Höhere Mathematik 1 - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Du hast eine Funktion f, die die Wachstumsrate einer Bakterienkultur im Laufe der Zeit beschreibt. Die Funktion ist definiert durch f(x) und gibt die Anzahl der Bakterien nach x Stunden seit dem Experimentbeginn an. Für die Bakterienkultur wird angenommen, dass sie exponentiell wächst und nach 24 Stunden das Zellteilungslimit erreicht. Die Zellteilungslimit wird durch einen asymptotischen Wert L dargestellt.

Es soll nun überprüft werden, ob die Funktion f für zwei gegebene Zeitpunkte a und b stetig ist, und welche dichter werdenden Werte die Funktion erreicht.

a)

1. Bestimme den Grenzwert der Funktion f(x) für x = a, wenn \textbf{a} den Wert 24 Stunden erreicht. Zeige detailliert, dass der Grenzwert tatsächlich L ist.

Nutze dazu die Definition des Grenzwerts: \[ \lim_{{x \to a}} f(x) = L \]

Lösung:

Um den Grenzwert der Funktion f(x) für x = a zu bestimmen, wenn a 24 Stunden erreicht, und zu zeigen, dass dieser Grenzwert tatsächlich L ist, musst Du die Definition des Grenzwerts verwenden: \( \lim_{{x \to a}} f(x) = L \).

• Schritt 1: Verständnis der Aufgabe

Die Funktion f(x) beschreibt das exponentielle Wachstum einer Bakterienkultur, die nach 24 Stunden das Zellteilungslimit L erreicht. Wir müssen den Grenzwert von f(x) für x = 24 bestimmen und überprüfen, ob dieser Grenzwert L ist.

• Schritt 2: Definition des Grenzwerts

Per Definition des Grenzwerts:

\[ \lim_{{x \to 24}} f(x) = L \]

• Schritt 3: Funktionsanalyse

Gegeben, dass f(x) eine exponentielle Funktion ist und das Zellteilungslimit L repräsentiert, können wir die Funktion als:

\[ f(x) = L(1 - e^{-kx}) \]

beschreiben, wobei k eine positive Konstante ist, und \( e^{-kx} \) den abklingenden exponentiellen Anteil beschreibt.

• Schritt 4: Berechnung des Grenzwerts

Wenn wir x gegen 24 laufen lassen:

\[ \lim_{{x \to 24}} f(x) = L(1 - e^{-k \cdot 24}) \]

Da \( e^{-k \cdot 24} \) für große positive konstanter Werte von k sehr klein wird, nähert sich der Ausdruck:

\[ L \times (1 - 0) = L \]

• Ergebnis:

Wir haben gezeigt, dass

\[ \lim_{{x \to 24}} f(x) = L \]

Somit nähert sich die Funktion f(x), wenn x gegen 24 läuft, tatsächlich dem Zellteilungslimit L. Damit ist der Grenzwert der Funktion für x = 24 tatsächlich L.

b)

2. Prüfe die Stetigkeit der Funktion f sowohl an a als auch an einem zweiten willkürlichen Punkt b, indem Du Folgendes zeigst:

• Berechne den Grenzwert der Funktion an der Stelle b \[ \lim_{{x \to b}} f(x) \]
• Vergleiche diesen Grenzwert mit dem Funktionswert \( f(b) \)
• Überprüfe, ob \[ \lim_{{x \to b}} f(x) = f(b) \] gilt

Lösung:

Um die Stetigkeit der Funktion f an den Punkten a und b zu überprüfen, müssen wir die folgenden Schritte ausführen:

• Berechne den Grenzwert der Funktion an der Stelle b: \( \lim_{{x \to b}} f(x) \)
• Vergleiche diesen Grenzwert mit dem Funktionswert f(b)
• Überprüfe, ob \( \lim_{{x \to b}} f(x) = f(b) \) gilt

Schritt 1: Berechnung des Grenzwerts der Funktion an b

Die Funktion f(x) wird als exponentielle Wachstumsfunktion beschrieben. Gehen wir davon aus, dass die Funktion die Form:

\[ f(x) = L(1 - e^{-kx}) \]

hat, wobei k eine positive Konstante ist.

Um den Grenzwert an einem beliebigen Punkt b zu berechnen, setzen wir x gegen b:

\[ \lim_{{x \to b}} f(x) = \lim_{{x \to b}} L(1 - e^{-kx}) \]

Da b ein beliebiger Punkt ist, aber innerhalb des Wachstumslimits der Bakterien liegt, erhalten wir:

\[ \lim_{{x \to b}} f(x) = L(1 - e^{-kb}) \]

Schritt 2: Vergleich mit dem Funktionswert f(b)

Der Funktionswert an b ist:

\[ f(b) = L(1 - e^{-kb}) \]

Schritt 3: Überprüfung der Gleichheit

Um zu überprüfen, ob die Funktion an b stetig ist, müssen wir überprüfen, ob der Grenzwert der Funktion an b mit dem Funktionswert an b übereinstimmt:

\[ \lim_{{x \to b}} f(x) = f(b) \]

Wir haben:

\[ \lim_{{x \to b}} L(1 - e^{-kx}) = L(1 - e^{-kb}) \]

und

\[ f(b) = L(1 - e^{-kb}) \]

Da:

\[ \lim_{{x \to b}} L(1 - e^{-kx}) = L(1 - e^{-kb}) = f(b) \]

ist, können wir folgern, dass die Funktion f an dem Punkt b stetig ist.

Zusätzlich: Da a = 24 bekannt gibt, dass der Grenzwert \( \lim_{{x \to 24}} f(x) = L \) und der Funktionswert \( f(24) = L \) ist, gilt auch:

\[ \lim_{{x \to 24}} f(x) = f(24) \]

Somit ist die Funktion f auch an a = 24 stetig.

Zusammenfassend haben wir gezeigt, dass die Funktion f an beiden Punkten a und b stetig ist.

Aufgabe 2)

Gegeben sei die Funktion \( h(x) = (2x^3 - 5x + 4) \times e^{x^2} \). Diese Funktion beschreibt die Konzentration eines Reaktionsprodukts in Abhängigkeit von der Zeit. Bestimme die erste Ableitung der Funktion \( h(x) \) unter Verwendung der Ableitungsregeln.

a)

Berechne die Ableitung von \( h(x) = 2x^3 - 5x + 4 \) alleine.

Lösung:

Subexercise Lösung:

Um die Ableitung der Funktion \( h(x) = 2x^3 - 5x + 4 \) zu berechnen, verwenden wir die Potenzregel sowie die Konstantenregel der Differenzialrechnung.

• Potenzregel: \(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\)
• Konstantenregel: \(\frac{d}{dx}(c) = 0\), wobei 'c' eine Konstante ist.

Schritt-für-Schritt Berechnung der Ableitung:

• Die Ableitung des Terms 2x^3 ist:\(\frac{d}{dx}(2x^3) = 2 \times 3x^{3-1} = 6x^2\)
• Die Ableitung des Terms -5x ist:\(\frac{d}{dx}(-5x) = -5 \times 1x^{1-1} = -5\)
• Die Ableitung des konstanten Terms 4 ist:\(\frac{d}{dx}(4) = 0\)

Nun fassen wir die einzelnen Ableitungen zusammen:

\(\frac{d}{dx}(2x^3 - 5x + 4) = 6x^2 - 5\)

Die erste Ableitung der Funktion \(h(x) = 2x^3 - 5x + 4\) ist also:

\( h'(x) = 6x^2 - 5 \)

b)

Berechne die Ableitung von \( e^{x^2} \) alleine, unter Anwendung der Kettenregel.

Lösung:

Subexercise Lösung:

Um die Ableitung der Funktion \( e^{x^2} \) zu berechnen, verwenden wir die Kettenregel.

• Kettenregel: Wenn \( y = f(g(x)) \) ist, dann ist die Ableitung \( \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

In diesem Fall ist:

• \( f(u) = e^u \), wobei \( u = x^2 \)
• Die Ableitung von \( f(u) = e^u \) ist:\( f'(u) = e^u \)
• Die Ableitung von \( u = x^2 \) ist:\( \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \)

Jetzt wenden wir die Kettenregel an:

\( \frac{d}{dx}(e^{x^2}) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = e^{x^2} \cdot 2x \)

Die Ableitung der Funktion \( e^{x^2} \) ist also:

\( \frac{d}{dx}(e^{x^2}) = 2x e^{x^2} \)

c)

Verwende die Produktregel, um die Ableitung der Funktion \( h(x) = (2x^3 - 5x + 4) \times e^{x^2} \) vollständig zu berechnen.

Lösung:

Subexercise Lösung:

Um die Ableitung der Funktion \( h(x) = (2x^3 - 5x + 4) \times e^{x^2} \) zu berechnen, verwenden wir die Produktregel.

• Produktregel: Wenn \( y = u(x) \times v(x) \) ist, dann ist die Ableitung \( \frac{dy}{dx} = u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \).

In diesem Fall sind:

• \( u(x) = 2x^3 - 5x + 4 \)
• \( v(x) = e^{x^2} \)

Wir haben bereits die Ableitungen von \( u(x) \) und \( v(x) \) in den vorherigen Subexercises berechnet:

• \( u'(x) = 6x^2 - 5 \)
• \( v'(x) = 2x e^{x^2} \)

Jetzt wenden wir die Produktregel an:

\( h'(x) = u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \)

Dies ergibt:

\( h'(x) = (6x^2 - 5) \times e^{x^2} + (2x^3 - 5x + 4) \times 2x e^{x^2} \)

Nun können wir \( e^{x^2} \) ausklammern:

\( h'(x) = e^{x^2} \times [(6x^2 - 5) + (2x^3 - 5x + 4) \times 2x] \)

Dies ergibt weiter:

\( h'(x) = e^{x^2} \times [6x^2 - 5 + 4x^4 - 10x^2 + 8x] \)

Zusammengefasst ergibt sich:

\( h'(x) = e^{x^2} \times (4x^4 - 4x^2 + 8x - 5) \)

Die erste Ableitung der Funktion \( h(x) = (2x^3 - 5x + 4) \times e^{x^2} \) ist somit:

\( h'(x) = e^{x^2} \times (4x^4 - 4x^2 + 8x - 5) \)

d)

Die abgeleitete Funktion gibt die Änderungsrate der Konzentration an. Bestimme die Änderungsrate an der Stelle \( x = 1 \).

Lösung:

Berechnung der Änderungsrate an der Stelle \( x = 1 \)

Die abgeleitete Funktion \( h(x) \) wurde bereits als:

\( h'(x) = e^{x^2} \times (4x^4 - 4x^2 + 8x - 5) \) berechnet.

Nun wollen wir die Änderungsrate an der Stelle \( x = 1 \) berechnen. Dazu setzen wir \( x = 1 \) in die abgeleitete Funktion ein:

• Zunächst berechnen wir den Ausdruck im Inneren:
• \( 4x^4 - 4x^2 + 8x - 5 \) bei \( x = 1 \)

• \( 4(1)^4 - 4(1)^2 + 8(1) - 5 \)
• \( = 4 - 4 + 8 - 5 \)
• \( = 3 \)

Daher ist der innere Ausdruck an der Stelle \( x = 1 \) gleich:

\( 3 \)

• Nun berechnen wir \( e^{x^2} \) bei \( x = 1 \):

• \( e^{(1)^2} = e^1 = e \)

Somit ergibt sich die gesamte Ableitung an der Stelle \( x = 1 \):

\( h'(1) = e \times 3 \)

Die Änderungsrate der Konzentration an der Stelle \( x = 1 \) ist daher:

\( 3e \)

Aufgabe 3)

Wir betrachten das Gebiet zwischen den Kurven der Funktion \( f(x) = e^x \) und der Geraden \( y = 2x - 1 \) im Intervall \([0, 1] \). Um die Fläche dieses Gebiets zu berechnen, sind Integrationsmethoden nötig.

a)

Bestimme das bestimmte Integral \( \int_0^1 (e^x - (2x - 1)) \, dx \) und interpretiere das Resultat.

Lösung:

Um das bestimmte Integral \( \int_0^1 (e^x - (2x - 1)) \, dx \) zu berechnen und zu interpretieren, folge den untenstehenden Schritten:

• Schritt 1: Integriere jede Funktion einzeln
  • Für \(e^x\):\( \int e^x \, dx = e^x + C \)
  • Für \(2x - 1\):\( \int (2x - 1) \, dx = \int 2x \, dx - \int 1 \, dx \)
    • \( \int 2x \, dx = x^2 + C \)
    • \( \int 1 \, dx = x + C \)
    • Daher:\( \int (2x - 1) \, dx = x^2 - x + C \)

• Schritt 2: Bilde das Integral des Differenzausdrucks
  • Das Integral lautet dann:\( \int_0^1 (e^x - (2x - 1)) \, dx \)
  • Dies entspricht:\( \int_0^1 e^x \, dx - \int_0^1 (2x - 1) \, dx \)
  • Für das erste Integral:\( \int_0^1 e^x \, dx = \left[ e^x \right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \)
  • Für das zweite Integral:\( \int_0^1 (2x - 1) \, dx = \left[ x^2 - x \right]_0^1 = (1^2 - 1) - (0^2 - 0) = 0 \)

• Schritt 3: Subtrahiere die Ergebnisse
  • Das bestimmte Integral ergibt:\( \int_0^1 (e^x - (2x - 1)) \, dx = (e - 1) - 0 = e - 1 \)

• Interpretation des Resultats:
  • Das Ergebnis \( e - 1 \) stellt die Fläche zwischen der Kurve \( f(x) = e^x \) und der Geraden \( y = 2x - 1 \) im Intervall \( [0, 1] \) dar.

b)

Führe die partielle Integration durch, um das Integral \( \int x e^x \, dx \) zu berechnen.

Lösung:

Um das Integral \( \int x e^x \, dx \) mittels partieller Integration zu berechnen, folge den untenstehenden Schritten:

• Schritt 1: Wähle \( u \) und \( dv \)
  • Setze \( u = x \) und \( dv = e^x \, dx \)
  • Dann ist die Ableitung \( du = dx \) und das Integral von \( dv \) ist:\( v = \int e^x \, dx = e^x \)

• Schritt 2: Verwende die Formel der partiellen Integration:
  • Die Formel lautet: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
  • Ersetze \( u \), \( v \), \( du \) und \( dv \):\( \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx \)
  • Berechne das Integral von \( e^x \, dx \):\( \int e^x \, dx = e^x \)

• Schritt 3: Setze alles zusammen:
  • \( \int x e^x \, dx = x e^x - e^x + C \)
  • Kombiniere ähnliche Terme:\( \int x e^x \, dx = e^x (x - 1) + C \)

Damit ergibt sich das Integral:

\( \int x e^x \, dx = e^x (x - 1) + C \)

c)

Verwende die Substitutionsmethode, um das Integral \( \int_0^1 e^{x^2} \, 2x \, dx \) zu berechnen. Nutze die Substitution \( u = x^2 \).

Lösung:

Um das Integral \( \int_0^1 e^{x^2} \, 2x \, dx \) mittels der Substitutionsmethode zu berechnen, folge den untenstehenden Schritten:

• Schritt 1: Wähle die Substitution
  • Setze \( u = x^2 \).
  • Dann ist die Ableitung \( du = 2x \, dx \).

• Schritt 2: Ersetze die Integrationsgrenzen
  • Für \( x = 0 \):\( u = (0)^2 = 0 \)
  • Für \( x = 1 \):\( u = (1)^2 = 1 \)

• Schritt 3: Schreibe das Integral in der neuen Variable
  • Das gegebene Integral lautet nun:\( \int_0^1 e^{x^2} \, 2x \, dx = \int_0^1 e^u \, du \).

• Schritt 4: Integriere in der neuen Variable
  • Das Integral von \( e^u \) ist:\( \int e^u \, du = e^u + C \).

• Schritt 5: Setze die Integrationsgrenzen ein
  • Berechne das bestimmte Integral:\( \int_0^1 e^u \, du = \left[ e^u \right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \).

Damit ergibt sich das bestimmte Integral:

\( \int_0^1 e^{x^2} \, 2x \, dx = e - 1 \).

Aufgabe 4)

Betrachte die Funktion f(x) = e^x und entwickle sie in eine Taylor-Reihe um den Punkt a = 0.

a)

(a) Leite die Funktion f(x) = e^x bis zur dritten Ordnung ab und bestimme die ersten vier Terme der Taylor-Reihe.

• Dies umfasst die Berechnung von f(0), f'(0), f''(0) und f'''(0).
• Bestimme die ersten vier Terme der Reihenentwicklung und schreibe sie explizit auf.

Tipp: Denke daran, dass e^x seine eigenen Ableitungen ergibt.

Lösung:

Um die Taylor-Reihe der Funktion f(x) = e^x um den Punkt a = 0 zu entwickeln, müssen wir die Funktion bis zur dritten Ordnung ableiten und die ersten vier Terme der Taylor-Reihe bestimmen. Hier sind die Schritte im Detail:

• Leite die Funktion f(x) = e^x bis zur dritten Ordnung ab:

Da e^x seine eigenen Ableitungen ergibt, haben wir:

\(f'(x) = e^x\)

\(f''(x) = e^x\)

\(f'''(x) = e^x\)

• Berechne die Ableitungen an der Stelle x = 0:

\(f(0) = e^0 = 1\)

\(f'(0) = e^0 = 1\)

\(f''(0) = e^0 = 1\)

\(f'''(0) = e^0 = 1\)

Nun setzen wir diese Werte in die Taylor-Reihen-Formel ein:

• Die allgemeine Taylor-Reihen-Formel um den Punkt a = 0 lautet:

\[ T(x) = \frac{f(0)}{0!} (x-0)^0 + \frac{f'(0)}{1!} (x-0)^1 + \frac{f''(0)}{2!} (x-0)^2 + \frac{f'''(0)}{3!} (x-0)^3 + \text{höhere Terme} \]

• Setze die berechneten Werte ein:

\[ T(x) = \frac{1}{0!} x^0 + \frac{1}{1!} x^1 + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 \]

• Vereinfachen der Terme:

\[ T(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \]

Die ersten vier Terme der Taylor-Reihe von f(x) = e^x um den Punkt a = 0 lauten daher:

• 1
• x
• \( \frac{x^2}{2} \)
• \( \frac{x^3}{6} \)

Diese Terme bilden die Taylor-Reihe bis zur dritten Ordnung.

b)

(b) Bestimme den Konvergenzradius der Taylor-Reihe von f(x) = e^x um den Punkt a = 0 (Maclaurin-Reihe). Erläutere, warum dieser Konvergenzradius wichtig ist und welche Bedeutung er für die Approximation der Funktion hat.

• Verwende die Definition des Konvergenzradius, um die Lösung herzuleiten.
• Diskutiere die Bedeutung des Konvergenzradius in Bezug auf die Bereich, innerhalb dessen die Reihenentwicklung die Funktion akkurat approximieren kann.

Lösung:

Um den Konvergenzradius der Taylor-Reihe von f(x) = e^x um den Punkt a = 0 (Maclaurin-Reihe) zu bestimmen, verwenden wir die Definition des Konvergenzradius. Der Konvergenzradius gibt an, innerhalb welches Bereiches die Taylor-Reihe die gegebene Funktion genau approximiert.

Definition des Konvergenzradius:

Für eine Potenzreihe der Form \( \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n \) kann der Konvergenzradius \( R \) mithilfe der Formel bestimmt werden:

\[ R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}} \]

Im Fall der Taylor-Reihe von f(x) = e^x um \( a = 0 \) haben wir:

\[ T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n \]

Hier sind die Koeffizienten \( c_n = \frac{1}{n!} \).

Setzen wir dies in die Formel für den Konvergenzradius ein:

\[ R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \frac{1}{n!} \right|}} \]

Da \( n! \) schnell wächst, nähert sich \( \sqrt[n]{n!} \) für große \( n \) gegen unendlich:

\[ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n!} = \infty \]

Daher ist:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} = 0 \]

Und somit:

\[ R = \frac{1}{0} = \infty \]

Das bedeutet, dass der Konvergenzradius der Taylor-Reihe von e^x unendlich ist.

Bedeutung des Konvergenzradius:

• Der Konvergenzradius gibt an, innerhalb welcher Bereich die Taylor-Reihe die ursprüngliche Funktion gut approximiert.
• Ein unendlicher Konvergenzradius bedeutet, dass die Taylor-Reihe überall konvergiert, sodass die Funktion e^x in ihrem gesamten Definitionsbereich durch ihre Taylor-Reihe dargestellt werden kann.
• Für die Approximation der Funktion in einem beliebig großen Bereich benötigen wir dabei nur endlich viele Terme der Taylor-Reihe, abhängig davon, wie genau die Approximation sein soll.

Zusammenfassend ist der unendliche Konvergenzradius der Maclaurin-Reihe von e^x äußerst bedeutungsvoll, da er garantiert, dass die Reihe überall konvergiert und somit e^x in ihrem gesamten Definitionsbereich exakt wiedergegeben wird.