Mathematische Methoden der Chemie 2 - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Betrachte die folgenden Vektoren:

• \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \ 4 \ 1 \end{pmatrix} \)
• \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 5 \end{pmatrix} \)

a)

Berechne die Summe und die Differenz von \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \).

Lösung:

Um die Summe und die Differenz der Vektoren \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \ 4 \ 1 \end{pmatrix} \) und \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 5 \end{pmatrix} \) zu berechnen, folgen wir diesen Schritten:

• Summe der Vektoren:Die Summe zweier Vektoren wird komponentenweise berechnet: \[ \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \ 4 \ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 2 \ 4 + -1 \ 1 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ 3 \ 6 \end{pmatrix} \]

• Differenz der Vektoren:Die Differenz zweier Vektoren wird ebenfalls komponentenweise berechnet: \[ \vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \ 4 \ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 2 \ 4 - (-1) \ 1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 5 \ -4 \end{pmatrix} \]

b)

Bestimme die skalar multiplizierten Vektoren \( 2 \cdot \vec{u} \) und \( 0.5 \cdot \vec{v} \).

Lösung:

Um die skalar multiplizierten Vektoren \( 2 \cdot \vec{u} \) und \( 0.5 \cdot \vec{v} \) zu bestimmen, multiplizieren wir jeden Eintrag des Vektors mit dem jeweiligen Skalar:

• Skalarmultiplikation von \( 2 \cdot \vec{u} \):\( \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \ 4 \ 1 \end{pmatrix} \)\[ 2 \cdot \vec{u} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \ 4 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 \ 2 \cdot 4 \ 2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \ 8 \ 2 \end{pmatrix} \]

• Skalarmultiplikation von \( 0.5 \cdot \vec{v} \):\( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 5 \end{pmatrix} \)\[ 0.5 \cdot \vec{v} = 0.5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \cdot 2 \ 0.5 \cdot (-1) \ 0.5 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ -0.5 \ 2.5 \end{pmatrix} \]

c)

Berechne das Skalarprodukt \( \vec{u} \cdot \vec{v} \).

Lösung:

Um das Skalarprodukt \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) zu berechnen, multiplizieren wir die entsprechenden Komponenten der Vektoren und summieren die Ergebnisse:

• \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \ 4 \ 1 \end{pmatrix} \)
• \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 5 \end{pmatrix} \)

Das Skalarprodukt ist definiert als:

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \ 4 \ 1 \end{pmatrix} \boldsymbol{\bullet} \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 5 \end{pmatrix} = (3 \cdot 2) + (4 \cdot (-1)) + (1 \cdot 5) \]

Berechnen wir nun die einzelnen Terme:

• \( 3 \cdot 2 = 6 \)
• \( 4 \cdot (-1) = -4 \)
• \( 1 \cdot 5 = 5 \)

Summieren wir nun diese Ergebnisse:

\[ 6 + (-4) + 5 = 6 - 4 + 5 = 7 \]

Also ist das Skalarprodukt \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 7 \).

d)

Ermittle das Kreuzprodukt \( \vec{u} \times \vec{v} \).

Lösung:

Um das Kreuzprodukt \( \vec{u} \times \vec{v} \) zu berechnen, verwenden wir die Determinante einer 3x3-Matrix. Die Vektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) sind wie folgt gegeben:

• \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \ 4 \ 1 \end{pmatrix} \)
• \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 5 \end{pmatrix} \)

Das Kreuzprodukt \( \vec{u} \times \vec{v} \) wird durch die folgende Determinantenformel berechnet:

\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 3 & 4 & 1 \ 2 & -1 & 5 \end{vmatrix} \]

Dies ergibt uns:

\[ \vec{u} \times \vec{v} = \mathbf{i}(4 \cdot 5 - 1 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(3 \cdot 5 - 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(3 \cdot (-1) - 4 \cdot 2) \]

Berechnen wir nun die Terme:

• Für den \( \mathbf{i} \)-Term: \( 4 \cdot 5 - 1 \cdot (-1) = 20 + 1 = 21 \)
• Für den \( \mathbf{j} \)-Term: \( 3 \cdot 5 - 1 \cdot 2 = 15 - 2 = 13 \)
• Für den \( \mathbf{k} \)-Term: \( 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 2 = -3 - 8 = -11 \)

Das ergibt uns:

\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 21 \ -13 \ -11 \end{pmatrix} \]

Also ist das Kreuzprodukt \( \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 21 \ -13 \ -11 \end{pmatrix} \).

Aufgabe 3)

Betrachte die Differentialgleichung erster Ordnung, die chemische Reaktionen beschreibt: \[ \frac{dC(t)}{dt} = -kC(t) \]Hierbei ist \( C(t) \) die Konzentration eines Reaktanten zum Zeitpunkt \( t \) und \( k \) eine positive Konstante, die die Reaktionsrate beschreibt. Unten folgen vier Teilaufgaben, bei denen verschiedene Methoden zur Lösung dieser Differentialgleichung angewendet werden sollen.

a)

• Führe die Methode der Trennung der Variablen durch, um die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung zu finden.
• Gehe dabei Schritt für Schritt vor und erkläre jeden einzelnen Schritt.

Lösung:

• Um die Differentialgleichung \( \frac{dC(t)}{dt} = -kC(t) \) mithilfe der Methode der Trennung der Variablen zu lösen, befolge diese Schritte:

1. Schreibe die gegebene Differentialgleichung auf: \[ \frac{dC(t)}{dt} = -kC(t) \]
2. Trenne die Variablen, indem du beide Seiten durch \(C(t)\) teilst und mit \(dt\) multiplizierst: \[ \frac{1}{C(t)} dC(t) = -k dt \]
3. Integriere beide Seiten der Gleichung: \[ \int \frac{1}{C(t)} dC(t) = \int -k dt \]
4. Berechne die Integrale: Auf der linken Seite erhalten wir: \[ \int \frac{1}{C(t)} dC(t) = \ln |C(t)| \] Auf der rechten Seite erhalten wir: \[ \int -k dt = -kt + C_1 \] Wobei \(C_1\) die Integrationskonstante ist.
5. Führe beide Ergebnisse zusammen: \[ \ln |C(t)| = -kt + C_1 \]
6. Exponentiere beide Seiten, um die Lösung für \(C(t)\) zu erhalten: \[ e^{\ln |C(t)|} = e^{-kt + C_1} \] Da \(e^{\ln |C(t)|} = |C(t)|\) und \(e^{C_1}\) eine Konstante ist, nennen wir diese Konstante \(C_2\): \[ |C(t)| = C_2 e^{-kt} \]
7. Da \(C(t)\) positiv ist, können wir die Betragsstriche weglassen und erhalten: \[ C(t) = C_2 e^{-kt} \] Dies ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

b)

• Überprüfe die gefundenen Lösungen, indem Du sie in die ursprüngliche Differentialgleichung einsetzt. Zeige die Details Deiner Berechnungen.

Lösung:

• Um die gefundene Lösung der Differentialgleichung zu überprüfen, setzen wir die allgemeine Lösung, die wir gefunden haben, in die ursprüngliche Differentialgleichung ein:

1. Die allgemeine Lösung war: \[ C(t) = C_2 e^{-kt} \]
2. Wir müssen diese Lösung in die ursprüngliche Differentialgleichung \( \frac{dC(t)}{dt} = -kC(t) \) einsetzen.
3. Zuerst berechnen wir die Ableitung von \( C(t) \): \[ C(t) = C_2 e^{-kt} \] Die Ableitung von \( C(t) \) ist: \[ \frac{dC(t)}{dt} = -kC_2 e^{-kt} \]
4. Nun setzen wir \( \frac{dC(t)}{dt} \) in die ursprüngliche Differentialgleichung ein: \[ \frac{dC(t)}{dt} = -kC(t) \]
5. Dies ergibt: \[ -kC_2 e^{-kt} = -kC_2 e^{-kt} \]
6. Da beide Seiten der Gleichung gleich sind, bestätigen wir, dass die allgemeine Lösung \( C(t) = C_2 e^{-kt} \) korrekt ist.

• Die Details der Berechnung haben gezeigt, dass die Lösung \( C(t) = C_2 e^{-kt} \) die ursprüngliche Differentialgleichung erfüllt. Somit ist unsere gefundene Lösung verifiziert.

c)

• Verwende die Laplace-Transformation, um die Lösung der Differentialgleichung zu bestimmen. Zeige alle notwendigen Transformationen und Inversionen detailliert.
• Vergleiche das Ergebnis mit der Lösung, die durch die Methode der Trennung der Variablen gefunden wurde.

Lösung:

• Um die Differentialgleichung \( \frac{dC(t)}{dt} = -kC(t) \) mithilfe der Laplace-Transformation zu lösen, befolge diese Schritte:

1. Erinnere Dich an die Laplace-Transformation der Funktion \( C(t) \). Sei \( L \) der Laplace-Operator, dann:

• Die Laplace-Transformation von \( C(t) \) ist \( L[C(t)] = \tilde{C}(s) \).
• Die Laplace-Transformation der Ableitung \( \frac{dC(t)}{dt} \) ist \( L\left[\frac{dC(t)}{dt}\right] = s \tilde{C}(s) - C(0) \), wobei \( C(0) \) der Anfangswert von \( C(t) \) ist.

1. Setze diese Transformationen in die ursprüngliche Differentialgleichung ein:

• \[ L\left[\frac{dC(t)}{dt}\right] = L[-kC(t)] \]
• Dies ergibt:

• \[ s \tilde{C}(s) - C(0) = -k \tilde{C}(s) \]

1. Löse nach \( \tilde{C}(s) \) auf:

• \[ s \tilde{C}(s) + k \tilde{C}(s) = C(0) \]
• \[ \tilde{C}(s)(s + k) = C(0) \]
• \[ \tilde{C}(s) = \frac{C(0)}{s + k} \]

1. Nun muss die Inverse der Laplace-Transformation angewendet werden, um zu \( C(t) \) zurückzukehren:

• Die Inverse der Laplace-Transformation von \( \frac{C(0)}{s + k} \) ist bekannt: \[ L^{-1} \left[ \frac{C(0)}{s + k} \right] = C(0) e^{-kt} \]

1. Damit haben wir die Lösung der Differentialgleichung:

• \[ C(t) = C(0) e^{-kt} \]

1. Vergleiche das Ergebnis mit der Lösung, die durch die Methode der Trennung der Variablen gefunden wurde:

• Die Methode der Trennung der Variablen ergab die Funktion:
• \[ C(t) = C_2 e^{-kt} \]
• Da beide Lösungen die gleiche Form haben und \( C_2 \) nur eine andere Darstellung des Anfangswerts \( C(0) \) ist, stimmen beide Methoden überein.

d)

• Angenommen, zu Beginn der Reaktion (zum Zeitpunkt \( t = 0 \)) ist die Konzentration \( C_0 = 1 \). Bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung unter Verwendung der Anfangsbedingungen.
• Diskutiere, warum die Kenntnis der Anfangsbedingungen wichtig ist und wie sie die Lösung beeinflusst.

Lösung:

• Angenommen, zu Beginn der Reaktion (zum Zeitpunkt \( t = 0 \)) ist die Konzentration \( C_0 = 1 \). Bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung unter Verwendung der Anfangsbedingungen:

1. Zuerst erinnern wir uns an die allgemeine Lösung der Differentialgleichung, die wir zuvor gefunden haben: \[ C(t) = C_2 e^{-kt} \]
2. Wir verwenden die Anfangsbedingung \( C(0) = 1 \), um den Wert der Konstanten \( C_2 \) zu bestimmen: \[ C(0) = C_2 e^{-k \times 0} \] Dies vereinfacht sich zu: \[ C_2 = 1 \] Also ist die partikuläre Lösung: \[ C(t) = e^{-kt} \]

• Diskutiere, warum die Kenntnis der Anfangsbedingungen wichtig ist und wie sie die Lösung beeinflusst:

1. Die Kenntnis der Anfangsbedingungen ist entscheidend, um eine eindeutige Lösung für eine Differentialgleichung zu bestimmen. Ohne Anfangsbedingungen haben wir nur die allgemeine Lösung, die eine unbegrenzte Anzahl von Lösungen umfasst, die durch unterschiedliche Werte der Integrationskonstanten repräsentiert werden.
2. Die Anfangsbedingung legt fest, welchen spezifischen Verlauf die Lösung nimmt. In diesem Fall legt die Bedingung \( C(0) = 1 \) fest, dass die Konzentration des Reaktanten zu Beginn der Reaktion 1 ist.
3. Dies bedeutet, dass die Lösung sich an die tatsächlichen physikalischen Bedingungen der Reaktion anpasst, was sie für praktische Anwendungen und Prognosen nützlich macht. Sie hilft uns dabei, präzise Vorhersagen über den zeitlichen Verlauf der Reaktion zu treffen.

Aufgabe 4)

Angenommen wir haben die Funktion:

• f(x) = x^3 - 4x + 2

b)

Berechne die Ableitung von f(x) bei x = 2 mit Hilfe der Vorwärtsdifferenz, Rückwärtsdifferenz und Zentraldifferenz Methoden. Nutze h = 0.1. Vergleiche die Ergebnisse mit der genauen analytischen Ableitung und diskutiere mögliche Gründe für Abweichungen.

Lösung:

Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 4x + 2 bei x = 2

In diesem Abschnitt berechnen wir die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 4x + 2 bei x = 2 mit den numerischen Methoden der Vorwärtsdifferenz, Rückwärtsdifferenz und Zentraldifferenz. Wir verwenden dabei h = 0.1. Anschließend vergleichen wir die Ergebnisse mit der genauen analytischen Ableitung und diskutieren mögliche Gründe für Abweichungen.

Analytische Ableitung

Die analytische Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 4x + 2 ist gegeben durch:

\[f'(x) = 3x^2 - 4\]

Bei x = 2:

\[f'(2) = 3(2)^2 - 4 = 12 - 4 = 8\]

Numerische Methoden

Vorwärtsdifferenz

Die Vorwärtsdifferenzformel lautet:

\[f'(x) \approx \frac{{f(x+h) - f(x)}}{{h}}\]

Für x = 2 und h = 0.1:

\[f'(2) \approx \frac{{f(2.1) - f(2)}}{{0.1}}\]

Die Werte der Funktion sind:

• \(f(2.1) = (2.1)^3 - 4(2.1) + 2 = 2.441\)
• \(f(2) = (2)^3 - 4(2) + 2 = -2\)

Setze diese Werte in die Formel ein:

\[f'(2) \approx \frac{{2.441 - (-2)}}{{0.1}} = \frac{{2.441 + 2}}{{0.1}} = 44.41 \]

Rückwärtsdifferenz

Die Rückwärtsdifferenzformel lautet:

\[f'(x) \approx \frac{{f(x) - f(x-h)}}{{h}}\]

Für x = 2 und h = 0.1:

\[f'(2) \approx \frac{{f(2) - f(1.9)}}{{0.1}}\]

Die Werte der Funktion sind:

• \(f(2) = -2\)
• \(f(1.9) = (1.9)^3 - 4(1.9) + 2 = -1.679\)

Setze diese Werte in die Formel ein:

\[f'(2) \approx \frac{{-2 - (-1.679)}}{{0.1}} = \frac{{-2 + 1.679}}{{0.1}} = -3.21 \]

Zentraldifferenz

Die Zentraldifferenzformel lautet:

\[f'(x) \approx \frac{{f(x+h) - f(x-h)}}{{2h}}\]

Für x = 2 und h = 0.1:

\[f'(2) \approx \frac{{f(2.1) - f(1.9)}}{{0.2}}\]

Die Werte der Funktion sind:

• \(f(2.1) = 2.441\)
• \(f(1.9) = -1.679\)

Setze diese Werte in die Formel ein:

\[f'(2) \approx \frac{{2.441 - (-1.679)}}{{0.2}} = \frac{{2.441 + 1.679}}{{0.2}} = 20.6\]

Vergleich und Diskussion

Vergleichen wir die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Ableitung:

• Analytische Ableitung: 8
• Vorwärtsdifferenz: 44.41
• Rückwärtsdifferenz: -3.21
• Zentraldifferenz: 20.6

Die numerischen Methoden weichen deutlich von der analytischen Ableitung ab. Gründe für die Abweichungen könnten sein:

• Rundungsfehler: Numerische Methoden können anfällig für Rundungsfehler sein, besonders bei kleinen Werten von h.
• Asymmetrie der Methoden: Die Vorwärts- und Rückwärtsdifferenzmethoden berücksichtigen nur eine Seite der Punktes.
• Zentraldifferenzformel: Diese liefert oft genauere Ergebnisse, da sie einen symmetrischen Durchschnitt verwendet, doch auch hier sehen wir noch eine deutliche Abweichung.

Die Verwendung eines kleineren h oder höherer Ordnung der Differenzen könnte die Genauigkeit verbessern.