Mathematische Methoden der Chemie 2 - Cheatsheet.pdf

Vektoren und Vektoroperationen

Definition:

Grundlage der linearen Algebra und unverzichtbar für physikalische und chemische Berechnungen.

Details:

• Vektoren: Geordnete Listen von Zahlen, z.B. $$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1{v}_2{v}_3\end{array}\right)$$.
• Summen und Differenzen: Addiere/Subtrahiere komponentenweise, z.B. $$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{u}_1+v_1{u}_2+v_2{u}_3+v_3\end{array}\right)$$.
• Skalare Multiplikation: Multipliziere jede Komponente, z.B. $$a\cdot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}a\cdot v_{1}a\cdot v_{2}a\cdot v_3\end{array}\right)$$.
• Skalarprodukt: Ergebnis ist ein Skalar, z.B. $$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3$$.
• Kreuzprodukt: Ergebnis ist ein Vektor, z.B. $$\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{u}_2{v}_3-u_3{v}_2{u}_3{v}_1-u_1{v}_3{u}_1{v}_2-u_2{v}_1\end{array}\right)$$.
• Norm: Länge des Vektors, z.B. $$||\overrightarrow{v}||=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$$.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition:

Eigenwerte und Eigenvektoren sind fundamentale Konzepte der linearen Algebra, die in der Quantenmechanik und anderen Bereichen der Chemie eine wichtige Rolle spielen.

Details:

• Eigenwertgleichung: $A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$
• Matrix A: quadratische Matrix
• Eigenwert ($\lambda$): Skalar, für den die Matrixgleichung $A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$ eine Lösung besitzt
• Eigenvektor ($\mathbf{v}$): Nicht-Null-Vektor, der durch die Matrix $A$ nur um den Skalar $\lambda$ gestreckt wird
• Eigenwertbestimmung: durch Lösen des charakteristischen Polynoms $det(A-\lambda I)=0$
• Eigenvektorbestimmung: durch Einsetzen der Eigenwerte in $(A-\lambda I)\mathbf{v}=0$

Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen

Definition:

Verfahren zur Bestimmung der Lösungen von Differentialgleichungen in der Chemie.

Details:

• Trennung der Variablen: Lösung durch Trennen und Integrieren der Variablen.
• Ansatzverfahren: Lösen durch Annahmen über die Form der Lösung.
• Partikuläre und homogene Lösung: Lösung der homogenen und inhomogenen Gleichung getrennt.
• Laplace-Transformation: Methode zur Linearisierung und Lösung durch Transformation in den Laplace-Raum.
• Fourier-Transformation: Zerlegung der Funktion in Frequenzkomponenten zur Lösung.
• Numerische Methoden: Einsatz von Algorithmen (z.B. Runge-Kutta) zur näherungsweisen Lösung.

Numerische Integration und Differentiation

Definition:

Numerische Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Integralen und Ableitungen.

Details:

• Trapezregel: ${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))$
• Simpsonregel: ${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{6}(f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b))$
• Mittelpunktsregel: ${\int }_a^{b}f(x)dx\approx (b-a)f(\frac{a+b}{2})$
• Vorwärtsdifferenz: $f^{\prime }(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
• Rückwärtsdifferenz: $f^{\prime }(x)\approx \frac{f(x)-f(x-h)}{h}$
• Zentraldifferenz: $f^{\prime }(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$

Finite-Differenzen-Methode

Definition:

Numerisches Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen mittels Diskretisierung.

Details:

• Ersetzt Ableitungen durch Differenzenquotienten.
• Diskretisierungsraster mit Schrittweite $h$.
• Zentrale Differenzenformel für die 1. Ableitung: $f^{\prime }(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$.
• Zweite Ableitung: $f^{″}(x)\approx \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$.
• Wichtige Anwendung in der Quantenchemie und Molekulardynamik.

Monte-Carlo-Simulationen

Definition:

Stochastische Methode zur Lösung mathematischer Probleme durch zufällige Probenauswahl. Angewendet zur Simulation von molekularen Prozessen.

Details:

• Berechnung von Integralen: $$I\approx \frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}f(x_i)$$
• Verwendung von Zufallszahlen zur Simulation.
• Anwendung in der statistischen Physik und Chemie.
• Energie-Minimierung von Molekülen.
• Statistische Konvergenz von Ergebnissen notwendig.
• Vergleich mit anderen stochastischen Methoden (z.B. Metropolis-Hastings-Algorithmus).

Thermodynamische Berechnungen

Definition:

Berechnung thermodynamischer Zustandsgrößen und Zustandsänderungen in chemischen Systemen basierend auf den Hauptsätzen der Thermodynamik.

Details:

• Erste Hauptsatz: Energieerhaltung $$\mathrm{△}U=Q-W$$
• Zweite Hauptsatz: Entropie nimmt zu $$\mathrm{△}S\ge 0$$
• Freie Enthalpie (Gibbs-Energie) $$\mathrm{△}G=\mathrm{△}H-T\mathrm{△}S$$
• Freie Energie (Helmholtz-Energie) $$\mathrm{△}A=\mathrm{△}U-T\mathrm{△}S$$
• Berechnung von Gleichgewichtskonstanten $$\mathrm{△}G=-RT\text{ln}K$$
• Phasenübergänge: Clapeyron-Gleichung $$\frac{dP}{dT}=\frac{\mathrm{△}S}{\mathrm{△}V}$$

Kinetische Modelle in der Chemie

Definition:

Modelle zur Beschreibung der Geschwindigkeiten chemischer Reaktionen

Details:

• Die Reaktionsgeschwindigkeit kommt durch die Änderung der Konzentration der Reaktanten/Produkte pro Zeiteinheit zum Ausdruck
• Zerfalls- oder Bildungsrate: $\frac{d[A]}{dt}$
• Arrhenius-Gleichung: $k=A{e}^{-\frac{E_a}{RT}}$
• Reaktionsordnungen: nullter, erster und zweiter Ordnung
• Geschwindigkeitskonstante k: abhängig von Temperatur, Druck, Katalysatoren
• Michaelis-Menten-Kinetik für enzymatische Reaktionen
• Stoßtheorie und Übergangszustandstheorie als Modelle zur Beschreibung der Reaktionsmechanismen