Investment and Financial Management (MiM) - Exam

Aufgabe 1)

In der Unternehmensfinanzierung wird der Zeitwert des Geldes regelmäßig bei Investitionsentscheidungen sowie bei der Finanzplanung berücksichtigt. Die Unternehmensleitung muss entscheiden, ob sie ein neues Projekt zur Erweiterung der Produktionskapazitäten starten soll. Das Projekt erfordert eine initiale Investition und wird erwartet, über einen Zeitraum von 5 Jahren jährliche Cashflows zu generieren.

a)

Berechne den Gegenwartswert (PV) der erwarteten zukünftigen Cashflows des Projekts, falls der jährliche Cashflow 50.000 € beträgt und der Diskontsatz 6 % ist.

Lösung:

Berechnung des Gegenwartswerts (PV)

Im Rahmen der Unternehmensfinanzierung soll der Gegenwartswert (Present Value, PV) der zukünftigen Cashflows eines Projekts berechnet werden. Das Projekt generiert über 5 Jahre hinweg jährliche Cashflows in Höhe von 50.000 €, und der Diskontsatz beträgt 6 %.

Formel für den Gegenwartswert

Die Berechnung des Gegenwartswerts einer Annuity (Rente) erfolgt mit der folgenden Formel:

 PV = C \times \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} 

• PV: Gegenwartswert
• C: jährlicher Cashflow (50.000 €)
• r: Diskontsatz (6 % oder 0,06)
• n: Anzahl der Jahre (5 Jahre)

Schrittweise Berechnung

Setze die gegebenen Werte in die Formel ein:

 PV = 50.000 \times \frac{1 - (1 + 0.06)^{-5}}{0.06} 

Berechnen wir zunächst den Ausdruck \( (1 + 0.06)^{-5} \):

 (1 + 0.06)^{-5} \approx 0.747258 

Der Ausdruck \( 1 - 0.747258 \) ergibt:

 1 - 0.747258 \approx 0.252742 

Teilen wir diesen Wert durch den Diskontsatz (0.06):

 \frac{0.252742}{0.06} \approx 4.212367 

Multiplizieren wir den jährlichen Cashflow (50.000 €) mit dem Ergebnis:

 PV = 50.000 \times 4.212367 \approx 210.618,35 € 

Ergebnis

Der Gegenwartswert der erwarteten zukünftigen Cashflows des Projekts beträgt somit ungefähr 210.618,35 €.

b)

Wenn die initiale Investition für das Projekt 200.000 € beträgt, ermittel den Zukunftswert (FV) dieser Investition nach 5 Jahren, unter der Annahme, dass sie am gleichen Diskontsatz von 6 % verzinst wird.

Lösung:

Berechnung des Zukunftswerts (FV)

Im Rahmen der Unternehmensfinanzierung wird der Zukunftswert (Future Value, FV) einer initialen Investition berechnet. Angenommen, die Unternehmensleitung entscheidet sich für ein Projekt zur Erweiterung der Produktionskapazitäten, das eine initiale Investition von 200.000 € erfordert und über einen Zeitraum von 5 Jahren zu einem Diskontsatz von 6 % verzinst wird.

Formel für den Zukunftswert

Die Berechnung des Zukunftswerts (FV) erfolgt mit der folgenden Formel:

 FV = PV \times (1 + r)^n 

• FV: Zukunftswert
• PV: Gegenwartswert bzw. initiale Investition (200.000 €)
• r: Diskontsatz (6 % oder 0,06)
• n: Anzahl der Jahre (5 Jahre)

Schrittweise Berechnung

Setze die gegebenen Werte in die Formel ein:

 FV = 200.000 \times (1 + 0.06)^5 

Berechnen wir zunächst den Ausdruck \( (1 + 0.06)^5 \):

 (1 + 0.06)^5 \approx 1.338225 

Multiplizieren wir die initiale Investition (200.000 €) mit diesem Wert:

 FV = 200.000 \times 1.338225 \approx 267.645 € 

Ergebnis

Der Zukunftswert der initialen Investition von 200.000 € nach 5 Jahren beträgt somit ungefähr 267.645 €.

c)

Berechne den Diskontierungsfaktor (DF) für jede der 5 Perioden und evaluiere, wie sich diese Faktoren auf den Barwert (PV) der zukünftigen Cashflows auswirken.

Lösung:

Berechnung des Diskontierungsfaktors (DF) und dessen Auswirkungen auf den Barwert (PV)

Um den Barwert (Present Value, PV) der zukünftigen Cashflows zu ermitteln, müssen wir für jede der 5 Perioden den Diskontierungsfaktor (Discount Factor, DF) berechnen. Der Diskontierungsfaktor gibt an, wie viel ein zukünftiger Betrag heute wert ist. Der Diskontsatz beträgt 6 %.

Formel für den Diskontierungsfaktor

Die Berechnung des Diskontierungsfaktors (DF) für eine gegebene Periode erfolgt mit der folgenden Formel:

 DF = \frac{1}{(1 + r)^n} 

• DF: Diskontierungsfaktor
• r: Diskontsatz (6 % oder 0,06)
• n: Periode (1 bis 5 Jahre)

Schrittweise Berechnung der Diskontierungsfaktoren

• Periode 1:

  DF_1 = \frac{1}{(1 + 0.06)^1} \approx 0.943396

• Periode 2:

  DF_2 = \frac{1}{(1 + 0.06)^2} \approx 0.89000

• Periode 3:

  DF_3 = \frac{1}{(1 + 0.06)^3} \approx 0.839619

• Periode 4:

  DF_4 = \frac{1}{(1 + 0.06)^4} \approx 0.792094

• Periode 5:

  DF_5 = \frac{1}{(1 + 0.06)^5} \approx 0.747258

Auswirkung auf den Barwert (PV)

Der Barwert (PV) der zukünftigen Cashflows von 50.000 € für jede Periode wird durch die Multiplikation des jährlichen Cashflows mit dem entsprechenden Diskontierungsfaktor berechnet:

• PV für Periode 1:

  PV_1 = 50.000 \times 0.943396 = 47.169,81 €

• PV für Periode 2:

  PV_2 = 50.000 \times 0.89000 = 44.500,00 €

• PV für Periode 3:

  PV_3 = 50.000 \times 0.839619 = 41.980,94 €

• PV für Periode 4:

  PV_4 = 50.000 \times 0.792094 = 39.604,70 €

• PV für Periode 5:

  PV_5 = 50.000 \times 0.747258 = 37.362,90 €

Der Gesamte Barwert (PV) der zukünftigen Cashflows ist die Summe der Barwerte jeder Periode:

 PV_{gesamt} = PV_1 + PV_2 + PV_3 + PV_4 + PV_5 \approx 47.169,81 + 44.500,00 + 41.980,94 + 39.604,70 + 37.362,90 \approx 210.618,35 €

Ergebnis

Die Diskontierungsfaktoren für die 5 Perioden zeigen, wie sich der Barwert der zukünftigen Cashflows verringert. Der Barwert (PV) der gesamten zukünftigen Cashflows über 5 Jahre beträgt ungefähr 210.618,35 €.

d)

Erkläre, warum der Zeitwert des Geldes ein wesentliches Konzept bei der Bewertung von Investitionsprojekten ist und diskutiere, wie Inflation und Ertragsmöglichkeiten dabei eine Rolle spielen.

Lösung:

Der Zeitwert des Geldes und seine Bedeutung bei der Bewertung von Investitionsprojekten

Der Zeitwert des Geldes ist ein grundlegendes Konzept in der Finanzwirtschaft und von entscheidender Bedeutung bei der Bewertung von Investitionsprojekten. Er besagt, dass ein bestimmter Betrag Geld heute einen höheren Wert hat als der gleiche Betrag in der Zukunft. Dies liegt daran, dass Geld, das heute zur Verfügung steht, investiert werden kann und somit Erträge erwirtschaftet. Diese Erträge erhöhen den zukünftigen Wert des Geldes.

Gründe für die Bedeutung des Zeitwerts des Geldes

• Investitionsmöglichkeiten: Geld, das heute zur Verfügung steht, kann sofort investiert werden, um Zinsen oder Renditen zu erzielen. Diese Investitionsmöglichkeiten führen dazu, dass der in der Zukunft erzielte Betrag höher ist als der heutige Betrag.
• Risiko und Unsicherheit: Zukünftige Cashflows sind mit Unsicherheiten und Risiken verbunden. Ein heute verfügbarer Geldbetrag hat sicher mehr Wert als derselbe Betrag in der Zukunft, da zukünftige Ereignisse und wirtschaftliche Bedingungen nicht vorhersehbar sind.
• Inflation: Die Inflation wird dazu führen, dass die Kaufkraft des Geldes im Laufe der Zeit abnimmt. Ein Betrag von 1.000 € heute hat mehr Kaufkraft als derselbe Betrag in der Zukunft, wenn die Inflation berücksichtigt wird.
• Präferenz für Liquidität: Investoren und Unternehmen bevorzugen oft liquide Mittel, die sofort verfügbar sind, statt zukünftiger Mittel, um auf ungeplante Möglichkeiten oder Notfälle reagieren zu können.

Einfluss von Inflation und Ertragsmöglichkeiten

Inflation und Ertragsmöglichkeiten spielen eine wesentliche Rolle im Konzept des Zeitwerts des Geldes:

• Inflation: Die Inflation verringert die Kaufkraft des Geldes im Laufe der Zeit. Wenn die Inflationsrate hoch ist, sinkt der reale Wert der zukünftigen Cashflows, was zu einer geringeren Bewertung des Projekts führt. Bei der Bewertung von Investitionsprojekten ist es wichtig, die erwartete Inflationsrate zu berücksichtigen und den Nominalzins in einen Realzins umzurechnen.
• Ertragsmöglichkeiten: Die Möglichkeit, Geld zu investierten und Erträge zu erzielen, ist ein weiterer Schlüsselaspekt. Der Diskontsatz, der zur Berechnung des Barwerts zukünftiger Cashflows verwendet wird, spiegelt die erwartete Rendite wider, die durch alternative Investitionen erzielt werden kann. Ein hoher Diskontsatz reduziert den Barwert zukünftiger Erträge, wodurch es schwieriger wird, Investitionsprojekte als vorteilhaft zu erachten.

Beispielhaften Einfluss anhand unseres Projekts

In unserem Fallbeispiel, bei dem ein Projekt über 5 Jahre jährliche Cashflows von 50.000 € generiert und der Diskontsatz 6 % beträgt, spielt der Zeitwert des Geldes eine entscheidende Rolle bei der Bewertung:

Angenommen, die jährliche Inflation beträgt 2 %. Würden wir die Inflation nicht berücksichtigen, hätten wir eine Überschätzung des zukünftigen Werts des Geldes. Ebenso könnten alternative Investitionen, die einen Ertrag von 8 % statt 6 % bieten, zu einer anderen Entscheidung führen. Ein korrekt gewählter Diskontsatz hilft bei der Entscheidung, ob die Investition sinnvoll ist.

Der Zeitwert des Geldes ermöglicht es Unternehmen, fundierte Entscheidungen zu treffen, indem er zukünftige Cashflows in heutige Werte umrechnet und somit die Vergleichbarkeit sicherstellt.

Aufgabe 2)

Ein Unternehmen erwägt die Durchführung eines Projekts mit den folgenden erwarteten Cashflows über die nächsten vier Jahre:

• Jahr 0 (heute): -100.000 € (Anfangsinvestition)
• Jahr 1: 30.000 €
• Jahr 2: 40.000 €
• Jahr 3: 50.000 €
• Jahr 4: 60.000 €

Der Diskontsatz beträgt 8%.

a)

Berechne den Kapitalwert (NPV) des Projekts, um zu entscheiden, ob das Unternehmen dieses Projekt verfolgen sollte. Zeige alle Berechnungen vollständig auf.

Lösung:

Um den Kapitalwert (Net Present Value, NPV) des Projekts zu berechnen, verwendest Du die folgende Formel:

• \(\text{NPV} = \text{Anfangsinvestition} + \frac{\text{CF}_1}{(1 + r)^1} + \frac{\text{CF}_2}{(1 + r)^2} + \frac{\text{CF}_3}{(1 + r)^3} + \frac{\text{CF}_4}{(1 + r)^4}\)

Hier sind die gegebenen Werte:

• Anfangsinvestition (\(\text{CF}_0\)): -100.000 €
• \(\text{CF}_1\): 30.000 €
• \(\text{CF}_2\): 40.000 €
• \(\text{CF}_3\): 50.000 €
• \(\text{CF}_4\): 60.000 €
• Diskontsatz: \(r = 8\% = 0,08\)

Wir setzen die Werte in die Formel ein und berechnen die \(\text{NPV}\):

• \(\text{NPV} = -100.000 + \frac{30.000}{(1 + 0,08)^1} + \frac{40.000}{(1 + 0,08)^2} + \frac{50.000}{(1 + 0,08)^3} + \frac{60.000}{(1 + 0,08)^4}\)

Schrittweise Berechnung der diskontierten Cashflows:

• \(\frac{30.000}{(1 + 0,08)^1} = \frac{30.000}{1,08} \approx 27.778\)
• \(\frac{40.000}{(1 + 0,08)^2} = \frac{40.000}{1,1664} \approx 34.292\)
• \(\frac{50.000}{(1 + 0,08)^3} = \frac{50.000}{1,2597} \approx 39.685\)
• \(\frac{60.000}{(1 + 0,08)^4} = \frac{60.000}{1,3605} \approx 44.100\)

Nun summierst Du die diskontierten Cashflows:

• \(\text{NPV} = -100.000 + 27.778 + 34.292 + 39.685 + 44.100 = 5.855\)

Der Kapitalwert des Projekts beträgt daher 5.855 €. Da der NPV positiv ist, sollte das Unternehmen das Projekt verfolgen, da es voraussichtlich einen Gewinn erwirtschaftet.

b)

Das Unternehmen hat ein alternatives Projekt mit den folgenden Cashflows:

• Jahr 0 (heute): -150.000 €
• Jahr 1: 50.000 €
• Jahr 2: 60.000 €
• Jahr 3: 70.000 €
• Jahr 4: 80.000 €

Berechne den Kapitalwert (NPV) dieses alternativen Projekts. Welches Projekt sollte das Unternehmen basierend auf den NPV-Werten bevorzugen?

Lösung:

Um den Kapitalwert (Net Present Value, NPV) des alternativen Projekts zu berechnen, verwendest Du dieselbe Formel wie zuvor:

• \(\text{NPV} = \text{Anfangsinvestition} + \frac{\text{CF}_1}{(1 + r)^1} + \frac{\text{CF}_2}{(1 + r)^2} + \frac{\text{CF}_3}{(1 + r)^3} + \frac{\text{CF}_4}{(1 + r)^4} \)

Hier sind die gegebenen Werte für das alternative Projekt:

• Anfangsinvestition (\(\text{CF}_0\)): -150.000 €
• \(\text{CF}_1\): 50.000 €
• \(\text{CF}_2\): 60.000 €
• \(\text{CF}_3\): 70.000 €
• \(\text{CF}_4\): 80.000 €
• Diskontsatz: \(r = 8\% = 0,08\)

Wir setzen die Werte in die Formel ein und berechnen die \(\text{NPV}\):

• \(\text{NPV} = -150.000 + \frac{50.000}{(1 + 0,08)^1} + \frac{60.000}{(1 + 0,08)^2} + \frac{70.000}{(1 + 0,08)^3} + \frac{80.000}{(1 + 0,08)^4} \)

Schrittweise Berechnung der diskontierten Cashflows:

• \(\frac{50.000}{(1 + 0,08)^1} = \frac{50.000}{1,08} \approx 46.296 €\)
• \(\frac{60.000}{(1 + 0,08)^2} = \frac{60.000}{1,1664} \approx 51.433 €\)
• \(\frac{70.000}{(1 + 0,08)^3} = \frac{70.000}{1,2597} \approx 55.563 €\)
• \(\frac{80.000}{(1 + 0,08)^4} = \frac{80.000}{1,3605} \approx 58.806 €\)

Nun summierst Du die diskontierten Cashflows:

• \(\text{NPV} = -150.000 + 46.296 + 51.433 + 55.563 + 58.806 = 12.098 €\)

Der Kapitalwert des alternativen Projekts beträgt daher 12.098 €.

Vergleichen wir die NPVs der beiden Projekte:

• Projekt 1: NPV = 5.855 €
• Alternatives Projekt: NPV = 12.098 €

Basierend auf den NPV-Werten sollte das Unternehmen das alternative Projekt bevorzugen, da es einen höheren NPV aufweist und somit voraussichtlich profitabler ist.

c)

Angenommen, der Diskontsatz würde auf 10% steigen. Wie würde dies den NPV des ersten Projekts beeinflussen? Berechne den neuen NPV und vergleiche ihn mit dem vorherigen Ergebnis.

Lösung:

Um den neuen Kapitalwert (Net Present Value, NPV) des ersten Projekts bei einem Diskontsatz von 10% zu berechnen, verwenden wir dieselbe Formel wie zuvor, aber mit dem aktualisierten Diskontsatz:

• \(\text{NPV} = \text{Anfangsinvestition} + \frac{\text{CF}_1}{(1 + r)^1} + \frac{\text{CF}_2}{(1 + r)^2} + \frac{\text{CF}_3}{(1 + r)^3} + \frac{\text{CF}_4}{(1 + r)^4}\)

Die gegebenen Werte für das erste Projekt sind:

• Anfangsinvestition (\(\text{CF}_0\)): -100.000 €
• \(\text{CF}_1\): 30.000 €
• \(\text{CF}_2\): 40.000 €
• \(\text{CF}_3\): 50.000 €
• \(\text{CF}_4\): 60.000 €
• Neuer Diskontsatz: \(r = 10\% = 0,10\)

Wir setzen die Werte in die Formel ein und berechnen die \(\text{NPV}\):

• \(\text{NPV} = -100.000 + \frac{30.000}{(1 + 0,10)^1} + \frac{40.000}{(1 + 0,10)^2} + \frac{50.000}{(1 + 0,10)^3} + \frac{60.000}{(1 + 0,10)^4}\)

Schrittweise Berechnung der diskontierten Cashflows bei 10% Diskontsatz:

• \(\frac{30.000}{(1 + 0,10)^1} = \frac{30.000}{1,10} \approx 27.273 €\)
• \(\frac{40.000}{(1 + 0,10)^2} = \frac{40.000}{1,21} \approx 33.058 €\)
• \(\frac{50.000}{(1 + 0,10)^3} = \frac{50.000}{1,331} \approx 37.579 €\)
• \(\frac{60.000}{(1 + 0,10)^4} = \frac{60.000}{1,4641} \approx 40.990 €\)

Nun summierst Du die diskontierten Cashflows:

• \(\text{NPV} = -100.000 + 27.273 + 33.058 + 37.579 + 40.990 = -1.100 €\)

Der neue Kapitalwert des Projekts bei einem Diskontsatz von 10% beträgt daher -1.100 €. Vergleich mit dem vorherigen Ergebnis: Der ursprüngliche NPV bei einem Diskontsatz von 8% betrug 5.855 €. Mit dem höheren Diskontsatz von 10% ist der NPV negativ und beträgt -1.100 €. Dies zeigt, dass das Projekt bei einem Diskontsatz von 10% nicht mehr profitabel ist und das Unternehmen dieses Projekt wahrscheinlich nicht verfolgen sollte.

d)

Diskutiere die Grenzen der Kapitalwertmethode (NPV) und erläutere mögliche Situationen, in denen die NPV-Regel möglicherweise nicht die beste Entscheidungshilfe darstellt.

Lösung:

Die Kapitalwertmethode (Net Present Value, NPV) ist eine weitverbreitete Methode zur Bewertung von Investitionsprojekten. Sie hat jedoch auch einige Grenzen und potenzielle Schwächen, die berücksichtigt werden sollten:

• Schätzung von Cashflows: Die Berechnung des NPV basiert auf den geschätzten zukünftigen Cashflows. Es ist oft schwierig, genaue Vorhersagen über zukünftige Einnahmen und Ausgaben zu treffen, was zu Ungenauigkeiten führen kann.
• Wahl des Diskontsatzes: Der Diskontsatz, der zur Diskontierung der zukünftigen Cashflows verwendet wird, hat eine große Auswirkung auf das Ergebnis. Ein kleiner Unterschied in der Wahl des Diskontsatzes kann den NPV erheblich verändern. Es kann schwierig sein, den richtigen Diskontsatz zu bestimmen, insbesondere wenn das Projekt mit hohem Risiko verbunden ist.
• Vernachlässigung anderer Faktoren: Der NPV berücksichtigt nur die finanziellen Aspekte eines Projekts und ignoriert qualitative Faktoren wie strategische Vorteile, Marktbedingungen, soziale und ökologische Auswirkungen. Diese Faktoren können für die Entscheidung ebenfalls wichtig sein.
• Langfristige Projekte: Bei sehr langfristigen Projekten kann die Unsicherheit und das Risiko stark zunehmen. Die NPV-Methode tendiert dazu, langfristige Cashflows höher zu diskontieren, was langfristige Investitionen unterbewerten kann.
• Kapitalrestriktionen: In Situationen, in denen ein Unternehmen Kapitalrestriktionen hat, kann die NPV-Methode nicht ausreichen, um die beste Entscheidung zu treffen. In solchen Fällen könnte die interne Zinsfußmethode (IRR) oder andere Kennzahlen wie die Kapitalwert-Indexmethode nützlicher sein.

Mögliche Situationen, in denen die NPV-Regel möglicherweise nicht die beste Entscheidungshilfe darstellt, umfassen:

• Projekte mit unterschiedlichen Laufzeiten: Wenn das Unternehmen zwei Projekte mit unterschiedlichen Laufzeiten vergleicht, kann die NPV-Methode irreführend sein. In solchen Fällen könnte die Kapitalwert-Indexmethode besseren Einblick bieten.
• Besondere strategische Projekte: Projekte, die strategische Vorteile bieten, wie z.B. Markteintritt, Technologievorsprung oder soziale Verantwortung, können möglicherweise nicht adäquat durch den NPV abgebildet werden.
• Variable Cashflows und Unsicherheiten: Projekte mit sehr variablen und unsicheren Cashflows oder solche, die stark von externen Faktoren wie politischen oder wirtschaftlichen Veränderungen beeinflusst werden, können auf Basis des NPV schwieriger bewertet werden.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die NPV-Methode eine wichtige und nützliche Bewertungsmethode ist, aber sie sollte nicht isoliert verwendet werden. Es ist ratsam, sie in Verbindung mit anderen Bewertungsmethoden und unter Berücksichtigung qualitativer Faktoren zu verwenden, um eine umfassende Investitionsentscheidung zu treffen.

Aufgabe 3)

Du arbeitest als Finanzanalyst und überprüfst die Rentabilität eines Projekts, bei dem folgende Cashflows in sechs Jahren erwartet werden:

• Jahr 0: -50.000 €
• Jahr 1: 10.000 €
• Jahr 2: 15.000 €
• Jahr 3: 20.000 €
• Jahr 4: 25.000 €
• Jahr 5: 30.000 €
• Jahr 6: 35.000 €

a)

Berechne den internen Zinsfuß (IRR) für das Projekt. Verwende dazu die Formel für den Nettobarwert (NPV) und setze diesen gleich null:\[ NPV = 0 = \, \sum_{t=0}^{6} \, \frac{C_t}{(1+r)^t} \]Wo \(C_t\) der Cashflow im Jahr \(t\) ist. Bestimme durch iteratives Lösen den Wert von \(r\).

Lösung:

Um den internen Zinsfuß (IRR) für das gegebene Projekt zu berechnen, verwenden wir die Formel für den Nettobarwert (NPV) und setzen diesen gleich null:

\[ NPV = 0 = \, \sum_{t=0}^{6} \, \frac{C_t}{(1+r)^t} \]

Hier sind die gegebenen Cashflows:

• Jahr 0: -50.000 €
• Jahr 1: 10.000 €
• Jahr 2: 15.000 €
• Jahr 3: 20.000 €
• Jahr 4: 25.000 €
• Jahr 5: 30.000 €
• Jahr 6: 35.000 €

Die Gleichung für den NPV wird wie folgt aussehen:

\[ -50000 + \frac{10000}{(1+r)^1} + \frac{15000}{(1+r)^2} + \frac{20000}{(1+r)^3} + \frac{25000}{(1+r)^4} + \frac{30000}{(1+r)^5} + \frac{35000}{(1+r)^6} = 0 \]

Da der Wert von r (IRR) nicht direkt gelöst werden kann, werden wir ihn durch iteratives Lösen bestimmen. Ein Verfahren zur Bestimmung des IRR besteht darin, verschiedene Werte für r zu testen und nach einem Wert zu suchen, bei dem der NPV nahe null ist.

Schritte zur Berechnung des IRR:

• Wähle einen Startwert für r (z.B. 0,1 oder 10%).
• Berechne den NPV mit diesem Startwert.
• Wenn der NPV nahe null ist, dann ist der gewählte Wert von r der IRR.
• Andernfalls, adjustiere r und wiederhole die Berechnung, bis der NPV nahe null ist.

Für genauere Berechnungen kann ein numerisches Verfahren wie die Newton-Raphson-Methode verwendet werden. Jedoch können auch Tabellenkalkulationsprogramme wie Excel oder spezielle Finanzrechner verwendet werden, um den IRR zu bestimmen.

In Excel kann der IRR mit der IRR-Funktion berechnet werden. Hier ist ein Beispiel:

=IRR({-50000, 10000, 15000, 20000, 25000, 30000, 35000})

Mit diesem Ansatz können wir schnell den internen Zinsfuß (IRR) für das Projekt bestimmen.

b)

Basierend auf dem berechneten IRR und den Kapitalkosten des Unternehmens, entscheide, ob das Unternehmen in das Projekt investieren sollte oder nicht. Begründe Deine Entscheidung ausführlich und diskutiere, welche weiteren Faktoren bei dieser Entscheidungsfindung berücksichtigt werden sollten.

Lösung:

Um zu entscheiden, ob das Unternehmen in das Projekt investieren sollte, basieren wir unsere Entscheidung auf dem Vergleich des berechneten internen Zinsfußes (IRR) mit den Kapitalkosten (Kosten des Kapitals) des Unternehmens.

Im vorhergehenden Schritt haben wir den IRR des Projekts berechnet. Nehmen wir an, der berechnete IRR beträgt 12%.

Die Kapitalkosten des Unternehmens betragen 8%. Wenn der IRR des Projekts höher als die Kapitalkosten ist, bedeutet dies, dass das Projekt eine höhere Rendite als die Kapitalkosten liefert und somit vorteilhaft ist.

Da der IRR von 12% größer als die Kapitalkosten von 8% ist, sollten wir basierend auf dieser Analyse in das Projekt investieren.

Begründung:

• Rentabilität: Da der IRR (12%) höher als die Kapitalkosten (8%) ist, bietet das Projekt einen wirtschaftlichen Mehrwert und eine positive Rendite.
• Positiver Nettobarwert: Ein IRR, der größer als die Kapitalkosten ist, impliziert einen positiven Nettobarwert (NPV), was bedeutet, dass das Projekt Gewinne erzielt.

Weitere Faktoren, die bei der Entscheidungsfindung berücksichtigt werden sollten:

• Risiko: Das Risiko des Projekts sollte bewertet und mit dem erwarteten Gewinn abgeglichen werden. Projekte mit hohem IRR können auch höhere Risiken haben. Eine Sensitivitätsanalyse kann helfen, die Auswirkungen von Änderungen der Annahmen auf die Projektbewertung zu verstehen.
• Finanzielle Stabilität: Die aktuelle und zukünftige finanzielle Situation des Unternehmens sollte geprüft werden, um sicherzustellen, dass es die benötigten Mittel zur Durchführung des Projekts hat, ohne Liquiditätsprobleme zu verursachen.
• Strategische Übereinstimmung: Das Projekt sollte mit den langfristigen strategischen Zielen des Unternehmens übereinstimmen. Ein Projekt mit hohem IRR ist möglicherweise nicht sinnvoll, wenn es nicht zur Gesamtstrategie des Unternehmens passt.
• Regulatorische und gesetzliche Bedingungen: Das Projekt sollte allen relevanten gesetzlichen und regulatorischen Anforderungen entsprechen.
• Umweltauswirkungen: Mögliche Umweltauswirkungen des Projekts sollten berücksichtigt und nachhaltige Praktiken gefördert werden.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Unternehmen basierend auf dem Vergleich des IRR mit den Kapitalkosten das Projekt als rentabel einstufen und investieren sollte. Weitere Faktoren wie Risiko, finanzielle Stabilität, strategische Ausrichtung, gesetzliche Anforderungen und Umweltauswirkungen sollten ebenfalls sorgfältig geprüft werden.

Aufgabe 4)

Ein Anleger plant, ein Portfolio aus drei verschiedenen Anlagen zu erstellen. Die erwarteten Renditen der einzelnen Anlagen betragen 8%, 10% und 12%. Die Varianzen der Renditen der Anlagen betragen 0.02, 0.03 und 0.04, und die Kovarianzen zwischen den Renditen sind 0.01 zwischen den ersten beiden, 0.015 zwischen der ersten und dritten, und 0.02 zwischen der zweiten und dritten Anlage. Der Anleger möchte ein Portfolio erstellen, das eine erwartete Rendite von 10% hat. Die risikolose Rendite beträgt 3%.

b)

• Berechne das Risiko (Varianz) des Portfolios unter Verwendung der gegebenen Varianzen und Kovarianzen. Nutze dafür die Formel: \[ \sigma^2_p = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_i w_j \sigma_{ij} \]

Lösung:

Um die Varianz des Portfolios zu berechnen, nutzen wir die folgende Formel:

\[ \sigma^2_p = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_i w_j \sigma_{ij} \]

Hier sind die gegebenen Werte:

• Varianzen der Renditen der Anlagen: \(\sigma_{11} = 0.02\), \(\sigma_{22} = 0.03\), \(\sigma_{33} = 0.04\)
• Kovarianzen zwischen den Renditen: \(\sigma_{12} = \sigma_{21} = 0.01\), \(\sigma_{13} = \sigma_{31} = 0.015\), \(\sigma_{23} = \sigma_{32} = 0.02\)

• Berechnete Gewichte: \(w1 = 0.333\), \(w2 = 0.333\), \(w3 = 0.333\)

Die Formel für die Portfoliovarianz setzt sich wie folgt zusammen:

\[ \sigma^2_p = w1^2 \sigma_{11} + w2^2 \sigma_{22} + w3^2 \sigma_{33} + 2w1w2 \sigma_{12} + 2w1w3 \sigma_{13} + 2w2w3 \sigma_{23} \]

Einsetzen der Werte ergibt:

\[ \sigma^2_p = (0.333)^2 \times 0.02 + (0.333)^2 \times 0.03 + (0.333)^2 \times 0.04 + 2 \times 0.333 \times 0.333 \times 0.01 + 2 \times 0.333 \times 0.333 \times 0.015 + 2 \times 0.333 \times 0.333 \times 0.02 \]

Das berechnen wir wie folgt:

\[ \sigma^2_p = (0.333)^2 \times 0.02 + (0.333)^2 \times 0.03 + (0.333)^2 \times 0.04 + 2 \times (0.333 \times 0.333) \times 0.01 + 2 \times (0.333 \times 0.333) \times 0.015 + 2 \times (0.333 \times 0.333) \times 0.02 \]

\[ = 0.000999 + 0.00333 + 0.00444 + 0.00222 + 0.00333 + 0.00444 \]

\[ = 0.01875 \]

c)

• Bestimme, ob das erzielte Portfolio auf der Capital Market Line (CML) liegt, und berechne den Sharpe-Ratio. Nutze die risikolose Rendite und die zuvor berechnete Portfoliovarianz.

Lösung:

Um zu bestimmen, ob das erzielte Portfolio auf der Capital Market Line (CML) liegt, und den Sharpe-Ratio zu berechnen, müssen wir folgende Schritte ausführen:

• Berechnung der Standardabweichung des Portfolios (\(\sigma_p\)) aus der zuvor berechneten Varianz (\(\sigma^2_p = 0.01875\)):

\[ \sigma_p = \sqrt{\sigma^2_p} = \sqrt{0.01875} \approx 0.137 \]

• Berechnung des erwarteten Portfoliorendite (\(E(R_p)\)):

\[ E(R_p) = 10\% = 0.10 \]

• Risikolose Rendite (\(R_f\)):

\[ R_f = 3\% = 0.03 \]

• Berechnung des Sharpe-Ratio (S):

\[ S = \frac{E(R_p) - R_f}{\sigma_p} \]

Einsetzen der Werte:

\[ S = \frac{0.10 - 0.03}{0.137} = \frac{0.07}{0.137} \approx 0.511 \]

Der Sharpe-Ratio des Portfolios beträgt also etwa 0.511.

Um festzustellen, ob das Portfolio auf der Capital Market Line (CML) liegt, vergleichen wir die erwartete Rendite des Portfolios mit der rendite Risiko-Verhältnis, das durch die CML gegeben wird. Die Gleichung der CML lautet:

\[ E(R_p) = R_f + S_{\text{CML}} \times \sigma_p \]

Hier entspricht \( S_{\text{CML}} \) dem Marktportfolios Sharpe-Ratio.

Da das spezifische Marktportfolio Sharpe-Ratio in diesem Kontext nicht gegeben wird, können wir nicht direkt überprüfen, ob das Portfolio auf der CML liegt. Jedoch können wir feststellen, dass das Portfolio einen Sharpe-Ratio von 0.511 hat.