Algebra - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Betrachte die folgenden algebraischen Strukturen:

• Gruppe: Gegeben sei eine Menge \(G\) mit einer Verknüpfung \( \cdot \), welche folgende Eigenschaften erfüllt:
  • Assoziativität: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \) für alle Elemente \(a, b, c \in G\).
  • Existenz eines neutralen Elements: Es existiert ein Element \(e \in G\), so dass \( e \cdot a = a \cdot e = a \) für alle \( a \in G\).
  • Existenz inverser Elemente: Zu jedem \(a \in G\) existiert ein inverses Element \( a^{-1} \in G\) mit \( a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e\).
• Ring: Sei \(R\) eine Menge mit zwei Verknüpfungen \( + \) und \( \cdot \) und es gelten folgende Eigenschaften:
  • \( (R, +) \) bildet eine abelsche Gruppe.
  • \( (R, \cdot) \) bildet ein Monoid, d.h., die Multiplikation ist assoziativ und es existiert ein neutrales Element \(1 \in R\).
  • Distributivgesetz: Für alle \(a, b, c \in R\) gilt \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \) und \( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \).
• Körper: Sei \(K\) ein Ring. \(K\) ist ein Körper, wenn zusätzlich zu den Eigenschaften eines Rings jedes Element \( a \in K \setminus \{0\} \) ein multiplikatives Inverses \( a^{-1} \) hat, d.h., \(a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1.\).

b)

Sei \( \mathbb{Q} \) die Menge der rationalen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation. Zeige, dass \( \mathbb{Q} \) ein Körper ist. Gehe systematisch durch die Definition eines Körpers und überprüfe jede einzelne Eigenschaft.

Lösung:

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Menge \(\mathbb{Q}\) der rationalen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Körper ist, prüfen wir systematisch jede Eigenschaft eines Körpers anhand der Definition:

• Eine abelsche Gruppe unter Addition \((\mathbb{Q}, +)\).
• Ein Monoid unter Multiplikation \((\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot)\) mit einem neutralen Element \(1\).
• Das Distributivgesetz: Für alle \(a, b, c \in \mathbb{Q}\).
• Jedes Element \(a \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}\) hat ein multiplikatives Inverses \(a^{-1}\).

1. Assoziativität der Addition: Für alle \(a, b, c \in \mathbb{Q}\): \((a + b) + c = a + (b + c)\).
2. Existenz des neutralen Elements unter Addition: 0 wirkt als neutrales Element, da für alle \(a \in \mathbb{Q}\) gilt: \(a + 0 = 0 + a = a\).
3. Existenz inverser Elemente unter Addition: Für jedes \(a \in \mathbb{Q}\) existiert ein \(-a \in \mathbb{Q}\), sodass: \(a + (-a) = (-a) + a = 0\).
4. Kommutativität der Addition: Für alle \(a, b \in \mathbb{Q}\) gilt: \(a + b = b + a\).

Da alle oben genannten Attribute erfüllt sind, ist \((\mathbb{Q}, +)\) eine abelsche Gruppe.

1. Assoziativität der Multiplikation: Für alle \(a, b, c \in \mathbb{Q}\) gilt: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c )\).
2. Existenz des neutralen Elements unter Multiplikation: 1 wirkt als neutrales Element, da für alle \(a \in \mathbb{Q}\) gilt: \(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \).

Da alle Attribute für ein Monoid erfüllt sind, ist \((\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot)\) ein Monoid.

1. Distributivgesetz: Für alle \(a, b, c \in \mathbb{Q}\) gilt: \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) und \((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\).
2. Existenz inverser Elemente unter Multiplikation: Jedes Element \(a \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}\) hat ein multiplikatives Inverses \(a^{-1} = \frac{1}{a}\), welches ebenfalls in \(\mathbb{Q}\) liegt und: \(a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1\).

Da alle Attribute eines Körpers erfüllt sind, ist \(\mathbb{Q}\) mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Körper.

c)

Betrachte die Menge \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \) der Restklassenringe modulo 6. Zeige, dass \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \) kein Körper ist. Welche Eigenschaft eines Körpers ist hier nicht erfüllt?

Lösung:

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Menge \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) der Restklassenringe modulo 6 kein Körper ist, müssen wir überprüfen, welche Eigenschaft eines Körpers nicht erfüllt ist. Ein Körper ist ein Ring, bei dem jedes Element \(a\) (außer \(0\)) ein multiplikatives Inverses \(a^{-1}\) hat, so dass \(a \cdot a^{-1} = 1\).

Zunächst überprüfen wir die Elemente und ihre Multiplikation in \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\). Die Elemente von \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) sind:

• \([0]\)
• \([1]\)
• \([2]\)
• \([3]\)
• \([4]\)
• \([5]\)

Um festzustellen, ob die Restklassen einen Körper bilden, müssen wir prüfen, ob jedes Element außer \([0]\) ein multiplikatives Inverses hat.

• \([1]^{-1} = [1]\) ist das multiplikative Inverse von \([1]\), da \([1] \cdot [1] = [1]\).
• \([2]\): Wir suchen ein Element \([b]\), so dass \([2] \cdot [b] = [1]\). Allerdings gilt für alle \([b] \in \{[0], [1], [2], [3], [4], [5]\}\):
  • \([2] \cdot [0] = [0]\)
  • \([2] \cdot [1] = [2]\)
  • \([2] \cdot [2] = [4]\)
  • \([2] \cdot [3] = [6] = [0]\)
  • \([2] \cdot [4] = [8] = [2]\)
  • \([2] \cdot [5] = [10] = [4]\)

  Keines dieser Produkte ergibt \([1]\). Daher hat \([2]\) kein multiplikatives Inverses in \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\).

• \([3]\): Wir suchen ein Element \([b]\), so dass \([3] \cdot [b] = [1]\). Allerdings gilt für alle \([b] \in \{[0], [1], [2], [3], [4], [5]\}\):
  • \([3] \cdot [0] = [0]\)
  • \([3] \cdot [1] = [3]\)
  • \([3] \cdot [2] = [6] = [0]\)
  • \([3] \cdot [3] = [9] = [3]\)
  • \([3] \cdot [4] = [12] = [0]\)
  • \([3] \cdot [5] = [15] = [3]\)

  Keines dieser Produkte ergibt \([1]\). Daher hat \([3]\) kein multiplikatives Inverses in \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\).

Da wir festgestellt haben, dass \([2]\) und \([3]\) keine multiplikativen Inversen haben, können wir daraus schließen, dass \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) kein Körper ist.

Die Eigenschaft, die in \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) fehlt, ist die Existenz von multiplikativen Inversen für alle Elemente außer \([0]\).

Aufgabe 2)

Betrachte die Gruppen \((G, \bullet)\) und \((H, \triangle)\) sowie den Homomorphismus \(\varphi: G \to H\). Sei \(G\) die Gruppe der ganzen Zahlen unter Addition und \(H\) die Gruppe der Einheitswurzeln in der komplexen Ebene unter Multiplikation. Der Homomorphismus ist definiert durch \(\varphi(n) = e^{2 \pi i n / 3}\).

a)

Zeige, dass \(\varphi\) tatsächlich ein Homomorphismus ist. Prüfe also, dass für alle \(a, b \in G\), gilt: \(\varphi(a + b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)\).

Lösung:

Um zu zeigen, dass \(\varphi\) tatsächlich ein Homomorphismus ist, müssen wir überprüfen, dass für alle \(a, b \in G\) gilt:

\(\varphi(a + b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)\).

• Sei \( G \) die Gruppe der ganzen Zahlen unter Addition.
• Sei \( H \) die Gruppe der Einheitswurzeln in der komplexen Ebene unter Multiplikation.
• Der Homomorphismus ist definiert durch \( \varphi(n) = e^{2 \pi i n / 3} \).

Verifiziere die Homomorphismus-Eigenschaft:

1. Sei \( a, b \in G \).
2. Berechne \( \varphi(a + b) \):
3. Der Definitionsvorschrift zufolge ist
4. \( \varphi(a + b) = e^{2 \pi i (a + b) / 3} \).
5. Betrachte nun die rechte Seite der Gleichung:
6. \( \varphi(a) \cdot \varphi(b) \):
7. Nach Definition des Homomorphismus gilt:
8. \( \varphi(a) = e^{2 \pi i a / 3} \) und \( \varphi(b) = e^{2 \pi i b / 3} \).
9. Somit:
10. \( \varphi(a) \cdot \varphi(b) = e^{2 \pi i a / 3} \cdot e^{2 \pi i b / 3} \).
11. Anwendung der Eigenschaft der Exponentialfunktion (Multiplikation führt zu Addition der Exponenten):
12. \( e^{2 \pi i a / 3} \cdot e^{2 \pi i b / 3} = e^{2 \pi i (a + b) / 3} \).
13. Damit ergibt sich:
14. \( \varphi(a + b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b) \).

Wir haben somit gezeigt, dass \( \varphi \) tatsächlich ein Homomorphismus ist.

b)

Bestimme den Kern von \(\varphi\) und zeige, dass es sich um ein Ideal von \(G\) handelt.

Lösung:

Um den Kern von \(\varphi\) zu bestimmen und zu zeigen, dass er ein Ideal von \(G\) ist, gehen wir wie folgt vor:

Bestimmung des Kerns von \(\varphi\)

Der Kern eines Homomorphismus \(\varphi: G \to H\) ist definiert als die Menge aller Elemente in \(G\), die auf das neutrale Element von \(H\) abgebildet werden:

• Gesucht sind also alle \(n \in G\), für die \(\varphi(n) = 1\) gilt.
• Das neutrale Element von \(H\), der Gruppe der Einheitswurzeln, ist \(1\).
• Setze \(\varphi(n) = 1\) an, um den Kern zu finden:
• \(e^{2 \pi i n / 3} = 1\)
• Um 1 zu erhalten, muss der Exponent ein ganzzahliges Vielfaches von \(2\pi\) sein:
• \(\frac{2 \pi i n}{3} = 2 \pi i k\), wobei \(k \in \mathbb{Z}\).
• Daraus folgt:
• \(\frac{n}{3} = k\)
• \(n = 3k\)
• Der Kern ist also:
• \(\operatorname{Ker}(\varphi) = \{n \in \mathbb{Z} \mid n = 3k, k \in \mathbb{Z}\} = 3\mathbb{Z}\)

Nachweis, dass der Kern ein Ideal von \(G\) ist

Eine Untergruppe \(I\) von \(G\) ist genau dann ein Ideal (bei Additionsgruppen analog zu Normaluntergruppen in normalen Gruppen), wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• \(I\) ist eine Untergruppe von \(G\).
• Für alle \(g \in G\) und \(i \in I\) ist \(g + i \in I\).

Untersuchen wir nun, ob diese Bedingungen für \(3\mathbb{Z}\) (den Kern von \(\varphi\)) erfüllt sind:

• \(3\mathbb{Z}\) ist eine Untergruppe von \(\mathbb{Z}\). Jede additive Gruppe der Form \(n\mathbb{Z}\) ist eine Untergruppe der ganzen Zahlen, was leicht gezeigt werden kann.
• Für \(n \in \mathbb{Z}\) und \(3k \in 3\mathbb{Z}\) folgt:
• \(n + 3k\) ist ebenfalls ein Element von \(3\mathbb{Z}\), da \(n + 3k = 3\left(\frac{n}{3} + k\right)\), wobei \(\frac{n}{3} + k \in \mathbb{Z}\) ist.

Damit haben wir gezeigt, dass \(3\mathbb{Z}\) beide Bedingungen erfüllt:

• \(3\mathbb{Z}\) ist eine Untergruppe der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\).
• Für jedes \(n \in \mathbb{Z}\) und jedes \(3k \in 3\mathbb{Z}\) ist die Summe \(n + 3k\) ein Element von \(3\mathbb{Z}\).

Folglich ist der Kern von \(\varphi\), nämlich \(3\mathbb{Z}\), ein Ideal von \(G\).

c)

Ist \(\varphi\) ein Isomorphismus? Begründe Deine Antwort, indem Du entscheidest, ob \(\varphi\) bijektiv ist oder nicht.

Lösung:

Um zu entscheiden, ob \(\varphi\) ein Isomorphismus ist, müssen wir überprüfen, ob \(\varphi\) bijektiv ist, das heißt, ob \(\varphi\) sowohl injektiv (eineindeutig) als auch surjektiv (auf) ist.

Prüfung auf Injektivität

Ein Homomorphismus \(\varphi : G \to H\) ist injektiv, wenn sein Kern nur das neutrale Element von \(G\) enthält.

• Der Kern von \(\varphi\) ist bereits bestimmt: \(\operatorname{Ker}(\varphi) = 3\mathbb{Z}\).
• Der Kern enthält alle Vielfachen von 3, nicht nur das neutrale Element 0 von \(G\) (was in diesem Fall die Menge aller ganzen Zahlen unter Addition ist).
• Da der Kern nicht nur das neutrale Element enthält, ist \(\varphi\) nicht injektiv.

Prüfung auf Surjektivität

Ein Homomorphismus \(\varphi : G \to H\) ist surjektiv, wenn jedes Element von \(H\) ein Bild unter \(\varphi\) hat.

• \(H\) ist die Menge der Einheitswurzeln in der komplexen Ebene, also \(\{1, e^{2\pi i / 3}, e^{4\pi i / 3}\}\).
• Wir prüfen, ob jedes dieser Elemente ein Urbild in \(G\) hat:
• Das neutrale Element 1 in \(H\) wird von \(\varphi(0)\) und \(\varphi(3k)\) abgebildet (für alle \(k \in \mathbb{Z}\)).
• \(e^{2\pi i / 3}\) wird von \(\varphi(1)\) abgebildet.
• \(e^{4\pi i / 3}\) wird von \(\varphi(2)\) abgebildet.
• Da jedes Element von \(H\) ein Urbild in \(G\) hat, ist \(\varphi\) surjektiv.

Fazit

Da \(\varphi\) nicht injektiv ist, ist \(\varphi\) kein Isomorphismus, selbst wenn \(\varphi\) surjektiv ist.

Somit ist \(\varphi\) kein Isomorphismus.

Aufgabe 3)

Gegeben sei folgendes lineares Gleichungssystem:

• \(2x_1 - 3x_2 + x_3 = 5\)
• \(4x_1 + x_2 - 2x_3 = 6\)
• \(3x_1 + 2x_2 + x_3 = 7\)

Das Ziel ist es, dieses System mittels des Gauss'schen Eliminationsverfahrens in eine obere Dreiecksform zu bringen und dann die Rücksubstitution durchzuführen, um die Lösungen für \(x_1, x_2\) und \(x_3\) zu finden.

b)

Teilaufgabe b: Nachdem Du das Gleichungssystem in obere Dreiecksform gebracht hast, führe die Rücksubstitution durch und bestimme die Werte für \(x_1, x_2\) und \(x_3\). Zeige Deine Berechnungsschritte im Detail.

Lösung:

Nachdem wir das Gleichungssystem in eine obere Dreiecksform gebracht haben, sieht die erweiterte Matrix wie folgt aus:

• \[ \begin{bmatrix} 1 & -1.5 & 0.5 & | & 2.5 \ 0 & 1 & -\frac{4}{7} & | & -\frac{4}{7} \ 0 & 0 & 3 & | & 3 \end{bmatrix} \]

Nun führen wir die Rücksubstitution durch, um die Werte für \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) zu bestimmen:

1. Beginnen wir mit der letzten Zeile:

• \[ 3x_3 = 3 \]

• Teilen wir beide Seiten durch 3:

• \[ x_3 = 1 \]

1. Gehen wir zur zweiten Zeile:

• \[ x_2 - \frac{4}{7}x_3 = -\frac{4}{7} \]

• Setzen wir \(x_3 = 1\) ein:

• \[ x_2 - \frac{4}{7} = -\frac{4}{7} \]

• Addieren wir \(\frac{4}{7}\) zu beiden Seiten:

• \[ x_2 = 0 \]

1. Schließlich die erste Zeile:

• \[ x_1 - 1.5x_2 + 0.5x_3 = 2.5 \]

• Setzen wir \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 1\) ein:

• \[ x_1 + 0.5 = 2.5 \]

• Subtrahieren wir 0.5 von beiden Seiten:

• \[ x_1 = 2 \]

Zusammengefasst sind die Lösungen:

• \(x_1 = 2\)
• \(x_2 = 0\)
• \(x_3 = 1\)

c)

Teilaufgabe c: Bestimme die Komplexität des Gauss'schen Eliminationsverfahrens für ein allgemeines lineares Gleichungssystem mit \(n\) Unbekannten. Erkläre, warum die Komplexität \(O(n^3)\) beträgt und welche Schritte des Verfahrens hauptsächlich zur Berechnungskomplexität beitragen.

Lösung:

Die Komplexität des Gauss'schen Eliminationsverfahrens für ein allgemeines lineares Gleichungssystem mit \(n\) Unbekannten beträgt \(O(n^3)\). Die Komplexität ergibt sich aus der Anzahl der notwendigen Rechenoperationen, um die Matrix in obere Dreiecksform zu bringen und anschließend die Rücksubstitution durchzuführen. Lass uns die Schritte im Detail betrachten:

• 1. Bildung der oberen Dreiecksform:Dies ist der wichtigste Schritt, der die meiste Zeit in Anspruch nimmt. Wir durchlaufen die gesamte Matrix und führen Zeilenoperationen durch, um Nullstellen unterhalb der Pivotelemente zu erzeugen.Für jede Zeile \(i\) müssen wir alle Zeilen darunter bearbeiten (\(j > i\)).Die Anzahl der Operationen lässt sich folgendermaßen abschätzen:
• In der ersten Iteration (erste Spalte) werden \(n-1\) Zeilen bearbeitet und je Zeile müssen \(n\) Operationen durchgeführt werden.
• In der zweiten Iteration (zweite Spalte) werden \(n-2\) Zeilen bearbeitet und je Zeile \(n-1\) Operationen.
• Insgesamt führt dies zur Summe:

  \[ S = \sum_{k=1}^{n-1} (n - k) * k = \sum_{k=1}^{n-1} (nk - k^2) \]

• Dies lässt sich weiter vereinfachen zu:

  \[ S = n \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} k^2 \]

• Setzt man die bekannten Summenformeln ein:

• \[ \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2} \]

• \[ \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \]

• Errechnet man die Gesamtsumme:

• \[ S = n*\frac{(n-1)n}{2} - \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{n^3}{3} + O(n^2) \]

• Daher ist die Komplexität für die Bildung der oberen Dreiecksform \(O(n^3)\).

• 2. Rücksubstitution:Dieser Teil ist weniger aufwändig, hier muss die resultierende obere Dreiecksmatrix von unten nach oben durchgearbeitet werden. Die Rechnung erfolgt für jede Unbekannte in weniger als \(n\) Schritten:

• \[ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} = O(n^2) \]

• Die Rücksubstitution ist daher \(O(n^2)\).

Zusammengefasst: Die Komplexität des Gauss'schen Eliminationsverfahrens ergibt sich hauptsächlich aus dem ersten Schritt, der Bildung der oberen Dreiecksform, und beträgt insgesamt \(O(n^3)\). Der folgende Schritt der Rücksubstitution trägt nur \(O(n^2)\) zur Gesamtrechenzeit bei, was vernachlässigbar ist im Vergleich zu \(O(n^3)\).

Aufgabe 4)

Vektorrechnung und ihre AnwendungenUntersucht algebraische Operationen mit Vektoren und deren Anwendungen in verschiedenen mathematischen Kontexten.

• Vektor: \(\textbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)\)
• Skalare Multiplikation: \(\textbf{a} \cdot \textbf{v}\)
• Vektoraddition: \(\textbf{u} + \textbf{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, \ldots, u_n + v_n)\)
• Skalarprodukt: \(\textbf{u} \cdot \textbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \ldots + u_n v_n\)
• Kreuzprodukt: \(\textbf{u} \times \textbf{v}\) nur in \(\textbf{R}^3\)
• Norm: \(||\textbf{v}|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \ldots + v_n^2}\)
• Einheitsvektor: \(\textbf{e} = \frac{\textbf{v}}{||\textbf{v}||}\)

a)

Gegeben seien die Vektoren \(\textbf{u} = (2, -1, 3)\) und \(\textbf{v} = (1, 4, -2)\). Berechne die Summe der beiden Vektoren und die skalare Multiplikation mit dem Skalar \(-3\).

Lösung:

Lösung der TeilaufgabeZunächst berechnen wir die Summe der beiden Vektoren \(\textbf{u}\) und \(\textbf{v}\).

• Gegeben sind die Vektoren:
• \(\textbf{u} = (2, -1, 3)\)
• \(\textbf{v} = (1, 4, -2)\)

1. VektoradditionDie Vektoraddition erfolgt komponentenweise:

• \(\textbf{u} + \textbf{v} = (2, -1, 3) + (1, 4, -2)\)
• \(\textbf{u} + \textbf{v} = (2 + 1, -1 + 4, 3 - 2)\)
• \(\textbf{u} + \textbf{v} = (3, 3, 1)\)

Also ist die Summe der beiden Vektoren \(\textbf{u}\) und \(\textbf{v}\) gleich \((3, 3, 1)\).2. Skalare MultiplikationFür die skalare Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar wird jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert.Wir multiplizieren den Vektor \(\textbf{u}\) mit dem Skalar -3:

• \(-3 \textbf{u} = -3 (2, -1, 3)\)
• \(-3 \textbf{u} = (-3 \times 2, -3 \times (-1), -3 \times 3)\)
• \(-3 \textbf{u} = (-6, 3, -9)\)

Also ist die skalare Multiplikation von \(\textbf{u}\) mit -3 gleich \((-6, 3, -9)\).

b)

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren \(\textbf{u}\) und \(\textbf{v}\) und interpretiere das Ergebnis geometrisch im Bezug auf den Winkel zwischen den beiden Vektoren.

Lösung:

Lösung der TeilaufgabeZunächst berechnen wir das Skalarprodukt der Vektoren \(\textbf{u}\) und \(\textbf{v}\).

• Gegeben sind die Vektoren:
• \(\textbf{u} = (2, -1, 3)\)
• \(\textbf{v} = (1, 4, -2)\)

1. Skalarprodukt berechnenDas Skalarprodukt wird wie folgt berechnet:

• \(\textbf{u} \cdot \textbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3\)
• \(\textbf{u} \cdot \textbf{v} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 + 3 \cdot (-2)\)
• \(\textbf{u} \cdot \textbf{v} = 2 - 4 - 6\)
• \(\textbf{u} \cdot \textbf{v} = -8\)

Also ist das Skalarprodukt der Vektoren \(\textbf{u}\) und \(\textbf{v}\) gleich \(-8\).2. Geometrische InterpretationDas Ergebnis des Skalarprodukts kann bezüglich des Winkels \(\theta\) zwischen den beiden Vektoren interpretiert werden. Das Skalarprodukt hat die allgemeine Form:

• \(\textbf{u} \cdot \textbf{v} = ||\textbf{u}|| \cdot ||\textbf{v}|| \cdot \cos(\theta)\)

Wenn das Skalarprodukt negativ ist, wie in diesem Fall, bedeutet das, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren größer als \(90^\circ\) und kleiner als \(180^\circ\) ist. Daher sind die Vektoren in entgegengesetzte Richtungen geneigt.

c)

Berechne das Kreuzprodukt der Vektoren \(\textbf{u}\) und \(\textbf{v}\) und überprüfe, ob der resultierende Vektor orthogonal zu den Ausgangsvektoren ist.

Lösung:

Lösung der TeilaufgabeZunächst berechnen wir das Kreuzprodukt der Vektoren \(\textbf{u}\) und \(\textbf{v}\).

• Gegeben sind die Vektoren:
• \(\textbf{u} = (2, -1, 3)\)
• \(\textbf{v} = (1, 4, -2)\)

1. Kreuzprodukt berechnenDas Kreuzprodukt \(\textbf{u} \times \textbf{v}\) in \(\textbf{R}^3\) wird wie folgt berechnet:

• \(\textbf{u} \times \textbf{v} = \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \ 2 & -1 & 3 \ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}\)

Mit den berechneten Minoren erhält man:

• \(\textbf{i} ( (-1) \cdot (-2) - 3 \cdot 4 )\)
• \(- \textbf{j} ( 2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 )\)
• \(+ \textbf{k} ( 2 \cdot 4 - (-1) \cdot 1 )\)

Das ergibt:

• \(\textbf{i} ( 2 - 12 ) = -10 \textbf{i}\)
• \(- \textbf{j} ( -4 - 3 ) = 7 \textbf{j}\)
• \(+ \textbf{k} ( 8 + 1 ) = 9 \textbf{k}\)

Also ist das Kreuzprodukt der Vektoren \(\textbf{u} \times \textbf{v} = (-10, 7, 9)\).2. Überprüfung der OrthogonalitätEin Vektor ist orthogonal zu den Ausgangsvektoren, wenn das Skalarprodukt der resultierenden Vektoren gleich null ist.

• Überprüfen wir \(\textbf{u} \cdot (\textbf{u} \times \textbf{v})\): \(2 \cdot (-10) + (-1) \cdot 7 + 3 \cdot 9 = -20 - 7 + 27 = 0\)
• Überprüfen wir \(\textbf{v} \cdot (\textbf{u} \times \textbf{v})\): \(1 \cdot (-10) + 4 \cdot 7 + (-2) \cdot 9 = -10 + 28 - 18 = 0\)

Da beide Skalarprodukte null sind, ist der resultierende Vektor \(\textbf{u} \times \textbf{v}\) orthogonal zu den Ausgangsvektoren \(\textbf{u}\) und \(\textbf{v}\).

d)

Bestimme die Norm der Vektoren \(\textbf{u}\) und \(\textbf{v}\). Finde anschließend die Einheitsvektoren. Überprüfe, ob die Länge der Einheitsvektoren 1 ist.

Lösung:

Lösung der TeilaufgabeBerechnen wir zunächst die Norm der Vektoren \(\textbf{u}\) und \(\textbf{v}\).

• Gegeben sind die Vektoren:
• \(\textbf{u} = (2, -1, 3)\)
• \(\textbf{v} = (1, 4, -2)\)

1. Norm berechnenDie Norm eines Vektors \(\textbf{v}\) ist definiert als:

• \(||\textbf{v}|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \ldots + v_n^2}\)

• Für \(\textbf{u}\) gilt:
• \(||\textbf{u}|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}\)
• \(||\textbf{u}|| = \sqrt{4 + 1 + 9}\)
• \(||\textbf{u}|| = \sqrt{14}\)

• Für \(\textbf{v}\) gilt:
• \(||\textbf{v}|| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2}\)
• \(||\textbf{v}|| = \sqrt{1 + 16 + 4}\)
• \(||\textbf{v}|| = \sqrt{21}\)

Also ist die Norm von \(\textbf{u}\) gleich \(\sqrt{14}\) und die Norm von \(\textbf{v}\) gleich \(\sqrt{21}\).2. Einheitsvektoren berechnenDer Einheitsvektor \(\textbf{e}\) eines Vektors \(\textbf{v}\) ist definiert als:

• \(\textbf{e} = \frac{\textbf{v}}{||\textbf{v}||}\)

• Für \(\textbf{u}\) gilt:
• \(\textbf{e}_u = \frac{(2, -1, 3)}{\sqrt{14}}\)
• \(\textbf{e}_u = \left(\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{-1}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}\right)\)

• Für \(\textbf{v}\) gilt:
• \(\textbf{e}_v = \frac{(1, 4, -2)}{\sqrt{21}}\)
• \(\textbf{e}_v = \left(\frac{1}{\sqrt{21}}, \frac{4}{\sqrt{21}}, \frac{-2}{\sqrt{21}}\right)\)

3. Überprüfung der EinheitsvektorenDie Länge eines Einheitsvektors sollte gleich 1 sein. Berechnen wir die Norm der Einheitsvektoren:

• Für \(\textbf{e}_u\) gilt:
• \(||\textbf{e}_u|| = \sqrt{\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right)^2 + \left(\frac{-1}{\sqrt{14}}\right)^2 + \left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)^2}\)
• \(||\textbf{e}_u|| = \sqrt{\frac{4}{14} + \frac{1}{14} + \frac{9}{14}}\)
• \(||\textbf{e}_u|| = \sqrt{\frac{14}{14}} = 1\)

• Für \(\textbf{e}_v\) gilt:
• \(||\textbf{e}_v|| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{21}}\right)^2 + \left(\frac{4}{\sqrt{21}}\right)^2 + \left(\frac{-2}{\sqrt{21}}\right)^2}\)
• \(||\textbf{e}_v|| = \sqrt{\frac{1}{21} + \frac{16}{21} + \frac{4}{21}}\)
• \(||\textbf{e}_v|| = \sqrt{\frac{21}{21}} = 1\)

Beide Einheitsvektoren haben eine Länge von 1, daher sind die Einheitsvektoren korrekt berechnet.