Lineare Algebra für Informatik - Cheatsheet.pdf

Definition von Vektorräumen und Basis

Definition:

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter Addition und skalaren Multiplikationen abgeschlossen ist. Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Details:

• Vektorraum: Menge von Vektoren mit zwei Operationen (Addition und skalare Multiplikation), z.B. \(\mathbb{R}^n\).
• Linear Unabhängigkeit: Kein Vektor in der Menge kann als Linearkombination der anderen dargestellt werden.
• Aufspannen: Besteht aus allen möglichen Linearkombinationen der Basisvektoren.
• Basis: Jeder Vektor im Raum lässt sich eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren schreiben.
• Dimension: Anzahl der Vektoren in der Basis.

Gauß-Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Definition:

Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme durch Umformung zur Stufenform.

Details:

• Schritte: Vorwärts-Elimination und Rückwärtssubstitution.
• Ziel: Umwandlung der Koeffizientenmatrix in obere Dreiecksform.
• Normalform eines linearen Gleichungssystems: \[ AX = B \]
• Erweiterte Matrix schreiben: \[ (A|B) \]
• Elementare Zeilenumformungen: Vertauschen, Multiplizieren, Addieren.
• Vorwärts-Elimination: Nullstellen unterhalb der Hauptdiagonale erzeugen.
• Rückwärtssubstitution: Lösungen durch Einsetzen in obere Triangulärmatrix finden.

Berechnung und Bedeutung von Eigenwerten und Eigenvektoren

Definition:

Eigenwerte und Eigenvektoren sind Konzepte, die verwendet werden, um Matrizen zu analysieren und zu verstehen.

Details:

• Definition Eigenvektor: Für eine Matrix A ist ein nicht-null Vektor v ein Eigenvektor, wenn gilt: \( A \boldsymbol{v} = \boldsymbol{\beta} \boldsymbol{v} \)
• Definition Eigenwert: Der Skalar \( \beta \) ist der zugehörige Eigenwert.
• Charakteristische Gleichung: \( \text{det}(A - \beta I) = 0 \) löst \( \beta \) (Eigenwerte)
• Berechnung von Eigenvektoren: \( (A - \beta I) \boldsymbol{v} = 0 \) lösen
• Anwendung: Reduktion von Matrizen, Stabilitätsanalyse, Hauptachsenanalyen uvm.

Koordinatensysteme und Koordinatenwechsel

Definition:

Koordinatensystem und -wechsel in der linearen Algebra für Informatik umfasst Methoden zur Darstellung von Vektoren in verschiedenen Basis-Systemen und Umrechnung zwischen diesen.

Details:

• Ein Koordinatensystem wird durch eine Basis definiert
• Wechsel der Koordinaten erfolgt durch Basiswechselmatrix
• Basiswechselmatrix: \[\begin{bmatrix} \textbf{b}_{11} & \textbf{b}_{12} & ... & \textbf{b}_{1n} \ \textbf{b}_{21} & \textbf{b}_{22} & ... & \textbf{b}_{2n} \ ... & ... & ... & ... \ \textbf{b}_{n1} & \textbf{b}_{n2} & ... & \textbf{b}_{nn} \ \end{bmatrix}\]
• Neue Koordinaten \(\textbf{v}_{neu} = \textbf{B}^{-1} \textbf{v}_{alt} \)
• Alter Koordinaten \(\textbf{v}_{alt} = \textbf{B} \textbf{v}_{neu} \)

Spezielle Matrizenarten (diagonal, symmetrisch, etc.)

Definition:

Besondere Arten von Matrizen, die spezielle Eigenschaften und Strukturen aufweisen.

Details:

• Diagonalmatrizen: Alle Nicht-Diagonalelemente sind Null. Beispiel:
• Symmetrische Matrizen: Transponierte entspricht der Originalmatrix, d.h.

Anwendungen der linearen Algebra in maschinellem Lernen

Definition:

Anwendungen der linearen Algebra im maschinellen Lernen betreffen vor allem die Verarbeitung und Analyse von Datenmengen sowie die Modellierung und Optimierung von Algorithmen.

Details:

• Vektoren und Matrizen repräsentieren Daten und Gewichte.
• Hauptkomponentenanalysen (PCA) zur Dimensionsreduktion.
• Gradientenverfahren zur Optimierung von Modellen.
• Matrizenoperationen zur Durchführung neuronaler Netze
• Singulärwertzerlegung (SVD) für Empfehlungen und Datenkompression.