Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - Cheatsheet.pdf

Definition und Klassifizierung: diskrete und stetige Zufallsvariablen

Definition:

Zufallsvariablen können in diskrete und stetige Variablen klassifiziert werden.

Details:

• Diskrete Zufallsvariable: Nimmt abzählbare Werte an, z.B. Würfelwurf. Wahrscheinlichkeitsfunktion: \(P(X=x)\)
• Stetige Zufallsvariable: Nimmt jeden Wert in einem Intervall an. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion: \(f(x)\)
• Wahrscheinlichkeit für stetige Variablen: \(\text{P}(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\)

Transformationen von Zufallsvariablen

Definition:

Transformationen von Zufallsvariablen: Ausgehend von einer Zufallsvariablen eine neue Zufallsvariable durch eine Funktion bestimmen.

Details:

• Für Zufallsvariable X und Funktion g: Y = g(X)
• Diskrete Zufallsvariablen: Wahrscheinlichkeitsmassefunktion transformieren
• Kontinuierliche Zufallsvariablen: Dichtefunktion transformieren
• Falls g injektiv, Transformation via inverse Funktion
• Formeln:

• Diskret: \( P(Y = y) = P(g(X) = y) \)
• Kontinuierlich: \[ f_Y(y) = f_X(x) \frac{d}{dy}[g^{-1}(y)] \]

Binomial- und Poisson-Verteilung

Definition:

Binomial- und Poisson-Verteilung beschreiben diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen für unterschiedliche Szenarien der Ereigniszählung.

Details:

• Binomial-Verteilung
• Anzahl der Erfolge in Experimentreihe mit fester Wiederholungsanzahl
• Parameter: Anzahl der Versuche (\( n \)), Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch (\( p \))
• Formel: \[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \]
• Poisson-Verteilung
• Modelliert Anzahl der Ereignisse in festem Intervall bei bekannten Durchschnitt
• Parameter: Ereignisrate (\( \lambda \))
• Formel: \[ P(X = k) = \frac{{\lambda^k e^{-\lambda}}}{{k!}} \]

Multivariate Verteilungen: gemeinsame, Rand- und bedingte Verteilungen

Definition:

Multivariate Verteilungen behandeln die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von zwei oder mehr Zufallsvariablen.

Details:

• Gemeinsame Verteilung: Verteilung mehrerer Zufallsvariablen zusammen, gegeben durch die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion \( P(X = x, Y = y) \).
• Randverteilung: Verteilung einer einzelnen Zufallsvariablen, unabhängig von anderen, durch Summation über alle möglichen Werte der anderen Variablen \( P_X(x) = \sum_y P(X = x, Y = y) \).
• Bedingte Verteilung: Verteilung einer Zufallsvariablen gegeben die Werte anderer Variablen, ausgedrückt durch \( P(X = x \mid Y = y) = \frac{P(X = x, Y = y)}{P_Y(y)} \) falls \( P_Y(y) > 0 \).

Berechnung des Erwartungswerts für verschiedene Verteilungen

Definition:

Erwartungswert (Mittelwert) einer Zufallsvariable in einer diskreten Verteilung

Details:

• Diskrete Verteilung:
  • Für eine Zufallsvariable \(X\) mit den Werten \(x_1, x_2, ..., x_n\) und Wahrscheinlichkeiten \(P(X=x_i)\): \[E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i)\]
• Gleichverteilung:
  • Wenn \(X\) gleichverteilt auf den Werten \(x_1, x_2, ..., x_n\) ist, dann: \[E(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\]
• Bernoulli-Verteilung (Erfolg/Misserfolg):
  • \(X\) mit Erfolg \(p\): \[E(X) = p\]
• Binomialverteilung:
  • \(X\) mit \(n\) Versuchen und \(p\) Erfolgswahrscheinlichkeit: \[E(X) = n \cdot p\]
• Poisson-Verteilung:
  • \(X\) mit Ereignissen die mit Rate \(\lambda\) auftreten: \[E(X) = \lambda\]

Jensens Ungleichung

Definition:

Jensens Ungleichung gibt eine Beziehung zwischen dem Erwartungswert einer konvexen Funktion und der Funktion des Erwartungswerts an.

Details:

• Sei \( X \) eine Zufallsvariable und \( \varphi \) eine konvexe Funktion.
• Jensens Ungleichung: \( \varphi(\mathbb{E}[X]) \leq \mathbb{E}[\varphi(X)] \) für eine konvexe Funktion \( \varphi \).
• Wichtig für die Beurteilung von Erwartungswerten und Risikoeinschätzung bei konvexen Transformationen.
• Gilt auch für konkave Funktionen, dort ist das Ungleichheitszeichen umgekehrt.

Schwaches und starkes Gesetz der großen Zahlen

Definition:

Gesetze der großen Zahlen beschreiben das Konvergenzverhalten von Zufallsvariablen.

Details:

• Schwaches Gesetz der großen Zahlen (WLLN): Für eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) mit Erwartungswert \(\mu\) und Varianz \(\sigma^2\) gilt: \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{n \to \infty} \mu\) in Wahrscheinlichkeit.
• Starkes Gesetz der großen Zahlen (SLLN): Unter denselben Bedingungen gilt: \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{n \to \infty} \mu\) fast sicher.
• Wichtiger Unterschied: WLLN beschreibt Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, SLLN beschreibt fast sichere Konvergenz.

Normalapproximation bei großen Stichproben

Definition:

Normalapproximation bei großen Stichproben - verwendet, um diskrete Zufallsvariablen durch die Normalverteilung darzustellen, oft basierend auf dem zentralen Grenzwertsatz.

Details:

• Verwendet für Binomialverteilung und andere diskrete Verteilungen, wenn n groß ist.
• Voraussetzung: n ist groß genug, sodass die Bedingungen des zentralen Grenzwertsatzes erfüllt sind.
• Approximation: \( X \sim Bin(n, p) \approx N( np, np(1-p) ) \)
• Kontinuitätskorrektur häufig notwendig.