Analysis 1 - Cheatsheet.pdf

Epsilon-Delta-Definitionen des Grenzwerts

Definition:

Formale Definition eines Grenzwerts einer Funktion, die präzise beschreibt, was es bedeutet, dass eine Funktion einen bestimmten Grenzwert hat, wenn sie sich einem Punkt nähert.

Details:

• Sei f eine Funktion definiert in einer Umgebung von a (außer möglicherweise in a selbst).
• Grenzwert von f an der Stelle a ist L:
• \[ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0: 0 < |x - a| < \delta \rightarrow |f(x) - L| < \epsilon \]
• ozU erlaubt die Kontrolle über die Abstandsstabilität: für jedes ε, finde geeignete δ.

L'Hospital'sche Regel

Definition:

Regel zur Bestimmung des Grenzwerts von Quotienten zweier Funktionen, wenn direkte Substitution eine unbestimmte Form 0/0 oder ∞/∞ ergibt.

Details:

• Voraussetzungen: Funktionen f und g differenzierbar in einem Intervall um einen Punkt a (außer eventuell in a selbst).
• Form: \( \lim_{{x \to a}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \lim_{{x \to a}} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}} \)
• Anwendbar für Grenzwerte an Unendlich: \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}} \)

Bolzano-Weierstraß-Theorem

Definition:

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat eine konvergente Teilfolge.

Details:

• Gegeben: Eine Folge \( (a_n) \) in \( \mathbb{R} \)
• Voraussetzung: Die Folge ist beschränkt
• Konklusion: Es existiert eine Teilfolge \( (a_{n_k}) \), die in \( \mathbb{R} \) konvergiert
• Kernidee: Kombiniert das Konzept der Beschränktheit mit Existenz von Häufungspunkten

Zwischenwertsatz

Definition:

Zwischenwertsatz besagt, dass jede stetige Funktion, die auf einem Intervall [a, b] definiert ist und die Werte f(a) und f(b) annimmt, jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal annimmt.

Details:

• Sei f: [a, b] → ℝ eine stetige Funktion.
• Für jede Zahl y im Intervall [f(a), f(b)] existiert ein c ∈ [a, b] mit f(c) = y.
• Voraussetzung: f(a) ≠ f(b).
• Anwendung: Wurzelbestimmung und Existenz von Lösungen.

Regeln der Differentiation (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel)

Definition:

Regeln zur Differentiation zusammengesetzter Funktionen

Details:

• Produktregel: \[ (u \times v)' = u' \times v + u \times v' \]
• Quotientenregel: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \times v - u \times v'}{v^2} \]
• Kettenregel: \[ (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \times g'(x) \]

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Definition:

Verbindung zwischen der Differentiation und Integration; integral von stetiger Funktion durch Stammfunktion bestimmt.

Details:

• Sei \( f \) auf \([a, b]\) stetig und \( F \) eine Stammfunktion von \( f \) auf \([a, b]\).
• Dann ist \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \).
• \( F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \) ist ebenfalls eine Stammfunktion von \( f \).

Integrationstechniken wie Partialbruchzerlegung und Substitution

Definition:

Integrationstechniken zur Vereinfachung von Integralen, insbesondere Partialbruchzerlegung für rationale Funktionen und Substitution zur Vereinfachung des Integranden durch Variablenwechsel.

Details:

• Partialbruchzerlegung: Zerlege rationale Funktion \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) in Summen einfacherer Brüche. Wichtig bei Polynomdivisionen.
• Grundform: \[ \frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} \]
• Substitution: Vereinfache Integrale durch Substitution \( u=g(x) \) und entsprechende Änderung der Grenzen und Differenziale.
• Grundform: \[ \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du \]
• Wähle Substitution, um Integrand zu vereinfachen oder bekannte Integrationsmethoden anzuwenden.

Anwendungen der Differenzierbarkeit: Extrema und Optimierungsprobleme

Definition:

Anwendungen der Differenzierbarkeit in der Analyse, speziell zur Bestimmung von Extrema und zur Lösung von Optimierungsproblemen.

Details:

• Extrema finden durch Setzen der ersten Ableitung f'(x) = 0 und Prüfung des Vorzeichens der zweiten Ableitung f''(x).
• Lokale Extrema: Erfülle Bedingungen des Satzes von Rolle und Mittelwertsatzes.
• Globale Extrema durch Vergleich der Funktionswerte an kritischen Punkten und Randpunkten.
• Optimierungsprobleme oft durch Umformung auf eine Zielfunktion, dann Differenzieren und Lösen der Ableitungsgleichung.