Höhere Mathematik 1 - Cheatsheet.pdf

Grenzwerte und Kontinuität

Definition:

Grenzwert einer Funktion beschreibt den Wert, dem eine Funktion sich annähert, wenn der Eingangswert einen bestimmten Punkt annähert. Kontinuität einer Funktion bedeutet, dass die Funktion an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs keine Sprünge oder Lücken aufweist.

Details:

• Definition des Grenzwerts: \( \lim_{{x \to a}} f(x) = L \)
• Eine Funktion f ist an der Stelle a stetig, wenn: \[ \lim_{{x \to a}} f(x) = f(a) \]
• Satz von Bolzano-Weierstrass
• Bedeutung für biologische Prozesse: Datenmodellierung, Wachstumsraten

Differentiation und Ableitungsregeln

Definition:

Differenzieren ist die Methode, die Änderungsrate einer Funktion zu berechnen; Ableitungsregeln sind Vorschriften, um die Ableitungen effizient zu bestimmen.

Details:

• Ableitung einer Funktion: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}f(x) \]
• Produktregel: \[ (fg)' = f'g + fg' \]
• Quotientenregel: \[ \frac{f}{g}' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \]
• Kettenregel: \[ (f \big( g(x) \big))' = f'(g(x)) \times g'(x) \]
• Potenzregel: \[ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \]

Integration und Integrationsmethoden

Definition:

Integration untersucht die Fläche unter einer Kurve. Es ist das Gegenstück zur Differentiation.

Details:

• Bestimmtes Integral: \(\int_a^b f(x) \, dx\)
• Unbestimmtes Integral: \(\int f(x) \, dx + C\)
• Partielle Integration: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
• Substitutionsmethode: Setze \(u = g(x)\) und \(du = g'(x)dx\), um \(\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du\) zu lösen
• Integration von elementaren Funktionen wie Potenz-, Exponential-, Logarithmus- und trigonometrische Funktionen

Taylor- und Maclaurin-Reihen

Definition:

Taylor- und Maclaurin-Reihen sind Funktionenentwicklungen als unendliche Summen von Potenzreihen um einen Punkt.

Details:

• Taylor-Reihe um den Punkt a: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n \]
• Maclaurin-Reihe (Sonderfall der Taylor-Reihe, a=0): \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \]
• Konvergenzradius der Reihe beachten.
• Dient zur Approximierung von Funktionen nahe dem Entwicklungspunkt.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition:

Eigenwerte \(\lambda\) und Eigenvektoren \(\mathbf{v}\) erfüllen die Gleichung \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\), wobei \(A\) eine quadratische Matrix ist.

Details:

• Zum Finden der Eigenwerte: \(det(A - \lambda I) = 0\).
• Zum Finden der Eigenvektoren: Löse \((A - \lambda I)\mathbf{v} = 0\).
• \(\lambda\) ist ein Eigenwert von \(A\), wenn \(A - \lambda I\) singulär ist.
• Eigenvektoren sind nicht null und gehören zu ihren Eigenwerten.
• Wichtige Anwendung: Diagonalisierung von Matrizen.

Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme

Definition:

Methoden zum Lösen linearer Gleichungssysteme.

Details:

• Gauß-Algorithmus: Elimination von Variablen durch Zeilenumformungen.
• Matrix-Darstellung: LGS durch Matrizen und Vektoren ausdrücken.
• Inverse Matrix: Lösen durch Berechnung der inversen Matrix, falls existent.
• Kramersche Regel: Lösen durch Determinanten, nur anwendbar bei quadratischen Matrizen.
• LU-Zerlegung: Zerlegung der Matrix in untere und obere Dreiecksmatrix.

Lineare Transformationen

Definition:

Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen, bewahren Addition und Skalierungseigenschaften.

Details:

• Definition: Eine Abbildung T ist linear, wenn f(αu + βv) = αf(u) + βf(v) für alle Vektoren u,v und Skalare α,β.
• Darstellung: Matrizen sind die Darstellungen linearer Transformationen.
• Ker(f): Alle Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.
• Im(f): Alle Vektoren, die durch f erreicht werden können.
• Eigenwerte und Eigenvektoren: ewline T(v) = λv, wobei λ ein Eigenwert und v ein Eigenvektor ist.

Numerische Lösungsverfahren für Differentialgleichungen

Definition:

Numerische Verfahren zur Annäherung der Lösung von Differentialgleichungen.

Details:

• Euler-Verfahren: \( y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n) \)
• Runge-Kutta-Verfahren: z.B. \( y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}[k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4] \)