Einführung in Stochastische Modelle und Statistik - Exam.pdf

Aufgabe 1)

In einer Studie zur Populationsdynamik einer bedrohten Vogelart soll überprüft werden, wie sich die Population im Laufe der Zeit entwickelt. Es sei bekannt, dass diese Population durch einen stochastischen Prozess beschrieben werden kann. Es soll ein Modell entwickelt und analysiert werden, welches die wesentlichen grundlegenden Konzepte stochastischer Prozesse berücksichtigt.

a)

Bestimme, ob der beschriebene Prozess zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist. Begründe Deine Entscheidung anhand relevanter Eigenschaften und erkläre die resultierenden Unterschiede.

Lösung:

Um zu bestimmen, ob der beschriebene Prozess zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist, müssen wir uns die Eigenschaften dieser beiden Prozesse genauer ansehen. Beginnen wir zunächst mit den Definitionen:

• Zeitdiskreter Prozess: Ein stochastischer Prozess ist zeitdiskret, wenn die Ereignisse nur zu diskreten Zeitpunkten auftreten. Das bedeutet, dass der Prozess in bestimmten, festgelegten Intervallen beobachtet wird, wie z.B. täglich, wöchentlich oder jährlich.
• Zeitkontinuierlicher Prozess: Ein stochastischer Prozess ist zeitkontinuierlich, wenn Ereignisse zu jedem beliebigen Zeitpunkt innerhalb eines Zeitintervalls auftreten können. Das bedeutet, dass der Prozess kontinuierlich überwacht wird und jederzeit Änderungen auftreten können.

Basierend auf den gegebenen Informationen über die Populationsdynamik der bedrohten Vogelart und dem Hinweis, dass ein stochastischer Prozess zugrunde liegt, könnten beide Prozessarten in Frage kommen. Aber welche ist es nun?

Hier sind einige Argumente, um zu entscheiden:

• Für die Analyse von Populationsdynamiken werden meistens zeitdiskrete Modelle verwendet, weil Daten über Populationen typischerweise zu bestimmten Zeitpunkten (z.B. jährliche Zählungen) gesammelt werden.
• Ein zeitkontinuierlicher Prozess könnte jedoch verwendet werden, wenn Populationen kontinuierlich beobachtet und Schwankungen erfasst werden können, was in realistischer Forschung oft schwieriger umzusetzen ist.

Daher sollte unter Berücksichtigung der praktischen Umsetzung und der typischen Datenverfügbarkeit davon ausgegangen werden, dass der beschriebene Prozess wahrscheinlich zeitdiskret ist.

Unterschiede und Implikationen:

• In einem zeitdiskreten Modell wird die Änderung der Population zwischen den festgelegten Zeitpunkten berechnet. Die mathematischen Modelle (z.B. Differenzengleichungen) sind entsprechend einfacher zu handhaben.
• In einem zeitkontinuierlichen Modell müssen kontinuierliche Änderungen modelliert werden, oft mithilfe von Differentialgleichungen, was mathematisch und rechentechnisch anspruchsvoller sein kann.

Zusammengefasst lässt sich sagen, dass der Prozess wahrscheinlich zeitdiskret ist, basierend auf typischen Methoden zur Beobachtung und Erfassung von Populationsdaten.

b)

Überlege, ob der Prozess zustandsdiskret oder zustandskontinuierlich ist. Berücksichtige hierbei die mögliche Anzahl der Individuen in der Population und erläutere die Konsequenzen Deiner Einordnung.

Lösung:

Um zu ermitteln, ob der beschriebene Prozess zustandsdiskret oder zustandskontinuierlich ist, müssen wir zunächst die Definitionen dieser beiden Begriffe betrachten:

• Zustandsdiskreter Prozess: Ein stochastischer Prozess ist zustandsdiskret, wenn die Zustände des Systems nur diskrete Werte annehmen können. Für eine Population bedeutet dies, dass die Anzahl der Individuen nur ganzzahlige Werte annehmen kann (z.B. 0, 1, 2, ... Individuen).
• Zustandskontinuierlicher Prozess: Ein stochastischer Prozess ist zustandskontinuierlich, wenn die Zustände des Systems jeden beliebigen Wert innerhalb eines Intervalls annehmen können. Für eine Population würde dies bedeuten, dass die Anzahl der Individuen auch nicht-ganzzahlige Werte annehmen könnte.

Nun zur Analyse des gegebenen Szenarios:

Da es sich bei der betrachteten Population um eine Gruppe von Vögeln handelt, können wir davon ausgehen, dass die Anzahl der Individuen nur ganze Zahlen annehmen kann. Es gibt keine halben oder Bruchteile von Vögeln. Daher ist die Anzahl der Individuen in der Population zwangsläufig eine ganzzahlige Größe. Dies bedeutet, dass der beschriebene Prozess zustandsdiskret sein muss.

Konsequenzen der Einordnung:

• Bei einem zustandsdiskreten Prozess sind die mathematischen Modelle in der Regel einfacher zu handhaben, da sie auf ganzzahlige Änderungen beschränkt sind. Dies führt zu einfacher zu lösenden Rekursions- oder Differenzengleichungen.
• In einem zustandskontinuierlichen Prozess müssten Differentialgleichungen zur Modellierung herangezogen werden, die die kontinuierlichen Änderungen der Zustände beschreiben können. Dies erfordert komplexere mathematische Methoden und höhere Rechenleistung.
• Die zustandsdiskrete Natur des Prozesses erlaubt auch die Anwendung von Methoden der diskreten Mathematik und Diskreten Stochastik, wie z.B. Markov-Ketten in diskreter Zeit.

Zusammengefasst weist die Tatsache, dass die Anzahl der Individuen in der Population ganzzahlig ist, darauf hin, dass es sich um einen zustandsdiskreten Prozess handelt. Dies vereinfacht die mathematische Modellierung und Analyse des stochastischen Prozesses erheblich.

c)

Diskutiere, ob der Prozess einen Markov-Charakter haben könnte. Stelle die Bedingung für einen Markov-Prozess auf und übertrage diese auf das Populationsmodell.

Lösung:

Um zu diskutieren, ob der beschriebene Prozess einen Markov-Charakter haben könnte, müssen wir zunächst die Definition eines Markov-Prozesses betrachten:

• Markov-Prozess: Ein stochastischer Prozess hat den Markov-Charakter, wenn die zukünftigen Zustände des Prozesses nur vom gegenwärtigen Zustand abhängen und nicht von den vergangenen Zuständen. Formal wird dies durch die sogenannte Markow-Eigenschaft beschrieben:

Sei \(X_t\) ein stochastischer Prozess, dann gilt

Mögliche Anwendung auf das Populationsmodell:

• Im Kontext der Populationsdynamik bedeutet dies, dass die Anzahl der Individuen in der nächsten Zeiteinheit (z.B. im nächsten Jahr) nur von der aktuellen Anzahl der Individuen abhängt und nicht davon, wie viele Individuen in den vorherigen Zeitpunkten vorhanden waren.

Diskussion über den Markov-Charakter des Populationsmodells:

• Pro Markov-Charakter:
• Viele Modelle zur Beschreibung von Populationsdynamiken, wie z.B. einfache Geburts- und Sterbeprozesse oder Lotka-Volterra-Modelle, gehen davon aus, dass die zukünftige Populationsgröße nur von der gegenwärtigen Populationsgröße abhängt. Somit erfüllen sie die Markow-Eigenschaft.
• Contra Markov-Charakter:
• Es könnten Realitäten und Details existieren, die auch historische Daten berücksichtigen (z.B. eine langfristige Dürre oder Krankheitsausbruch, der die Überlebensrate beeinflusst). Solche Faktoren könnten dazu führen, dass die zukünftige Populationsgröße nicht nur vom aktuellen Zustand abhängt.
• Folgerung:
• Wenn das Modell nur kurzfristige Einflüsse und Interaktionen der Population mit ihrer Umgebung berücksichtigt, könnte es durchaus den Markov-Charakter besitzen.
• Falls langfristige Umweltfaktoren und historische Ereignisse wesentlich sind, könnte das Modell den Markov-Charakter brechen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Populationsmodell einen Markov-Charakter haben könnte, wenn die zukünftige Populationsgröße hauptsächlich durch die aktuelle Populationsgröße beeinflusst wird und historische Zustände keinen oder einen vernachlässigbaren Einfluss haben.

d)

Nimm an, die Populationsgröße wird als Martingal betrachtet. Formuliere die Bedingung für ein Martingal und überprüfe, ob diese Bedingung für die Population zutrifft. Nutze dazu ein allgemeines Beispiel für den bedingten Erwartungswert.

Lösung:

Ein Martingal ist ein spezieller stochastischer Prozess mit einer besonderen Eigenschaft in Bezug auf den bedingten Erwartungswert. Die Martingal-Eigenschaft wird wie folgt definiert:

• Martingal-Eigenschaft: Ein stochastischer Prozess \( (X_t) \) ist ein Martingal relativ zu einer Filtration \( (\text{F}_t) \), wenn für alle \( t \):

Das bedeutet, dass der bedingte Erwartungswert des nächsten Zustands gegeben die bisherige Geschichte des Prozesses gleich dem aktuellen Zustand ist. Formal bedeutet dies, dass es keine Vorhersage bezüglich der zukünftigen Werte gibt, die besser ist als der aktuelle Zustand.

Um zu überprüfen, ob die Populationsgröße als Martingal betrachtet werden kann, müssen wir die obige Bedingung anwenden. Angenommen, die Populationsgröße zum Zeitpunkt \( t \) wird durch \( X_t \) beschrieben. Dann muss gelten:

Das bedeutet, der erwartete Wert der Populationsgröße zum Zeitpunkt \( t+1 \), gegeben die gesamte bisherige Information, muss gleich der aktuellen Populationsgröße bei \( t \) sein.

Allgemeines Beispiel für den bedingten Erwartungswert:

• Angenommen, die Populationsdynamik wird durch einen einfachen Geburts- und Sterbeprozess modelliert, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Geburtsereignisses und die Wahrscheinlichkeit eines Sterbeereignisses gleich sind. Sei \( p \) die Geburtenrate und \( q \) die Sterberate. Für einen fairen Prozess nehmen wir \( p = q \) an.

In einem solchen Szenario können wir folgende Gleichung aufstellen:

Da die Geburten- und Sterberaten gleich sind, bleibt die erwartete Populationsgröße gleich der aktuellen Populationsgröße. Dies erfüllt die Martingal-Eigenschaft.

Überprüfung der Bedingung:

• Die Bedingung für ein Martingal wird durch das Beispiel eines einfachen Geburts- und Sterbeprozesses mit gleichen Raten (\( p = q \)) erfüllt.
• Dies bedeutet, dass es kein Vorwissen oder Muster gibt, nach dem die Populationsgröße zu- oder abnimmt, sondern dass die zukünftige Populationsgröße im Mittel gleich der aktuellen Populationsgröße bleibt.

Zusammengefasst lässt sich sagen, dass unter der Annahme eines Geburts- und Sterbeprozesses mit gleichen Raten die Populationsgröße tatsächlich als Martingal betrachtet werden kann.

Aufgabe 3)

Angenommen, in einem biologischen Labor werden Mutationsevents in einer Zellkultur beobachtet, die als Poisson-Prozess mit einer Intensitätsrate von \( \lambda = 2 \) pro Stunde modelliert werden. Die Zellkultur wird über einen Zeitraum von 3 Stunden untersucht. Während dieser Zeit werden die Mutationsevents aufgezeichnet.

b)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass in den ersten 2 Stunden kein einziges Mutationsevent auftritt. Nutze die Poisson-Verteilung des Poisson-Prozesses und zeige Deine Berechnungsschritte.

Lösung:

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass in den ersten 2 Stunden kein einziges Mutationsevent auftritt, verwenden wir die Poisson-Verteilung. Die Poisson-Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Ereignissen in einem festen Zeitraum an, basierend auf einer konstanten durchschnittlichen Rate. Die allgemeine Formel für die Poisson-Wahrscheinlichkeit lautet:

• \(P(X = k) = \frac{{\text{{e}}^{-\lambda} \lambda^k}}{{k!}}\)

Hierbei steht:

• \(\lambda\) für die durchschnittliche Rate der Ereignisse pro Zeiteinheit,
• k für die Anzahl der Ereignisse,
• e für die Eulersche Zahl (ungefähr 2,718),
• k! für die Fakultät von k.

In diesem Fall beträgt die durchschnittliche Rate \(\lambda = 2\) Ereignisse pro Stunde. Der Zeitraum beträgt 2 Stunden, daher ist die Gesamtintensität:

• \(\lambda_\text{{gesamt}} = 2 \times 2 = 4\)

Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass in diesen 2 Stunden kein einziges Ereignis auftritt, daher setzen wir k = 0:

• \(P(X = 0) = \frac{{\text{{e}}^{-4} \cdot 4^0}}{{0!}}\)

Nun berechnen wir die einzelnen Komponenten:

• \(\text{{e}}^{-4} \approx 0,01831563888873418\)
• 4⁰ = 1
• 0! = 1

Die Wahrscheinlichkeit ist dann:

• \(P(X = 0) = \frac{{0,01831563888873418 \cdot 1}}{{1}}\)
• \(P(X = 0) \approx 0,01831563888873418\)

Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass in den ersten 2 Stunden kein einziges Mutationsevent auftritt, ungefähr 1,83 %.

c)

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeitabstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Mutationsevents größer ist als 1,5 Stunden. Nutze die Exponentialverteilung und zeige Deine Berechnung.

Lösung:

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass der Zeitabstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Mutationsevents größer ist als 1,5 Stunden, verwenden wir die Exponentialverteilung. Die Exponentialverteilung beschreibt die Zeitabstände zwischen Ereignissen in einem Poisson-Prozess. Die allgemeine Formel für die Exponentialverteilung ist:

• \(P(T > t) = e^{-\lambda t}\)

Hierbei steht:

• \(\lambda\) für die durchschnittliche Rate der Ereignisse pro Zeiteinheit (Intensitätsrate),
• \(t\) für den betrachteten Zeitabstand,
• \(e\) für die Eulersche Zahl (ungefähr 2,718).

In diesem Fall beträgt die Intensitätsrate \(\lambda = 2\) Ereignisse pro Stunde. Wir möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass der Zeitabstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Mutationsevents größer ist als 1,5 Stunden, also setzen wir \(t = 1,5\):

• \(P(T > 1,5) = e^{-2 \cdot 1,5} = e^{-3}\)

Berechnen wir den exponentiellen Ausdruck:

• \(e^{-3} \approx 0,049787068367863944\)

Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeitabstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Mutationsevents größer ist als 1,5 Stunden, ungefähr 4,98 %.

d)

Angenommen, dass in der ersten Stunde genau ein Mutationsevent aufgetreten ist. Erkläre, warum dies keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit hat, dass im nächsten Zeitraum von einer Stunde genau zwei Mutationsevents auftreten (Nutze die Gedächtnislosigkeitseigenschaft des Poisson-Prozesses in deiner Erklärung).

Lösung:

Die Gedächtnislosigkeitseigenschaft (oder Markof-Eigenschaft) des Poisson-Prozesses besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem zukünftigen Zeitintervall unabhängig von der Anzahl der Ereignisse in der Vergangenheit ist. Dies bedeutet, dass die Ereignisse in nicht überlappenden Zeitintervallen unabhängig voneinander sind.

Im gegebenen Kontext bedeutet dies, dass die Tatsache, dass in der ersten Stunde genau ein Mutationsevent aufgetreten ist, keinerlei Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit hat, dass im nächsten Zeitraum von einer Stunde genau zwei Mutationsevents auftreten.

• Wir betrachten den ursprünglichen Poisson-Prozess mit einer Intensitätsrate von \( \lambda = 2 \) pro Stunde.
• Unabhängig davon, wie viele Mutationsevents in der ersten Stunde stattgefunden haben, bleibt die Intensitätsrate für die kommende Stunde gleich. Daher verwenden wir erneut die Poisson-Verteilung mit der gleichen Intensitätsrate.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Mutationsevents innerhalb eines Zeitintervalls auftreten, wird durch die Poisson-Verteilung modelliert:
• \(P(X = k) = \frac{{e^{-\text{{λ}}} \text{{λ}}^k}}{{k!}}\)

Für zwei Mutationsevents (k = 2) im nächsten Zeitraum von einer Stunde (λ = 2):

• \(P(X = 2) = \frac{{e^{-2} \times 2^2}}{{2!}} = \frac{{e^{-2} \times 4}}{{2}} = 2 \times e^{-2}\)

Da die Poisson-Verteilung lediglich von der Intensitätsrate und der Länge des Zeitintervalls abhängt und nicht von der Anzahl der bisherigen Ereignisse, bleibt diese Wahrscheinlichkeit durch die Gedächtnislosigkeitseigenschaft konstant.

Deshalb hat das Auftreten genau eines Mutationsevents in der ersten Stunde keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit, dass im nächsten Zeitraum von einer Stunde genau zwei Mutationsevents auftreten.

Aufgabe 4)

Du wirst beauftragt, ein kleines Forschungsprojekt durchzuführen, um das Konzept der Wahrscheinlichkeitsmaße und -verteilungen auf biologische Experimente anzuwenden. Angenommen, Du untersuchst die Wirkung eines neuen Medikaments auf die Überlebensrate von Zellen. Die Überlebensrate nach Verabreichung des Medikaments kann als Zufallsvariable modelliert werden.

a)

Definiere ein Wahrscheinlichkeitsmaß für das Experiment, bei dem Du die Überlebensrate von Zellen nach der Behandlung mit dem Medikament beobachtest. Angenommen, die Überlebensrate kann drei Werte annehmen: 0.2, 0.5 und 0.8. Wie würdest Du das Wahrscheinlichkeitsmaß für diese Ereignisse formulieren? Zeige, dass die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes erfüllt sind.

Lösung:

Definiere ein Wahrscheinlichkeitsmaß:

• Angenommen, die Überlebensrate der Zellen nach der Behandlung mit dem Medikament kann die Werte 0.2, 0.5 und 0.8 annehmen.
• Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Zuordnung, die jedem möglichen Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zuweist, wobei die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse 1 betragen muss.
• Lassen wir die Wahrscheinlichkeiten für die Überlebensraten folgendermaßen sein:
  • P(0.2) = p1
  • P(0.5) = p2
  • P(0.8) = p3
  Hierbei müssen die Werte p1, p2 und p3 so gewählt werden, dass folgende Gleichung erfüllt ist:
  Summe der Wahrscheinlichkeiten:
  • \[ p1 + p2 + p3 = 1 \]
  Positive Wahrscheinlichkeiten: Jeder der Wahrscheinlichkeitswerte muss zwischen 0 und 1 liegen.
  • \[ 0 <= p1 <= 1 \]
  • \[ 0 <= p2 <= 1 \]
  • \[ 0 <= p3 <= 1 \]
  Ein Beispiel für die Wahrscheinlichkeitsverteilung könnte wie folgt aussehen:
  • \[ p1 = 0.3 \]
  • \[ p2 = 0.4 \]
  • \[ p3 = 0.3 \]
  Prüfen der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes: 1. Summe der Wahrscheinlichkeiten: \[ p1 + p2 + p3 = 0.3 + 0.4 + 0.3 = 1 \] 2. Positivität: Alle Wahrscheinlichkeiten sind zwischen 0 und 1. Damit sind die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes erfüllt.

b)

Betrachte die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung der Überlebensrate von Zellen aus der ersten Teilaufgabe. Angenommen, die Wahrscheinlichkeiten für die Überlebensraten sind wie folgt definiert: P(X=0.2)=0.3, P(X=0.5)=0.4, und P(X=0.8)=0.3. Berechne die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) F(x) für alle relevanten x-Werte.

Lösung:

Berechnung der kumulativen Verteilungsfunktion (CDF):

• Um die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) zu berechnen, summiere die Wahrscheinlichkeiten der Werte der Zufallsvariablen, die kleiner oder gleich einem gegebenen Wert sind.
Gegebene Wahrscheinlichkeiten:
• P(X=0.2)=0.3
• P(X=0.5)=0.4
• P(X=0.8)=0.3
Kumulative Verteilungsfunktion F(x):
• Für x < 0.2:
• \[ F(x) = 0 \]
• Für 0.2 ≤ x < 0.5:
• \[ F(x) = P(X \leq 0.2) = 0.3 \]
• Für 0.5 ≤ x < 0.8:
• \[ F(x) = P(X \leq 0.5) = P(X=0.2) + P(X=0.5) = 0.3 + 0.4 = 0.7 \]
• Für x ≥ 0.8:
• \[ F(x) = P(X \leq 0.8) = P(X=0.2) + P(X=0.5) + P(X=0.8) = 0.3 + 0.4 + 0.3 = 1 \]
Zusammengefasst:
• \[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0.2 \ 0.3 & \text{für } 0.2 \leq x < 0.5 \ 0.7 & \text{für } 0.5 \leq x < 0.8 \ 1 & \text{für } x \geq 0.8 \ \end{cases} \]

c)

Ein Nachbarlabor hat eine stetige Verteilung für die Überlebensrate von Zellen nach der Behandlung mit dem Medikament abgeleitet, wobei die Überlebensrate gleichmäßig zwischen 0 und 1 verteilt ist. Leite die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) und die zugehörige kumulative Verteilungsfunktion (CDF) her. Formuliere die Integrale, die die Wahrscheinlichkeiten berechnen, dass die Überlebensrate in bestimmten Bereichen liegt, zum Beispiel P(0.3 < X < 0.7).

Lösung:

Analyse der stetigen Verteilung:

• Die Überlebensrate ist gleichmäßig zwischen 0 und 1 verteilt. Das bedeutet, dass es sich um eine Gleichverteilung handelt.
1. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF): Für eine Gleichverteilung U(a, b) ist die PDF gegeben durch:
• \[ f(x) = \begin{cases} 1 / (b - a) & \text{für } a \leq x \leq b \ 0 & \text{sonst} \ \end{cases} \]
In unserem Fall ist a = 0 und b = 1, also:
• \[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{für } 0 \leq x \leq 1 \ 0 & \text{sonst} \ \end{cases} \]
2. Kumulative Verteilungsfunktion (CDF): Die CDF einer Gleichverteilung U(a, b) ist:
• \[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < a \ \frac{x - a}{b - a} & \text{für } a \leq x \leq b \ 1 & \text{für } x > b \ \end{cases} \]
In unserem Fall ist a = 0 und b = 1, also:
• \[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0 \ x & \text{für } 0 \leq x \leq 1 \ 1 & \text{für } x > 1 \ \end{cases} \]
3. Wahrscheinlichkeiten berechnen: Für P(0.3 < X < 0.7) verwenden wir die PDF und integrieren im entsprechenden Bereich:
• \[ P(0.3 < X < 0.7) = \int_{0.3}^{0.7} f(x) \, dx \]
Da f(x) = 1 für 0 \leq x \leq 1, ergibt sich:
• \[ P(0.3 < X < 0.7) = \int_{0.3}^{0.7} 1 \, dx = x \Big|_{0.3}^{0.7} = 0.7 - 0.3 = 0.4 \]
Zusammenfassung:
• PDF: \[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{für } 0 \leq x \leq 1 \ 0 & \text{sonst} \ \end{cases} \]
• CDF: \[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0 \ x & \text{für } 0 \leq x \leq 1 \ 1 & \text{für } x > 1 \ \end{cases} \]
• Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \[ P(0.3 < X < 0.7) = 0.4 \]

d)

Stelle dir vor, dass die Überlebensraten des Medikaments einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 0.6 und einer Standardabweichung von 0.1 folgen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Zelle eine Überlebensrate zwischen 0.5 und 0.7 hat. Verwende dazu die kumulative Verteilungsfunktion der Normalverteilung \( \text{CDF}(x) = \frac{1}{2} \left[1 + \text{erf} \left(\frac{x - \mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)\right] \), wobei \( \text{erf}(x) \) die Fehlerfunktion ist.

Lösung:

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine Normalverteilung:

• Gegebene Normalverteilung: \( N(\mu = 0.6, \sigma = 0.1) \)
1. Verwendete kumulative Verteilungsfunktion (CDF):
• \( \text{CDF}(x) = \frac{1}{2} \left(1 + \text{erf} \left(\frac{x - \mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)\right) \)
2. Berechnung der CDF an den Grenzen 0.5 und 0.7:
• Schritt 1: Berechne \( \frac{0.5 - 0.6}{0.1 \sqrt{2}} \):
• \( \frac{0.5 - 0.6}{0.1 \sqrt{2}} = \frac{-0.1}{0.1 \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)
• Schritt 2: Berechne \( \frac{0.7 - 0.6}{0.1 \sqrt{2}} \):
• \( \frac{0.7 - 0.6}{0.1 \sqrt{2}} = \frac{0.1}{0.1 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
• Berechne \( \text{CDF}(0.5) \) und \( \text{CDF}(0.7) \):
• \( \text{CDF}(0.5) = \frac{1}{2} \left(1 + \text{erf} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\right) \)
• \( \text{CDF}(0.7) = \frac{1}{2} \left(1 + \text{erf} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)\right) \)
3. Fehlerfunktionswerte (erf):
• \( \text{erf} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx 0.6827 \)
• \( \text{erf} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx -0.6827 \)
4. Berechnung der kumulativen Verteilungsfunktion:
• \( \text{CDF}(0.5) = \frac{1}{2} \left(1 - 0.6827\right) = \frac{1}{2} \cdot 0.3173 = 0.15865 \)
• \( \text{CDF}(0.7) = \frac{1}{2} \left(1 + 0.6827\right) = \frac{1}{2} \cdot 1.6827 = 0.84135 \)
5. Wahrscheinlichkeit, dass die Überlebensrate zwischen 0.5 und 0.7 liegt:
• \( P(0.5 < X < 0.7) = \text{CDF}(0.7) - \text{CDF}(0.5) = 0.84135 - 0.15865 = 0.6827 \)