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Wellen-Teilchen-Dualismus: Beugung und Interferenz

Definition:

In der Quantenmechanik zeigt die Materie sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften.

Details:

• Beugung: Wird beobachtet, wenn die Welle auf ein Hindernis oder einen Spalt trifft und sich ausbreitet.
• Interferenz: Überlagerung von Wellen, die zu Verstärkung oder Auslöschung führt.
• De-Broglie-Wellenlänge: \( \lambda = \frac{h}{p} \) (\(h\) ist das Plancksche Wirkungsquantum, \(p\) der Impuls).
• Interferenzmuster: Ergebnis der Interferenz von Wellen, typisch in Doppelspaltexperimenten.
• Doppelspaltexperiment: Demonstriert die Interferenz von Elektronen als Wellen.

Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: Lösungsmethoden

Definition:

Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: beschreibt stationäre Zustände eines Quantenmechanischen Systems.

Details:

• Allgemeine Form: \[ \hat{H} \psi = E \psi \]
• \(\hat{H}\): Hamiltonoperator, \(\psi\): Wellenfunktion, \(E\): Energie
• Analytische Lösungsmethoden:
• Trennung der Variablen
• Ansatzmethoden (z.B. Harmonsicher Oszillator, Teilchen im Kasten)
• Näherungsmethoden bei komplexen Systemen:
• Störungsrechnung (z.B. nicht-degenerierte Störungsrechnung)
• Variationsprinzip

Superposition und Kohärenz von Quantenzuständen

Definition:

Superposition: Überlagerung quantenmechanischer Zustände. Kohärenz: Erhalt der Phasenbeziehung zwischen den Zuständen.

Details:

• Superposition: |ψ⟩ = c₁|φ₁⟩ + c₂|φ₂⟩
• Kohärenz: Wichtig für Interferenzeffekte und Quanteninformation
• Dekohärenz: Verlust der Kohärenz durch Interaktion mit Umgebung
• Bloch-Kugel: Visuelle Darstellung von Qubit-Zuständen und deren Kohärenz

Kollaps der Wellenfunktion während Messungen

Definition:

Prozess, bei dem ein Quantensystem von einer Überlagerung möglicher Zustände in einen bestimmten Eigenzustand überführt wird, sobald eine Messung durchgeführt wird.

Details:

• Die Wellenfunktion \( \Psi \) beschreibt den Zustand des Systems vor der Messung.
• Messergebnis führt zu einer Projektion der Wellenfunktion auf einen Eigenzustand des beobachteten Operators.
• Nach der Messung ist das System in einem definierten Zustand \( \psi_n \text{ mit Wahrscheinlichkeit } |c_n|^2 \).
• Mathematisch erfolgt der Kollaps durch Anwenden des Projektionsoperators: \[ \hat{P}_{n} = |\psi_{n}\rangle\langle\psi_{n}| \]

Dirac-Notation: Bedeutung und Anwendung

Definition:

Dirac-Notation (auch Bra-Ket-Notation genannt) ist eine kompakte und elegante Art, Vektoren und Operatoren in der Quantenmechanik darzustellen.

Details:

• Vektoren: \( | \psi \rangle \) (Ket) und \( \langle \psi | \) (Bra)
• Skalarprodukt: \( \langle \phi | \psi \rangle \)
• Operatoren: Angewendet auf Kets: \( \hat{A} | \psi \rangle \)
• Status eines Systems: Beliebiger Zustand lässt sich als Kombination von Basis-Kets darstellen.
• Messungen: Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte lassen sich effizient berechnen.

Unschärferelation und ihre Konsequenzen

Definition:

Unschärferelation besagt, dass die gleichzeitige genaue Bestimmung von Ort und Impuls eines Teilchens nicht möglich ist.

Details:

• Mathematische Formulierung: \[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
• Probleme der klassischen Vorstellungen von Bahnen und Zuständen.
• Fundament für das Verständnis quantenmechanischer Systeme.

Symmetrieeigenschaften in Vielteilchen-Systemen

Definition:

Symmetrieeigenschaften in Vielteilchen-Systemen beschreiben die Verhaltensweisen und Gesetzmäßigkeiten, die sich aus der Symmetrie der beteiligten Teilchen und deren Wechselwirkungen ergeben.

Details:

• Symmetrieoperationen: Translation, Rotation, Inversion, Spiegelung
• Erhaltungsgrößen: Energie, Impuls, Drehimpuls, die sich aus der Noether'schen Theorem ergeben
• Austausch-Symmetrie: Bose-Einstein-Statistik (bosons), Fermi-Dirac-Statistik (fermions)
• Symmetrien in Wellenfunktionen: antisymmetrische Wellenfunktion für Fermionen, symmetrische Wellenfunktion für Bosonen
• Gruppentheorie: Punktgruppen, Raumgruppen, Bedeutung in der Molekül- und Festkörperphysik

Hartree-Fock-Theorie für elektronische Strukturen

Definition:

Methode zur Bestimmung der Näherungslösungen der Schrödinger-Gleichung für Mehrteilchen-Systeme unter Berücksichtigung des Pauli-Prinzips und der Austausch-Wechselwirkung.

Details:

• Annahme: Ein elektronisches System kann durch ein Einzelteilchen-Näherung beschrieben werden.
• Verwendet Slater-Determinanten zur Beschreibung antisymmetrischer Wellenfunktionen.
• Hartree-Fock-Gleichungen:
• Energie-Operator (\textit{Fock-Operator}):
• Selbstkonsistente Feld (SCF) Iteration zur Lösung.
• Vernachlässigt Korrelationselektronenenergie.
• Anwendung: Berechnung atomarer und molekularer Orbitale.