Molekulare Struktur und Statistische Mechanik - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Van-der-Waals-Kräfte und ihre BedeutungVan-der-Waals-Kräfte sind schwache intermolekulare Wechselwirkungen zwischen Atomen und Molekülen. Es gibt verschiedene Arten dieser Kräfte:

• Dispersionskräfte: Diese Kräfte resultieren aus temporären Dipolen, die durch die Bewegung der Elektronen entstehen.
• Dipol-Dipol-Kräfte: Diese Kräfte wirken zwischen Molekülen mit permanenten Dipolen.
• Induzierte Dipolkräfte: Diese Kräfte entstehen, wenn ein polares Molekül einen Dipol in einem benachbarten unpolaren Molekül induziert.

• \[ V_{ij} = - \frac{C}{r^6} \]

a)

Erkläre ausführlich, warum Dispersionskräfte (London-Kräfte) mit der Formel \( V_{ij} = - \frac{C}{r^6} \) beschrieben werden. Welche physikalische Bedeutung haben die Variablen C und r in dieser Formel?

Lösung:

Erklärung der Dispersionskräfte (London-Kräfte) und deren Formel

Dispersionskräfte oder London-Kräfte

Dispersionskräfte, auch bekannt als London-Kräfte, sind eine Form der Van-der-Waals-Kräfte, die durch temporäre Fluktuationen in der Elektronendichte innerhalb von Atomen oder Molekülen entstehen. Diese temporären Dipole verursachen eine anziehende Kraft zwischen den Molekülen, selbst wenn diese keine permanenten Dipole besitzen.

Formel: \( V_{ij} = - \frac{C}{r^6} \)

Die allgemeine Formel zur Beschreibung dieser Kräfte lautet:

• \( V_{ij} = - \frac{C}{r^6} \)

Diese Formel beschreibt die Energie der anziehenden Wechselwirkung zwischen zwei Atomen oder Molekülen (i und j) in Abhängigkeit von ihrem Abstand r.

Physikalische Bedeutung der Variablen:

• C: Diese Konstante ist spezifisch für die beiden betrachteten Atome oder Moleküle und hängt von deren Polarisierbarkeit und Ionisationsenergie ab. Sie beschreibt die Stärke der Dispersionskraft zwischen den beiden Einheiten. Ein höherer Wert von C bedeutet eine stärkere anziehende Wechselwirkung.
• r: Diese Variable steht für den Abstand zwischen den zwei Atomen oder Molekülen. Der Wert von r beeinflusst die Stärke der Dispersionskräfte stark, da diese Kräfte mit der sechsten Potenz des Abstands abnehmen. Das bedeutet, dass eine Verdopplung des Abstands r eine Abnahme der Wechselwirkung um den Faktor 2^6 = 64 bewirkt.

Zusammengefasst: Dispersionskräfte (London-Kräfte) werden durch temporäre Dipol-Dipol-Wechselwirkungen verursacht, die durch die zufällige Bewegung der Elektronen entstehen. Die Formel \( V_{ij} = - \frac{C}{r^6} \) beschreibt, wie diese Kräfte mit dem Abstand r zwischen den Molekülen abnehmen, wobei die Konstante C die spezifischen Eigenschaften der betrachteten Moleküle widerspiegelt.

b)

Diskutiere die Unterschiede zwischen Dispersionskräften, Dipol-Dipol-Kräften und induzierten Dipolkräften. Welche gemeinsamen Merkmale und welche Unterschiede weisen diese intermolekularen Wechselwirkungen auf?

Lösung:

Vergleich von Dispersionskräften, Dipol-Dipol-Kräften und induzierten Dipolkräften

Van-der-Waals-Kräfte umfassen verschiedene Arten schwacher intermolekularer Wechselwirkungen, nämlich Dispersionskräfte (London-Kräfte), Dipol-Dipol-Kräfte und induzierte Dipolkräfte. Diese Kräfte spielen eine wichtige Rolle in der Stabilisierung von Molekülstrukturen und beeinflussen Eigenschaften wie den Siedepunkt und die Viskosität von Substanzen.

Gemeinsame Merkmale:

• Alle drei Kräfte sind intermolekulare Wechselwirkungen, was bedeutet, dass sie zwischen Molekülen anstatt innerhalb von Molekülen wirken.
• Sie sind alle relativ schwach im Vergleich zu kovalenten oder ionischen Bindungen.
• Sie sind alle abhängig vom Abstand zwischen den Molekülen; die Wechselwirkung wird schwächer, wenn der Abstand größer wird.

Unterschiede:

• Dispersionskräfte (London-Kräfte):
  • Entstehen durch temporäre, fluktuierende Dipole, die durch die zufällige Bewegung der Elektronen in den Atomen oder Molekülen verursacht werden.
  • Diese Kräfte wirken zwischen allen Atomen und Molekülen, unabhängig davon, ob sie polare oder unpolare sind.
  • Die Stärke der Dispersionskräfte nimmt mit der sechsten Potenz des Abstands zwischen den Molekülen ab, wie in der Formel \( V_{ij} = - \frac{C}{r^6} \) beschrieben.
• Dipol-Dipol-Kräfte:
  • Wirken zwischen Molekülen, die permanente Dipole haben, das heißt, Moleküle mit einer ungleichmäßigen Verteilung der Elektronen, sodass sie ein positives und ein negatives Ende haben.
  • Diese Kräfte sind stärker als Dispersionskräfte, da sie aus permanenten Dipol-Dipol-Wechselwirkungen resultieren.
  • Die Stärke der Dipol-Dipol-Kräfte hängt ebenfalls vom Abstand zwischen den Molekülen ab, wird jedoch nicht in gleicher Weise wie Dispersionskräfte durch die sechste Potenz des Abstands beschrieben.
• Induzierte Dipolkräfte:
  • Entstehen, wenn ein polares Molekül ein Dipolmoment in einem benachbarten unpolaren Molekül induziert, wodurch eine anziehende Kraft entsteht.
  • Diese Kräfte sind eine Mischform und können sowohl Eigenschaften von Dipol-Dipol-Kräften als auch von Dispersionskräften zeigen.
  • Die Stärke der induzierten Dipolkräfte hängt von der Polarisierbarkeit des unpolaren Moleküls und der Stärke des induzierenden Dipolmoment des polaren Moleküls ab.

Zusammengefasst: Während alle diese intermolekularen Wechselwirkungen auf Entfernungen zwischen den Molekülen und der Bewegung der Elektronen basieren, unterscheiden sie sich in ihrem Ursprung und ihrer spezifischen Art und Weise, wie sie auftreten. Dispersionskräfte sind allgegenwärtig und resultieren aus temporären Dipolen, Dipol-Dipol-Kräfte entstehen durch permanente Dipole, und induzierte Dipolkräfte treten auf, wenn ein polarisiertes Molekül ein temporäres Dipolmoment in einem unpolaren Molekül induziert.

c)

Gib ein Beispiel für ein Experiment oder eine Messmethode, die verwendet werden könnte, um die Stärke der Van-der-Waals-Kräfte zwischen Molekülen zu bestimmen. Beschreibe den Ablauf und die zugrunde liegenden Prinzipien des Experiments.

Lösung:

Beispiel für ein Experiment zur Bestimmung der Stärke der Van-der-Waals-Kräfte

Ein gängiges Experiment zur Bestimmung der Stärke der Van-der-Waals-Kräfte zwischen Molekülen ist das Kontaktwinkel-Messverfahren. Bei diesem Verfahren wird der Kontaktwinkel eines Tropfens einer Flüssigkeit auf einer festen Oberfläche gemessen, um Informationen über die intermolekularen Wechselwirkungen zu erhalten.

Ablauf des Experiments:

• Vorbereitung der Ausrüstung: Man benötigt ein Goniometer oder ein Kontaktwinkelmessgerät, eine Pipette zur Platzierung des Tropfens, sowie eine saubere und glatte Probe der festen Oberfläche der zu untersuchenden Substanz.
• Vorbereitung der Probe: Die feste Oberfläche wird gründlich gereinigt, um Verunreinigungen zu entfernen, die die Messung des Kontaktwinkels beeinflussen könnten. Anschließend wird ein Tropfen der zu untersuchenden Flüssigkeit mit einer Pipette vorsichtig auf die vorbereitete feste Oberfläche aufgetragen.
• Durchführung der Messung:
  • Mit Hilfe des Goniometers oder Kontaktwinkelmessgeräts wird der Winkel zwischen der Oberfläche des Tropfens und der festen Oberfläche gemessen.
  • Das Gerät nimmt ein Bild des Tropfens auf, und eine Software analysiert dieses Bild, um den Kontaktwinkel zu berechnen.
• Analyse der Daten: Der Kontaktwinkel \( \theta \) ist das Maß dafür, wie eine Flüssigkeit auf der festen Oberfläche verteilt wird. Dieser Winkel hängt von der Art der intermolekularen Wechselwirkungen ab. Ein hoher Kontaktwinkel ( > 90°) bedeutet, dass die Flüssigkeit relativ wenig mit der festen Oberfläche interagiert und sich zu einem fast kugelförmigen Tropfen zusammenzieht. Ein niedriger Kontaktwinkel ( < 90°) zeigt an, dass die Flüssigkeit stärker mit der Oberfläche interagiert und sich eher ausbreitet.

Zugrunde liegende Prinzipien:

• Van-der-Waals-Kräfte spielen eine wichtige Rolle bei der Bildung des Kontaktwinkels, da sie die intermolekularen Anziehungskräfte zwischen der Flüssigkeit und der festen Oberfläche beeinflussen.
• Ein hoher Kontaktwinkel deutet auf schwache Van-der-Waals-Kräfte hin, während ein niedriger Kontaktwinkel auf starke Van-der-Waals-Kräfte hindeutet.

Zusammengefasst: Durch die Messung des Kontaktwinkels eines Flüssigkeitstropfens auf einer festen Oberfläche mit einem Goniometer oder Kontaktwinkelmessgerät kann man Rückschlüsse auf die Stärke der Van-der-Waals-Kräfte zwischen den Molekülen ziehen. Diese Methode nutzt die zugrunde liegenden Prinzipien der intermolekularen Wechselwirkungen, um die Verteilung der Kräfte zwischen der Flüssigkeit und der Oberfläche zu quantifizieren.

d)

Wie beeinflussen Van-der-Waals-Kräfte die physikalischen Eigenschaften eines Stoffes, beispielsweise den Siedepunkt und die Viskosität? Beschreibe diese Einflüsse anhand eines konkreten Beispiels eines bekannten Moleküls.

Lösung:

Einfluss der Van-der-Waals-Kräfte auf physikalische Eigenschaften

Van-der-Waals-Kräfte, als schwache intermolekulare Wechselwirkungen, spielen eine wesentliche Rolle bei der Bestimmung der physikalischen Eigenschaften eines Stoffes wie des Siedepunktes und der Viskosität. Diese Kräfte sind entscheidend für die Stabilisierung der Molekülstruktur und für das Verhalten von Molekülen in verschiedenen Aggregatzuständen.

Einfluss auf den Siedepunkt:

Der Siedepunkt eines Stoffes hängt maßgeblich von der Stärke der intermolekularen Kräfte ab. Starke intermolekulare Kräfte führen in der Regel zu höheren Siedepunkten, da mehr Energie (in Form von Wärme) benötigt wird, um die Moleküle voneinander zu trennen und sie in den gasförmigen Zustand zu überführen.

• Ein konkretes Beispiel ist Wasser (H₂O): Neben Wasserstoffbrückenbindungen, die besonders starke intermolekulare Kräfte darstellen, wirken in Wasser auch Van-der-Waals-Kräfte. Diese tragen dazu bei, dass Wasser einen vergleichsweise hohen Siedepunkt von 100°C aufweist. Ohne diese intermolekularen Kräfte wäre der Siedepunkt von Wasser deutlich niedriger.

Einfluss auf die Viskosität:

Die Viskosität eines Stoffes, also seine Zähflüssigkeit, wird ebenfalls stark von den intermolekularen Kräften beeinflusst. Starke Van-der-Waals-Kräfte führen dazu, dass sich die Moleküle untereinander stärker anziehen und somit der Fluss des Stoffes erschwert wird, was zu einer höheren Viskosität führt.

• Ein konkretes Beispiel ist Glyzerin (C₃H₈O₃): Glyzerin weist aufgrund der starken intermolekularen Kräfte, wozu auch Van-der-Waals-Kräfte zählen, eine sehr hohe Viskosität auf. Diese starken intermolekularen Anziehungskräfte führen dazu, dass die Moleküle sich gegenseitig stark anziehen, was den Fluss des Glyzerins erschwert.

Zusammengefasst: Van-der-Waals-Kräfte beeinflussen die physikalischen Eigenschaften eines Stoffes, indem sie die intermolekularen Anziehungskräfte verstärken. Dies führt zu höheren Siedepunkten und einer höheren Viskosität. Konkrete Beispiele wie Wasser und Glyzerin zeigen den Einfluss dieser Kräfte in der Praxis und verdeutlichen, wie wichtig sie für das Verständnis der Eigenschaften von Substanzen sind.

Aufgabe 2)

In einem Experiment wird ein Gas untersucht, das aus Teilchen besteht, die sich zwischen diskreten Energiezuständen bewegen können. Die Energiezustände des Systems sind gegeben durch \(E_i\), wobei \(i\) den Zustand des Systems bezeichnet. Wir nehmen an, dass dieses Gas im thermischen Gleichgewicht bei einer konstanten Temperatur \(T\), einem festen Volumen \(V\) und einer festen Teilchenzahl \(N\) vorliegt. Die Boltzmann-Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit \(P_i\), dass sich das System in einem bestimmten Energiezustand \(i\) befindet, und ist proportional zum Boltzmann-Faktor \(e^{-\beta E_i}\).

• Kanonisches Ensemble: System bei konstanter Temperatur \(T\), Volume \(V\) und Teilchenzahl \(N\).
• Zustandssumme: \(Z = \sum_i e^{-\beta E_i}\), mit \(\beta = \frac{1}{k_B T}\)
• Wahrscheinlichkeit eines Zustands i: \(P_i = \frac{e^{-\beta E_i}}{Z}\)
• Freie Energie: \(F = -k_B T \, \ln Z\)

a)

(a) Zeige, dass die Zustandssumme \(Z\) für ein Gas, dessen Energieniveaus durch \(E_i = i \frac{h u}{k_B T}\) für \(i = 0, 1, 2, 3, ...\) gegeben sind, die Form\[Z = \frac{1}{1 - e^{-\beta h u}}\]hat. Schreibe alle Schritte Deiner Herleitung auf.

Lösung:

(a) Um zu zeigen, dass die Zustandssumme Z für ein Gas, dessen Energieniveaus durch \(E_i = i \frac{h u}{k_B T}\) für \(i = 0, 1, 2, 3, ...\) gegeben sind, die Form \(Z = \frac{1}{1 - e^{-\beta h u}}\) hat, gehen wir Schritt für Schritt vor.

Schritte der Herleitung:

• Die Zustandssumme \(Z\) für das kanonische Ensemble ist definiert als \(Z = \sum_i e^{-\beta E_i}\) wobei \(E_i = i \frac{h u}{k_B T}\) und \(\beta = \frac{1}{k_B T}\).
• Setze \(E_i = i \frac{h u}{k_B T}\) in die Definition von \(Z\) ein: \(Z = \sum_i e^{-\beta \left(i \frac{h u}{k_B T}\right)}\)
• Vereinfache den Exponenten: \(Z = \sum_i e^{-i \beta h u}\)
• Da die Summation über alle Zustände \(i = 0, 1, 2, 3, ...\) geht, ergibt sich eine geometrische Reihe: \(Z = \sum_{i=0}^{\infty} e^{-i \beta h u}\)
• Für eine geometrische Reihe mit der Form \(\sum_{i=0}^{\infty} a^i\) und \(|a| < 1\), ist die Summe gegeben durch: \(\sum_{i=0}^{\infty} a^i = \frac{1}{1-a}\)
• Setze \(a = e^{-\beta h u}\) in die Reihe ein: \(Z = \sum_{i=0}^{\infty} \left(e^{-\beta h u}\right)^i = \frac{1}{1 - e^{-\beta h u}}\)

Damit ist gezeigt, dass die Zustandssumme \(Z\) tatsächlich die Form \(Z = \frac{1}{1 - e^{-\beta h u}}\) hat.

b)

(b) Berechne die Wahrscheinlichkeit \(P_i\), dass sich das System im Zustand \(i\) befindet, wenn \(E_i = i \frac{h u}{k_B T}\). Verwende dabei das Ergebnis aus Teil (a).

Lösung:

(b) Um die Wahrscheinlichkeit \(P_i\) zu berechnen, dass sich das System im Zustand \(i\) befindet, nutzen wir das Ergebnis aus Teil (a) und die gegebene Energieniveaus \(E_i = i \frac{h u}{k_B T}\). Wir wissen bereits, dass die Zustandssumme \(Z\) die Form \[Z = \frac{1}{1 - e^{-\beta h u}}\] hat.

Die allgemeine Formel für die Wahrscheinlichkeit \(P_i\) ist gegeben durch:

• \(P_i = \frac{e^{-\beta E_i}}{Z}\)

Setze \(E_i = i \frac{h u}{k_B T}\) und \(\beta = \frac{1}{k_B T}\) in die Formel ein:

• \[P_i = \frac{e^{-\beta \left( i \frac{h u}{k_B T} \right)}}{Z} = \frac{e^{-i \beta h u}}{Z}\]

Erinnere Dich daran, dass wir bereits \(Z\) berechnet haben:

• \[Z = \frac{1}{1 - e^{-\beta h u}}\]

Setze \(Z\) in die Formel für \(P_i\) ein:

• \[P_i = \frac{e^{-i \beta h u}}{\frac{1}{1 - e^{-\beta h u}}} = e^{-i \beta h u} (1 - e^{-\beta h u})\]

Damit ist die Wahrscheinlichkeit \(P_i\) gegeben durch:

• \[P_i = (1 - e^{-\beta h u}) e^{-i \beta h u}\]

Diese Formel gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass sich das System im Zustand \(i\) befindet, basierend auf den gegebenen Energieniveaus und der Zustandssumme.

c)

(c) Bestimme die freie Energie \(F\) des Systems bei der Temperatur \(T\). Nimm dabei an, dass \(h u \ll k_B T\), was Dir erlaubt, geeignete Näherungen zu machen.

Lösung:

(c) Um die freie Energie \(F\) des Systems bei der Temperatur \(T\) zu bestimmen, verwenden wir die Formel für die freie Energie im kanonischen Ensemble:

• \[F = -k_B T \, \ln Z\]

Wir wissen aus Teil (a), dass die Zustandssumme \(Z\) die Form hat:

• \[Z = \frac{1}{1 - e^{-\beta h u}}\]

Setze diese Zustandssumme in die Formel für die freie Energie ein:

• \[F = -k_B T \, \ln \left( \frac{1}{1 - e^{-\beta h u}} \right) = -k_B T \, \left( -\ln (1 - e^{-\beta h u}) \right) = k_B T \, \ln (1 - e^{-\beta h u})\]

Nun, da angenommen wird, dass \(h u \ll k_B T\), können wir geeignete Näherungen machen. In diesem Fall ist \(e^{-\beta h u}\) sehr klein, da \(\beta h u\) klein ist. Für kleine \(x\) gilt:

• \(\ln(1 - x) \approx -x\)

Setze \(x = e^{-\beta h u}\) in diese Näherung ein:

• \[\ln(1 - e^{-\beta h u}) \approx -e^{-\beta h u}\]
• \[F = k_B T \, (-e^{-\beta h u}) = -k_B T e^{-\beta h u}\]

Da \(\beta = \frac{1}{k_B T}\), ergibt sich für den Exponenten:

• \[e^{-\beta h u} = e^{-\frac{h u}{k_B T}}\]

Die freie Energie \(F\) lautet damit:

• \[F = -k_B T e^{-\frac{h u}{k_B T}}\]

Damit haben wir die freie Energie des Systems unter der Annahme \(h u \ll k_B T\) berechnet.

d)

(d) Diskutiere den physikalischen Unterschied zwischen der Boltzmann-Verteilung im kanonischen Ensemble und der Mikrokanonischen Verteilung, insbesondere in Bezug auf die Bedingungen, unter denen jede Verteilung anwendbar ist.

Lösung:

(d) Die Boltzmann-Verteilung im kanonischen Ensemble und die mikrokanonische Verteilung beschreiben wahrscheinlichkeitstheoretische Zustände von Systemen unter unterschiedlichen Bedingungen. Ihre physikalischen Unterschiede und Anwendungsbedingungen lassen sich wie folgt beschreiben:

Boltzmann-Verteilung im kanonischen Ensemble:

• Bedingungen: Ein System im kanonischen Ensemble hat eine feste Temperatur (T), ein festes Volumen (V) und eine feste Teilchenzahl (N). Es steht in Kontakt mit einem Wärmereservoir, mit dem es Energie austauschen kann, sodass die Temperatur konstant bleibt.
• Wahrscheinlichkeitsverteilung: Die Wahrscheinlichkeit, dass das System sich in einem bestimmten Energiezustand \( i \) befindet, wird durch die Boltzmann-Verteilung beschrieben:\[P_i = \frac{e^{-\beta E_i}}{Z}\] wobei \( \beta = \frac{1}{k_B T} \) und \( Z = \sum_i e^{-\beta E_i} \) die Zustandssumme ist.
• Physikalische Interpretation: In einem kanonischen Ensemble gibt es Fluktuationen in der Energie des Systems, da es Energie mit dem Wärmereservoir austauschen kann. Die Boltzmann-Verteilung zeigt, dass Zustände mit niedrigerer Energie wahrscheinlicher sind als Zustände mit höherer Energie.
• Anwendungsbereich: Anwendbar auf Systeme, bei denen die Temperatur konstant gehalten wird, z. B. in Laborexperimenten mit kontrollierter Temperatur oder bei thermischen Gleichgewichtsbedingungen.

Mikrokanonische Verteilung:

• Bedingungen: Ein System im mikrokanonischen Ensemble hat eine feste Energie (E), ein festes Volumen (V) und eine feste Teilchenzahl (N). Es ist isoliert und kann weder Energie noch Materie mit seiner Umgebung austauschen.
• Wahrscheinlichkeitsverteilung: Alle mikroskopischen Zustände, die dieselbe Gesamtenergie E haben, sind gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist daher eine uniforme Verteilung über alle möglichen Zustände bei dieser Energie.
• Physikalische Interpretation: In einem mikrokanonischen Ensemble gibt es keine Energiefluktuationen, da das System isoliert ist. Jedes mikroskopische Ereignis, das die Gesamtenergie E erfüllt, hat die gleiche Wahrscheinlichkeit.
• Anwendungsbereich: Anwendbar auf idealisierte isolierte Systeme oder auf Situationen, in denen die Energie genau bekannt und konstant ist, z. B. in bestimmten theoretischen Berechnungen und Modellen der statistischen Mechanik.

Zusammenfassung der Unterschiede:

• Die Boltzmann-Verteilung beschreibt Systeme mit Energiefluktuationen bei konstanter Temperatur, während die mikrokanonische Verteilung Systeme mit konstanter Energie ohne Energiefluktuationen beschreibt.
• Die Boltzmann-Verteilung ist anwendbar auf Systeme in Kontakt mit einem Wärmereservoir (offenes System), während die mikrokanonische Verteilung für isolierte Systeme (geschlossenes System) gilt.
• Die mathematische Form der Boltzmann-Verteilung berücksichtigt den Boltzmann-Faktor \(e^{-\beta E_i}\), während die mikrokanonische Verteilung auf einer uniformen Verteilung über den Energiezustand basiert.

Aufgabe 3)

Betrachte ein einatomiges Wasserstoffatom, welches durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben wird. Der Hamiltonoperator für ein solches System in sphärischen Koordinaten lautet: \[ Ĥ = - \frac{\text{ħ}^2}{2m} abla^2 + V(r)\] Dabei enthält der Operator den Laplace-Operator \(abla^2\) und das Coulombpotential \(V(r) = - \frac{e^2}{4 \text{π} \text{ε}_0 r}\). Die Wellenfunktion \(ψ(r, θ, φ)\) kann in der Form eines Produkts aus Radial- und Winkelanteilen geschrieben werden: \[ψ(r, θ, φ) = R(r) \text{Y}_{lm}(θ, φ)\].

c)

Die Spektrallinien des Wasserstoffatoms entstehen durch Übergänge zwischen verschiedenen Energiezuständen. Berechne die Wellenlänge \(λ\) des Photons, das emittiert wird, wenn ein Elektron vom Zustand \(n=3\) zum Zustand \(n=2\) wechselt. Verwende die Bohr'sche Formel und die grundlegenden Konstanten.

Lösung:

Um die Wellenlänge \(λ\) des Photons zu berechnen, das emittiert wird, wenn ein Elektron vom Zustand \(n=3\) zum Zustand \(n=2\) wechselt, verwenden wir die Bohr'sche Formel für die Energieniveaus des Wasserstoffatoms und berechnen den Energieunterschied zwischen den Zuständen.

1. Energiezustände berechnen

Die Energie eines Zustands \(n\) im Wasserstoffatom wird durch die folgende Formel gegeben:

\( E_n = - \frac{13.6 \, \text{eV}}{n^2} \)

Hierbei ist 13.6 eV die Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms.

Für den Zustand \(n=3\) ist die Energie:

\( E_3 = - \frac{13.6 \, \text{eV}}{3^2} = - \frac{13.6 \, \text{eV}}{9} = -1.51 \, \text{eV} \)

Für den Zustand \(n=2\) ist die Energie:

\( E_2 = - \frac{13.6 \, \text{eV}}{2^2} = - \frac{13.6 \, \text{eV}}{4} = -3.4 \, \text{eV} \)

2. Energieunterschied berechnen

Der Energieunterschied \(ΔE\) zwischen den Zuständen ist:

\( ΔE = E_2 - E_3 \)

\( ΔE = -3.4 \, \text{eV} - (-1.51 \, \text{eV}) = -3.4 \, \text{eV} + 1.51 \, \text{eV} = -1.89 \, \text{eV} \)

3. Wellenlänge berechnen

Die Energie eines Photons ist gegeben durch:

\( E = h ν \)

Hierbei ist \(ν\) die Frequenz des Photons. Die Frequenz kann auch in Form der Wellenlänge \(λ\) ausgedrückt werden:

\( ν = \frac{c}{λ} \)

Wo \(c\) die Lichtgeschwindigkeit ist. Die Energiegleichung wird somit:

\( E = \frac{h c}{λ} \)

Um nach \(λ\) aufzulösen, erhalten wir:

\( λ = \frac{h c}{E} \)

Um die Wellenlänge in Metern zu berechnen, konvertieren wir die Energie in Joules:

1 eV = 1.60219 x 10^(-19) Joules

\( ΔE = 1.89 \, \text{eV} \)

\( ΔE = 1.89 \, \text{eV} × 1.60219 × 10^{-19} \text{J/eV} \)

\( = 3.027 × 10^{-19} \, \text{J} \)

Mit

• \( h = 6.6261 × 10^{-34} \, \text{Js} \)
• \( c = 2.9979 × 10^8 \, \text{m/s} \)

Erhalten wir:

\( λ = \frac{6.6261 × 10^{-34} × 2.9979 × 10^8}{3.027 × 10^{-19}} \)

≈ \( 6.56 × 10^{-7} \, \text{m} \)

Also ist die Wellenlänge \(λ\) des emittierten Photons ungefähr 656 nm, was im roten Bereich des sichtbaren Spektrums liegt.

Aufgabe 4)

Im folgenden betrachten wir ein ideales Gas, das unter konstantem Druck und bei konstanter Temperatur expandiert. Das Gas hat eine Anfangsentropie von 200 J/K und eine Anfangsenthalpie von 3000 J. Die Temperatur des Systems beträgt 300 K.

a)

Berechne die Gibbs freie Energie des Systems vor und nach der Expansion, wenn die Entropie des Systems bei der Expansion um 50 J/K zunimmt.

Lösung:

Um die Gibbs freie Energie (G) zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

• G = H - TS

Hierbei sind:

• H die Enthalpie,
• T die Temperatur, und
• S die Entropie.

Vor der Expansion hat das System folgende Werte:

• Enthalpie (H): 3000 J
• Entropie (S): 200 J/K
• Temperatur (T): 300 K

Setze diese Werte in die Gibbs-Gleichung ein:

• G₁ = 3000 J - (300 K * 200 J/K) = 3000 J - 60000 J = -57000 J

Nach der Expansion ist die Entropie um 50 J/K gestiegen, daher hat das System folgende Werte:

• Enthalpie (H): 3000 J (unter konstantem Druck und konstanter Temperatur bleibt die Enthalpie unverändert)
• Entropie (S): 200 J/K + 50 J/K = 250 J/K
• Temperatur (T): 300 K

Setze diese neuen Werte in die Gibbs-Gleichung ein:

• G₂ = 3000 J - (300 K * 250 J/K) = 3000 J - 75000 J = -72000 J

Zusammenfassend ergibt sich:

• Die Gibbs freie Energie vor der Expansion beträgt -57000 J.
• Die Gibbs freie Energie nach der Expansion beträgt -72000 J.

b)

Bestimme die Änderung der Helmoltz freien Energie des Systems durch die Expansion.

Lösung:

Um die Änderung der Helmholtz freien Energie (\textbf{A}) zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

• A = U - TS

Hierbei sind:

• U die innere Energie,
• T die Temperatur, und
• S die Entropie.

Da der Prozess unter konstantem Druck stattfindet und die Enthalpie (H) gegeben ist, verwenden wir die Beziehung zwischen Enthalpie, innerer Energie und Volumenarbeit:

• H = U + PV

Bei idealen Gasen gilt unter konstantem Druck (P) und Temperatur (T):

• PV = nRT

Da der Druck konstant ist und das Volumen sich durch die Expansion erhöht, bleibt die genaue Änderung der inneren Energie (ΔU) jedoch zu berücksichtigen:

Unter diesen Bedingungen bleibt die Enthalpie konstant bei H = 3000 J.

Die Formel für die Änderung der Helmholtz freien Energie lautet:

• ΔA = ΔU - TΔS

Falls U konstant bleibt (annähernd), dann ist:

• ΔU ≈ 0.

Nun berücksichtigen wir die Entropieänderung (ΔS):

• ΔS = S2 - S1
• S1 = 200 J/K
• S2 = 200 J/K + 50 J/K = 250 J/K
• ΔS = 250 J/K - 200 J/K = 50 J/K

Setzen wir diese Werte in die Gleichung für die Änderung der Helmholtz freien Energie ein:

• ΔA = ΔU - TΔS
• ΔA = 0 - (300 K * 50 J/K)
• ΔA = -15000 J

Zusammenfassend ergibt sich:

• Die Änderung der Helmholtz freien Energie durch die Expansion beträgt -15000 J.