Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Gegeben sei eine Zufallsvariable X, die die Ergebnisse eines Experiments beschreibt. Diese Zufallsvariable kann sowohl diskrete als auch stetige Werte annehmen. Nehmen wir an, X beschreibt die Anzahl der Aufrufe eines Servers pro Minute. Bei sehr geringem Datenverkehr kann diese verteilt sein wie die Anzahl der Aufrufe innerhalb einer Minute (diskret), während bei hohem Datenverkehr die Zeit zwischen zwei Aufrufen als kontinuierliche Variablen betrachtet werden kann.

b)

b) Sei Y die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Aufrufen des Servers und diese Zeit folgt einer Exponentialverteilung mit dem Erwartungswert von 6 Sekunden. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(y) und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand zwischen zwei Aufrufen weniger als 4 Sekunden beträgt. Verwende die Formel:

\[f(y) = \lambda e^{-\lambda y}\]

Lösung:

Um die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(y) zu bestimmen und die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass der Abstand zwischen zwei Aufrufen weniger als 4 Sekunden beträgt, analysieren wir die Exponentialverteilung:

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Exponentialverteilung ist gegeben durch:

\[f(y) = \lambda e^{-\lambda y}\]

Wir wissen, dass der Erwartungswert 6 Sekunden beträgt. Der Parameter \(\lambda\) ist der Kehrwert des Erwartungswerts:

• Erwartungswert \(E[Y] = 6\) Sekunden
• \(\lambda = \frac{1}{E[Y]} = \frac{1}{6}\)

Somit lautet die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

\[f(y) = \frac{1}{6} e^{-\frac{1}{6} y}\]

Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand zwischen zwei Aufrufen weniger als 4 Sekunden beträgt:

Diese Wahrscheinlichkeit entspricht der Fläche unter der Dichtefunktion von 0 bis 4 Sekunden:

\[P(Y < 4) = \int_{0}^{4} \frac{1}{6} e^{-\frac{1}{6} y} \, dy\]

Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, integrieren wir die Funktion:

\[P(Y < 4) = \left. -e^{-\frac{1}{6} y} \right|_{0}^{4}\]

Setzen wir die Grenzen ein:

\[P(Y < 4) = -e^{-\frac{1}{6} \cdot 4} - (-e^{0}) = -e^{-\frac{2}{3}} + 1\]

Da \(e^0 = 1\):

\[P(Y < 4) = 1 - e^{-\frac{2}{3}}\]

Berechnen wir den numerischen Wert:

\(\approx 1 - e^{-0.6667}\)

\(\approx 1 - 0.5134\)

\[P(Y < 4) \approx 0.4866\]

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand zwischen zwei Aufrufen weniger als 4 Sekunden beträgt, beträgt also ungefähr 0,4866 oder 48,66 %.

c)

c) Berechne für die in Teil b) gegebene Exponentialverteilung den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariable Y. Nutze die allgemeinen Formeln für den Erwartungswert und die Varianz einer Exponentialverteilung:

\(E(Y) = \frac{1}{\lambda}\)

\(Var(Y) = \frac{1}{\lambda^2}\)

Lösung:

Um den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariable Y für die in Teil b) gegebene Exponentialverteilung zu berechnen, nutzen wir die allgemeinen Formeln für den Erwartungswert und die Varianz einer Exponentialverteilung:

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Exponentialverteilung lautet:

\[f(y) = \lambda e^{-\lambda y}\]

Gegeben ist, dass der Erwartungswert 6 Sekunden beträgt. Aus Teil b) wissen wir, dass:

• \(\lambda = \frac{1}{6}\)

1. Berechnung des Erwartungswerts:

Die Formel für den Erwartungswert lautet:

\[E(Y) = \frac{1}{\lambda}\]

Setzen wir \(\lambda = \frac{1}{6}\) ein:

\[E(Y) = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6\]

2. Berechnung der Varianz:

Die Formel für die Varianz lautet:

\[Var(Y) = \frac{1}{\lambda^2}\]

Setzen wir \(\lambda = \frac{1}{6}\) ein:

\[Var(Y) = \frac{1}{\left(\frac{1}{6}\right)^2} = 6^2 = 36\]

Zusammengefasst:

• Der Erwartungswert \(E(Y)\) beträgt 6 Sekunden.
• Die Varianz \(Var(Y)\) beträgt 36 Sekunden, zum Quadrat.

d)

d) Diskutiere kurz, unter welchen Bedingungen es sinnvoll ist, die Anzahl der Aufrufe einer Webseite als eine diskrete Zufallsvariable zu modellieren und wann es sinnvoller ist, die Dauer zwischen zwei Aufrufen als eine stetige Zufallsvariable zu betrachten.

Lösung:

Es gibt spezifische Bedingungen, unter denen es sinnvoll ist, die Anzahl der Aufrufe einer Webseite als eine diskrete Zufallsvariable zu modellieren, und andere Bedingungen, unter denen es sinnvoller ist, die Dauer zwischen zwei Aufrufen als eine stetige Zufallsvariable zu betrachten:

• Diskrete Zufallsvariable (Anzahl der Aufrufe):Die Anzahl der Aufrufe wird als diskrete Zufallsvariable modelliert, wenn der Datenverkehr gering ist und die Ereignisse (Aufrufe) relativ selten sind. In diesem Fall beschreibt die Zufallsvariable X die Anzahl der Aufrufe innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls, wie einer Minute. Jede beobachtete Anzahl von Aufrufen ist eine ganze Zahl (0, 1, 2, ...), was die Diskretheit dieser Zufallsvariable veranschaulicht. Ein typisches Beispiel wäre ein neuer oder wenig besuchter Server, bei dem die Anfragen sporadisch eintreffen.
• Stetige Zufallsvariable (Zeit zwischen zwei Aufrufen):Die Dauer zwischen zwei Aufrufen wird als eine stetige Zufallsvariable modelliert, wenn der Datenverkehr hoch ist und die Ereignisse (Aufrufe) häufig auftreten. In diesem Fall beschreibt die Zufallsvariable Y die Zeit, die zwischen zwei aufeinanderfolgenden Aufrufen des Servers vergeht. Diese Zeit kann jeden positiven reellen Wert annehmen, was die Stetigkeit dieser Zufallsvariable darstellt. Ein typisches Beispiel wäre ein beliebter oder stark frequentierter Server, bei dem die Anfragen fast kontinuierlich eintreffen.

Zusammengefasst:

• Diskret: Bei geringem und sporadischem Datenverkehr (Poisson-Verteilung der Anzahl der Aufrufe pro Minute).
• Stetig: Bei hohem und häufigem Datenverkehr (Exponentialverteilung der Zeitintervalle zwischen zwei Aufrufen).

Aufgabe 2)

Eine Zufallsvariablen X ist gegeben mit der Wahrscheinlichkeitsmassefunktion (PMF)

• P(X=1) = 0,2
• P(X=2) = 0,5
• P(X=3) = 0,3

Es sei die Funktion g durch g(X) = X^2 definiert. Bestimme die veränderte Zufallsvariable Y = g(X).

a)

Bestimme die Wahrscheinlichkeitsmassefunktion (PMF) für die neue Zufallsvariable Y.

• Berechne die Wahrscheinlichkeit für jeden Wert, den die veränderte Zufallsvariable Y annehmen kann.
• Erstelle eine Tabelle, die die neuen Wahrscheinlichkeiten zeigt.

Lösung:

Subaufgabe: Bestimme die Wahrscheinlichkeitsmassefunktion (PMF) für die neue Zufallsvariable Y

Wir haben die ursprüngliche Zufallsvariable X mit den Wahrscheinlichkeiten:

• P(X=1) = 0,2
• P(X=2) = 0,5
• P(X=3) = 0,3

und die Funktion g(X) = X^2.Nun möchten wir die Wahrscheinlichkeitsmassefunktion für die neue Zufallsvariable Y = g(X) bestimmen.Schritt-für-Schritt-Berechnung der Wahrscheinlichkeiten:

b)

Gegeben sei eine kontinuierliche Zufallsvariable Z mit der Dichtefunktion f_Z(z) = 3z^2 für z in [0,1]. Sei g(z) = z^3.

• Bestimme die transformierte Dichtefunktion f_W(w), wobei W = g(Z).
• Verwende die Formel \[ f_W(w) = f_Z(z) \frac{d}{dw}[g^{-1}(w)] \] und zeige deine Rechenschritte.

Lösung:

Subaufgabe: Bestimme die transformierte Dichtefunktion f_W(w)

Gegeben sei die kontinuierliche Zufallsvariable Z mit der Dichtefunktion:

• \(f_Z(z) = 3z^2\) für \(z \ \in [0,1]\)

und die Funktion \(g(z) = z^3\).Wir möchten die transformierte Dichtefunktion \(f_W(w)\) bestimmen, wobei \(W = g(Z)\).Schritt-für-Schritt-Berechnung:

1. Die Inverse der Funktion g(z) finden: \( g(z) = z^3 \) -> \( g^{-1}(w) = w^{1/3} \)
2. Die Ableitung der inversen Funktion berechnen:\[ \frac{d}{dw}[g^{-1}(w)] = \frac{d}{dw}[w^{1/3}] = \frac{1}{3}w^{-2/3} \]
3. Die gegebene Transformationsformel verwenden:\[ f_W(w) = f_Z(z) \left| \frac{d}{dw}[g^{-1}(w)] \right| \]
4. Da \(z = g^{-1}(w) = w^{1/3}\), substituieren wir f_Z(z):\[ f_W(w) = f_Z(w^{1/3}) \left| \frac{d}{dw}[g^{-1}(w)] \right| = 3(w^{1/3})^2 \cdot \frac{1}{3}w^{-2/3} \]
5. Die Dichtefunktion vereinfachen:\[ f_W(w) = 3w^{2/3} \cdot \frac{1}{3}w^{-2/3} = 1\]
6. Daher ist die transformierte Dichtefunktion für \(W\):\( f_W(w) = 1 \) für \(w \in [0,1]\)
7. Zusammenfassung:
   • Für Werte von W außerhalb des Intervalls [0, 1] ist die Dichtefunktion 0, da die ursprüngliche Dichtefunktion \( f_Z(z) \) nur für \( z \in [0,1] \) definiert ist.
   • Für \(w \in [0,1]\):\( f_W(w) = 1 \)
   • Für \(w\) außerhalb [0,1]:\( f_W(w) = 0 \)

Aufgabe 3)

Betrachten wir eine Produktionsfirma, die Smartphones herstellt. Sie führt eine Qualitätskontrolle durch, um die Anzahl defekter Geräte pro Charge zu bestimmen. Jede Charge besteht aus 100 Geräten. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät defekt ist, beträgt 0,02. Zusätzlich wird beobachtet, wie viele Geräte pro Stunde in einer separaten Produktionslinie fehlerhaft sind, wobei im Mittel 4 Fehlschläge pro Stunde auftreten.

b)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stunde genau 6 fehlerhafte Geräte in der Produktionslinie auftreten. Verwende hierbei die Poisson-Verteilung.

Lösung:

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass in einer Stunde genau 6 fehlerhafte Geräte in der Produktionslinie auftreten, verwenden wir die Poisson-Verteilung. Die Poisson-Verteilung eignet sich hier, weil sie verwendet wird, um die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Ereignissen in einem festen Intervall zu berechnen, wenn diese Ereignisse mit einer bekannten durchschnittlichen Rate auftreten.

Die Formel der Poisson-Verteilung lautet:

• P(X = k) = \(\frac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!}\)

Hierbei steht:

• \(\lambda\) für die durchschnittliche Rate (in diesem Fall 4 fehlerhafte Geräte pro Stunde)
• \(k\) für die Anzahl der gewünschten Ereignisse (hier 6 fehlerhafte Geräte)
• \(e\) für die Eulersche Zahl (ungefähr 2,71828)

Die Berechnung der Poisson-Verteilung lautet somit:

• \(\lambda = 4\)
• \(k = 6\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 6 fehlerhafte Geräte in einer Stunde auftreten, berechnet sich wie folgt:

• P(X = 6) = \(\frac{4^6 \cdot e^{-4}}{6!}\)

Wir berechnen nun Schritt für Schritt weiter:

• 1. \(4^6 = 4096\)
• 2. \(e^{-4} \approx 0,0183\)
• 3. \(6! = 720\)

Multiplikation der Ergebnisse:

• P(X = 6) = \(\frac{4096 \cdot 0,0183}{720}\)
• P(X = 6) \approx 0,1042 oder 10,42%

Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stunde genau 6 fehlerhafte Geräte in der Produktionslinie auftreten, ungefähr 10,42%.

Hier ist ein Beispielcode in Python zur Berechnung:

import mathdef poisson_prob(lmbda, k):    prob = (lmbda**k * math.exp(-lmbda)) / math.factorial(k)    return probprint(poisson_prob(4, 6))

c)

Vergleiche die Ergebnisse aus den beiden obigen Verteilungen. Diskutiere unter welchen Umständen die Poisson-Verteilung als Approximation der Binomial-Verteilung verwendet werden kann.

Lösung:

Um die beiden Verteilungen zu vergleichen, betrachten wir zunächst die bisher berechneten Wahrscheinlichkeiten:

• Binomial-VerteilungBerechnung der Wahrscheinlichkeit, dass genau 5 von 100 Geräten defekt sind:
• P(X = 5) ≈ 0,0816 oder 8,16%
• Poisson-VerteilungBerechnung der Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stunde genau 6 fehlerhafte Geräte in der Produktionslinie auftreten:
• P(X = 6) ≈ 0,1042 oder 10,42%

Obwohl die Berechnungen auf unterschiedlichen Annahmen basieren, können wir Gemeinsamkeiten und Unterschiede analysieren:

• Binomial-VerteilungDiese Verteilung berücksichtigt die genaue Zahl der Versuche (n = 100) und die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses (p = 0,02).
• Poisson-VerteilungDie Poisson-Verteilung wird verwendet, wenn Ereignisse mit einer bestimmten durchschnittlichen Rate (λ = 4) in einem festen Zeitraum auftreten. Sie dient meistens zur Modellierung seltener Ereignisse über einen bestimmten Zeitraum oder in einem gegebenen Raum.

Diskussion zur Approximation:Die Poisson-Verteilung kann als Approximation der Binomial-Verteilung verwendet werden, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• Die Anzahl der Versuche (n) ist sehr groß.
• Die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs (p) ist sehr klein.
• Das Produkt (n*p) ist eine mittlere Zahl, die als λ in der Poisson-Verteilung dient.

Mathematisch gesprochen kann die Poisson-Verteilung die Binomial-Verteilung approximieren, wenn:

• n → ∞
• p → 0
• np → λ (ein konstanter Wert)

In unserem Szenario können wir vergleichen, indem wir λ = np = 100*0,02 = 2 verwenden. Allerdings haben wir in der Poisson-Verteilung λ = 4 (durchschnittliche Fehlschläge pro Stunde). Dieser Unterschied zeigt, dass trotz der ähnlichen neigungen die Poisson-Verteilung nicht immer eine genaue Approximation für die individuelle Binomialverteilung bietet.

Die Poisson-Verteilung ist sehr nützlich, wenn wir es mit seltenen Ereignissen oder großen n und kleinen p zu tun haben, da sie Berechnungen stark vereinfacht.

Aufgabe 4)

Betrachte die Zufallsvariablen X und Y mit der folgenden gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung:

P(X,Y)	Y=0	Y=1
X=0	0.2	0.3
X=1	0.1	0.4

Verwende diese Informationen, um die folgenden Fragen zu beantworten:

a)

• Berechne die Randverteilung von X. Gib die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für P(X=0) und P(X=1) an.

Hinweis: Die Randverteilung erhält man, indem man über alle möglichen Werte der anderen Variablen summiert.

Lösung:

Um die Randverteilung von X zu berechnen, müssen wir über alle möglichen Werte der anderen Variablen (in diesem Fall Y) summieren. Daraus ergibt sich:

• Berechne P(X=0):

Hier summieren wir die Wahrscheinlichkeiten für alle Werte von Y, wenn X = 0 ist:

• P(X=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=1)

Setze die gegebenen Wahrscheinlichkeiten ein:

• P(X=0) = 0.2 + 0.3 = 0.5

• Berechne P(X=1):

Hier summieren wir die Wahrscheinlichkeiten für alle Werte von Y, wenn X = 1 ist:

• P(X=1) = P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1)

Setze die gegebenen Wahrscheinlichkeiten ein:

• P(X=1) = 0.1 + 0.4 = 0.5

Daher sind die Randverteilungen von X:

• P(X=0) = 0.5
• P(X=1) = 0.5

b)

• Berechne die bedingte Verteilung von X, gegeben dass Y = 1 ist. Bestimme dabei die Wahrscheinlichkeiten P(X=0 | Y=1) und P(X=1 | Y=1).

Hinweis: Verwende die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit: \[ P(X = x \, \mid \, Y = y) = \frac{P(X = x, \, Y = y)}{P_Y(y)} \] und berechne zuerst P_Y(y).

Lösung:

Um die bedingte Verteilung von X, gegeben dass Y = 1 ist, zu berechnen, verwenden wir die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:

\[ P(X = x \, \mid \, Y = y) = \frac{P(X = x, \, Y = y)}{P_Y(y)} \]

Wir müssen zuerst die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y berechnen, speziell P(Y=1).

• P(Y=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=1)
• P(Y=1) = 0.3 + 0.4 = 0.7

Nun können wir die bedingten Wahrscheinlichkeiten berechnen:

• Berechne P(X=0 \, \mid \, Y=1):

\[ P(X = 0 \, \mid \, Y = 1) = \frac{P(X = 0, Y = 1)}{P(Y = 1)} \]

• P(X = 0 \, \mid \, Y = 1) = \frac{0.3}{0.7} = \frac{3}{7} \approx 0.429

• Berechne P(X=1 \, \mid \, Y=1):

\[ P(X = 1 \, \mid \, Y = 1) = \frac{P(X = 1, Y = 1)}{P(Y = 1)} \]

• P(X = 1 \, \mid \, Y = 1) = \frac{0.4}{0.7} = \frac{4}{7} \approx 0.571

Daher sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten:

• P(X=0 \, \mid \, Y=1) \approx 0.429
• P(X=1 \, \mid \, Y=1) \approx 0.571