \[X_t = \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} + ... + \theta_q \epsilon_{t-q}\]
• Integriert: Differenzierung der Zeitreihe,\[Y_t = \Delta^d X_t = (1 - B)^d X_t\] mit dem Lag-Operator B.
• Gesamtmodell: \[Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + ... + \phi_p Y_{t-p} + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + ... + \theta_q \epsilon_{t-q}\]

Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Diskrete und stetige Verteilungen

Definition:

Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben, wie sich Wahrscheinlichkeiten über mögliche Ereignisse verteilen.

Details:

• Diskrete Verteilungen: Für abzählbare Ergebnisse
• Binomialverteilung: \(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)
• Poisson-Verteilung: \(P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \)
• Stetige Verteilungen: Für unzählige Ergebnisse
• Normalverteilung: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)
• Exponentialverteilung: \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\)

Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz

Definition:

Gesetz der großen Zahlen: Je größer die Stichprobe, desto näher liegt der Mittelwert bei dem Erwartungswert. Zentraler Grenzwertsatz: Summe unabhängiger Zufallsvariablen nähert sich normalverteilter Zufallsvariablen für große Stichprobenanzahl.

Details:

• Gesetz der großen Zahlen: \[ \lim_{{n\to\infty}} \frac{1}{n} \sum_{{i=1}}^{n} X_i = \mu \]
• Zentraler Grenzwertsatz: \[ \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n \mu}{\sigma \sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1) \]
• Wichtig für Schätzung und Prognose
• Ermöglicht Verwendung der Normalverteilung in der Praxis

Explorative Datenanalyse: Identifikation von Ausreißern und Trends

Definition:

Sichtbarmachung von Mustern, Trends und Auffälligkeiten in Datensätzen

Details:

{'

': ['
• Verwendung von Deskriptivstatistiken wie Mittelwert, Median, Varianz
', '
• Graphische Darstellungen: Boxplots, Scatterplots
', '
• Ausreißer: Datenelemente, die deutlich vom Rest der Daten abweichen (z. B. mehr als 1.5 mal den Interquartilsabstand vom Q1 oder Q3 entfernt)
', '
• Trends: Langfristige Bewegungen in den Daten
', '
• Identifikation durch Zeitreihenanalyse oder gleitende Durchschnitte (Decompositon von Zeitreihen in Trend, Zyklus und Rauschen)
', '
• Hypothesentest für Trends: z. B. Mann-Kendall-Test
']}