Human und Tierphysiologie - Exam.pdf

Die negative Rückkopplung ist ein wesentlicher Mechanismus, um Homöostase im menschlichen Körper aufrechtzuerhalten. Ein klassisches Beispiel hierfür ist die Temperaturregulation.

Insulin und Glukagon sind zwei Hormone, die eine zentrale Rolle bei der Blutzuckerregulation spielen. Diese Regulation erfolgt größtenteils durch negative Rückkopplungsschleifen.

Um einen Regelkreis für die Blutzuckerregulation zu modellieren, können wir die Hauptakteure und deren Rollen wie folgt darstellen:

• Sensor: Betazellen und Alphazellen in den Langerhans-Inseln der Bauchspeicheldrüse (Pancreas).
• Regler: Bauchspeicheldrüse, die Insulin und Glukagon sezerniert.
• Effektor: Leber, Muskelzellen und Fettzellen.

Die Temperaturregulation kann durch folgende Gleichungen beschrieben werden:

• \[E = S - T\]

Wobei:

• S: Sollwert (in diesem Fall 37°C)
• T: Aktuelle Temperatur

Die Reaktion (\textit{R}) auf die Abweichung wird durch eine Konstante \textit{k} bestimmt und beschreibt die Anpassung, die der Körper vornimmt:

• \[R = kE\]

Wobei:

• R: Reaktion des Körpers
• k: Konstante, die die Empfindlichkeit der Reaktion beschreibt
• E: Fehlerbetrag

Zusammengefasst sind die Gleichungen:

• \[E = S - T\]
• \[R = k(S - T)\]

Diese Gleichungen verdeutlichen, wie der Körper den Fehlerbetrag (die Differenz zwischen Sollwert und aktueller Temperatur) berechnet und darauf reagiert, um die Homöostase aufrechtzuerhalten.

Aufgabe 3)

Zellkommunikation und SignalwegeZellkommunikation und Signalwege ermöglichen es Zellen, auf Signale zu reagieren und miteinander zu interagieren.

• Signaltransduktion: Bindung eines Liganden an Rezeptor -> Konformationsänderung -> Signalweiterleitung
• Wichtige Komponenten: Rezeptoren (GPCR, RTK), second messenger (cAMP, Ca²⁺)
• Signalkaskaden: Kinasen- und Phosphatasenketten (z.B. MAPK-Weg)
• Signalintegration: Multiple Signale werden kombiniert -> spezifische Zellantwort
• Zelltypen: Unterschiedliche Zellen verwenden spezifische Signalwege (z.B. Neuronen: Neurotransmitter, Immunzellen: Zytokine)

a)

Beschreibe den Mechanismus der Signaltransduktion, der von G-Protein-gekoppelten Rezeptoren (GPCRs) ausgeht. Erkläre die Rolle von cAMP als second messenger in diesem Prozess.

Lösung:

GPCR-Signaltransduktionsmechanismus und die Rolle von cAMP

• Aktivierung von PKA: cAMP bindet an die regulatorischen Untereinheiten der PKA, sodass die katalytischen Untereinheiten freigesetzt und aktiviert werden.
• Phosphorylierung von Zielproteinen: Die aktiven PKA-Untereinheiten phosphorylieren spezifische Zielproteine, was zu Änderungen in deren Aktivität und damit zu spezifischen zellulären Antworten führt. Diese können unter anderem Enzymaktivitäten, Genexpression oder Ionenkanalaktivitäten beeinflussen.

Durch diesen Mechanismus wird die Information von einem extrazellulären Signal in eine spezifische intrazelluläre Antwort umgewandelt, die je nach Zelltyp und Kontext unterschiedlich sein kann.

b)

Mathematische Modellierung: Angenommen, die Rate der Konversionsreaktion im MAPK-Weg folgt der Gleichung \[ \frac{d[M]}{dt} = k_1 - k_2[M] \] wobei \( k_1 \) und \( k_2 \) Konstanten sind, und \( [M] \) die Konzentration der aktivierten MAPK ist. Löse diese Differentialgleichung unter der Annahme, dass \( [M](0) = 0 \).

Lösung:

Mathematische Modellierung der MAPK-Weg-Konversionsrate

Gegeben ist die Differentialgleichung:

\[ \frac{d[M]}{dt} = k_1 - k_2[M] \] wobei \( k_1 \) und \( k_2 \) Konstanten sind, und \( [M] \) die Konzentration der aktivierten MAPK ist. Wir sollen diese Differentialgleichung unter der Annahme lösen, dass \( [M](0) = 0 \).

Schritte zur Lösung der Differentialgleichung

• 1. Rewrite der Differentialgleichung: \[ \frac{d[M]}{dt} + k_2[M] = k_1 \]
• 2. Bestimme den Integrierenden Faktor:Der integrierende Faktor \( \mu(t) \) ist gegeben durch:\[ \mu(t) = e^{\int k_2 \, dt} = e^{k_2 t} \]
• 3. Multipliziere die Differentialgleichung mit dem integrierenden Faktor:\[ e^{k_2 t} \frac{d[M]}{dt} + k_2 e^{k_2 t} [M] = k_1 e^{k_2 t} \]
• 4. Erkenne, dass die linke Seite der Gleichung das Produkt der Ableitung ist:\[ \frac{d}{dt}(e^{k_2 t} [M]) = k_1 e^{k_2 t} \]
• 5. Integriere beide Seiten bezüglich \( t \):\[ e^{k_2 t} [M] = \int k_1 e^{k_2 t} \, dt \]\[ e^{k_2 t} [M] = \frac{k_1}{k_2} e^{k_2 t} + C \]wobei \( C \) die Integrationskonstante ist.
• 6. Bestimme die Integrationskonstante \( C \) unter der Voraussetzung, dass \( [M](0) = 0 \):Für \( t = 0 \):\[ e^{0} [M](0) = \frac{k_1}{k_2} e^{0} + C \]\[ 0 = \frac{k_1}{k_2} + C \]\[ C = - \frac{k_1}{k_2} \]
• 7. Löse für \( [M] \):\[ e^{k_2 t} [M] = \frac{k_1}{k_2} e^{k_2 t} - \frac{k_1}{k_2} \]\[ [M] = \frac{k_1}{k_2} (1 - e^{-k_2 t}) \]

Zusammenfassung der Lösung

Die Lösung der Differentialgleichung \( \frac{d[M]}{dt} = k_1 - k_2[M] \) unter der Annahme, dass \( [M](0) = 0 \), ist:

\[ [M](t) = \frac{k_1}{k_2} (1 - e^{-k_2 t}) \]

c)

Diskutiere den Einfluss von Signalintegration auf die spezifische Zellantwort. Gib ein konkretes Beispiel für einen Zelltyp und erläutere, wie multiple Signale zu einer spezifischen Reaktion führen.

Lösung:

Einfluss der Signalintegration auf die spezifische Zellantwort

Die Signalintegration ist ein zentraler Prozess in der Zellkommunikation, der es Zellen ermöglicht, auf eine Vielzahl von Signalen zu reagieren und eine koordinierte Antwort zu erzeugen. Das bedeutet, dass eine Zelle die Information aus mehreren Signalen kombiniert und verarbeitet, um eine spezifische Antwort hervorzurufen. Dies ist entscheidend für die Regulation komplexer Zellprozesse und das Verhalten von Zellen in ihrem mikro- und makro-Umfeld.

Beispiel: Immunzellen und Zytokine

1. Kontext: Immunzellen wie T-Lymphozyten sind ein gutes Beispiel für den Einfluss der Signalintegration. Diese Zellen müssen in der Lage sein, auf verschiedene Pathogene und Fremdkörper durch Aktivierung, Differenzierung und das Auslösen einer Immunantwort zu reagieren.

2. Multiple Signale: T-Lymphozyten empfangen Signale von:

• Antigenpräsentierenden Zellen (APCs): Diese präsentieren Fremdantigene an der Zelloberfläche, die von T-Zell-Rezeptoren (TCR) erkannt werden.
• Co-Stimulatorische Signale: Diese werden durch Interaktion von Oberflächenmolekülen wie CD28 auf der T-Zelle und B7 auf der APC übertragen.
• Zytokine: Verschiedene Zytokine, die aus der Umgebung stammen (z.B. IL-2, IL-12), binden an spezifische Rezeptoren auf der T-Zelle und beeinflussen ihre Differenzierung und Funktion.

3. Signalintegration: Diese verschiedenen Signale werden in der T-Zelle integriert und führen zu einer spezifischen Antwort:

• Aktivierung: Die Kombination aus TCR-Signal und co-stimulatorischem Signal führt zur Aktivierung der T-Zelle, was durch die verstärkte Expression von Genen, die für das Zellwachstum und die Überlebenssignale wichtig sind, vermittelt wird. Ohne das co-stimulatorische Signal würde das TCR-Signal allein nicht ausreichen und könnte zur Anergie (Inaktivierung) führen.
• Proliferation: Zytokine wie IL-2 sind entscheidend für die Proliferation aktivierter T-Zellen. Das IL-2 Signal wird in das bestehende Signalnetz integriert, um die Zellteilung und das Wachstum zu fördern.
• Differenzierung: Verschiedene Zytokine beeinflussen die Differenzierung der T-Zellen in verschiedene Subtypen (z.B. Th1, Th2, Th17, Treg). Zum Beispiel fördert IL-12 die Differenzierung zu Th1-Zellen, die wichtig für die zellvermittelte Immunität sind.

4. Spezifische Zellantwort: Durch die Integration all dieser Signale kann die T-Zelle eine gezielte Immunantwort initiieren, die spezifisch auf den erkannten Pathogen abgestimmt ist. Diese spektrumübergreifende Reaktion ist essentiell für die Wirksamkeit und Präzision der adaptiven Immunantwort.

Zusammengefasst ermöglicht die Signalintegration es Zellen, komplexe molekulare Informationen zu verarbeiten und präzise, abgestimmte Antworten zu generieren, die für die Gesundheit und das Überleben eines Organismus entscheidend sind.

Aufgabe 4)

Betrachte das folgende biologische Netzwerkmodell, bei dem die Interaktionen zwischen verschiedenen Proteinen durch Differentialgleichungen beschrieben werden. Es gibt drei Proteine (A, B, C) in einem Zellnetzwerk, welche durch die folgenden Gleichungen modelliert werden: 1. \(\frac{dA}{dt} = k_1 - k_2 \cdot A \cdot B\)2. \(\frac{dB}{dt} = k_3 \cdot A - k_4 \cdot B\)3. \(\frac{dC}{dt} = k_5 \cdot B - k_6 \cdot C\)Dabei sind \(k_1\), \(k_2\), \(k_3\), \(k_4\), \(k_5\) und \(k_6\) Reaktionskonstanten.

b)

Diskutiere die Stabilität der stationären Zustände. Berechne dazu die Jacobimatrix des Systems an den stationären Punkten und bestimme die Eigenwerte.

Lösung:

Um die Stabilität der stationären Zustände zu diskutieren, müssen wir die Jacobimatrix (auch Jacobian genannt) des Systems an den stationären Punkten berechnen und die Eigenwerte bestimmen. Die Jacobimatrix gibt Aufschluss über das Verhalten des Systems in der Nähe seiner stationären Zustände.

Erinnern wir uns an das gegebene System von Differentialgleichungen:

• \(\frac{dA}{dt} = k_1 - k_2 \cdot A \cdot B\)
• \(\frac{dB}{dt} = k_3 \cdot A - k_4 \cdot B\)
• \(\frac{dC}{dt} = k_5 \cdot B - k_6 \cdot C\)

Die Jacobimatrix J des Systems wird durch die partiellen Ableitungen der rechten Seite der Gleichungen nach den Variablen A, B und C gebildet:

• \(\frac{\partial \dot{A}}{\partial A} = -k_2 \cdot B\)
• \(\frac{\partial \dot{A}}{\partial B} = -k_2 \cdot A\)
• \(\frac{\partial \dot{A}}{\partial C} = 0\)
• \(\frac{\partial \dot{B}}{\partial A} = k_3\)
• \(\frac{\partial \dot{B}}{\partial B} = -k_4\)
• \(\frac{\partial \dot{B}}{\partial C} = 0\)
• \(\frac{\partial \dot{C}}{\partial A} = 0\)
• \(\frac{\partial \dot{C}}{\partial B} = k_5\)
• \(\frac{\partial \dot{C}}{\partial C} = -k_6\)

Die Jacobimatrix J an den stationären Punkten ist somit:

• \(J = \begin{pmatrix}-k_2 \cdot B & -k_2 \cdot A & 0 \ k_3 & -k_4 & 0 \ 0 & k_5 & -k_6\end{pmatrix}\)

Vor dem Einsetzen der stationären Zustände (wir verwenden die in der vorherigen Aufgabe gefundenen stationären Konzentrationen):

• \(A = \sqrt{\frac{k_1 \cdot k_4}{k_2 \cdot k_3}}\)
• \(B = \sqrt{\frac{k_1 \cdot k_3}{k_2 \cdot k_4}}\)
• \(C = \frac{k_5}{k_6} \cdot \sqrt{\frac{k_1 \cdot k_3}{k_2 \cdot k_4}}\)

Setzen wir diese Werte in die Jacobimatrix ein:

• \(J = \begin{pmatrix}-k_2 \cdot \sqrt{\frac{k_1 \cdot k_3}{k_2 \cdot k_4}} & -k_2 \cdot \sqrt{\frac{k_1 \cdot k_4}{k_2 \cdot k_3}} & 0 \ k_3 & -k_4 & 0 \ 0 & k_5 & -k_6\end{pmatrix}\)

Nun können wir die Eigenwerte dieser Jacobimatrix bestimmen. Um die Eigenwerte zu finden, müssen wir die charakteristische Gleichung lösen:

• \(det(J - \lambda I) = 0\)

Die charakteristische Gleichung dieser 3x3 Matrix lautet:

• \(\begin{vmatrix}-k_2 \cdot \sqrt{\frac{k_1 \cdot k_3}{k_2 \cdot k_4}} - \lambda & -k_2 \cdot \sqrt{\frac{k_1 \cdot k_4}{k_2 \cdot k_3}} & 0 \ k_3 & -k_4 - \lambda & 0 \ 0 & k_5 & -k_6 - \lambda\end{vmatrix} = 0\)

Aus dieser Gleichung erhalten wir die Eigenwerte \(\lambda\). Üblicherweise geschieht dies durch eine Kombination algebraischer Manipulation und numerischer Verfahren, insbesondere für größere und komplexere Matrizen.

Die Stabilität eines stationären Zustands hängt von den Realteilen der Eigenwerte ab:

• Wenn alle Eigenwerte negative Realteile haben, ist der stationäre Zustand stabil.
• Wenn mindestens ein Eigenwert einen positiven Realteil hat, ist der stationäre Zustand instabil.

Um die Eigenwerte tatsächlich zu berechnen, empfiehlt es sich, numerische Methoden oder Software (wie MATLAB, Python mit NumPy oder SymPy, Mathematica) zu verwenden.

c)

Erstelle ein vereinfachtes stochastisches Modell für dasselbe Netzwerk. Beschreibe die wichtigsten stochastischen Prozesse und die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Zuständen deiner Wahl.

Lösung:

Um ein vereinfachtes stochastisches Modell für das gegebene biologische Netzwerk zu erstellen, können wir die wichtigsten stochastischen Prozesse und ihre Übergangswahrscheinlichkeiten betrachten. Ein guter Ansatz ist die Verwendung eines Markov-Prozesses, bei dem die Zustände durch diskrete Ereignisse definiert sind, wie z.B. das Hinzufügen oder Entfernen eines Moleküls. Die verschiedenen Reaktionen und Prozesse werden durch Übergangswahrscheinlichkeiten beschrieben. Im Folgenden beschreiben wir diese Prozesse.

Erinnern wir uns an die gegebenen Differentialgleichungen:

• \( \frac{dA}{dt} = k_1 - k_2 \cdot A \cdot B \)
• \( \frac{dB}{dt} = k_3 \cdot A - k_4 \cdot B \)
• \( \frac{dC}{dt} = k_5 \cdot B - k_6 \cdot C \)

Die wichtigsten stochastischen Prozesse sind:

• Produktion von Protein A
• Reaktion von Protein A mit Protein B
• Produktion von Protein B aus Protein A
• Abbau von Protein B
• Produktion von Protein C aus Protein B
• Abbau von Protein C

Wir beschreiben die Übergangswahrscheinlichkeiten für diese Prozesse wie folgt:

1. Produktion von Protein A

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Molekül von Protein A in einer kleinen Zeitspanne dt produziert wird, ist proportional zu k1:

• \( P(A \rightarrow A+1) = k_1 \cdot dt \)

2. Reaktion von Protein A mit Protein B

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Protein A mit einem Protein B reagiert, ist proportional zu k2 \cdot A \cdot B:

• \( P(A \rightarrow A-1, B \rightarrow B) = k_2 \cdot A \cdot B \cdot dt \)

3. Produktion von Protein B aus Protein A

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Molekül von Protein B in einer kleinen Zeitspanne dt produziert wird, ist proportional zu k3 \cdot A:

• \( P(B \rightarrow B+1) = k_3 \cdot A \cdot dt \)

4. Abbau von Protein B

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Molekül von Protein B in einer kleinen Zeitspanne dt abgebaut wird, ist proportional zu k4 \cdot B:

• \( P(B \rightarrow B-1) = k_4 \cdot B \cdot dt \)

5. Produktion von Protein C aus Protein B

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Molekül von Protein C in einer kleinen Zeitspanne dt produziert wird, ist proportional zu k5 \cdot B:

• \( P(C \rightarrow C+1) = k_5 \cdot B \cdot dt \)

6. Abbau von Protein C

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Molekül von Protein C in einer kleinen Zeitspanne dt abgebaut wird, ist proportional zu k6 \cdot C:

• \( P(C \rightarrow C-1) = k_6 \cdot C \cdot dt \)

In diesem stochastischen Modell wird der Zustand des Systems durch die Anzahl der Proteine (A, B, C) beschrieben. Die Änderungen im System werden durch die genannten Übergangswahrscheinlichkeiten festgelegt. Typischerweise wird die zeitliche Entwicklung des Systems durch einen Algorithmus wie den Gillespie-Algorithmus simuliert, der die Übergangszeiten und -wahrscheinlichkeiten berücksichtigt.