Molekulare Struktur und Statistische Mechanik - Cheatsheet.pdf

Van-der-Waals-Kräfte und ihre Bedeutung

Definition:

Van-der-Waals-Kräfte: Schwache intermolekulare Wechselwirkungen zwischen Atomen/Molekülen.

Details:

• Arten: Dispersionskräfte, Dipol-Dipol-Kräfte, induzierte Dipolkräfte
• Dispersionskraft: Ergebnis von temporären Dipolen durch Elektronenbewegung
• Dipol-Dipol-Kräfte: Zwischen Molekülen mit permanenten Dipolen
• Induzierte Dipolkräfte: Induktion eines Dipols in einem unpolaren Molekül durch ein benachbartes polares Molekül
• Formel für Dispersionskräfte (London-Kräfte): \[ V_{ij} = - \frac{C}{r^6} \]
• Bedeutung: Stabilisierung der Molekülstruktur, Einfluss auf Stoffeigenschaften wie Siedepunkt, Viskosität

Boltzmann-Verteilung und kanonisches Ensemble

Definition:

Boltzmann-Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein System in einem bestimmten Energiezustand befindet. Im kanonischen Ensemble ist diese Wahrscheinlichkeit proportional zum Boltzmann-Faktor \(e^{-\beta E_i}\).

Details:

• Kanonisches Ensemble: System bei konstanter Temperatur \(T\), Volume \(V\) und Teilchenzahl \(N\).
• Zustandssumme: \(Z = \sum_i e^{-\beta E_i}\), mit \(\beta = \frac{1}{k_B T}\)
• Wahrscheinlichkeit eines Zustands i: \(P_i = \frac{e^{-\beta E_i}}{Z}\)
• Freie Energie: \(F = -k_B T \, \ln Z\)

Schrödinger-Gleichung und Anwendungen

Definition:

Mathematische Beschreibung quantenmechanischer Systeme

Details:

• Zentrale Gleichung der Quantenmechanik: \[ \text{i} \frac{\text{d}}{\text{dt}} |\text{ψ}(t)⟩ = Ĥ |\text{ψ}(t)⟩ \]
• Stationäre Schrödinger-Gleichung: \[ Ĥ |\text{ψ}(E)⟩ = E |\text{ψ}(E)⟩ \]
• Operator Ĥ ist der Hamiltonoperator
• Wichtige Anwendungen:
  • Molekülstruktur
  • Reaktionsdynamik
  • Spektroskopie
• Berechnung von Wellenfunktionen und Energieniveaus

Enthalpie, Entropie und freie Energie

Definition:

Thermodynamische Variablen, die zustands- und prozessabhängige Eigenschaften von chemischen Systemen beschreiben.

Details:

• Enthalpie (H): Wärmeinhalt eines Systems, definiert als
  • \[ H = U + pV \]
• Entropie (S): Maß für die Unordnung eines Systems. Ändert sich bei irreversiblen Prozessen.
  • \[ \text{d}S \rightarrow \frac{\text{d}Q_{rev}}{T} \]
• Freie Energie: Verfügbar für Arbeit bei konstanter Temperatur und Druck.
  • Gibbs freie Energie (G) \[ G = H - TS \]
  • Helmholtz freie Energie (A) \[ A = U - TS \]
• Beziehung:
  • \[ \text{d}G = \text{d}H - T\text{d}S \]

Partitionfunktion und thermodynamische Größen

Definition:

Verknüpfung zwischen mikroskopischen Zuständen eines Systems und seinen makroskopischen Eigenschaften.

Details:

• Kanonsiche Partitionfunktion: \[ Z = \sum_{i} e^{-\beta E_i} \]
• Beziehung zur freien Energie: \[ F = -k_B T \ln Z \]
• Innere Energie: \[ U = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta} \]
• Gibbs-Entropie: \[ S = k_B\left(U- F\right)/T \]
• Wärmekapazität: \[ C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V \]
• Druck aus der Zustandssumme: \[ P = k_B T \left(\frac{\partial \ln Z}{\partial V}\right)_T \]

Spektroskopische Methoden zur Untersuchung von Molekülen

Definition:

Methoden, die elektromagnetische Strahlung nutzen, um molekulare Eigenschaften und Strukturen zu analysieren.

Details:

• IR-Spektroskopie: Schwingungszustände, Molekülidentifikation
• Raman-Spektroskopie: Schwingungs- und Rotationszustände
• UV/Vis-Spektroskopie: Elektronische Übergänge
• NMR-Spektroskopie: Kernspin-Zustände, Molekülstruktur
• Massenspektrometrie: Molekülmasse und -fragmente

Thermodynamische Zyklen und Prozesse

Definition:

Thermodynamische Zyklen untersuchen geschlossene Prozesse, bei denen ein System durch eine Serie von Zustandsänderungen geht und am Ende in seinen Ausgangszustand zurückkehrt. Beispiel: Carnot-Kreisprozess.

Details:

• Grundgleichungen: Erster Hauptsatz (\[\Delta U = Q - W \]), Zweiter Hauptsatz (\(\Delta S \geq 0 \))
• Veränderliche Zustandsgrößen: Druck (\(P\)), Volumen (\(V\)), Temperatur (\(T\))
• Beispiele: isotherm, adiabatisch, isobar, isochor
• Wichtige Zyklen: Carnot-Zyklus, Otto-Zyklus, Diesel-Zyklus
• Wirkungsgrad (\(\eta\) ) = \(\frac{\text{Nettoarbeit}}{\text{zugeführte Wärme}} \)

Hydrophobe Effekte in biologischen Molekülen

Definition:

Interaktionen zwischen unpolaren Molekülen in wässriger Umgebung, die aggregieren, um den Kontakt mit Wasser zu minimieren.

Details:

• Verursacht durch Entropiegewinn beim Ausschluss von Wasser.
• Wichtige Rolle bei der Faltung von Proteinen und der Bildung von Zellmembranen.
• Hydrophobe Wechselwirkungen sind nicht kovalente Interaktionen.
• Fördert die Stabilität und Funktionalität biologischer Strukturen.