Analysis für Informatik - Cheatsheet.pdf

Definition und Eigenschaften von Grenzwerten

Definition:

Formale Definition des Grenzwertes einer Funktion; Eigenschaften für Grenzwerte verwenden.

Details:

• Sei \(f\) eine Funktion und \(a, L\) reelle Zahlen.
• \( \lim_{x \to a} f(x) = L \) bedeutet: Für jede \(\epsilon > 0\) existiert ein \(\delta > 0\), sodass für alle \(x\) mit \(0 < |x - a| < \delta\) gilt: \( |f(x) - L| < \epsilon\).
• Eindeutigkeit: Ein Grenzwert ist eindeutig.
• Grenzwertsätze: Summe, Produkt, Quotient von Funktionen.
• Sandwich-Theorem: Wenn \(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\) und \(\lim_{x \to a}g(x) = \lim_{x \to a}h(x) = L\), dann \(\lim_{x \to a}f(x) = L\).
• Unendliche Grenzwerte: \(\lim_{x \to a} f(x) = \infty \) bedeutet für jede \(M > 0\) existiert ein \(\delta > 0\), sodass für alle \(x\) mit \(0 < |x - a| < \delta\) gilt: \( f(x) > M\).
• Eigenschaften: Monotonie, Beschränktheit.

L'Hospital Regel

Definition:

Regel zur Bestimmung des Grenzwerts von Quotienten unbestimmter Formen.

Details:

• Formen: \frac{0}{0} oder \frac{\infty}{\infty}
• Sei \( f \text{ und } g \) differenzierbar
• Wenn \( \frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow \frac{0}{0} \text{ oder } \frac{\infty}{\infty}\), dann gilt
• \(\lim_{{x \to c}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to c}} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)
• Voraussetzung: \(\lim_{{x \to c}} \frac{f'(x)}{g'(x)} \) existiert oder ist \(\pm\infty\)

Regeln der Differentiation

Definition:

Regeln zur Bestimmung der Ableitungen von Funktionen.

Details:

• Konstante Regel: \(\frac{d}{dx}c = 0\)
• Potenzregel: \(\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}\)
• Summenregel: \(\frac{d}{dx}(u+v) = \frac{d}{dx}u + \frac{d}{dx}v\)
• Produktregel: \(\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{d}{dx}v + v \frac{d}{dx}u\)
• Quotientenregel: \(\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \frac{d}{dx}u - u \frac{d}{dx}v}{v^2}\)
• Kettenregel: \(\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)\)

Ableitungen höherer Ordnung

Definition:

Definiert als die n-fache Ableitung einer Funktion.

Details:

• 1. Ableitung: Geschwindigkeit der Änderungsrate
• 2. Ableitung: Krümmung der Funktion
• Allgemein: n-te Ableitung dargestellt als \( f^{(n)}(x) \) oder \( \frac{d^{n}f}{dx^{n}} \)
• Beispiel: Wenn \( f(x) = x^3 \), dann \( f'(x) = 3x^2 \) und \( f''(x) = 6x \)

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Definition:

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet die Differentialrechnung mit der Integralrechnung.

Details:

• Sei \( f \) stetig in \( [a, b] \) und \( F \) eine Stammfunktion von \( f \) in \( [a, b] \), dann gilt:
• \[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]
• Falls \( F \) differenzierbar ist, gilt:
• \[ F'(x) = f(x) \]
• Wichtige Voraussetzung: \( f \) muss stetig sein auf dem Intervall \( [a, b] \).

Zwischenwertsatz

Definition:

Zwischenwertsatz: Funktion f stetig auf [a, b] und f(a) ≠ f(b), dann nimmt f jeden Wert zw. f(a) und f(b) mindestens einmal an.

Details:

• Voraussetzungen: f stetig auf [a, b]
• f(a) ≠ f(b)
• Zwischenwertsatz garantiert: k, mit f(a) < k < f(b), dann ∃ c ∈ (a, b): f(c) = k
• Gilt auch: f(b) < k < f(a)

Taylor- und Maclaurinreihen

Definition:

Repräsentation einer Funktion als unendliche Summe ihrer Ableitungen im Punkt a (Taylor) bzw. 0 (Maclaurin).

Details:

• Taylorreihe: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \]
• Maclaurinreihe: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \]
• Konvergenzradius prüfen, um zu bestimmen, ob die Reihe zu f(x) konvergiert.

Optimierungsprobleme in der Informatik

Definition:

Optimierungsprobleme sind Aufgaben, bei denen es darum geht, eine Lösung aus einer Menge möglicher Lösungen auszuwählen, sodass ein bestimmtes Kriterium maximiert oder minimiert wird.

Details:

• Mathematische Formulierung: Eine Funktion f(x) soll maximiert oder minimiert werden, wobei x in einem definierten Bereich liegt.
• Klassifikation: deterministische vs. stochastische, diskrete vs. kontinuierliche, lineare vs. nichtlineare Optimierung
• Beispiele: kürzester Pfad, maximale Flussprobleme, Rucksackproblem
• Wichtige Algorithmen: Branch-and-Bound, Greedy-Algorithmus, Dynamische Programmierung
• Komplexität: P vs. NP, NP-vollständig