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Definition von Gruppen, Ringen und Körpern

Definition:

Definitionen von algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringen und Körpern. Grundbegriffe in der Algebra.

Details:

• Gruppe: Menge \(G\) mit einer Verknüpfung \(\cdot\), die assoziativ ist, ein neutrales Element \(e\) besitzt und zu jedem Element \(a \in G\) ein inverses Element \(a^{-1}\) hat.
• Ring: Menge \(R\) mit zwei Verknüpfungen \(+\) und \(\cdot\), wobei \((R, +)\) eine abelsche Gruppe ist, \((R, \cdot)\) ein Monoid ist, und das Distributivgesetz gilt.
• Körper: Ein Ring \(K\), in dem jedes von Null verschiedene Element ein multiplikatives Inverses hat. \((K, \cdot)\) bildet eine abelsche Gruppe, und \((K, +)\) bildet eine abelsche Gruppe.

Homomorphismen und Isomorphismen

Definition:

Homomorphismus: Struktur-erhaltende Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen. Isomorphismus: Bijektiver Homomorphismus.

Details:

• Homomorphismus: Abbildung \( \varphi: G \to H \), die Operationen erhält: \( \varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b) \)
• Isomorphismus: Bijektiver Homomorphismus, existiert Umkehrabbildung: \( \varphi^{-1}: H \to G \).
• Gruppen, die isomorph sind, teilen die gleiche Struktur.

Gauss'sches Eliminationsverfahren

Definition:

Basisverfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen; wandelt das System in obere Dreiecksform um.

Details:

• Ziel: Umformung auf obere Dreiecksform
• Spezielle Matrixoperationen: 1. Vertauschen zweier Zeilen: 2. Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl (≠ 0): 3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
• System in Matrixform: \[A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\]
• Schrittweises Eliminieren von Unbekannten durch entsprechende Zeilenoperationen
• Ergebnis: 1. Erleichtert Rücksubstitution
• Complexity: \(O(n^3) \)

Vektorrechnung und ihre Anwendungen

Definition:

Untersucht algebraische Operationen mit Vektoren und deren Anwendungen in verschiedenen mathematischen Kontexten.

Details:

• Vektor: \(\textbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)\)
• Skalare Multiplikation: \(\textbf{a} \cdot \textbf{v}\)
• Vektoraddition: \(\textbf{u} + \textbf{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, \ldots, u_n + v_n)\)
• Skalarprodukt: \(\textbf{u} \cdot \textbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \ldots + u_n v_n\)
• Kreuzprodukt: \(\textbf{u} \times \textbf{v}\) nur in \(\textbf{R}^3\)
• Norm: \(||\textbf{v}|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \ldots + v_n^2}\)
• Einheitsvektor: \(\textbf{e} = \frac{\textbf{v}}{||\textbf{v}||}\)

Nullstellen und Faktorisierung von Polynomen

Definition:

Bestimmung der Nullstellen zur Faktorisierung eines Polynoms in Linearfaktoren.

Details:

• Nullstelle \({x_i}\) eines Polynoms \({P(x)}\), wenn \({P(x_i) = 0}\).
• Polynom n-ten Grades hat bis zu \({n}\) Nullstellen (Fundamentalsatz der Algebra).
• Faktorisierung: \({P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}\), wobei \({x_i}\) Nullstellen sind und \({a}\) der Leitkoeffizient.
• Heuristische Methoden: Raten und Horner-Schema.
• Algebraische Methoden: Synthetische Division, Polynomdivision.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition:

Eigenwerte: Skalar \(\lambda\), sodass \(Av = \lambda v\). Eigenvektoren: Vektor \(v\), der \(Av = \lambda v\) erfüllt.

Details:

• Für Matrix \(A\) und Vektor \(v\) gilt: \(Av = \lambda v\).
• Charakteristisches Polynom: \(\det(A - \lambda I) = 0\).
• Finde Eigenwerte \(\lambda\) durch Lösen des charakteristischen Polynoms.
• Finde Eigenvektoren \(v\) durch Lösen von \( (A - \lambda I)v = 0\).
• Multiple \(\lambda \) können mehrfach vorkommen (Vielfachheit).

Diagonalisierung von Matrizen

Definition:

Diagonalisierung einer Matrix bedeutet, eine Matrix in eine Diagonalform zu transformieren, also eine Diagonalmatrix zu finden, die zu der ursprünglichen Matrix ähnlich ist.

Details:

• Eine Matrix \(A\) ist diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix \(P\) und eine Diagonalmatrix \(D\) gibt, sodass \(A = PDP^{-1}\).
• Eigenschaften von \(A\): mind. \(n\) linear unabhängige Eigenvektoren notwendig.
• Vorgehen: Eigenwerte \( \lambda \) bestimmen, Eigenvektoren \(v\) finden und Matrix \(P\) aus Eigenvektoren bilden.
• Diagonaleinträge von \(D\) sind die Eigenwerte \( \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \) von \(A\).
• Gilt nur für quadratische Matrizen.