Analysis 1 - Cheatsheet.pdf

Analysis 1 - Cheatsheet

Epsilon-Delta-Definitionen des Grenzwerts Definition: Formale Definition eines Grenzwerts einer Funktion, die präzise beschreibt, was es bedeutet, dass eine Funktion einen bestimmten Grenzwert hat, wenn sie sich einem Punkt nähert. Details: Sei f eine Funktion definiert in einer Umgebung von a (außer möglicherweise in a selbst). Grenzwert von f an der Stelle a ist L : \[ \forall \epsilon > 0, \exi...

Epsilon-Delta-Definitionen des Grenzwerts

Definition:

Formale Definition eines Grenzwerts einer Funktion, die präzise beschreibt, was es bedeutet, dass eine Funktion einen bestimmten Grenzwert hat, wenn sie sich einem Punkt nähert.

Details:

Sei f eine Funktion definiert in einer Umgebung von a (außer möglicherweise in a selbst).
Grenzwert von f an der Stelle a ist L:
$\forall ϵ > 0, \exists δ > 0 : 0 < | x - a | < δ \to | f (x) - L | < ϵ$
ozU erlaubt die Kontrolle über die Abstandsstabilität: für jedes ε, finde geeignete δ.

L'Hospital'sche Regel

Definition:

Regel zur Bestimmung des Grenzwerts von Quotienten zweier Funktionen, wenn direkte Substitution eine unbestimmte Form 0/0 oder ∞/∞ ergibt.

Details:

Voraussetzungen: Funktionen f und g differenzierbar in einem Intervall um einen Punkt a (außer eventuell in a selbst).
Form: $lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$
Anwendbar für Grenzwerte an Unendlich: $lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$

Bolzano-Weierstraß-Theorem

Definition:

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat eine konvergente Teilfolge.

Details:

Gegeben: Eine Folge $(a_{n})$ in $R$
Voraussetzung: Die Folge ist beschränkt
Konklusion: Es existiert eine Teilfolge $(a_{n_{k}})$ , die in $R$ konvergiert
Kernidee: Kombiniert das Konzept der Beschränktheit mit Existenz von Häufungspunkten

Zwischenwertsatz

Definition:

Zwischenwertsatz besagt, dass jede stetige Funktion, die auf einem Intervall [a, b] definiert ist und die Werte f(a) und f(b) annimmt, jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal annimmt.

Details:

Sei f: [a, b] → ℝ eine stetige Funktion.
Für jede Zahl y im Intervall [f(a), f(b)] existiert ein c ∈ [a, b] mit f(c) = y.
Voraussetzung: f(a) ≠ f(b).
Anwendung: Wurzelbestimmung und Existenz von Lösungen.

Regeln der Differentiation (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel)

Definition:

Regeln zur Differentiation zusammengesetzter Funktionen

Details:

Produktregel: $(u \times v)^{'} = u^{'} \times v + u \times v^{'}$
Quotientenregel: ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} \times v - u \times v^{'}}{v^{2}}$
Kettenregel: $(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \times g^{'} (x)$

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Definition:

Verbindung zwischen der Differentiation und Integration; integral von stetiger Funktion durch Stammfunktion bestimmt.

Details:

Sei $f$ auf $[a, b]$ stetig und $F$ eine Stammfunktion von $f$ auf $[a, b]$ .
Dann ist $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .
$F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ist ebenfalls eine Stammfunktion von $f$ .

Integrationstechniken wie Partialbruchzerlegung und Substitution

Definition:

Integrationstechniken zur Vereinfachung von Integralen, insbesondere Partialbruchzerlegung für rationale Funktionen und Substitution zur Vereinfachung des Integranden durch Variablenwechsel.

Details:

Partialbruchzerlegung: Zerlege rationale Funktion $\frac{P (x)}{Q (x)}$ in Summen einfacherer Brüche. Wichtig bei Polynomdivisionen.
Grundform: $\frac{P (x)}{(x - a) (x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}$
Substitution: Vereinfache Integrale durch Substitution $u = g (x)$ und entsprechende Änderung der Grenzen und Differenziale.
Grundform: $\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u$
Wähle Substitution, um Integrand zu vereinfachen oder bekannte Integrationsmethoden anzuwenden.

Anwendungen der Differenzierbarkeit: Extrema und Optimierungsprobleme

Definition:

Anwendungen der Differenzierbarkeit in der Analyse, speziell zur Bestimmung von Extrema und zur Lösung von Optimierungsproblemen.

Details:

Extrema finden durch Setzen der ersten Ableitung f'(x) = 0 und Prüfung des Vorzeichens der zweiten Ableitung f''(x).
Lokale Extrema: Erfülle Bedingungen des Satzes von Rolle und Mittelwertsatzes.
Globale Extrema durch Vergleich der Funktionswerte an kritischen Punkten und Randpunkten.
Optimierungsprobleme oft durch Umformung auf eine Zielfunktion, dann Differenzieren und Lösen der Ableitungsgleichung.

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L'Hospital'sche Regel

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Bolzano-Weierstraß-Theorem

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Zwischenwertsatz

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Regeln der Differentiation (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel)

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

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Integrationstechniken wie Partialbruchzerlegung und Substitution

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