Reaktionstechnik und Kinetik - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Betrachte die folgende chemische Reaktion: Die Umwandlung von A in B verläuft nach einem zweistufigen Mechanismus, bestehend aus den folgenden Elementarreaktionen: 1) A → I (mit der Geschwindigkeitskonstanten k1) 2) I → B (mit der Geschwindigkeitskonstanten k2). Darüber hinaus verläuft die Reaktion in Gegenwart eines Katalysators, der die Aktivierungsenergie jeder Stufe reduziert. Im Experiment wurde festgestellt, dass die Gesamtreaktion zweiter Ordnung bezüglich des Edukts A ist. Die Arrhenius-Gleichung kann verwendet werden, um die Temperaturabhängigkeit der Geschwindigkeitskonstanten zu beschreiben. Gegeben sind die folgenden Daten:

• Aktivierungsenergie der ersten Elementarreaktion (ohne Katalysator): \[E_{a1} = 100 \, kJ/mol\]
• Aktivierungsenergie der zweiten Elementarreaktion (ohne Katalysator): \[E_{a2} = 150 \, kJ/mol\]

a)

Skizziere ein qualitatives Energieprofil für die Reaktionskoordinate der oben angegebenen Reaktion sowohl mit als auch ohne Katalysator. Beschrifte dabei alle relevanten Energiezustände und Übergangszustände.

Lösung:

Um ein qualitatives Energieprofil für die Reaktionskoordinate zu skizzieren, beachten wir die folgenden Schritte:

• Identifiziere die anfänglichen und finalen Energiezustände der Reaktion (A und B).
• Berücksichtige die Zwischenstufe (I) und die beiden Übergangszustände (TS1 und TS2) für die jeweiligen Elementarreaktionen.
• Zeichne das Energieprofil sowohl für den Fall ohne Katalysator als auch für den Fall mit Katalysator.

Hier ist das qualitative Energieprofil:

Ohne Katalysator

• Die anfängliche Energie ist die Energie des Edukts A.
• Die Energie des Übergangszustands TS1 liegt über jener von A und repräsentiert die Aktivierungsenergie \(E_{a1} = 100 \ kJ/mol\) für die Reaktion A → I.
• Die Energie der Zwischenstufe I liegt unter der von TS1.
• Die Energie des Übergangszustands TS2 liegt über jener von I und repräsentiert die Aktivierungsenergie \(E_{a2} = 150 \ kJ/mol\) für die Reaktion I → B.
• Die finale Energie ist die Energie des Produkts B.

Mit Katalysator

• Die Energie des Edukts A bleibt unverändert.
• Die Aktivierungsenergie für TS1 ist reduziert (geringer als \(E_{a1} = 100 \ kJ/mol\)). Die genaue Höhe hängt von der Wirksamkeit des Katalysators ab.
• Die Energie der Zwischenstufe I bleibt ebenfalls unverändert.
• Die Aktivierungsenergie für TS2 ist ebenfalls reduziert (geringer als \(E_{a2} = 150 \ kJ/mol\)).
• Die finale Energie ist die gleiche wie ohne Katalysator und entspricht der Energie des Produkts B.

Hier ist eine grafische Darstellung:

Ohne Katalysator:

/Energie/KJ||  TS2  _|     /|   /     \   /| /         \/   TS1|_________      /A          I  /|_________            BReaktionskoordinate

Mit Katalysator:

/Energie/KJ||  TS2'|       |  /'      TS1'| /'        /|/________/A          I|_________            BReaktionskoordinate

In beiden Diagrammen ist zu sehen, dass die Energiebarrieren (Aktivierungsenergien) durch den Einsatz eines Katalysators verringert werden. Beachte, dass die Höhe der Energiebarrieren qualitativ reduziert ist, was zu einer beschleunigten Reaktionsgeschwindigkeit führt.

b)

Berechne unter Verwendung der Arrhenius-Gleichung die Geschwindigkeitskonstanten k1 und k2 bei 298 K, wenn die Präexponentiellen Faktoren (A) für beide Reaktionen gleich 1×10^12 s^-1 sind und keine Katalyse stattfindet.

Lösung:

Um die Geschwindigkeitskonstanten \( k_1 \) und \( k_2 \) bei 298 K unter Verwendung der Arrhenius-Gleichung zu berechnen, benötigst Du die Formel:

\[ k = A \times e^{\frac{-E_a}{RT}} \]

Hierbei sind:

• \( k \): Geschwindigkeitskonstante
• \( A \): Präexponentieller Faktor
• \( E_a \): Aktivierungsenergie
• \( R \): Gaskonstante, 8.314 J/(mol·K)
• \( T \): Temperatur in Kelvin

Die gegebenen Daten sind:

• \( A = 1 \times 10^{12} \ s^{-1} \)
• \( E_{a1} = 100 \ kJ/mol = 100 \times 10^3 \ J/mol \)
• \( E_{a2} = 150 \ kJ/mol = 150 \times 10^3 \ J/mol \)
• \( T = 298 \ K \)

Zuerst berechnen wir die Geschwindigkeitskonstante \( k_1 \):

\[ k_1 = A \times e^{\frac{-E_{a1}}{RT}} \]

Setzen wir die Werte ein:

\[ k_1 = 1 \times 10^{12} \times e^{\frac{-100 \times 10^3}{8.314 \times 298}} \]

Berechnen wir nun den Exponenten:

\[ \frac{-100 \times 10^3}{8.314 \times 298} \approx -40.27 \]

Damit ergibt sich:

\[ k_1 = 1 \times 10^{12} \times e^{-40.27} \approx 1 \times 10^{12} \times 3.61 \times 10^{-18} \approx 3.61 \times 10^{-6} \ s^{-1} \]

Nun berechnen wir die Geschwindigkeitskonstante \( k_2 \):

\[ k_2 = A \times e^{\frac{-E_{a2}}{RT}} \]

Setzen wir die Werte ein:

\[ k_2 = 1 \times 10^{12} \times e^{\frac{-150 \times 10^3}{8.314 \times 298}} \]

Berechnen wir nun den Exponenten:

\[ \frac{-150 \times 10^3}{8.314 \times 298} \approx -60.41 \]

Damit ergibt sich:

\[ k_2 = 1 \times 10^{12} \times e^{-60.41} \approx 1 \times 10^{12} \times 4.52 \times 10^{-27} \approx 4.52 \times 10^{-15} \ s^{-1} \]

Zusammenfassend sind die Geschwindigkeitskonstanten:

• \( k_1 \approx 3.61 \times 10^{-6} \ s^{-1} \)
• \( k_2 \approx 4.52 \times 10^{-15} \ s^{-1} \)

c)

Analysiere, wie die Verwendung eines Katalysators, der die Aktivierungsenergie jeder Stufe um 50 kJ/mol verringert, die Geschwindigkeitskonstanten bei 298 K verändern würde. Berechne die neuen Werte für k1 und k2.

Lösung:

Um die neuen Geschwindigkeitskonstanten \( k_1 \) und \( k_2 \) bei 298 K unter der Einwirkung eines Katalysators zu berechnen, verwenden wir wieder die Arrhenius-Gleichung, jedoch mit reduzierter Aktivierungsenergie. Ein Katalysator reduziert die Aktivierungsenergie jeder Stufe um 50 kJ/mol.

Somit ergeben sich die neuen Aktivierungsenergien:

• \( E'_{a1} = E_{a1} - 50 \ kJ/mol = 100 \ kJ/mol - 50 \ kJ/mol = 50 \ kJ/mol = 50 \times 10^3 \ J/mol \)
• \( E'_{a2} = E_{a2} - 50 \ kJ/mol = 150 \ kJ/mol - 50 \ kJ/mol = 100 \ kJ/mol = 100 \times 10^3 \ J/mol \)

Die Arrhenius-Gleichung lautet:

\[ k = A \times e^{\frac{-E_a}{RT}} \]

• \( A = 1 \times 10^{12} \ s^{-1} \)
• \( R = 8.314 \ J/(mol·K) \)
• \( T = 298 \ K \)

Zuerst berechnen wir die neue Geschwindigkeitskonstante \( k'_1 \):

\[ k'_1 = A \times e^{\frac{-E'_{a1}}{RT}} \]

Setzen wir die Werte ein:

\[ k'_1 = 1 \times 10^{12} \times e^{\frac{-50 \times 10^3}{8.314 \times 298}} \]

Berechnen wir den Exponenten:

\[ \frac{-50 \times 10^3}{8.314 \times 298} \approx -20.14 \]

Damit ergibt sich:

\[ k'_1 = 1 \times 10^{12} \times e^{-20.14} \approx 1 \times 10^{12} \times 1.82 \times 10^{-9} \approx 1.82 \times 10^3 \ s^{-1} \]

Nun berechnen wir die neue Geschwindigkeitskonstante \( k'_2 \):

\[ k'_2 = A \times e^{\frac{-E'_{a2}}{RT}} \]

Setzen wir die Werte ein:

\[ k'_2 = 1 \times 10^{12} \times e^{\frac{-100 \times 10^3}{8.314 \times 298}} \]

Berechnen wir den Exponenten:

\[ \frac{-100 \times 10^3}{8.314 \times 298} \approx -40.27 \]

Damit ergibt sich:

\[ k'_2 = 1 \times 10^{12} \times e^{-40.27} \approx 1 \times 10^{12} \times 3.61 \times 10^{-18} \approx 3.61 \times 10^{-6} \ s^{-1} \]

Zusammenfassend sind die neuen Geschwindigkeitskonstanten durch die Verwendung des Katalysators:

• \( k'_1 \approx 1.82 \times 10^3 \ s^{-1} \)
• \( k'_2 \approx 3.61 \times 10^{-6} \ s^{-1} \)

d)

Diskutiere die Rolle der Katalyse im Hinblick auf den Reaktionsmechanismus und die Reaktionsgesetzlichkeit. Erläutere, warum die Gesamtreaktion im Experiment als zweiter Ordnung bezüglich A erscheint, obwohl es sich um eine zweistufige Reaktion handelt.

Lösung:

Die Katalyse spielt eine entscheidende Rolle in der Chemie, indem sie die Reaktionsgeschwindigkeit erhöht, ohne dabei selbst verbraucht zu werden. Dies geschieht durch die Senkung der Aktivierungsenergie der Elementarreaktionen, wodurch der Reaktionsmechanismus erleichtert wird und die Reaktionsgeschwindigkeit steigt.

Rolle der Katalyse im Reaktionsmechanismus

• Ein Katalysator bietet einen alternativen Reaktionsweg mit niedrigerer Aktivierungsenergie für jede Stufe des Mechanismus. Im vorliegenden Fall reduziert der Katalysator die Aktivierungsenergie um 50 kJ/mol für jede Elementarreaktion.
• Dieser alternative Weg wirkt auf beide Stufen der Reaktion: \( A \to I \) und \( I \to B \). Eine geringere Aktivierungsenergie bedeutet, dass mehr Moleküle genügend Energie haben, um die Reaktion zu durchlaufen, was die Rate der Reaktion erhöht.

Reaktionsgesetzlichkeit und Ordnung der Gesamtreaktion

Die Gesamtreaktion wird als zweiter Ordnung bezüglich des Edukts \( A \) beschrieben. Lass uns dies im Hinblick auf den zweistufigen Reaktionsmechanismus analysieren:

Mechanismus:1) \( A \to I \) (Geschwindigkeitskonstante \( k_1 \))2) \( I \to B \) (Geschwindigkeitskonstante \( k_2 \))

Die erste Stufe ist die Bildung des Zwischenprodukts \( I \) aus \( A \). Nehmen wir an, dass diese Stufe die Geschwindigkeitsbestimmende ist, dann hängt die Reaktionsgeschwindigkeit hauptsächlich von der Konzentration von \( A \) ab:

• \( Rate_1 = k_1 \cdot [A] \)

Die zweite Stufe, die schnelle Umwandlung von \( I \) zu \( B \), läuft ebenfalls ab. Wenn die Konzentration des Zwischenprodukts \( I \) in einem quasi-stationären Zustand gehalten wird (steady-state approximation), dann ändert sich \( [I] \) kaum:

• \( \frac{d[I]}{dt} \approx 0 = k_1 \cdot [A] - k_2 \cdot [I] \)

Das bedeutet, dass \( [I] \) durch \( [A] \) und die Geschwindigkeitskonstanten \( k_1 \) und \( k_2 \) ausgedrückt werden kann:

• \( [I] \approx \frac{k_1 \cdot [A]}{k_2} \)

Die Gesamtrate der Bildung von \( B \) ist:

• \( Rate_{Gesamt} = k_2 \cdot [I] \approx k_2 \cdot \frac{k_1 \cdot [A]}{k_2} = k_1 \cdot [A] \)

Da dies jedoch eine Gesamtbetrachtung der beiden Reaktionsschritte ist und das Experiment feststellt, dass die Reaktion zweiter Ordnung bezüglich \( A \) ist, deutet dies darauf hin, dass die Geschwindigkeitsbestimmende Stufe komplexer ist oder dass beide Stufen in einem bestimmten Verhältnis beteiligt sind:

• \( Rate_{Gesamt} = k \cdot [A]^2 \), wobei die experimentelle Geschwindigkeitskonstante \( k \) eine Kombination der individuellen Geschwindigkeitskonstanten enthält.

Schlussfolgerung

Die Anwendung eines Katalysators reduziert die Aktivierungsenergie und erhöht somit die Geschwindigkeitskonstanten der individuellen Reaktionsschritte, was die Gesamtreaktionsgeschwindigkeit erhöht. Trotz des zweistufigen Mechanismus erscheinen die Reaktionen als zweiter Ordnung bezüglich \( A \), was auf den spezifischen Reaktionsverlauf und die geschwindigkeitsbestimmenden Schritte zurückzuführen ist.

Aufgabe 2)

Bestimmung der Reaktionsordnung und der Geschwindigkeitskonstanten: Eine chemische Reaktion von der Form A + B -> Produkte wurde in einem Labor untersucht. Die Experimentdaten zur Bestimmung der Reaktionsordnung und der Geschwindigkeitskonstanten wurden nach der Methode der Anfangsgeschwindigkeiten ermittelt. Folgende Konzentrationen und Geschwindigkeiten (v) wurden gemessen:

• Konzentrationsexperiment 1: [A] = 0,1 M, [B] = 0,1 M, Anfangsgeschwindigkeit v = 0,02 M/s
• Konzentrationsexperiment 2: [A] = 0,2 M, [B] = 0,1 M, Anfangsgeschwindigkeit v = 0,04 M/s
• Konzentrationsexperiment 3: [A] = 0,1 M, [B] = 0,2 M, Anfangsgeschwindigkeit v = 0,06 M/s

a)

Bestimme die Reaktionsordnung der Reaktanten A und B anhand der gegebenen Daten. Berechne dabei die spezifischen Reaktionsordnungen (m & n) und erläutere den verwendeten Ansatz.

Lösung:

Lösung:

• Gegeben sind die folgenden Reaktionsgeschwindigkeitsdaten:

• Experiment 1: [A] = 0,1 M, [B] = 0,1 M, Anfangsgeschwindigkeit v = 0,02 M/s
• Experiment 2: [A] = 0,2 M, [B] = 0,1 M, Anfangsgeschwindigkeit v = 0,04 M/s
• Experiment 3: [A] = 0,1 M, [B] = 0,2 M, Anfangsgeschwindigkeit v = 0,06 M/s

Die Reaktionsgeschwindigkeit wird durch die Gleichung:\[v = k[A]^m[B]^n \]beschrieben, wobei:

• \( k \) die Geschwindigkeitskonstante ist,
• \( m \) die Reaktionsordnung bezüglich Reaktant A ist,
• \( n \) die Reaktionsordnung bezüglich Reaktant B ist.

• Um die spezifischen Reaktionsordnungen (m und n) zu bestimmen, nehmen wir die Verhältnisse der Anfangsgeschwindigkeiten zweier Experimente, wobei die Konzentration eines Reaktanten konstant gehalten wird.

1. Bestimmung von m:

• Experiment 1 und Experiment 2 haben dieselbe [B]-Konzentration:

\[ \frac{v_2}{v_1} = \frac{k[A_2]^m[B]^n}{k[A_1]^m[B]^n} \]Da [B] konstant ist, können wir die Terme für [B] und \( k \) kürzen:\[ \frac{v_2}{v_1} = \frac{[A_2]^m}{[A_1]^m} \]Setze die gegebenen Werte ein:\[ \frac{0,04}{0,02} = \frac{(0,2)^m}{(0,1)^m} \]\[ 2 = (\frac{0,2}{0,1})^m \]\[ 2 = 2^m \]\[ m = 1 \]2. Bestimmung von n:

• Experiment 1 und Experiment 3 haben dieselbe [A]-Konzentration:

\[ \frac{v_3}{v_1} = \frac{k[A]^m[B_3]^n}{k[A]^m[B_1]^n} \]Da [A] konstant ist, können wir die Terme für [A] und \(k \) kürzen:\[ \frac{v_3}{v_1} = \frac{[B_3]^n}{[B_1]^n} \]Setze die gegebenen Werte ein:\[ \frac{0,06}{0,02} = \frac{(0,2)^n}{(0,1)^n} \]\[ 3 = (\frac{0,2}{0,1})^n \]\[ 3 = 2^n \]\[ n = \frac{\log(3)}{\log(2)} \approx 1,585 \]Erklärung des Ansatzes (Zusammenfassung):

• Wir verwenden das Verhältnis der Anfangsgeschwindigkeiten zweier Experimente, um die einzelnen Reaktionsordnungen (m und n) zu bestimmen.
• Durch Vergleiche, bei denen die Konzentration eines Reaktanten konstant bleibt, können wir die spezifische Reaktionsordnung für jeden Reaktanten isolieren und berechnen.
• Für A wurde berechnet, dass \(m = 1 \).
• Für B wurde berechnet, dass \(n \approx 1,585 \).

b)

Berechne die Geschwindigkeitskonstante (k) der Reaktion bei den angegebenen Bedingungen. Erläutere die Einheiten der Geschwindigkeitskonstanten für die ermittelte Reaktionsordnung.

Lösung:

Lösung:

• Gegeben sind die folgenden Reaktionsgeschwindigkeitsdaten:

• Experiment 1: [A] = 0,1 M, [B] = 0,1 M, Anfangsgeschwindigkeit v = 0,02 M/s
• Experiment 2: [A] = 0,2 M, [B] = 0,1 M, Anfangsgeschwindigkeit v = 0,04 M/s
• Experiment 3: [A] = 0,1 M, [B] = 0,2 M, Anfangsgeschwindigkeit v = 0,06 M/s

Die Reaktionsgeschwindigkeit wird durch die Gleichung:\[v = k[A]^m[B]^n \]beschrieben, wobei:

• \( k \) die Geschwindigkeitskonstante ist,
• \( m \) die Reaktionsordnung bezüglich A ist,
• \( n \) die Reaktionsordnung bezüglich B ist.

Nachdem wir aus den früheren Berechnungen die Reaktionsordnungen bestimmt haben, wissen wir:

• \( m = 1 \)
• \( n = 1,585 \)

Berechnung der Geschwindigkeitskonstanten k:Verwende die Daten aus Experiment 1:\[ v = k [A]^m [B]^n \]

• Für Experiment 1 haben wir:\[ 0,02 = k [0,1]^1 [0,1]^{1,585} \]
• Berechne \( [0,1]^{1,585} \):\[ 0,1^{1,585} \approx 0,026\]
• Setze dies in die Gleichung ein:\[ 0,02 = k \times 0,1 \times 0,026 \]

\[ k = \frac{0,02}{0,1 \times 0,026} \]\[ k = \frac{0,02}{0,0026} \approx 7,69 \]Die Geschwindigkeitskonstante k ist daher \( k \approx 7,69 \).Einheiten der Geschwindigkeitskonstanten k:Die allgemeine Form der Geschwindigkeitsgleichung lautet:\[ v = k [A]^m [B]^n \]Die Einheiten der Reaktionsgeschwindigkeit \(v\) sind \(\text{M}/\text{s} \) (Molarität pro Sekunde). Da [A] und [B] in Molarität (M) angegeben sind, können wir die Einheiten der Geschwindigkeitskonstanten k wie folgt bestimmen:\[ [v] = k [A]^m [B]^n \]\[ \text{Einheiten von } v = \text{Einheiten von } k \times (\text{Einheiten von } [A])^m \times (\text{Einheiten von } [B])^n \]\[ \text{M}/\text{s} = \text{Einheit von } k \times (\text{M})^1 \times (\text{M})^{1,585} \]\[ \text{M}/\text{s} = \text{Einheit von } k \times \text{M}^{2,585} \]\[ \text{Einheit von } k = \frac{\text{M}/\text{s}}{\text{M}^{2,585}} \]\[ \text{Einheit von } k = \text{M}^{1 - 2,585}/\text{s} \]\[ \text{Einheit von } k = \text{M}^{-1,585}/\text{s} \]Die Einheiten der Geschwindigkeitskonstanten k sind daher \(\text{M}^{-1,585}/\text{s} \).

Aufgabe 4)

Beeinflüsse von Katalysatoren und Inhibitoren auf die ReaktionsgeschwindigkeitKatalysatoren beeinflussen die Reaktionsgeschwindigkeit, indem sie die Aktivierungsenergie \(E_a\) senken, während Inhibitoren die Reaktionsgeschwindigkeit verringern, indem sie die Aktivierungsenergie erhöhen oder den Übergangszustand stabilisieren. Die Arrhenius-Gleichung beschreibt die Abhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit von der Temperatur und der Aktivierungsenergie:

• Katalysator: \[k = Ae^{-\frac{E_{a\,neu}}{RT}}\]
• Inhibitor: \[k = Ae^{-\frac{E_{a\,neu}}{RT}}\], wobei \(E_{a\,neu}\) hier höher ist als ohne Inhibitor.
• Allgemeine Form der Arrhenius-Gleichung: \[k = Ae^{-\frac{E_a}{RT}}\]
• Einer der wichtigsten Effekte von Katalysatoren ist das Angebot eines alternativen Reaktionswegs mit niedrigerer Aktivierungsenergie.
• Katalysator regeneriert sich am Ende der Reaktion.

a)

Ein Reaktionsmechanismus erfolgt in zwei Schritten:

• Erster Schritt: A → B (schnell)
• Zweiter Schritt: B → C (langsam)

Wenn ein Katalysator hinzugefügt wird, verändert sich nur der zweite Schritt:

• Erster Schritt: A → B (schnell)
• Zweiter Schritt: B + K → C + K (schneller)

Angenommen, die ursprüngliche Aktivierungsenergie für den langsamen Schritt beträgt 85 kJ/mol und durch den Einsatz des Katalysators wird diese auf 55 kJ/mol gesenkt. Bestimme die relative Veränderung der Reaktionsgeschwindigkeit bei einer Temperatur von 300 K. Nutze dazu die Arrhenius-Gleichung und vernachlässige die Vorfaktoränderung durch den Katalysator.

Lösung:

Um die relative Veränderung der Reaktionsgeschwindigkeit zu ermitteln, müssen wir die Arrhenius-Gleichung verwenden. Diese Gleichung beschreibt, wie die Reaktionsgeschwindigkeit (\textit{k}) von der Temperatur (\textit{T}) und der Aktivierungsenergie (\textit{E\textsubscript{a}}) abhängt:

• Allgemeine Form der Arrhenius-Gleichung: \[k = Ae^{-\frac{E_a}{RT}}\]

In diesem Fall haben wir zwei Szenarien: Ohne Katalysator und mit Katalysator. Beginnen wir mit der allgemeinen Form:

• Ohne Katalysator: \(k_1 = Ae^{-\frac{85 \text{ kJ/mol}}{RT}}\)
• Mit Katalysator: \(k_2 = Ae^{-\frac{55 \text{ kJ/mol}}{RT}}\)

Da der Vorfaktor \(A\) sich nicht ändert, können wir das Verhältnis der neuen Reaktionsgeschwindigkeit \(k_2\) zur ursprünglichen Reaktionsgeschwindigkeit \(k_1\) berechnen, um die relative Änderung zu ermitteln:

• Relative Änderung: \[\frac{k_2}{k_1} = \frac{Ae^{-\frac{55}{RT}}}{Ae^{-\frac{85}{RT}}} = e^{\frac{85-55}{RT}} = e^{\frac{30}{RT}}\]

Nun setzen wir die gegebenen Werte ein: Die Temperatur \(T = 300 \text{ K}\) und die universelle Gaskonstante \(R = 8.314 \text{ J/(mol·K)}\):

• Relative Änderung: \[e^{\frac{30 \text{ kJ/mol}}{8.314 \text{ J/(mol·K)} \times 300 \text{ K}}} = e^{\frac{30000 \text{ J/mol}}{2494.2 \text{ J/mol}}} = e^{12.028}\]

Rechnen wir das aus:

• Relative Änderung: \[e^{12.028} \]

Bei etwa \[e^{12.028} \] ergibt sich ungefähr das:

• \( \text{Relative Änderung} \approx 1.64 \times 10^5 \)

Folglich beträgt die relative Änderung der Reaktionsgeschwindigkeit bei 300 K ungefähr das 164.000-fache, wenn ein Katalysator hinzugefügt wird.

b)

Angenommen, ein Inhibitor bewirkt eine Erhöhung der Aktivierungsenergie der Reaktion um 30 kJ/mol. Wenn die ursprüngliche Aktivierungsenergie 50 kJ/mol beträgt, berechne die Änderung der Reaktionsgeschwindigkeit bei einer Temperatur von 298 K. Setze in der Arrhenius-Gleichung voraus, dass der Vorfaktor A unverändert bleibt.

Lösung:

Um die Änderung der Reaktionsgeschwindigkeit zu berechnen, wenn ein Inhibitor die Aktivierungsenergie erhöht, verwenden wir die Arrhenius-Gleichung. Diese beschreibt, wie die Reaktionsgeschwindigkeit \(k\) von der Temperatur \(T\) und der Aktivierungsenergie \(E_a\) abhängt:

• Allgemeine Form der Arrhenius-Gleichung: \[k = Ae^{-\frac{E_a}{RT}}\]

Da ein Inhibitor die Aktivierungsenergie um 30 kJ/mol erhöht und die ursprüngliche Aktivierungsenergie 50 kJ/mol beträgt, ergibt sich die neue Aktivierungsenergie wie folgt:

Neue Aktivierungsenergie: \(E_{a\,neu} = 50 \text{ kJ/mol} + 30 \text{ kJ/mol} = 80 \text{ kJ/mol}\)

Wir berechnen die Reaktionsgeschwindigkeiten vor und nach dem Hinzufügen des Inhibitors:

• Ohne Inhibitor: \(k_1 = Ae^{-\frac{50 \text{ kJ/mol}}{RT}}\)
• Mit Inhibitor: \(k_2 = Ae^{-\frac{80 \text{ kJ/mol}}{RT}}\)

Da der Vorfaktor (\(A\)) sich nicht ändert, können wir das Verhältnis der neuen Reaktionsgeschwindigkeit (\(k_2\)) zur ursprünglichen Reaktionsgeschwindigkeit (\(k_1\)) berechnen, um die relative Änderung zu ermitteln:

• Relative Änderung: \[\frac{k_2}{k_1} = \frac{Ae^{-\frac{80}{RT}}}{Ae^{-\frac{50}{RT}}} = e^{-\frac{80-50}{RT}} = e^{-\frac{30}{RT}}\]

Nun setzen wir die gegebenen Werte ein: Temperatur \(T = 298 \text{ K}\) und die universelle Gaskonstante \(R = 8.314 \text{ J/(mol·K)}\):

• Relative Änderung: \[e^{-\frac{30 \text{ kJ/mol}}{8.314 \text{ J/(mol·K)} \times 298 \text{ K}}} = e^{-\frac{30000 \text{ J/mol}}{2477.372 \text{ J/(mol·K)}}} = e^{-12.110}\]

Rechnen wir dies aus:

• Relative Änderung: \(e^{-12.110} \approx 5.49 \times 10^{-6}\)

Die relative Änderung der Reaktionsgeschwindigkeit beträgt also ungefähr das \(5.49 \times 10^{-6}\)-fache, wenn ein Inhibitor hinzugefügt wird, was bedeutet, dass die Geschwindigkeit drastisch abnimmt.