Aufgabe 2)

Betrachte ein Quantenmechanisches System mit einem Teilchen im unendlichen Potentialtopf (Teilchen im Kasten). Die Wände des Potentials sind bei x = 0 und x = L. Wir wissen, dass die Lösung der Schrödinger-Gleichung für dieses System analytisch berechnet werden kann. Die Hamiltonfunktion \(\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}\) beschreibt die kinetische Energie des Teilchens, da das Potential innerhalb des Kastens null ist. Berechne die stationären Zustände dieses Systems und die entsprechenden Energien.

a)

Führe die Trennung der Variablen für die Schrödinger-Gleichung durch und bestimme die Form der Wellenfunktion \(\psi(x)\).

Lösung:

Trennung der Variablen und Bestimmung der Wellenfunktion

Betrachten wir ein Quantenmechanische as System mit einem Teilchen im unendlichen Potentialtopf (Teilchen im Kasten). Die Schrödinger-Gleichung für dieses System lautet:

\[\hat{H} \psi(x) = E \psi(x)\]

Für den unendlichen Potentialtopf mit Wänden bei \(x = 0\) und \(x = L\) können wir die Hamilton-Operator wie folgt schreiben:

\[\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}\]

Deshalb wird die Schrödinger-Gleichung:

\[- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E \psi(x)\]

Um eine Lösung zu finden, verwenden wir die Methode der Trennung der Variablen. Wir setzen:

\[\psi(x,t) = \psi(x) \cdot T(t)\]

Da wir an den stationären Zuständen interessiert sind, ist die zeitliche Abhängigkeit irrelevant und wir können uns auf die Ortsabhängigkeit konzentrieren, daher:

\[- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E \psi(x)\]

Diese ist eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Um sie zu lösen, machen wir einen Ansatz:

\[\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)\]

Setzen wir diesen Ansatz in die Schrödinger-Gleichung ein, erhalten wir:

\[- \frac{\hbar^2}{2m} \cdot (-k^2) \psi(x) = E \psi(x)\]

Daraus folgt:

\[\frac{\hbar^2 k^2}{2m} = E\]

Die Randbedingungen für den Potentialtopf sind \(\psi(0) = 0\) und \(\psi(L) = 0\). Daraus ergibt sich:

\[\psi(0) = A \sin(0) + B \cos(0) = B = 0\]

• \[\psi(L) = A \sin(kL) = 0\]

Die Bedingung \(\psi(L) = 0\) ist nur erfüllt, wenn:

\[kL = n\pi\]

wobei \(n\) eine positive ganze Zahl ist (\(n = 1, 2, 3, \ldots\)). Somit ist:

\[k = \frac{n\pi}{L}\]

Die Wellenfunktion lautet daher:

\[\psi_n(x) = A \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\]

Um die Konstante \(A\) zu bestimmen, normieren wir die Wellenfunktion:

\[\int_0^L \psi_n^2(x) \, dx = 1\]

Führen wir die Integration durch, ergibt sich:

\[A = \sqrt{\frac{2}{L}}\]

Die normalisierte Wellenfunktion ist somit:

\[\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\]

b)

Bestimme die Eigenfunktionen \(\psi_n(x)\) und die dazugehörigen Eigenenergien \(E_n\) für das Teilchen im unendlichen Potentialtopf.

Lösung:

Eigenfunktionen und Eigenenergien im unendlichen Potentialtopf

Um die Eigenfunktionen und die dazugehörigen Eigenenergien für ein Teilchen im unendlichen Potentialtopf zu berechnen, betrachten wir die Schrödinger-Gleichung für dieses System:

\[- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E \psi(x)\]

Mit den Randbedingungen \(x = 0\) und \(x = L\). Wobei die Hamiltonfunktion lautet:

\[\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}\]

Eigenfunktionen \(\psi_n(x)\)

Da das Potential innerhalb des Kastens null ist, führt dies zu einer stehenden Wellenlösung. Diese Wellenfunktion muss die Randbedingungen \(\psi(0) = 0\) und \(\psi(L) = 0\) erfüllen.

Der Ansatz für die Wellenfunktion ist:

\[\psi_n(x) = A \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\]

Die Normierung der Wellenfunktion gibt uns die Konstante \(A\):

\[\int_0^L \left|\psi_n(x)\right|^2 dx = 1\]

Durch Einsetzen der Wellenfunktion ergibt sich:

\[A^2 \int_0^L \sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx = 1\]

Die Lösung dieser Integration ist:

\[A = \sqrt{\frac{2}{L}}\]

Damit lautet die normierte Wellenfunktion:

\[\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\]

Eigenenergien \(E_n\)

Um die Eigenenergien zu bestimmen, setzen wir \(k = \frac{n\pi}{L}\) in die Energieformel ein:

\[E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\]

Ergibt sich:

\[E_n = \frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2\]

Vereinfacht ergibt sich:

\[E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m L^2}\]

Zusammenfassend:

• Die Eigenfunktionen sind:

\[\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\]

Die Eigenenergien sind:

\[E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m L^2}\]

Aufgabe 3)

Du hast ein Quantensystem in einem Superpositionszustand, der durch die Wellenfunktion \(\psi\) beschrieben wird. Der Zustand \(\psi\) eines Qubits kann auf der Bloch-Kugel dargestellt werden. Die Superposition wird durch \(\psi = c_1\phi_1 + c_2\phi_2\) beschrieben, wobei \(c_1\) und \(c_2\) komplexe Koeffizienten sind, die die Wahrscheinlichkeit der jeweiligen Basiszustände angeben. Kohärenz zwischen diesen Zuständen ist essenziell für Quanteninformation und Interferenzmuster. Dekohärenz tritt auf, wenn das Quantensystem mit seiner Umgebung interagiert, was zu einem Verlust der Kohärenz führt.

a)

Berechne die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass sich das System in den Zuständen \(\phi_1\) bzw. \(\phi_2\) befindet. Verwende dafür die Koeffizienten \(c_1\) und \(c_2\).

Lösung:

Um die Wahrscheinlichkeiten dafür zu berechnen, dass sich das Quantensystem in den Zuständen \(\phi_1\) bzw. \(\phi_2\) befindet, müssen wir die Beträge der komplexen Koeffizienten \(c_1\) und \(c_2\) quadrieren. Diese Quadrierung ergibt die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Zustände:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System im Zustand \(\phi_1\) befindet, ist \(\|c_1\|^2\).
• Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System im Zustand \(\phi_2\) befindet, ist \(\|c_2\|^2\).

Hier sind die Berechnungen:

• Sei \(c_1 = a + bi\), wobei \(a\) und \(b\) reelle Zahlen sind. Dann ist der Betrag \(\|c_1\| = \sqrt{a^2 + b^2}\), und die Wahrscheinlichkeit ist \(\|c_1\|^2 = a^2 + b^2\).
• Sei \(c_2 = x + yi\), wobei \(x\) und \(y\) reelle Zahlen sind. Dann ist der Betrag \(\|c_2\| = \sqrt{x^2 + y^2}\), und die Wahrscheinlichkeit ist \(\|c_2\|^2 = x^2 + y^2\).

Zusammengefasst:

• Die Wahrscheinlichkeit für den Zustand \(\phi_1\) beträgt: \(\|c_1\|^2 = a^2 + b^2\)
• Die Wahrscheinlichkeit für den Zustand \(\phi_2\) beträgt: \(\|c_2\|^2 = x^2 + y^2\)

b)

Erkläre den Einfluss der Kohärenz auf Interferenzeffekte. Warum ist Kohärenz für Quanteninformation wichtig?

Lösung:

Kohärenz und Interferenzeffekte:

Kohärenz ist ein Maß für die phasenbezogene Konsistenz zwischen den Zuständen eines Quantensystems. In einem superponierten Zustand, wie er durch die Wellenfunktion \(\psi = c_1\phi_1 + c_2\phi_2\) beschrieben wird, gibt die Kohärenz die Fähigkeit des Systems an, Interferenzmuster zu erzeugen. Interferenz tritt auf, wenn die Wellenfunktion überlagert wird und die verschiedenen Teile der Wellenfunktion konstruktiv oder destruktiv interferieren.

Bei vollständiger Kohärenz addieren sich die Amplituden der Wellenfunktionen in konsistenter Weise, was zu klaren und starken Interferenzmustern führt. Diese Interferenzmuster sind direkt beobachtbar, beispielsweise in einem Doppelspaltexperiment, wo die Interferenzstreifen einen Beweis für die Kohärenz sind.

Wenn Kohärenz verloren geht (Dekohärenz), beginnen die Phasenrelationen zwischen den Zuständen zu schwanken oder zu verschwinden. Dies passiert oft aufgrund von Wechselwirkungen mit der Umgebung, die zufällige Phasenverschiebungen verursachen. Ohne Kohärenz verschwinden die konsistenten Interferenzmuster und werden durch inkonsistente oder gar keine Muster ersetzt.

Wichtigkeit der Kohärenz für Quanteninformation:

• Informationstransfer: In der Quanteninformation ist die Kohärenz essenziell für die Übertragung von Informationen. Quantenbits (Qubits) nutzen die Superposition, um in mehreren Zuständen gleichzeitig zu existieren. Diese Superposition und die damit verbundene Kohärenz ermöglichen es, mehr Informationen zu speichern und zu verarbeiten als klassische Bits.
• Quantencomputer: Quantenalgorithmen, wie der Shor-Algorithmus oder der Grover-Algorithmus, nutzen Interferenzeffekte, um effizient Ergebnisse zu finden, die klassische Computer nicht erreichen können. Kohärenz ist entscheidend, damit diese Interferenzeffekte korrekt auftreten.
• Quantenkommunikation: In Systemen wie der Quantenkryptographie ist Kohärenz notwendig, um sichere Kommunikationsprotokolle zu betreiben. Die Kohärenz der Quantenkanäle stellt sicher, dass die übertragenen Informationen nicht durch die Umgebung beeinträchtigt werden.
• Fehlerkorrektur: In der Quantenfehlerkorrektur spielt die Kohärenz eine bedeutende Rolle, da sie die konsistente Anwendung von Codewörtern und deren Messungen ermöglicht, wodurch Fehler in den Qubits festgestellt und korrigiert werden können.

Zusammengefasst ist Kohärenz für die Entstehung und Nutzung von Interferenzeffekten in Quantensystemen unerlässlich. Sie bildet die Grundlage für die Leistungsfähigkeit der Quanteninformationstechnologie.

c)

Beschreibe, wie Dekohärenz auftritt und was sie für ein Quantensystem bedeutet. Nenne ein Beispiel für eine Wechselwirkung mit der Umgebung, die Dekohärenz verursachen könnte.

Lösung:

Was ist Dekohärenz und wie tritt sie auf?

Dekohärenz ist der Prozess, bei dem ein Quantensystem, das ursprünglich in einem kohärenten Superpositionszustand war, seine Kohärenz aufgrund von Wechselwirkungen mit der Umgebung verliert. Diese Wechselwirkungen führen zu zufälligen Phasenverschiebungen zwischen den Zuständen des Systems, wodurch die Kohärenz zerstört wird und das System in einen gemischten Zustand übergeht.

Der Hauptunterschied zwischen einem kohärenten und einem dekohärenten Zustand ist, dass ein kohärenter Zustand Interferenzeffekte zeigen kann, während ein dekohärenter Zustand diese Fähigkeit verliert. Dies hat tiefgreifende Auswirkungen auf die Nutzung des Systems für Quanteninformation, da die Vorteile von Superposition und Interferenz dann nicht mehr genutzt werden können.

Die Dekohärenz kann mathematisch durch den Dichteoperator \(\rho\), der den Zustand des Systems beschreibt, dargestellt werden. Für ein reines, kohärentes System kann \(\rho = |\psi\rangle \langle\psi|\) sein, wobei \(|\psi\rangle\) der Zustand des Systems ist. Bei Dekohärenz entwickelt sich \(\rho\) zu einem gemischten Zustand mit reduzierten kohärenten Termen.

Beispiel einer Wechselwirkung mit der Umgebung:

Ein klassisches Beispiel für eine solche Wechselwirkung ist die thermische Wechselwirkung eines Quantensystems mit einem Wärmereservoir. Diese thermische Umgebung könnte beispielsweise durch Phononen in einem Festkörpermaterial repräsentiert werden. Hier sind die Phasen der Quantenbits (Qubits) durch thermische Fluktuationen betroffen, was zu Zufallsphasenverzerrungen führt.

• Thermisches Rauschen: Thermisch angeregte Phononen können mit den Qubits interagieren, wodurch Energie und Phase der Qubits zufällig gestört werden. Dies führt zu Phasendiffusion und damit zu einem Verlust der kohärenten Superposition.

Wenn das Quantensystem beispielsweise als ein Ensemble von Spins in einem Festkörper bei Raumtemperatur betrachtet wird, dann können thermische Fluktuationen in der Umgebung dazu führen, dass die Spins ihre phasenkohärente Ausrichtung verlieren und in zufällige Richtungen zeigen. Der Verlust der Interferenzeffekte in diesem Spin-Ensemble ist ein direktes Ergebnis der Dekohärenz.

Zusammengefasst bedeutet Dekohärenz den Übergang eines Quantensystems von einem kohärenten Superpositionszustand zu einem inkohärenten gemischten Zustand durch Interaktion mit der Umgebung. Dies führt zu einem Verlust von Interferenzeffekten und hat erhebliche Auswirkungen auf Quanteninformationsprozesse.

d)

Zeichne die Zustandsdarstellung \(\psi = |0\rangle\) und \(\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\) auf der Bloch-Kugel. Wie zeigt sich der Unterschied in der Kohärenz zwischen diesen beiden Zuständen?

Lösung:

Um die Zustände \(\psi = |0\rangle\) und \(\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\) auf der Bloch-Kugel darzustellen, visualisieren wir die Bloch-Kugel als eine Kugel mit einem Koordinatensystem. Jeder Punkt auf der Oberfläche dieser Kugel repräsentiert einen möglichen Quantenzustand eines Qubits:

Darstellung der Zustände auf der Bloch-Kugel:

• Zustand \(\psi = |0\rangle\):

Dieser Zustand entspricht dem Norden der Bloch-Kugel, also der Spitze entlang der positiven z-Achse.

Koordinate: (0, 0, 1)

• Zustand \(\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\):

Dieser Zustand ist eine gleichgewichtige Superposition der Basiszustände \(|0\rangle\) und \(|1\rangle\) und liegt auf der x-Achse in der äquatorialen Ebene der Bloch-Kugel.

Koordinate: (1, 0, 0)

Grafische Darstellung:

Im Folgenden ist eine schematische Darstellung der Zustände auf der Bloch-Kugel:

Der Punkt (0,0,1) repräsentiert den Zustand \(\psi = |0\rangle\), während der Punkt (1,0,0) den Zustand \(\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\) darstellt.

Unterschied in der Kohärenz zwischen den Zuständen:

Der Unterschied in der Kohärenz zwischen diesen beiden Zuständen ist bedeutend:

• Zustand \(\psi = |0\rangle\): Dieser Zustand ist ein reiner Basiszustand und weist keine Kohärenz mit anderen Zuständen auf. Da es sich um einen definitiven Basiszustand handelt, gibt es keine Interferenzeffekte.
• Zustand \(\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\): Dieser Zustand ist eine Superposition und hat daher maximale Kohärenz. Er ermöglicht Interferenzeffekte, die für Quantencomputer und Quantenkommunikation wesentlich sind.

Zusammengefasst:

• \(\psi = |0\rangle\): Keine Kohärenz, reiner Zustand auf der z-Achse der Bloch-Kugel.
• \(\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\): Maximale Kohärenz, Superpositionszustand auf der x-Achse der Bloch-Kugel.

Aufgabe 4)

Kollaps der Wellenfunktion während MessungenEin Prozess, bei dem ein Quantensystem von einer Überlagerung möglicher Zustände in einen bestimmten Eigenzustand überführt wird, sobald eine Messung durchgeführt wird.

• Die Wellenfunktion \( \Psi \) beschreibt den Zustand des Systems vor der Messung.
• Das Messergebnis führt zu einer Projektion der Wellenfunktion auf einen Eigenzustand des beobachteten Operators.
• Nach der Messung ist das System in einem definierten Zustand \( \psi_{n} \) mit Wahrscheinlichkeit \( |c_n|^2 \).
• Mathematisch erfolgt der Kollaps durch Anwenden des Projektionsoperators: \[ \hat{P}_{n} = |\psi_{n}\rangle\langle\psi_{n}| \]

a)

a) Betrachte ein Quantensystem mit einer Wellenfunktion vor der Messung gegeben durch \(\Psi = \sum_{n} c_{n} \psi_{n}\). Erläutere den Prozess des Wellenfunktion-Kollapses, wenn eine Messung des Observablen-Operators \(\hat{A} \) durchgeführt wird. Verdeutliche mathematisch, wie die Wahrscheinlichkeiten \( |c_n|^2 \) die Messung beeinflussen.

Lösung:

Kollaps der Wellenfunktion während MessungenEin Prozess, bei dem ein Quantensystem von einer Überlagerung möglicher Zustände in einen bestimmten Eigenzustand überführt wird, sobald eine Messung durchgeführt wird.

• Die Wellenfunktion \( \Psi \) beschreibt den Zustand des Systems vor der Messung.
• Das Messergebnis führt zu einer Projektion der Wellenfunktion auf einen Eigenzustand des beobachteten Operators.
• Nach der Messung ist das System in einem definierten Zustand \( \psi_{n} \) mit Wahrscheinlichkeit \( |c_n|^2 \).
• Mathematisch erfolgt der Kollaps durch Anwenden des Projektionsoperators: \( \hat{P}_{n} = |\psi_{n}\rangle\langle\psi_{n}| \)

Teilaufgabe a)Betrachte ein Quantensystem mit einer Wellenfunktion vor der Messung gegeben durch \( \Psi = \sum_{n} c_{n} \psi_{n} \). Erläutere den Prozess des Wellenfunktion-Kollapses, wenn eine Messung des Observablen-Operators \( \hat{A} \) durchgeführt wird. Verdeutliche mathematisch, wie die Wahrscheinlichkeiten \( |c_n|^2 \) die Messung beeinflussen.

• Die Wellenfunktion \( \Psi \) des Quantensystems ist eine Linearkombination der Eigenzustände \( \psi_{n} \) des Observablen-Operators \( \hat{A} \): \[ \Psi = \sum_{n} c_{n} \psi_{n} \]
• Hierbei sind \( \psi_{n} \) die Eigenzustände von \( \hat{A} \) und \( c_{n} \) die Koeffizienten der Linearkombination.
• Wenn eine Messung des Observablen-Operators \( \hat{A} \) durchgeführt wird, kollabiert die Wellenfunktion in einen der Eigenzustände \( \psi_{n} \) von \( \hat{A} \).
• Die Wahrscheinlichkeit, dass das System nach der Messung im Zustand \( \psi_{n} \) zu finden ist, beträgt \( |c_{n}|^2 \).
• Mathematisch kann dieser Prozess durch den Projektionsoperator \( \hat{P}_{n} \) beschrieben werden: \[ \hat{P}_{n} = |\psi_{n}\rangle\langle\psi_{n}| \]
• Durch Anwenden des Projektionsoperators auf die Wellenfunktion ergibt sich der projizierte Zustand: \[ \Psi' = \hat{P}_{n} \Psi = |\psi_{n}\rangle\langle\psi_{n}| \Psi \]
• Da die Wellenfunktion eine Linearkombination der Eigenzustände ist, kann geschrieben werden: \[ \langle\psi_{n}| \Psi = c_{n} \] folge \[ \Psi' = c_{n} \psi_{n} \]
• Der normierte Kollaps-Zustand, der den Zustand des Systems nach der Messung darstellt, ist: \[ \Psi'_{norm} = \frac{\hat{P}_n\Psi}{||\hat{P}_n\Psi||} = \frac{c_{n} \psi_{n}}{|c_{n}|} = \frac{c_{n}}{|c_{n}|} \psi_{n} \]
• Die Normierung ändert nichts am Zustand \( \psi_{n} \) selbst, sondern nur an der Phasenfaktore.
• Somit befindet sich das System nach der Messung im Zustand \( \psi_{n} \) mit der Wahrscheinlichkeit \( |c_{n}|^2 \).

b)

b) Angenommen, dass nach einer Messung am Observablen-Operator \(\hat{A}\) das Ergebnis \(a_k\) erhalten wurde, was bedeutet dies für den Zustand des Systems nach der Messung? Verwende den Projektionsoperator \(\hat{P}_{k} \) und beschreibe den neuen Zustand des Systems.

Lösung:

Kollaps der Wellenfunktion während MessungenEin Prozess, bei dem ein Quantensystem von einer Überlagerung möglicher Zustände in einen bestimmten Eigenzustand überführt wird, sobald eine Messung durchgeführt wird.

• Die Wellenfunktion \( \Psi \) beschreibt den Zustand des Systems vor der Messung.
• Das Messergebnis führt zu einer Projektion der Wellenfunktion auf einen Eigenzustand des beobachteten Operators.
• Nach der Messung ist das System in einem definierten Zustand \( \psi_{n} \) mit Wahrscheinlichkeit \( |c_n|^2 \).
• Mathematisch erfolgt der Kollaps durch Anwenden des Projektionsoperators: \( \hat{P}_{n} = |\psi_{n}\rangle\langle\psi_{n}| \)

Teilaufgabe b)Angenommen, dass nach einer Messung am Observablen-Operator \( \hat{A} \) das Ergebnis \(a_k\) erhalten wurde, was bedeutet dies für den Zustand des Systems nach der Messung? Verwende den Projektionsoperator \( \hat{P}_{k} \) und beschreibe den neuen Zustand des Systems.

• Das Ergebnis \(a_k\) einer Messung des Observablen-Operators \(\hat{A}\) entspricht einem Eigenwert \(a_k\) des Operators \(\hat{A}\).
• Der Eigenwert \(a_k\) hat den zugehörigen Eigenzustand \(\psi_k\), sodass gilt: \[ \hat{A} \psi_k = a_k \psi_k \]
• Nach der Messung projiziert sich die ursprüngliche Wellenfunktion \(\Psi\) auf den Eigenzustand \(\psi_k\). Dies geschieht durch den Projektionsoperator \( \hat{P}_{k} \): \[ \hat{P}_{k} = |\psi_k\rangle\langle\psi_k| \]
• Der neue Zustand des Systems \(\Psi'\) nach der Messung kann durch Anwenden dieses Projektionsoperators auf die ursprüngliche Wellenfunktion \(\Psi\) beschrieben werden: \[ \Psi' = \hat{P}_{k} \Psi = |\psi_k\rangle\langle\psi_k| \Psi \]
• Da \(\Psi\) durch eine Linearkombination von Eigenzuständen \(\psi_n\) gegeben ist, wobei \( \Psi = \sum_{n} c_{n} \psi_{n} \), ergibt sich: \[ \Psi' = |\psi_k\rangle\langle\psi_k| \sum_{n} c_{n} \psi_{n} = c_{k} |\psi_k\rangle \]
• Der projizierte Zustand \( \Psi' \) ergibt sich also als das Produkt des Koeffizienten \( c_{k} \) und des Eigenzustands \( |\psi_k\rangle \).
• Zur Normierung des neuen Zustands (falls \( \Psi' \) noch nicht normiert ist), teilen wir durch die Norm des projizierten Zustands: \[ \Psi'_{norm} = \frac{\Psi'}{||\Psi'||} = \frac{c_{k} |\psi_k\rangle}{|c_{k}|} = \frac{c_{k}}{|c_{k}|} |\psi_k\rangle \]
• Der normierte Zustand \( \Psi'_{norm} \) bleibt \(|\psi_k\rangle\) mit einem möglicherweise unterschiedlichen Phasenfaktor. Daher befindet sich das System nach der Messung im Eigenzustand \( |\psi_k\rangle \), wenn das Messergebnis \( a_k \) war.

c)

c) Gegeben sei ein Quantensystem, dessen Zustand vor der Messung durch \(\Psi = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{1} + \psi_{2})\) beschrieben wird. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Messung des Operators \(\hat{A}\) der Eigenwert \(a_{1}\) beobachtet wird.

Lösung:

Kollaps der Wellenfunktion während MessungenEin Prozess, bei dem ein Quantensystem von einer Überlagerung möglicher Zustände in einen bestimmten Eigenzustand überführt wird, sobald eine Messung durchgeführt wird.

• Die Wellenfunktion \( \Psi \) beschreibt den Zustand des Systems vor der Messung.
• Das Messergebnis führt zu einer Projektion der Wellenfunktion auf einen Eigenzustand des beobachteten Operators.
• Nach der Messung ist das System in einem definierten Zustand \( \psi_{n} \) mit Wahrscheinlichkeit \( |c_n|^2 \).
• Mathematisch erfolgt der Kollaps durch Anwenden des Projektionsoperators: \( \hat{P}_{n} = |\psi_{n}\rangle\langle\psi_{n}| \)

Teilaufgabe c)Gegeben sei ein Quantensystem, dessen Zustand vor der Messung durch \( \Psi = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{1} + \psi_{2}) \) beschrieben wird. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Messung des Operators \( \hat{A} \) der Eigenwert \(a_{1}\) beobachtet wird.

• Der Zustand des Systems vor der Messung ist:\[ \Psi = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{1} + \psi_{2}) \]
• Die Eigenzustände \( \psi_{1} \) und \( \psi_{2} \) sind Eigenzustände des Operators \( \hat{A}\).
• Die Wahrscheinlichkeitsamplitude für den Zustand \( \psi_{1} \) ist der Koeffizient von \( \psi_{1} \) in der Wellenfunktion \( \Psi \). In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) für beide Zustände \( \psi_{1} \) und \( \psi_{2} \).
• Die Wahrscheinlichkeit, dass der Eigenwert \(a_{1}\) beobachtet wird, ist das Quadrat des Betrags der Wahrscheinlichkeitsamplitude für den Zustand \( \psi_{1} \).Man berechnet \(|c_{1}|^2\):\[ |c_{1}|^2 = \left| \frac{1}{\sqrt{2}} \right|^2 = \frac{1}{2} \]
• Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung des Operators \( \hat{A} \) den Eigenwert \(a_{1}\) zu beobachten, beträgt also:\[ \frac{1}{2} = 0.5 \]

Die Antwort lautet: Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Messung des Operators \( \hat{A} \) der Eigenwert \(a_{1}\) beobachtet wird, beträgt 0,5 oder 50%.

d)

d) Diskutiere die physikalische Bedeutung des Wellenfunktion-Kollapses in Bezug auf die Messproblematik und deren Auswirkungen auf das Verständnis der Quantenmechanik. Wie beeinflusst der Wellenfunktion-Kollaps die Interpretation der Quantenmechanik?

Lösung:

Kollaps der Wellenfunktion während MessungenEin Prozess, bei dem ein Quantensystem von einer Überlagerung möglicher Zustände in einen bestimmten Eigenzustand überführt wird, sobald eine Messung durchgeführt wird.

• Die Wellenfunktion \( \Psi \) beschreibt den Zustand des Systems vor der Messung.
• Das Messergebnis führt zu einer Projektion der Wellenfunktion auf einen Eigenzustand des beobachteten Operators.
• Nach der Messung ist das System in einem definierten Zustand \( \psi_{n} \) mit Wahrscheinlichkeit \( |c_n|^2 \).
• Mathematisch erfolgt der Kollaps durch Anwenden des Projektionsoperators: \( \hat{P}_{n} = |\psi_{n}\rangle\langle\psi_{n}| \)

Teilaufgabe d)Diskutiere die physikalische Bedeutung des Wellenfunktion-Kollapses in Bezug auf die Messproblematik und deren Auswirkungen auf das Verständnis der Quantenmechanik. Wie beeinflusst der Wellenfunktion-Kollaps die Interpretation der Quantenmechanik?

• Physikalische Bedeutung und Messproblematik:Der Wellenfunktion-Kollaps ist ein zentraler Aspekt der Quantenmechanik, der direkt mit der Messproblematik verbunden ist. Vor der Messung befindet sich ein Quantensystem in einer Überlagerung mehrerer möglicher Zustände, die durch die Wellenfunktion \( \Psi \) beschrieben wird. Wird eine Messung durchgeführt, kollabiert die Wellenfunktion schlagartig in einen einzelnen Eigenzustand des Messoperators. Dies steht im Kontrast zur klassischen Physik, in der Systeme immer auf einem definierten Zustand existieren, unabhängig von der Messung.
• Messproblem und Quantenmechanik:Das Messproblem in der Quantenmechanik stellt die Frage, wie und warum der Wellenfunktion-Kollaps durch eine Messung ausgelöst wird. Einige der wichtigsten Fragen sind:
  • Welche genau Rolle spielt der Beobachter bei der Messung?
  • Wie erklärt man, dass eine Überlagerung plötzlich zu einem definierten Zustand führt?
• Interpretationen der Quantenmechanik:Der Wellenfunktion-Kollaps beeinflusst verschiedene Interpretationen der Quantenmechanik:
  • Kopenhagener Deutung: Nach der Kopenhagener Deutung ist der Kollaps der Wellenfunktion ein grundlegender Bestandteil der Theorie. Eine Messung führt zum Kollaps in einen bestimmten Eigenzustand, wobei die Wahrscheinlichkeit durch das Betragsquadrat der entsprechenden Amplitude gegeben ist.
  • Viele-Welten-Interpretation: Diese Interpretation besagt, dass bei einer Messung alle möglichen Ergebnisse tatsächlich realisiert werden, allerdings in verschiedenen Zweigen des Universums. Es gibt also keinen Kollaps im traditionellen Sinne, sondern eine Aufspaltung in mehrere Parallelwelten.
  • De-Broglie-Bohm-Theorie: Diese Theorie vermeidet den Kollaps durch die Einführung von zusätzlichen Variablen, die die Positionen von Partikeln im Raum beschreiben. Die Wellenfunktion führt die Dynamik, während die Partikel deterministisch entlang von Bohm'schen Bahnen verlaufen.
  • Modell der spontanen Kollaps-Theorien: Diese Modelle modifizieren die Schrödinger-Gleichung so, dass sie spontan zu einem Kollaps führt, ohne dass eine Messung oder ein Beobachter erforderlich ist. Ein Beispiel ist die Ghirardi-Rimini-Weber-Theorie (GRW).
• Auswirkungen auf das Verständnis der Quantenmechanik:Die verschiedenen Interpretationen des Wellenfunktion-Kollapses beeinflussen unser Verständnis der Quantenmechanik erheblich. Je nachdem, welche Interpretation man akzeptiert, variiert auch das Bild von Realität auf der Quantenebene. Die Fragen nach der Rolle des Beobachters, der Natur der Wellenfunktion und der Realität von Zuständen vor der Messung hängen direkt mit der Art und Weise zusammen, wie man den Kollaps-Prozess versteht.