Analysis 1 - Exam.pdf

Aufgabe 2)

Gegeben seien die Funktionen \( f(x) = x^2 - 4 \) und \( g(x) = x - 2 \). Bestimme den Grenzwert des Quotienten \( \frac{f(x)}{g(x)} \), wenn \( x \) gegen 2 strebt, unter Anwendung der L'Hospital'schen Regel.

a)

Prüfe, ob die Anwendung der L'Hospital'schen Regel für den gegebenen Grenzwert \( \lim_{{x \to 2}} \frac{f(x)}{g(x)} \) gerechtfertigt ist. Begründe Deine Antwort.

Lösung:

Um zu prüfen, ob die Anwendung der L'Hospital'schen Regel für den gegebenen Grenzwert gerechtfertigt ist, betrachten wir die Funktionen \( f(x) = x^2 - 4 \) und \( g(x) = x - 2 \) und formen den Bruch \( \frac{f(x)}{g(x)} \). Laut Aufgabenstellung wollen wir den Grenzwert von \( \frac{f(x)}{g(x)} \) bestimmen, wenn \( x \) gegen 2 strebt.

Die L'Hospital'sche Regel kann angewendet werden, wenn der Quotient die Form \( \frac{0}{0} \) oder \( \frac{\infty}{\infty} \) annimmt.

• Berechne \( f(2) \) :
• \( f(2) = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \)
• Berechne \( g(2) \) :
• \( g(2) = 2 - 2 = 0 \)

Da sowohl der Zähler als auch der Nenner den Wert 0 annehmen, ergibt sich die Form \( \frac{0}{0} \). Diese Form erlaubt die Anwendung der L'Hospital'schen Regel.

Die Anwendung der L'Hospital'schen Regel für den gegebenen Grenzwert \( \lim_{{x \to 2}} \frac{f(x)}{g(x)} \) ist daher gerechtfertigt.

b)

Wende die L'Hospital'sche Regel an, um den Grenzwert \( \lim_{{x \to 2}} \frac{f(x)}{g(x)} \) zu berechnen.

Lösung:

Da die Form des Grenzwerts \( \frac{f(x)}{g(x)} \) bei \( x \to 2 \) die Bedingung \( \frac{0}{0} \) erfüllt, können wir die L'Hospital'sche Regel anwenden. Diese Regel besagt, dass

\[ \lim_{{x \to c}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to c}} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]

vorausgesetzt, dass der Grenzwert auf der rechten Seite existiert.

Wir berechnen nun die Ableitungen der Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \).

• Berechne die Ableitung von \( f(x) \) :
• \( f(x) = x^2 - 4 \)
• \( f'(x) = 2x \)
• Berechne die Ableitung von \( g(x) \) :
• \( g(x) = x - 2 \)
• \( g'(x) = 1 \)

Setze diese Ableitungen in die L'Hospital'sche Regel ein:

\[ \lim_{{x \to 2}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to 2}} \frac{2x}{1} \]

Berechne nun den Grenzwert:

\[ \lim_{{x \to 2}} \frac{2x}{1} = \frac{2 \cdot 2}{1} = 4 \]

Der Grenzwert ist somit:

\[ \lim_{{x \to 2}} \frac{f(x)}{g(x)} = 4 \]

c)

Berechne den Grenzwert \( \lim_{{x \to 2}} \frac{f(x)}{g(x)} \) auch ohne die Anwendung der L'Hospital'schen Regel und vergleiche das Ergebnis mit dem aus der vorherigen Teilaufgabe.

Lösung:

Um den Grenzwert ohne die Anwendung der L'Hospital'schen Regel zu berechnen, beginnen wir mit den gegebenen Funktionen:

• Funktion f(x): \( f(x) = x^2 - 4 \)
• Funktion g(x): \( g(x) = x - 2 \)

Wir prüfen den Quotienten \( \frac{f(x)}{g(x)} \) und versuchen, ihn zu vereinfachen:

\( \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \)

Der Zähler \( x^2 - 4 \) lässt sich als Differenz von Quadraten faktorisieren:

\( x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) \)

Setze dies in den Quotienten ein:

\( \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} \)

Im Bereich von \( x eq 2 \) können wir \( x - 2 \) im Zähler und Nenner kürzen:

\( \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = \frac{(x + 2) \cancel{(x - 2)}}{\cancel{(x - 2)}} = x + 2 \)

Nun setzen wir \( x = 2 \) ein, um den Grenzwert zu berechnen:

\( \lim_{{x \to 2}} (x + 2) = 2 + 2 = 4 \)

Der Grenzwert ohne Anwendung der L'Hospital'schen Regel ist daher:

\( \lim_{{x \to 2}} \frac{f(x)}{g(x)} = 4 \)

Vergleich der Ergebnisse

In der vorherigen Teilaufgabe haben wir unter Anwendung der L'Hospital'schen Regel den gleichen Grenzwert erhalten:

• Berechnung unter Anwendung der L'Hospital'schen Regel: \( 4 \)
• Direkte Berechnung ohne die Regel: \( 4 \)

Somit ist der Grenzwert in beiden Fällen:

\( 4 \)

d)

Diskutiere unter welchen Bedingungen die L'Hospital'sche Regel angewendet werden kann und erkläre, warum sie in diesem Fall funktioniert hat.

Lösung:

Bedingungen für die Anwendung der L'Hospital'schen Regel

Die L'Hospital'sche Regel kann angewendet werden, wenn der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen die Form \( \frac{0}{0} \) oder \( \frac{\infty}{\infty} \) hat. Das bedeutet, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner bei Annäherung an einen bestimmten Punkt denselben Grenzwert 0 oder unendlich haben.

Die Regel besagt, dass:

\[ \lim_{{x \to c}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to c}} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]

vorausgesetzt, dass der Grenzwert der Ableitungen auf der rechten Seite existiert oder gegen unendlich strebt.

Warum die L'Hospital'sche Regel in diesem Fall funktioniert hat

In unserem Fall hatten wir die Funktionen:

• \( f(x) = x^2 - 4 \)
• \( g(x) = x - 2 \)

Wir wollten den Grenzwert des Quotienten \( \frac{f(x)}{g(x)} \) bestimmen, wenn \( x \) gegen 2 strebt:

\[ \lim_{{x \to 2}} \frac{f(x)}{g(x)} \]

Durch Einsetzen von \( x = 2 \) erhalten wir:

• \( f(2) = 2^2 - 4 = 0 \)
• \( g(2) = 2 - 2 = 0 \)

Da sowohl der Zähler als auch der Nenner 0 ergeben, haben wir die Form \( \frac{0}{0} \), was die Voraussetzung zur Anwendung der L'Hospital'schen Regel erfüllt:

Wir berechneten die Ableitungen:

• \( f'(x) = 2x \)
• \( g'(x) = 1 \)

Setzen wir diese Ableitungen in die L'Hospital'sche Regel ein:

\[ \lim_{{x \to 2}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to 2}} \frac{2x}{1} \]

Berechne den Grenzwert:

\[ \lim_{{x \to 2}} \frac{2x}{1} = 4 \]

Der Grenzwert ist somit:

\[ \lim_{{x \to 2}} \frac{f(x)}{g(x)} = 4 \]

Die L'Hospital'sche Regel hat in diesem Fall funktioniert, weil der Ausdruck die Form \( \frac{0}{0} \) angenommen hat und die Ableitungen der Funktionen existieren und den Grenzwert eindeutig bestimmen.

Aufgabe 3)

Betrachte die Folge \(a_n\) in \mathbb{R}\), definiert durch \(a_n = (-1)^n + \frac{1}{n}\). Zeige unter Verwendung des Bolzano-Weierstraß-Theorems, dass diese Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.

a)

• (a) Zeige, dass die Folge \(a_n = (-1)^n + \frac{1}{n}\) beschränkt ist.
• (b) Begründe mithilfe des Bolzano-Weierstraß-Theorems, dass es mindestens eine konvergente Teilfolge von \(a_n\) gibt.
• (c) Finde eine explizite konvergente Teilfolge \(a_{n_k}\) und gib deren Grenzwert an.
• (d) Beweise, dass die gefundene Teilfolge tatsächlich konvergiert, indem Du zeigst, dass für alle \epsilon > 0\ ein \delta > 0\ existiert, so dass \|a_{n_k} - L| < \epsilon\ für alle \ k \ in der Teilfolge erfüllt ist.

Lösung:

Hier ist die vollständige Lösung der Übungsaufgaben:

• (a) Zeige, dass die Folge \(a_n = (-1)^n + \frac{1}{n}\) beschränkt ist.

Um zu zeigen, dass die Folge \(a_n\) beschränkt ist, betrachten wir zunächst den Ausdruck \((-1)^n\), der zwischen -1 und 1 alterniert.

Betrachten wir die beiden Fälle:

• Falls \(n\) gerade ist, dann gilt: \(a_n = 1 + \frac{1}{n}\).
• Falls \(n\) ungerade ist, dann gilt: \(a_n = -1 + \frac{1}{n}\).

Für den Fall, dass \(n\) gerade ist:

• \(1 + \frac{1}{n} \leq 1 + 1 = 2\), da \(\frac{1}{n} \leq 1\) für alle \(n \geq 1\).

Für den Fall, dass \(n\) ungerade ist:

• \(-1 + \frac{1}{n} \geq -1 + 0 = -1\), da \(\frac{1}{n} \geq 0\) für alle \(n \geq 1\).

Zusammengefasst bedeutet dies, dass die Folge \(a_n\) im Intervall \([-1, 2]\) liegt. Somit ist die Folge \(a_n\) beschränkt.

• (b) Begründe mithilfe des Bolzano-Weierstraß-Theorems, dass es mindestens eine konvergente Teilfolge von \(a_n\) gibt.

Das Bolzano-Weierstraß-Theorem besagt, dass jede beschränkte Folge in \(\mathbb{R}\) eine konvergente Teilfolge besitzt. Da wir in Teilaufgabe (a) gezeigt haben, dass die Folge \(a_n\) beschränkt ist, folgt daraus gemäß Bolzano-Weierstraß-Theorem, dass \(a_n\) mindestens eine konvergente Teilfolge besitzt.

• (c) Finde eine explizite konvergente Teilfolge \(a_{n_k}\) und gib deren Grenzwert an.

Betrachten wir die geraden und ungeraden Terme der Folge \(a_n\) getrennt:

• \(a_{2k} = 1 + \frac{1}{2k}\)
• \(a_{2k+1} = -1 + \frac{1}{2k+1}\)

Die beiden Teilfolgen sind:

• \(\lim_{k \to \infty} (1 + \frac{1}{2k}) = 1\)
• \(\lim_{k \to \infty} (-1 + \frac{1}{2k+1}) = -1\)

Eine konvergente Teilfolge ist daher \(a_{2k} = 1 + \frac{1}{2k}\), welche gegen 1 konvergiert.

• (d) Beweise, dass die gefundene Teilfolge tatsächlich konvergiert, indem Du zeigst, dass für alle \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, so dass \(|a_{n_k} - L| < \epsilon\) für alle \(k > N\) erfüllt ist.

Sei \(\epsilon > 0\) gegeben und betrachte die Teilfolge \(a_{2k} = 1 + \frac{1}{2k}\), welche gegen den Grenzwert \(L = 1\) konvergiert. Wir müssen zeigen, dass es ein \(N\) gibt, so dass für alle \(k > N\) gilt:

• \(|a_{2k} - 1| < \epsilon\)

Da \(a_{2k} = 1 + \frac{1}{2k}\), folgt:

• \(|1 + \frac{1}{2k} - 1| = |\frac{1}{2k}| = \frac{1}{2k}\)

Wir wollen, dass \(\frac{1}{2k} < \epsilon\).

Wähle \(N = \lceil\frac{1}{2\epsilon}\rceil\). Dann gilt für alle \(k > N\):

• \(\frac{1}{2k} < \frac{1}{2N} \leq \epsilon\)

Somit haben wir gezeigt, dass \(|a_{n_k} - 1| < \epsilon\) für alle \(k > N\), was beweist, dass die gefundene Teilfolge \(a_{2k}\) tatsächlich gegen 1 konvergiert.

Aufgabe 4)

Sei f: [a, b] → ℝ eine stetige Funktion, wobei 0 ≤ a < b und f(a) ≠ f(b). Betrachte die Anwendung des Zwischenwertsatzes, um die Existenz von Lösungen und Wurzeln zu analysieren.