Experimentalphysik 2 - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Ein 5-kg-Körper befindet sich auf einer horizontalen, reibungsfreien Oberfläche. Eine konstante horizontale Kraft von 20 N wird auf den Körper ausgeübt.

a)

Bestimme die Beschleunigung des Körpers nach dem 2. Newtonschen Gesetz.

Hinweis: Verwende die Formel $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$.

Lösung:

Bestimme die Beschleunigung des Körpers nach dem 2. Newtonschen Gesetz:

Um die Beschleunigung zu bestimmen, verwenden wir das 2. Newtonsche Gesetz, das wie folgt lautet:

$$\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$$

In diesem Fall ist die angreifende Kraft ($\overrightarrow{F}$) horizontal und hat einen Betrag von 20 N. Die Masse des Körpers ($m$) beträgt 5 kg. Wir müssen die Beschleunigung ($\overrightarrow{a}$) berechnen:

Anschließend stellen wir die Formel nach der Beschleunigung ($\overrightarrow{a}$) um:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}$$

Nun setzen wir die gegebenen Werte ein:

$$\overrightarrow{a}=\frac{20\text{ N}}{5\text{ kg}}$$

Das ergibt eine Beschleunigung von:

$$\overrightarrow{a}=4{\text{ m/s}}^2$$

Die Beschleunigung des Körpers beträgt somit 4 ${\text{m/s}}^2$.

b)

Wie weit bewegt sich der Körper in 4 Sekunden, nachdem die Kraft angelegt wurde?

Hinweis: Du kannst verwenden $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$.

Lösung:

Wie weit bewegt sich der Körper in 4 Sekunden, nachdem die Kraft angelegt wurde?

Um die Strecke zu berechnen, die der Körper in 4 Sekunden zurücklegt, verwenden wir die Gleichung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung:

$$s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Hierbei ist:

• $s$: zurückgelegte Strecke in Metern (m)
• $a$: Beschleunigung in Metern pro Sekunde zum Quadrat (${\text{m/s}}^2$)
• $t$: Zeit in Sekunden (s)

Um die Beschleunigung ($a$) zu finden, nutzen wir das zweite Newtonsche Gesetz:

$$\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$$

Gegeben sind:

• $\overrightarrow{F}=20\text{ N}$
• $m=5\text{ kg}$

Berechnen wir die Beschleunigung:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}=\frac{20\text{ N}}{5\text{ kg}}=4{\text{ m/s}}^2$$

Nun setzen wir die Werte in die Gleichung für die Strecke ein:

$$s=\frac{1}{2}\cdot 4{\text{ m/s}}^2\cdot (4\text{ s}{)}^2$$

Berechnen wir das Schritt für Schritt:

• $t^2=(4\text{ s}{)}^2=16{\text{ s}}^2$
• $a\cdot t^2=4{\text{ m/s}}^2\cdot 16{\text{ s}}^2=64\text{ m}$
• $\frac{1}{2}\cdot 64\text{ m}=32\text{ m}$

Der Körper bewegt sich also in 4 Sekunden eine Strecke von 32 Metern.

c)

Wenn die konstante Kraft abrupt entfernt wird, beschreibe, was mit der Bewegung des Körpers geschieht, und begründe Deine Antwort anhand des 1. Newtonschen Gesetzes.

Lösung:

Wenn die konstante Kraft abrupt entfernt wird, beschreibe, was mit der Bewegung des Körpers geschieht, und begründe Deine Antwort anhand des 1. Newtonschen Gesetzes.

Gemäß dem 1. Newtonschen Gesetz (Trägheitsgesetz) gilt:

Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit weiter, solange keine resultierende Kraft auf ihn einwirkt.

Das bedeutet, dass ein Körper seine derzeitige Bewegungsrichtung und -geschwindigkeit beibehält, wenn keine äußere Kraft auf ihn wirkt.

Angenommen, die konstante horizontale Kraft von 20 N wird entfernt:

• Da sich der Körper auf einer reibungsfreien Oberfläche befindet, gibt es keine Gegenkraft (wie Reibung), die seine Bewegung verlangsamen oder stoppen könnte.
• Nachdem die Kraft entfernt wurde, wirken keine resultierenden Kräfte mehr auf den Körper.
• Gemäß dem 1. Newtonschen Gesetz wird sich der Körper weiterhin mit der Geschwindigkeit bewegen, die er im Moment des Entfernens der Kraft hatte.

Mit anderen Worten, der Körper wird sich geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit bewegen.

Zusammenfassung:

Wenn die konstante Kraft abrupt entfernt wird, bewegt sich der Körper aufgrund des 1. Newtonschen Gesetzes weiterhin mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig in die gleiche Richtung, in die er sich vorher bewegte, da keine resultierenden Kräfte auf ihn einwirken.

d)

Eine zusätzliche 5-N-Kraft wirkt nun in die entgegengesetzte Richtung der anfänglichen 20-N-Kraft. Berechne die resultierende Beschleunigung des Körpers.

Lösung:

Eine zusätzliche 5-N-Kraft wirkt nun in die entgegengesetzte Richtung der anfänglichen 20-N-Kraft. Berechne die resultierende Beschleunigung des Körpers.

Um die resultierende Beschleunigung zu berechnen, müssen wir zuerst die resultierende Kraft bestimmen. Da die zusätzliche 5-N-Kraft in die entgegengesetzte Richtung der anfänglichen Kraft wirkt, ziehen wir sie von der ursprünglichen Kraft ab:

$${\overrightarrow{F}}_{\text{resultierend}}={\overrightarrow{F}}_{\text{anfänglich}}-{\overrightarrow{F}}_{\text{zusätzlich}}$$

Setzen wir die gegebenen Werte ein:

$${\overrightarrow{F}}_{\text{resultierend}}=20\text{ N}-5\text{ N}=15\text{ N}$$

Nun wenden wir das 2. Newtonsche Gesetz an, um die resultierende Beschleunigung zu berechnen:

$$\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$$

Stellen wir die Formel nach der Beschleunigung $\overrightarrow{a}$ um:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}$$

Setzen wir die resultierende Kraft ${\overrightarrow{F}}_{\text{resultierend}}$ und die Masse des Körpers $m$ ein:

$$\overrightarrow{a}=\frac{15\text{ N}}{5\text{ kg}}=3{\text{ m/s}}^2$$

Die resultierende Beschleunigung des Körpers beträgt somit 3 ${\text{m/s}}^2$ in die Richtung der anfänglichen 20-N-Kraft.

Aufgabe 2)

Kinematik von Objekten ohne Betrachtung der Kräfte:

• Weg: s
• Geschwindigkeit: v = $\frac{ds}{dt}$
• Beschleunigung: a = $\frac{dv}{dt}$
• Zeitabhängige Bewegung entlang einer Achse: s(t) = $s_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
• Einheitliche Kreisbewegung: $\omega =\frac{2\pi }{T}$, v = $\omega r$
• Vektoren in der Kinematik: $\mathbf{r}(t)$, $\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}$, $\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}(t)}{dt}$

a)

Ein Auto bewegt sich entlang einer geraden Straße mit einer konstanten Anfangsgeschwindigkeit von $v_0=10\frac{m}{s}$. Es beginnt bei einer Position $s_0=0m$. Nach drei Sekunden beginnt es gleichmäßig zu beschleunigen mit einer Beschleunigung von $a=2\frac{m}{s^2}$. Berechne die Geschwindigkeit und die Position des Autos nach insgesamt 10 Sekunden ab dem Startpunkt.

Lösung:

Kinematik von Objekten ohne Betrachtung der Kräfte:

• Weg: s
• Geschwindigkeit: v = $\frac{ds}{dt}$
• Beschleunigung: a = $\frac{dv}{dt}$
• Zeitabhängige Bewegung entlang einer Achse: s(t) = $s_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
• Einheitliche Kreisbewegung: $\omega =\frac{2\pi }{T}$, v = $\omega r$
• Vektoren in der Kinematik: $\mathbf{r}(t)$, $\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}$, $\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}(t)}{dt}$

Unteraufgabe:

Ein Auto bewegt sich entlang einer geraden Straße mit einer konstanten Anfangsgeschwindigkeit von $v_0=10\frac{m}{s}$. Es beginnt bei einer Position $s_0=0m$. Nach drei Sekunden beginnt es gleichmäßig zu beschleunigen mit einer Beschleunigung von $a=2\frac{m}{s^2}$.

Lösung:

Um die Geschwindigkeit und die Position des Autos nach insgesamt 10 Sekunden ab dem Startpunkt zu berechnen, müssen wir die Bewegung in zwei Phasen unterteilen:

• Phase 1: Das Auto bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit für die ersten 3 Sekunden.
• Phase 2: Das Auto beschleunigt gleichmäßig von Sekunde 3 bis Sekunde 10.

Phase 1:

• Geschwindigkeit bleibt konstant: $v=v_0=10\frac{m}{s}$
• Zurückgelegter Weg in den ersten 3 Sekunden ($s_1$):

s_1 = v_0 \cdot t_1 = 10 \frac{m}{s} \cdot 3 s = 30 m

Phase 2:

• Neue Anfangsposition ($s_1$) nach 3 Sekunden: 30 m
• Neue Anfangsgeschwindigkeit ($v_{0}neu$): 10 $\frac{m}{s}$

Nutze die zeitabhängige Bewegungsgleichung, um Position und Geschwindigkeit nach insgesamt 10 Sekunden (weitere 7 Sekunden Beschleunigung) zu berechnen. Die Beschleunigungsgleichungen sind:

• Geschwindigkeit: $v(t)=v_0+at$
• Position: $s(t)=s_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

Mit $t=7$ s ab $t_1=3$ s (insgesamt 10 Sekunden):

• Neue Geschwindigkeit ($v$):

v = v_0\,neu + a \cdot t = 10 \frac{m}{s} + 2 \frac{m}{s^2} \cdot 7 s = 10 \frac{m}{s} + 14 \frac{m}{s} = 24 \frac{m}{s}

• Neue Position ($s$):

s = s_1 + v_0\,neu \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 = 30 m + 10 \frac{m}{s} \cdot 7 s + \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{m}{s^2} \cdot (7 s)^2 = 30 m + 70 m + 49 m = 149 m

Ergebnisse:

• Die Geschwindigkeit des Autos nach 10 Sekunden beträgt 24 $\frac{m}{s}$.
• Die Position des Autos nach 10 Sekunden beträgt 149 m.

b)

Ein Satellit bewegt sich auf einer Kreisbahn um die Erde mit einem Radius von 7000 km. Berechne seine Winkelgeschwindigkeit und seine lineare Geschwindigkeit, wenn er eine Umlaufzeit von 90 Minuten hat.

Lösung:

Kinematik von Objekten ohne Betrachtung der Kräfte:

• Weg: s
• Geschwindigkeit: v = $\frac{ds}{dt}$
• Beschleunigung: a = $\frac{dv}{dt}$
• Zeitabhängige Bewegung entlang einer Achse: s(t) = $s_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
• Einheitliche Kreisbewegung: $\omega =\frac{2\pi }{T}$, v = $\omega r$
• Vektoren in der Kinematik: $\mathbf{r}(t)$, $\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}$, $\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}(t)}{dt}$

Unteraufgabe:

Ein Satellit bewegt sich auf einer Kreisbahn um die Erde mit einem Radius von 7000 km. Berechne seine Winkelgeschwindigkeit und seine lineare Geschwindigkeit, wenn er eine Umlaufzeit von 90 Minuten hat.

Lösung:

Um die Winkelgeschwindigkeit und die lineare Geschwindigkeit des Satelliten zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

• Winkelgeschwindigkeit ($\omega$):

Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ kann über die Umlaufzeit $T$ berechnet werden. Die Formel lautet:

 \[ \omega = \frac{2\pi}{T} \] 

Hierbei ist $T$ die Umlaufzeit in Sekunden.

Zunächst müssen wir die Umlaufzeit von 90 Minuten in Sekunden umrechnen:

 \[ T = 90 \text{ Minuten} \times 60 \frac{ \text{Sekunden} }{\text{Minute}} = 5400 \text{ Sekunden} \] 

Setzen wir dies in die Formel für $\omega$ ein:

 \[ \omega = \frac{2\pi}{5400 \text{ s}} \approx 0,00116 \frac{ \text{rad} }{ \text{s} } \] 

• Lineare Geschwindigkeit ($v$):

Die lineare Geschwindigkeit $v$ eines Körpers in einer Kreisbahn lässt sich mit der Formel $v=\omega r$ berechnen.

Der Radius der Kreisbahn $r$ ist gegeben mit 7000 km (umgerechnet in Meter):

 \[ r = 7000 \text{ km} = 7000 \times 1000 \text{ m} = 7 \times 10^6 \text{ m} \] 

Setzen wir $\omega$ und $r$ in die Formel für die lineare Geschwindigkeit ein:

 \[ v = \omega r = 0,00116 \frac{ \text{rad} }{ \text{s} } \times 7 \times 10^6 \text{ m} = 8120 \frac{ \text{m} } { \text{s} } \] 

Ergebnisse:

• Die Winkelgeschwindigkeit des Satelliten beträgt etwa $0,00116\frac{\text{rad}}{\text{s}}$.
• Die lineare Geschwindigkeit des Satelliten beträgt etwa 8120 $\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

c)

Ein Teilchen bewegt sich in zwei Dimensionen entlang einer Bahn, die durch die Parametergleichungen $x(t)=3t^2$ und $y(t)=2t^3$ beschrieben wird. Bestimme die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren des Teilchens zum Zeitpunkt t = 2 Sekunden.

Lösung:

Kinematik von Objekten ohne Betrachtung der Kräfte:

• Weg: s
• Geschwindigkeit: v = $\frac{ds}{dt}$
• Beschleunigung: a = $\frac{dv}{dt}$
• Zeitabhängige Bewegung entlang einer Achse: s(t) = $s_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
• Einheitliche Kreisbewegung: $\omega =\frac{2\pi }{T}$, v = $\omega r$
• Vektoren in der Kinematik: $\mathbf{r}(t)$, $\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}$, $\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}(t)}{dt}$

Unteraufgabe:

Ein Teilchen bewegt sich in zwei Dimensionen entlang einer Bahn, die durch die Parametergleichungen $x(t)=3t^2$ und $y(t)=2t^3$ beschrieben wird. Bestimme die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren des Teilchens zum Zeitpunkt t = 2 Sekunden.

Lösung:

Um die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren zu bestimmen, müssen wir die ersten und zweiten Ableitungen der Parametergleichungen nach der Zeit berechnen.

1. Geschwindigkeit:

Der Geschwindigkeitsvektor $\mathbf{v}(t)$ ist die erste Ableitung der Positionsvektoren $x(t)$ und $y(t)$ nach der Zeit:

 \[ \mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} = \left\langle \frac{dx(t)}{dt}, \frac{dy(t)}{dt} \right\rangle \] 

Zuerst berechnen wir die Ableitungen:

• $\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d}{dt}(3t^2)=6t$
• $\frac{dy(t)}{dt}=\frac{d}{dt}(2t^3)=6t^2$

Setzen wir nun t = 2 Sekunden ein:

 \[ \mathbf{v}(2) = \left\langle 6 \cdot 2, 6 \cdot 2^2 \right\rangle = \left\langle 12, 24 \right\rangle \frac{m}{s} \] 

2. Beschleunigung:

Der Beschleunigungsvektor $\mathbf{a}(t)$ ist die erste Ableitung des Geschwindigkeitsvektors $\mathbf{v}(t)$ oder die zweite Ableitung des Positionsvektors $\mathbf{r}(t)$:

 \[ \mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} = \left\langle \frac{d^2 x(t)}{dt^2}, \frac{d^2 y(t)}{dt^2} \right\rangle \] 

Zuerst berechnen wir die zweiten Ableitungen:

• $\frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}=\frac{d}{dt}(6t)=6$
• $\frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}=\frac{d}{dt}(6t^2)=12t$

Setzen wir nun t = 2 Sekunden ein:

 \[ \mathbf{a}(2) = \left\langle 6, 12 \cdot 2 \right\rangle = \left\langle 6, 24 \right\rangle \frac{m}{s^2} \] 

Ergebnisse:

• Der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens zum Zeitpunkt t = 2 Sekunden ist $\mathbf{v}(2)=⟨12,24⟩\frac{m}{s}$.
• Der Beschleunigungsvektor des Teilchens zum Zeitpunkt t = 2 Sekunden ist $\mathbf{a}(2)=⟨6,24⟩\frac{m}{s^2}$.

Aufgabe 3)

Ein abgeschlossenes System wird von einem Zustand A in einen Zustand B überführt. Dabei verändert sich die innere Energie des Systems. Konstruiere eine Problemstellung zum 1. Hauptsatz der Thermodynamik, die diese Prozesse berücksichtigt.

• Mathematische Formulierung: $\mathrm{\Delta }U=Q-W$
• $\mathrm{\Delta }U$: Änderung der inneren Energie
• $Q$: zugeführte Wärme
• $W$: Arbeit, die vom System verrichtet wird

a)

1. Ein ideales Gas wird isotherm (bei konstanter Temperatur) von einem Anfangsvolumen $V_A$ auf ein Endvolumen $V_B$ expandiert. Die zugeführte Wärme beträgt 500 J. Berechne die verrichtete Arbeit $W$ und die Änderung der inneren Energie $\mathrm{\Delta }U$.

Lösung:

Problemstellung zum 1. Hauptsatz der Thermodynamik:Ein ideales Gas wird isotherm (bei konstanter Temperatur) von einem Anfangsvolumen V_A auf ein Endvolumen V_B expandiert. Die zugeführte Wärme beträgt 500 J.

• Mathematische Formulierung: $\mathrm{\Delta }U=Q-W$
• $\mathrm{\Delta }U$: Änderung der inneren Energie
• $Q$: zugeführte Wärme
• $W$: Arbeit, die vom System verrichtet wird

Subexerzitium: Ein ideales Gas wird isotherm (bei konstanter Temperatur) von einem Anfangsvolumen V_A auf ein Endvolumen V_B expandiert. Die zugeführte Wärme beträgt 500 J. Berechne die verrichtete Arbeit W und die Änderung der inneren Energie \Delta U.

• Da der Prozess isotherm ist, bleibt die Temperatur des idealen Gases konstant.
• Für einen isothermen Prozess eines idealen Gases ist die Änderung der inneren Energie (\Delta U) gleich null, weil die innere Energie eines idealen Gases nur von der Temperatur abhängt, nicht vom Volumen.

Formel: $\mathrm{\Delta }U=0$

• Gemäß dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik gilt: $\mathrm{\Delta }U=Q-W$
• Da \Delta U = 0, ergibt sich: $0=Q-W$
• Darum ist: $W=Q$
• In diesem Fall ist die zugeführte Wärme Q 500 J.
• Daraus folgt die verrichtete Arbeit: $W=500J$
• Die Änderung der inneren Energie bleibt null: $\mathrm{\Delta }U=0$

Ergebnisse:Die verrichtete Arbeit beträgt 500 J und die Änderung der inneren Energie beträgt 0 J.

b)

2. Dabei wird das Volumen verdoppelt. Nehmen wir an, dass die Anfangstemperatur $T$ des Gases 300 K beträgt und die Menge des Gases 1 mol ist. Berechne die zugeführte Wärme $Q$ unter Annahme eines idealen Gases. (Verwende die folgende Gleichung: $W=nRT\ln \frac{V_B}{V_A}$).

Lösung:

Problemstellung zum 1. Hauptsatz der Thermodynamik:Ein abgeschlossenes System wird von einem Zustand A in einen Zustand B überführt. Dabei verändert sich die innere Energie des Systems.

• Mathematische Formulierung: $\mathrm{\Delta }U=Q-W$
• $\mathrm{\Delta }U$: Änderung der inneren Energie
• $Q$: zugeführte Wärme
• $W$: Arbeit, die vom System verrichtet wird

Subexerzitium 2: Dabei wird das Volumen verdoppelt. Nehmen wir an, dass die Anfangstemperatur $T$ des Gases 300 K beträgt und die Menge des Gases 1 mol ist. Berechne die zugeführte Wärme $Q$ unter Annahme eines idealen Gases. (Verwende die folgende Gleichung: $W=nRT\ln \frac{V_B}{V_A}$).

• Gegeben: Anfangstemperatur $T=300$ K, Anzahl der Mol $n=1$, Anfangsvolumen $V_A$ und Endvolumen $V_B=2V_A$.
• Gesucht: Zugeführte Wärme $Q$.
• Verwende die Gleichung für die Arbeit $W$ bei isothermer Expansion:
• $W=nRT\ln \frac{V_B}{V_A}$

Da das Volumen verdoppelt wird:

$V_B=2V_A$

• Setze dies in die Gleichung ein:
• $W=1\cdot 8.314\cdot 300\cdot \ln \frac{2V_A}{V_A}$
• Vereinfachen:
• $W=1\cdot 8.314\cdot 300\cdot \ln 2$
• $W=8.314\cdot 300\cdot 0.693$
• $W\approx 1727.2\text{ J}$
• Die Arbeit $W$ beträgt daher ca. 1727.2 J.
• Da der Prozess isotherm ist, bleibt die innere Energie des Gases gleich, d.h., $\mathrm{\Delta }U=0$.
• Somit ergibt sich aus dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik:
• $\mathrm{\Delta }U=0=Q-W$
• $Q=W$
• Daher ist die zugeführte Wärme:
• $Q\approx 1727.2\text{ J}$

Ergebnisse:Die zugeführte Wärme beträgt ca. 1727.2 J.

c)

3. In einem weiteren Prozess wird dem System 800 J Wärme zugeführt, während es (das System) 300 J Arbeit verrichtet. Bestimme die Änderung der inneren Energie $\mathrm{\Delta }U$.

Lösung:

Problemstellung zum 1. Hauptsatz der Thermodynamik:Ein abgeschlossenes System wird von einem Zustand A in einen Zustand B überführt. Dabei verändert sich die innere Energie des Systems.

• Mathematische Formulierung: $\mathrm{\Delta }U=Q-W$
• $\mathrm{\Delta }U$: Änderung der inneren Energie
• $Q$: zugeführte Wärme
• $W$: Arbeit, die vom System verrichtet wird

Subexerzitium 3: In einem weiteren Prozess wird dem System 800 J Wärme zugeführt, während es (das System) 300 J Arbeit verrichtet. Bestimme die Änderung der inneren Energie $\mathrm{\Delta }U$.

• Gegeben:
• Die zugeführte Wärme $Q=800$ J
• Die verrichtete Arbeit $W=300$ J
• Gesucht:
• Die Änderung der inneren Energie $\mathrm{\Delta }U$

Gleichung gemäß dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik:

$\mathrm{\Delta }U=Q-W$

• Setze die gegebenen Werte ein:
• $\mathrm{\Delta }U=800-300$
• $\mathrm{\Delta }U=500$ J

Ergebnis:Die Änderung der inneren Energie beträgt 500 J.

d)

4. Diskutiere, was passieren würde, wenn die Arbeit $W$ negativ wäre, d.h. wenn Arbeit am System verrichtet wird. Wie würde das den 1. Hauptsatz der Thermodynamik beeinflussen? Formuliere eine allgemeine Schlussfolgerung bezugnehmend auf den 1. Hauptsatz der Thermodynamik.

Lösung:

Problemstellung zum 1. Hauptsatz der Thermodynamik:Ein abgeschlossenes System wird von einem Zustand A in einen Zustand B überführt. Dabei verändert sich die innere Energie des Systems.

• Mathematische Formulierung: $\mathrm{\Delta }U=Q-W$
• $\mathrm{\Delta }U$: Änderung der inneren Energie
• $Q$: zugeführte Wärme
• $W$: Arbeit, die vom System verrichtet wird

Subexerzitium 4: Diskutiere, was passieren würde, wenn die Arbeit $W$ negativ wäre, d.h. wenn Arbeit am System verrichtet wird. Wie würde das den 1. Hauptsatz der Thermodynamik beeinflussen? Formuliere eine allgemeine Schlussfolgerung bezugnehmend auf den 1. Hauptsatz der Thermodynamik.

• Wenn die Arbeit $W$ negativ ist, bedeutet dies, dass Arbeit am System verrichtet wird.
• Gemäß der mathematischen Formulierung des 1. Hauptsatzes:
• $\mathrm{\Delta }U=Q-W$
• Wenn $W$ negativ ist, wird die Gleichung zu:
• $\mathrm{\Delta }U=Q-(-W)$, was gleichbedeutend ist mit $\mathrm{\Delta }U=Q+W$
• Dies bedeutet, dass die innere Energie $\mathrm{\Delta }U$ sowohl durch die zugeführte Wärme $Q$ als auch durch die am System verrichtete Arbeit $W$ erhöht wird.

Schlussfolgerung:Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Änderung der inneren Energie eines Systems gleich der zugeführten Wärme abzüglich der vom System verrichteten Arbeit ist. Wenn Arbeit am System verrichtet wird (d.h. $W$ ist negativ), erhöht sich die innere Energie des Systems durch die zugeführte Wärme $Q$ und die zusätzliche Arbeit $W$, die am System verrichtet wird. Dies verdeutlicht, dass Energie in verschiedenen Formen (Wärme und Arbeit) auf das System übertragen werden kann und beide dazu beitragen, die innere Energie des Systems zu verändern.

Aufgabe 4)

In einem Doppelspaltexperiment treffen monochromatische Lichtwellen der Wellenlänge $\lambda =550\text{nm}$ auf zwei Spalte, die einen Abstand von $d=0,1\text{mm}$ haben. Die Lichtwellen erzeugen auf einem Schirm, der sich in einer Entfernung von $D=2\text{m}$ vom Doppelspalt befindet, ein Interferenzmuster.

a)

Bestimme die Positionen der ersten drei hellen Maxima auf dem Schirm. Nutze dazu den bekannten Zusammenhang für konstruktive Interferenz $\delta l=m\lambda$, wobei $m$ eine ganze Zahl ist. Bestimme die allgemeinen Formeln und wende sie auf die gegebenen Parameter an.

Lösung:

• Schritt 1: Zusammenhang für konstruktive InterferenzFür konstruktive Interferenz gilt der Zusammenhang $\delta l=m\lambda$, wobei $\delta l$ der Gangunterschied, $\lambda$ die Wellenlänge und $m$ eine ganze Zahl (Interferenzordnung) ist.
• Schritt 2: Zusammenhang zwischen Gangunterschied und Position auf dem BildschirmDer Gangunterschied $\delta l$ ist ebenfalls durch den Abstand der beiden Spalte $d$ und dem Winkel $\theta$ zur zentralen Achse des Interferenzmusters gegeben: $\delta l=d\sin (\theta )$. Für kleine Winkel kann der Tangens approximativ gleich dem Sinus gesetzt werden: $\sin (\theta )\approx \tan (\theta )$. Da $\tan (\theta )=\frac{y}{D}$, ergibt sich die Beziehung:
• $$\begin{array}{}\text{(1)}& d\sin (\theta )\approx d\tan (\theta )=d\frac{y}{D}\end{array}$$
• Setzt man dies in die Gleichung $\delta l=m\lambda$ ein, ergibt sich:
• $$\begin{array}{}\text{(2)}& d\frac{y}{D}=m\lambda \end{array}$$
• Um die Position $y$ auf dem Schirm zu berechnen, lösen wir nach $y$ auf:
• $$y=\frac{m\lambda D}{d}$$
• Schritt 3: Anwenden auf die gegebenen ParameterSetze $\lambda =550$ nm = $550\times {10}^{-9}$ m, $d=0,1$ mm = $0,1\times {10}^{-3}$ m und $D=2$ m in die Gleichung ein:
• Für das erste Maximum $(m=1)$:$$y_1=\frac{1\times 550\times {10}^{-9}\times 2}{0,1\times {10}^{-3}}=0,011=11\text{mm}$$
• Für das zweite Maximum $(m=2)$:$$y_2=\frac{2\times 550\times {10}^{-9}\times 2}{0,1\times {10}^{-3}}=0,022=22\text{mm}$$
• Für das dritte Maximum $(m=3)$:$$y_3=\frac{3\times 550\times {10}^{-9}\times 2}{0,1\times {10}^{-3}}=0,033=33\text{mm}$$
• Somit befinden sich die ersten drei hellen Maxima auf dem Schirm bei 11 mm, 22 mm und 33 mm von der zentralen Achse entfernt.

b)

Berechne die Intensität an einem Punkt auf dem Schirm, der sich genau in der Mitte zwischen dem ersten und zweiten dunklen Streifen befindet. Gehe davon aus, dass die Intensität an einem Maximum $I_0$ beträgt. Nutze dazu das Intensitätsverhältnis für Interferenzmuster $I=I_0{\cos }^2\left(\frac{\beta }{2}\right)$, wobei $\beta$ der Phasendifferenz am gewählten Punkt entspricht.

Lösung:

• Schritt 1: Dunkle Streifen und GangunterschiedDie dunklen Streifen werden durch destruktive Interferenz bei $\delta l=(m+1/2)\lambda$ gebildet. Setzen wir $m=1$ und $m=2$ ein:
• Für den ersten dunklen Streifen (m=1):$\delta l_1=(1+1/2)\lambda =\frac{3}{2}\lambda$
• Für den zweiten dunklen Streifen (m=2):$\delta l_2=(2+1/2)\lambda =\frac{5}{2}\lambda$
• Schritt 2: Bestimmung des Gangunterschiedes in der MitteDer Punkt in der Mitte zwischen dem ersten und zweiten dunklen Streifen hat einen Gangunterschied, der das arithmetische Mittel der Gangunterschiede dieser beiden Punkte ist:
• Mittlerer Gangunterschied:$\delta l_{Mitte}=\frac{\delta l_1+\delta l_2}{2}=\frac{\frac{3}{2}\lambda +\frac{5}{2}\lambda }{2}=\frac{8}{4}\lambda =2\lambda$
• Schritt 3: Phasendifferenz berechnenDie Phasendifferenz $\beta$ an diesem Punkt ist:
• $\beta =\frac{2\pi \delta l_{Mitte}}{\lambda }=\frac{2\pi \times 2\lambda }{\lambda }=4\pi$
• Schritt 4: Intensität berechnenDie Intensität am gewählten Punkt berechnet sich nach der Formel:
• $I=I_0{\cos }^2\left(\frac{\beta }{2}\right)=I_0{\cos }^2\left(\frac{4\pi }{2}\right)=I_0{\cos }^2(2\pi )$
• Da \( \cos(2 \pi) = 1\, ergibt sich:
• $I=I_0{\cos }^2(2\pi )=I_0\times 1^2=I_0$
• Die Intensität an einem Punkt auf dem Schirm, der sich genau in der Mitte zwischen dem ersten und zweiten dunklen Streifen befindet, beträgt also $I_0$, also die gleiche wie am Maximum.