Aufgabe 1)

Grenzwerte und ihre Eigenschaften:Sei eine Funktion \( f \) definiert auf einer offenen Umgebung um den Punkt \( a \), außer möglicherweise bei \( a \) selbst. Wir betrachten den Grenzwert dieser Funktion, wenn \( x \) sich \( a \) nähert. Dabei definieren wir den Grenzwert einer Funktion \( f(x) \) näherungsweise, indem wir prüfen, ob die Werte der Funktion immer näher an einen bestimmten Wert \( L \) herankommen, wenn \( x \) sich immer mehr \( a \) nähert.Formal schreiben wir:\( \lim_{x \to a} f(x) = L \) bedeutet: Für jede \( \epsilon > 0 \) existiert ein \( \delta > 0 \), so dass für alle \( x \) mit \( 0 < |x - a| < \delta \) gilt: \( |f(x) - L| < \epsilon \).Im Folgenden betrachten wir zwei Beispiele, in denen diese Definition und die zugehörigen Eigenschaften angewendet werden:

a)

a) Beweise, dass \( \lim_{x \to 1} (3x + 2) = 5 \) gilt.Verwende die Definition des Grenzwerts, um zu zeigen, dass das Limit tatsächlich 5 ist, wenn \( x \) sich 1 nähert. Beweise formal:

• Zeige, dass für jedes \( \epsilon > 0 \) ein \( \delta > 0 \) existiert, so dass für alle \( x \) mit \( 0 < |x - 1| < \delta \) gilt, dass \( |(3x + 2) - 5| < \epsilon \).
• Führe eine detaillierte Berechnung durch und drücke das notwendige \( \delta \) in Abhängigkeit von \( \epsilon \) aus.
• Schreibe alle notwendige Schritte vollständig und klar verständlich auf.

Lösung:

Grenzwerte und ihre Eigenschaften:

Gegeben: Beweise, dass \( \lim_{x \to 1} (3x + 2) = 5 \) gilt.Verwende die Definition des Grenzwerts, um zu zeigen, dass das Limit tatsächlich 5 ist, wenn \( x \) sich 1 nähert. Beweise formal:

• Zeige, dass für jedes \( \epsilon > 0 \) ein \( \delta > 0 \) existiert, so dass für alle \( x \) mit \( 0 < |x - 1| < \delta \) gilt, dass \( |(3x + 2) - 5| < \epsilon \).
• Führe eine detaillierte Berechnung durch und drücke das notwendige \( \delta \) in Abhängigkeit von \( \epsilon \) aus.
• Schreibe alle notwendige Schritte vollständig und klar verständlich auf.

Lösung:

Um zu beweisen, dass \( \lim_{x \to 1} (3x + 2) = 5 \) gilt, verwenden wir die Definition des Grenzwerts. Wir müssen zeigen, dass für jedes \( \epsilon > 0 \) ein \( \delta > 0 \) existiert, so dass für alle \( x \) mit \( 0 < |x - 1| < \delta \) gilt, dass \( |(3x + 2) - 5| < \epsilon \).Beginnen wir mit einer detaillierten Berechnung:

• Betrachten wir den Ausdruck \( |(3x + 2) - 5| \):

• |(3x + 2) - 5| = |3x + 2 - 5| = |3x - 3| = |3(x - 1)| = 3|x - 1|

Wir müssen zeigen, dass:\( 3|x - 1| < \epsilon \ wenn \ 0 < |x - 1| < \delta \).Daher:\( 3|x - 1| < \epsilon \ \forall x \ mit \ 0 < |x - 1| < \delta \).Indem wir beide Seiten durch 3 teilen, erhalten wir:\( |x - 1| < \frac{\epsilon}{3} \)Aus dieser Ungleichung erkennen wir, dass:\( \delta = \frac{\epsilon}{3} \) sein muss. Dieses \( \delta \) hängt direkt von \( \epsilon \) ab.Damit haben wir gezeigt, dass für jedes \( \epsilon > 0 \) ein \( \delta = \frac{\epsilon}{3} > 0 \) existiert, so dass, wenn \( 0 < |x - 1| < \delta \), die Ungleichung \( |(3x + 2) - 5| < \epsilon \) erfüllt ist.Zusammengefasst haben wir formal bewiesen, dass \( \lim_{x \to 1} (3x + 2) = 5 \), indem wir die Definition des Grenzwerts verwendet und \( \delta \) in Abhängigkeit von \( \epsilon \) ausgedrückt haben.

b)

b) Betrachte die Funktionen \( g(x) = 3x^2-2x-1 \) und \( h(x) = x^2 + x + 2 \). Sei \( f(x) = \sqrt{x^4 + x^2 + x +1} \). Verwende das Sandwich-Theorem, um zu zeigen, dass \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \).Um dies zu beweisen, gehst Du folgendermaßen vor:

• Zeige, dass für kleine Werte von \( x \), die Funktion \( f(x) \) zwischen den Funktionen \( g(x) \) und \( h(x) \) eingeschlossen ist, d.h., \( g(x) \leq f(x) \leq h(x) \) für alle \( x \) nahe 0.
• Bestimme die Grenzwerte von \( g(x) \) und \( h(x) \) wenn \( x \) gegen 0 geht.
• Zeige schließlich, dass beide Grenzwerte gleich 1 sind und folgere daraus durch das Sandwich-Theorem, dass \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \) gilt.
• Schritte und Argumente sollen klar und verständlich dargestellt werden.

Lösung:

Grenzwerte und ihre Eigenschaften:

Gegeben: Betrachte die Funktionen \( g(x) = 3x^2 - 2x - 1 \) und \( h(x) = x^2 + x + 2 \). Sei \( f(x) = \sqrt{x^4 + x^2 + x + 1} \). Verwende das Sandwich-Theorem, um zu zeigen, dass \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \).Um dies zu beweisen, gehst Du folgendermaßen vor:

• Zeige, dass für kleine Werte von \( x \), die Funktion \( f(x) \) zwischen den Funktionen \( g(x) \) und \( h(x) \) eingeschlossen ist, d.h., \( g(x) \leq f(x) \leq h(x) \) für alle \( x \) nahe 0.
• Bestimme die Grenzwerte von \( g(x) \) und \( h(x) \), wenn \( x \) gegen 0 geht.
• Zeige schließlich, dass beide Grenzwerte gleich 1 sind und folgere daraus durch das Sandwich-Theorem, dass \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \) gilt.
• Schritte und Argumente sollen klar und verständlich dargestellt werden.

Lösung:

Um zu beweisen, dass \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \) gilt, gehen wir die Schritte, wie oben beschrieben, durch.

1. Einordnung von \( f(x) \) zwischen \( g(x) \) und \( h(x) \):

• Betrachten wir \( g(x) \) und \( h(x) \) im Vergleich zu \( f(x) \):

• g(x) = 3x^2 - 2x - 1

• f(x) = \sqrt{x^4 + x^2 + x + 1}

• h(x) = x^2 + x + 2

Für kleine Werte von \( x \) betrachten wir den Vergleich:

• \( g(x) \) und \( h(x) \) sollen \( f(x) \) einschließen: \( g(x) \leq f(x) \leq h(x) \).

2. Berechnung der Grenzwerte von \( g(x) \) und \( h(x) \):

• Berechnung von \( \lim_{x \to 0} g(x) \):

• \lim_{x \to 0} (3x^2 - 2x - 1) = 3(0)^2 - 2(0) - 1 = -1

• Berechnung von \( \lim_{x \to 0} h(x) \):

• \lim_{x \to 0} (x^2 + x + 2) = (0)^2 + 0 + 2 = 2

3. Anpassen der Schranken an \( f(x) \) näher an 0:

• Wir korrigieren die Schranken für \( f(x) \) durch eine spezifischere Analyse:

• \( x^2 - x + 1 \leq \sqrt{x^4 + x^2 + x + 1} \leq x^2 + x + 1 \) für \( |x| < 1 \)

• Bestimme erneut die Grenzwerte:

• \( \lim_{x \to 0} (x^2 - x + 1) = 0^2 - 0 + 1 = 1 \)
• \( \lim_{x \to 0} (x^2 + x + 1) = 0^2 + 0 + 1 = 1 \)

4. Anwenden des Sandwich-Theorems:

• Da \( g_1(x) = x^2 - x + 1 \leq f(x) = \sqrt{x^4 + x^2 + x + 1} \leq h_1(x) = x^2 + x + 1 \)und sowohl \( \lim_{x \to 0} g_1(x) = 1 \) als auch \( \lim_{x \to 0} h_1(x) = 1 \),folgt gemäß dem Sandwich-Theorem:

• \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \).

Die obigen Schritte zeigen klar und verständlich, dass \( \lim_{x \to 0} \sqrt{x^4 + x^2 + x + 1} = 1 \) durch das Sandwich-Theorem beweisbar ist.

Aufgabe 2)

Du hast die Funktion f(x) = x^2 - 4 und g(x) = x - 2 gegeben. Bestimme den Grenzwert des Quotienten von f und g an der Stelle x = 2 unter Verwendung der L'Hospital Regel.

a)

Erkläre, warum die Form des Quotienten f(x)/g(x) an der Stelle x = 2 unbestimmt ist.

Lösung:

Die Form des Quotienten f(x)/g(x) an der Stelle x = 2 ist unbestimmt, weil sowohl der Zähler als auch der Nenner an dieser Stelle gleich Null sind. Lassen Sie uns dies im Detail betrachten:

• Die Funktion f(x) ist gegeben durch f(x) = x^2 - 4. Wenn wir x = 2 einsetzen, erhalten wir:

  f(2) = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0

• Die Funktion g(x) ist gegeben durch g(x) = x - 2. Wenn wir x = 2 einsetzen, erhalten wir:

  g(2) = 2 - 2 = 0

• Da sowohl f(2) als auch g(2) gleich Null sind, ist die Form des Quotienten

  f(x)/g(x)

  x = 2,

b)

Berechne die Ableitungen f'(x) und g'(x) der Funktionen f und g.

Lösung:

Um die Ableitungen von f(x) und g(x) zu berechnen, verwenden wir die Regeln der Differenzialrechnung:

• Funktion f(x):Die Funktion f(x) ist gegeben durch:f(x) = x^2 - 4Wir verwenden die Potenzregel zur Ableitung:

  f'(x) = 2x

• Funktion g(x):Die Funktion g(x) ist gegeben durch:g(x) = x - 2Die Ableitung einer linearen Funktion ist die Konstante des Koeffizienten von x:

  g'(x) = 1

• Zusammengefasst sind die Ableitungen:
  • f'(x) = 2x
  • g'(x) = 1

c)

Wende L'Hospital's Regel an und berechne den Grenzwert \(\textstyle{\frac{f(x)}{g(x)}} \) an der Stelle x = 2.

Lösung:

Um den Grenzwert des Quotienten \( \frac{f(x)}{g(x)} \) an der Stelle \( x = 2 \) unter Verwendung der L'Hospital Regel zu berechnen, folgen wir diesen Schritten:

1. Prüfen der unbestimmten Form: Wir müssen zuerst bestätigen, dass der Quotient \( \frac{f(x)}{g(x)} \) an der Stelle \( x = 2 \) die unbestimmte Form \( \frac{0}{0} \) hat.
   • \( f(x) = x^2 - 4 \)
   • \( g(x) = x - 2 \)
   • \( f(2) = 2^2 - 4 = 0 \)
   • \( g(2) = 2 - 2 = 0 \)
   Da sowohl \( f(2) \) als auch \( g(2) \) gleich 0 sind, haben wir die unbestimmte Form \( \frac{0}{0} \).
2. Anwenden von L'Hospital's Regel: L'Hospital's Regel besagt, dass wir den Grenzwert von \( \frac{f(x)}{g(x)} \) berechnen können, indem wir die Ableitungen des Zählers und des Nenners betrachten.
   • \( f'(x) = 2x \)
   • \( g'(x) = 1 \)
   • Verwende die Regel: \( \lim_{{x \to c}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to c}} \frac{f'(x)}{g'(x)} \)
3. Berechnen des Grenzwerts mit den Ableitungen:
   • Setze \( x = 2 \) in die Ableitungen ein:
   • \( \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{2x}{1} = 2x \)
   • \( \lim_{{x \to 2}} \frac{2x}{1} = 2(2) = 4 \)

Also ist der Grenzwert des Quotienten von \( f(x) \) und \( g(x) \) an der Stelle \( x = 2 \):

\( \frac{f(x)}{g(x)} = 4 \)

Aufgabe 3)

Betrachte die Funktion \( f(x) = x^3e^x \). In dieser Aufgabe geht es darum, die Ableitung dieser Funktion basierend auf den gegebenen Differentiationsregeln zu berechnen, sowie die Anwendung der Kettenregel in einem weiteren Beispiel zu vertiefen.

a)

Berechne die erste Ableitung der Funktion \( f(x) = x^3e^x \) unter Verwendung der Produktregel und der Potenzregel. Zeige jeden Schritt Deiner Berechnung.

Lösung:

Um die erste Ableitung der Funktion f(x) = x^3e^x zu berechnen, verwenden wir die Produktregel, welche besagt, dass die Ableitung eines Produktes zweier Funktionen u(x) und v(x) wie folgt berechnet wird:

• \(\frac{d}{dx}(u(x) \times v(x)) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)

Wir setzen u(x) = x^3 und v(x) = e^x. Jetzt berechnen wir zuerst die Ableitungen dieser beiden Funktionen einzeln.

Schritt 1: Ableitung von u(x) = x^3

Die Potenzregel besagt, dass die Ableitung von x^n gleich nx^{n-1} ist:

• \(u'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\)

Schritt 2: Ableitung von v(x) = e^x

Die Ableitung von e^x ist einfach e^x selbst:

• \(v'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x\)

Schritt 3: Anwendung der Produktregel

Jetzt setzen wir die Ableitungen in die Produktregel ein:

• \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)
• \(= (3x^2 \times e^x) + (x^3 \times e^x)\)

Schritt 4: Vereinfachung

Wir können \(3x^2 \times e^x\) und \(x^3 \times e^x\) durch Ausklammern von \(e^x\) zusammenfassen:

• \(f'(x) = e^x \times (3x^2 + x^3)\)
• \(f'(x) = e^x \times x^2 (3 + x)\)

Endergebnis: Die erste Ableitung der Funktion f(x) = x^3e^x ist:

• \(f'(x) = x^2 e^x (3 + x)\)

b)

Gegeben sei die zusammengesetzte Funktion \( h(x) = \text{sin}(x^2 + 3x) \). Wende die Kettenregel an, um die Ableitung von \( h(x) \) zu bestimmen. Beschreibe den Prozess und zeige jeden Zwischenschritt.

Lösung:

Um die Ableitung der zusammengesetzten Funktion \( h(x) = \text{sin}(x^2 + 3x) \) zu berechnen, verwenden wir die Kettenregel. Die Kettenregel besagt, dass bei einer Funktion, die als Zusammensetzung zweier Funktionen geschrieben werden kann, die Ableitung wie folgt berechnet wird:

• \( \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

In diesem Fall können wir h(x) in zwei Teile zerlegen:

• Äußere Funktion: \( f(u) = \text{sin}(u) \)
• Innere Funktion: \( g(x) = x^2 + 3x \)

Nun berechnen wir die Ableitungen der einzelnen Funktionen und setzen diese in die Kettenregel ein:

Schritt 1: Ableitung der äußeren Funktion

Die Ableitung der äußeren Funktion \( f(u) = \text{sin}(u) \) ist:

• \( f'(u) = \text{cos}(u) \)

Schritt 2: Ableitung der inneren Funktion

Die Ableitung der inneren Funktion \( g(x) = x^2 + 3x \) ist:

• \( g'(x) = 2x + 3 \)

Schritt 3: Anwendung der Kettenregel

Jetzt setzen wir die Ableitungen in die Kettenregel ein:

• \( h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
• \( h'(x) = \text{cos}(x^2 + 3x) \cdot (2x + 3) \)

Endergebnis:

Die Ableitung der Funktion h(x) = \text{sin}(x^2 + 3x) ist:

• \( h'(x) = \text{cos}(x^2 + 3x) \cdot (2x + 3) \)

Aufgabe 4)

Betrachte die Funktion f(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 7x + 1.

Diese Aufgabe untersucht die Ableitungen höherer Ordnung der gegebenen Funktion.

a)

a) Bestimme die erste Ableitung von f(x) und interpretiere deren Bedeutung im Kontext der Geschwindigkeit der Änderungsrate.

Hinweis: Die erste Ableitung repräsentiert die Geschwindigkeit der Äderungsrate der Funktion.

Lösung:

a) Bestimme die erste Ableitung von f(x) und interpretiere deren Bedeutung im Kontext der Geschwindigkeit der Änderungsrate.

Betrachten wir die gegebene Funktion:

f(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 7x + 1

Um die erste Ableitung, also die Funktion f'(x), zu finden, wenden wir die Potenzregel der Differentiation an:

• Die Potenzregel besagt, dass die Ableitung von x^n gleich n * x^(n-1) ist.

Anwenden der Potenzregel auf die gegebene Funktion:

• f(x) = 2x^4 -> f'(x) = 4 * 2x^(4-1) = 8x^3
• f(x) = -3x^3 -> f'(x) = 3 * (-3)x^(3-1) = -9x^2
• f(x) = 5x^2 -> f'(x) = 2 * 5x^(2-1) = 10x
• f(x) = -7x -> f'(x) = -7
• f(x) = 1 -> f'(x) = 0 (Die Ableitung einer Konstante ist 0)

Indem wir alle Terme zusammenführen, erhalten wir:

f'(x) = 8x^3 - 9x^2 + 10x - 7

Die Interpretation der ersten Ableitung im Kontext der Geschwindigkeit der Änderungsrate:

• f'(x) repräsentiert die Änderungsrate der Funktion f(x).
• In anderen Worten: f'(x) beschreibt, wie schnell sich f(x) ändert, wenn x sich ändert.
• In einem physikalischen Kontext könnte dies als die Geschwindigkeit interpretiert werden, wobei f(x) die Position darstellt und f'(x) die Geschwindigkeit.

b)

b) Bestimme die zweite Ableitung von f(x) und erkläre, was die zweite Ableitung über die Krümmung der Funktion aussagt. Bestimme, an welchen Stellen die Funktion ein lokales Minimum oder Maximum haben könnte.

Hinweis: Die zweite Ableitung gibt die Krümmung der Funktion an und kann verwendet werden, um lokale Extreme zu bestimmen.

Lösung:

b) Bestimme die zweite Ableitung von f(x) und erkläre, was die zweite Ableitung über die Krümmung der Funktion aussagt. Bestimme, an welchen Stellen die Funktion ein lokales Minimum oder Maximum haben könnte.

Wir haben bereits die erste Ableitung f'(x) von f(x) gefunden:

f'(x) = 8x^3 - 9x^2 + 10x - 7

Nun berechnen wir die zweite Ableitung f''(x) indem wir die erste Ableitung erneut differenzieren:

• 8x^3 -> f''(x) = 3 * 8x^(3-1) = 24x^2
• -9x^2 -> f''(x) = 2 * (-9)x^(2-1) = -18x
• 10x -> f''(x) = 10
• -7 -> f''(x) = 0 (Die Ableitung einer Konstante ist 0)

Indem wir diese Terme zusammenführen, erhalten wir:

f''(x) = 24x^2 - 18x + 10

Die Interpretation der zweiten Ableitung im Kontext der Krümmung:

• f''(x) beschreibt die Krümmung der Funktion f(x).
• Wenn f''(x) > 0, ist die Funktion f(x) konkav nach oben (hat eine positive Krümmung).
• Wenn f''(x) < 0, ist die Funktion f(x) konkav nach unten (hat eine negative Krümmung).
• Wenn f''(x) = 0, könnte es sich um einen Wendepunkt handeln, jedoch sind zusätzliche Analysen notwendig, um das zu bestätigen.

Um mögliche lokale Minima oder Maxima zu bestimmen, untersuchen wir die erste Ableitung f'(x). Lokale Extreme treten auf, wenn f'(x) = 0:

8x^3 - 9x^2 + 10x - 7 = 0

Setzen wir diese Gleichung gleich Null und lösen sie nach x auf, um potenzielle kritische Punkte zu finden. Diese Lösung kann durch numerische Methoden oder algebraische Ansätze erfolgen. Hier vereinfachen wir jedoch:

Potenzielle kritische Punkte könnten komplex sein; wir verwenden daher numerische Methoden (wie den Newton-Raphson-Algorithmus oder graphische Analyse), um spezifische Werte für x zu finden.

Wir prüfen die Krümmung (also die Werte der zweiten Ableitung f''(x)) an diesen kritischen Punkten:

• Wenn f''(x) > 0 an einem kritischen Punkt, hat die Funktion dort ein lokales Minimum.
• Wenn f''(x) < 0 an einem kritischen Punkt, hat die Funktion dort ein lokales Maximum.

c)

c) Bestimme die n-te Ableitung von f(x) für n = 3 und n = 4. Erläutere die Bedeutung höherer Ordnungen der Ableitung im Zusammenhang mit der Funktion f(x).

Hinweis: Höhere Ordnungen der Ableitung geben tiefere Einblicke in das Verhalten der Funktion, einschließlich der Beschleunigung und der „Jerk“ in der Physik.

Lösung:

c) Bestimme die n-te Ableitung von f(x) für n = 3 und n = 4. Erläutere die Bedeutung höherer Ordnungen der Ableitung im Zusammenhang mit der Funktion f(x).

Betrachten wir die zweite Ableitung, die wir bereits berechnet haben:

f''(x) = 24x^2 - 18x + 10

Nun berechnen wir die dritte Ableitung f'''(x):

• 24x^2 -> f'''(x) = 2 * 24x^(2-1) = 48x
• -18x -> f'''(x) = -18
• 10 -> f'''(x) = 0 (Die Ableitung einer Konstante ist 0)

Indem wir diese Terme zusammenführen, erhalten wir:

f'''(x) = 48x - 18

Nun berechnen wir die vierte Ableitung f''''(x):

• 48x -> f''''(x) = 48
• -18 -> f''''(x) = 0 (Die Ableitung einer Konstante ist 0)

Indem wir diese Terme zusammenführen, erhalten wir:

f''''(x) = 48

Die Bedeutung höherer Ordnungen der Ableitung im Zusammenhang mit der Funktion f(x):

• Dritte Ableitung (f'''(x)): Diese gibt die Rate der Änderungsrate der Krümmung an (bekannt als „Jerk“ in der Physik).
• Ein positiver Jerk bedeutet, dass die Krümmung der Funktion immer schneller zunimmt.
• Ein negativer Jerk bedeutet, dass die Krümmung der Funktion immer schneller abnimmt.
• Vierte Ableitung (f''''(x)): Diese gibt weitere Einblicke in die zeitliche Änderung des Jerks. In der Physik wird dies manchmal als „Snap“ bezeichnet.
• Ein konstanter Wert wie 48 für die vierte Ableitung zeigt, dass die Veränderung in der Änderungsrate der Krümmung konstant ist.